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向心力向心加速度
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小故事
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惠更斯向心力定律发现过程的逻辑分析
发现者：荷兰数学家，天文学家惠更斯（C.huygens,1629~1695）
惠更斯出生于荷兰海牙的一个书香门第之家，
依据惯性定律关于匀速直线运动的物体不受外力（合外力=0）这一事实联想到，是否匀速圆周运动的物体也不受外力（合外力=0）呢？于是他做了如下实验：将绳子的一端系上一个小球，用手捏着绳子的另一端，当使小球作圆周运动时，手总是通过绳线拉着小球，并且拉力的方向总是沿着半径指向圆心。这表明作圆周运动的物体受到一个指向圆心的力。惠更斯认为，一个做匀速直线运动的物体，当受到一个指向圆心的强迫作用力，就会做圆周运动。一个做匀速圆周运动的物体由于他时刻受到向心力的作用，所以尽管他的速度大小是不变的，但是他的速度的方向却始终在变化，因此说，匀速圆周运动的实质是变速曲线运动。
牛顿的第二定律告诉人们，变速直线运动的物体受外力而产生加速度且a=F/m，那么，变速曲线运动的物体因受外力是否也会产生加速度且a=F/m呢？惠更斯通过实验证实了匀速圆周运动的物体加速度也是a=F/m=v2/R。于是他由此推论出匀速圆周运动的向心力公式：（向心力的方向和加速度的方向都是一致的，都是指向圆心）牛顿二定律公式。
创新逻辑分析：
相似推理：
已知：匀速直线运动的物体---不受外力
联想：匀速直线运动~匀速圆周运动（相似关系）
推论：匀速圆周运动的物体---不受外力
实验：匀速圆周运动的物体---受外力
相似推理：
已知：变速直线运动的物体---a=F/m
联想：变速直线运动~变速曲线运动（相似关系）
推论：变速曲线运动的物体---a=F/m
实验：匀速圆周运动的物体---a=F/m=v2/R
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课堂探究
)
【观察与思考】
观察以下图片，它们为什么都能做圆周运动？
【讨论与交流】
一、拉住绳子一端，使小球在桌面上做匀速圆周运动。
观察与思考：
1 .小球为何做匀速圆周运动？
2 .小球受到哪些力作用？合外力是哪个力？这个力的方向有什么特点？这个力起什么作用？
3 .一旦线断或松手，结果如何？
结论： FN与G相抵消，所以合力为F
结论：合外力指向圆心，与速度V垂直,只改变速度的方向。
讨论得到（概括）：
1 .作匀速圆周运动的物体受到一个指向圆心的合力的作用，我们把这个力叫做向心力；
2 .向心力的方向：与速度垂直，始终指向圆心（方向不断变化）；
3 .向心力的作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
体验与猜测：
向心力大小可能与哪些因素有关？
当r、ω一定时，向心力与质量成正比
当m、r一定时，角速度越大，向心力越大
当m、ω一定时，运动半径越大，向心力越大
二、向心加速度
1、向心加速度即向心力产生的加速度，只是描述线速度方向变化的快慢。
大小： a = F/m=
a= rω2 a= v2/r
方向： 与向心力方向一致，即总指向圆心，向心加速度的方向是不断变化的。
匀速圆周运动的性质：加速度大小不变，方向时刻改变，是变加速运动
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基础演练
)
1、请分析以下圆周运动的向心力来源．
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光滑的水平面
)
2、如图所示，质量为m的滑块滑到圆弧轨道的最低点时速度大小为v，已知圆弧轨道的半径是R，则滑块在圆弧轨道最低点时对轨道的压力是_____.
3、在水平面上转弯的汽车，向心力是（ ）
A．重力与支持力的合力?
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力?
D．重力、支持力、牵引力的合力
4、有长短不同，材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么 （ ）
A．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断?
B．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断
C．两个球以相同的周期运动时，短绳易断?
D．不论如何，短绳易断
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课堂探究
)
【观察与思考】
一、火车转弯
外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合外力F和提供向心力。
（1）当v＝时，内外轨均不受侧向挤压的力
（2）当v＞时，外轨受到侧向挤压的力
（3）当v＜时，内轨受到侧向挤压的力
思考：如果火车在拐弯时，内外轨道一样高会出现什么情况？
二、拱形桥
若汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为R，求汽车过桥的最高点时对桥面的压力？
a．选汽车为研究对象
b．对汽车进行受力分析：受到重力和桥对车的支持力
c．上述两个力的合力提供向心力、且向心力方向向下
d．建立关系式：
e．又因支持力与压力是一对作用力与反作用力，所以 且
思考：汽车在过拱形桥时，速度达到多大会飞起来？
三、航天器中的失重现象
（1）、航天器中的宇航员的向心力由引力和支持力的合力提供，方向竖直向下
（2）、宇航员具有竖直向下的加速度，对座椅的压力小于重力，处于失重状态．
注意：应该准确地理解失重和超重的概念，并不是重力消失了，而是与它接触物体的拉力或压力小于或大于重力的现象。
四、离心运动
1、物体做离心运动的条件:
合外力合外力突然消失，或不足以提供所需的向心力。
2、离心运动
做匀速圆周运动的物体，在所受合外力合外力突然消失或者不足以提供所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动
五、杆与绳
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大．物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论．
弹力只可能向下，如绳拉球．这种情况下有，即，否则不能通过最高点．
弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动．
弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）．这种情况下，速度大小v可以取任意值．但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零．②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零．
【经典例题】
例题1、一辆质量 t的小轿车，驶过半径 m的一段圆弧形桥面，重力加速度 ．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20 m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10 m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
例题2、绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求：
（1）最高点水不流出的最小速率
（2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力
例题3、如图所示，细绳一端系着质量 kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量 kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在什么范围m会处于静止状态？（ ）
例题4、如图所示，一质量为m的小球p与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用手拉着小球的另一端使小球在水平板上绕O作半径为a，角速度为w的匀速圆周运动。
（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O作半径为b的匀速圆周运动，则从绳子被放松到拉紧经过多少时间？
（2）小球沿半径为b的圆周匀速运动时角速度w2多大？
、 如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1 m、长1 m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5 kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上．?
（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间 ?
（2）如果细线的抗断拉力为7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间 ?
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基础演练
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1、同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有（ ）
A.车对两种桥面的压力一样大
B.车对平直桥面的压力大
C.车对凸形桥面的压力大
D.无法判断
2、火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（ ）
A.轨道半径R=
B.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
C.若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D.当火车质量改变时，安全速率也将改变
3、如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆孤部分的最高点Ａ时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是：（ ）
Ａ．重力、弹力、和向心力
Ｂ．重力和弹力
Ｃ．重力和向心力
Ｄ．重力
4、如图所示，A、B、C三个物体放在水平转台上，它们的质量之比为3∶2∶1，它们与转台圆心O点之间的距离之比为1∶2∶3，它们与转台平面的动摩擦因数均相同.当转台以角速度ω旋转时，它们相对于转台没有滑动.关于它们所受的静摩擦力（设为FA、FB、FC）的大小和方向，下列陈述中正确的是（ ）
A.FA＜FB＜FC
B.FA＞FB＞FC
C.FA＝FC＜FB
D.F的方向指向圆心
5、下列关于离心现象中说法正确的是（ ）
A 、当物体所受到离心力大于向心力时产生离心现象。
B、做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做背离圆心的圆周运动
C、做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将沿切线做直线运动
D、做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做曲线运动
6、汽车车厢板上放一件货物，货物与车厢之间的摩擦力最大值是货物重力的0.2倍，当汽车以5m/s的速率匀速转过半径为8m的弯道时，从司机看来，货物（ ）
A、仍然和车厢相对静止
B、向后方滑动
C、右转时货物从车的左后方滑下，左转时从右后方滑下
D、右转时从右后方滑下，左转时从左后方滑下
7、如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动.圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.小球受到的向心力等于重力mg
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
8、一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，圆盘半径为R.甲、乙物体质量分别是M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起.若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（ ）
A.
B.
C.
D.
9、如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列叙述正确的是（ ）
A、v的极小值为
B、v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C、当v从值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大。
D、当v从值逐渐减小时，杆对小球的弹力仍逐渐变大。
10、 小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是（ ）
A.小球的角速度突然增大
B.小球的瞬时速度突然增大
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球对悬线的拉力突然增大
11、质量为m的球用长为L的细绳悬于天花板的O点，并使之在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直线成θ角，则以下正确的是
A.摆球受重力、拉力和向心力的作用
B.摆球只受重力、拉力的作用
C.摆球做匀速圆周运动的向心力为mgtanθ
D.摆球做匀速圆周运动的向心加速度为gtanθ
12、用细线拴柱一球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.在线速度一定情况下，线越长越易断
B.在线速度一定情况下，线越短越易断
C.在角速度一定情况下，线越长越易断
D.在角速度一定情况下，线越短越易断
13、关于向心力说法中正确的是（ ）
A、物体由于做圆周运动而产生的力叫向心力；
B、向心力不改变速度的大小；
C、做匀速圆周运动的的物体所受向心力是不变的；
D、向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新的力
14、汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大值，当汽车速度增为原来2倍时，则汽车的转弯半径必须变化为 倍
15、如图所示，摩托车开到一个半径为R的圆弧形山坡处，山坡的圆弧部分恰为圆弧长，要使摩托车从圆弧山坡顶水平飞出直接落到地面，摩托车的速度大小至少为 ，落地点B处与坡底的水平距离AB至少为 。
16、如图所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为mA、mB的A、B两小球，两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面中心重合，已知mA＝0.5 kg，L＝1.2 m，LAO＝0.8 m，a＝2.1 m，h＝1.25 m，A球的速度大小vA＝0.4 m/s，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）绳子上的拉力F以及B球的质量mB；
（2）若当绳子与MN平行时突然断开，则经过1.5 s两球的水平距离；
（3）两小球落至地面时，落点间的距离．
17、一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．
（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？
（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？
（3）若m1=m2=m ，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．
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向心力向心加速度
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小故事
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惠更斯向心力定律发现过程的逻辑分析
发现者：荷兰数学家，天文学家惠更斯（C.huygens,1629~1695）
惠更斯出生于荷兰海牙的一个书香门第之家，
依据惯性定律关于匀速直线运动的物体不受外力（合外力=0）这一事实联想到，是否匀速圆周运动的物体也不受外力（合外力=0）呢？于是他做了如下实验：将绳子的一端系上一个小球，用手捏着绳子的另一端，当使小球作圆周运动时，手总是通过绳线拉着小球，并且拉力的方向总是沿着半径指向圆心。这表明作圆周运动的物体受到一个指向圆心的力。惠更斯认为，一个做匀速直线运动的物体，当受到一个指向圆心的强迫作用力，就会做圆周运动。一个做匀速圆周运动的物体由于他时刻受到向心力的作用，所以尽管他的速度大小是不变的，但是他的速度的方向却始终在变化，因此说，匀速圆周运动的实质是变速曲线运动。
牛顿的第二定律告诉人们，变速直线运动的物体受外力而产生加速度且a=F/m，那么，变速曲线运动的物体因受外力是否也会产生加速度且a=F/m呢？惠更斯通过实验证实了匀速圆周运动的物体加速度也是a=F/m=v2/R。于是他由此推论出匀速圆周运动的向心力公式：（向心力的方向和加速度的方向都是一致的，都是指向圆心）牛顿二定律公式。
创新逻辑分析：
相似推理：
已知：匀速直线运动的物体---不受外力
联想：匀速直线运动~匀速圆周运动（相似关系）
推论：匀速圆周运动的物体---不受外力
实验：匀速圆周运动的物体---受外力
相似推理：
已知：变速直线运动的物体---a=F/m
联想：变速直线运动~变速曲线运动（相似关系）
推论：变速曲线运动的物体---a=F/m
实验：匀速圆周运动的物体---a=F/m=v2/R
(
课堂探究
)
【观察与思考】
观察以下图片，它们为什么都能做圆周运动？
【讨论与交流】
一、拉住绳子一端，使小球在桌面上做匀速圆周运动。
观察与思考：
1 .小球为何做匀速圆周运动？
2 .小球受到哪些力作用？合外力是哪个力？这个力的方向有什么特点？这个力起什么作用？
3 .一旦线断或松手，结果如何？
结论： FN与G相抵消，所以合力为F
结论：合外力指向圆心，与速度V垂直,只改变速度的方向。
讨论得到（概括）：
1 .作匀速圆周运动的物体受到一个指向圆心的合力的作用，我们把这个力叫做向心力；
2 .向心力的方向：与速度垂直，始终指向圆心（方向不断变化）；
3 .向心力的作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
体验与猜测：
向心力大小可能与哪些因素有关？
当r、ω一定时，向心力与质量成正比
当m、r一定时，角速度越大，向心力越大
当m、ω一定时，运动半径越大，向心力越大
二、向心加速度
1、向心加速度即向心力产生的加速度，只是描述线速度方向变化的快慢。
大小： a = F/m=
a= rω2 a= v2/r
方向： 与向心力方向一致，即总指向圆心，向心加速度的方向是不断变化的。
匀速圆周运动的性质：加速度大小不变，方向时刻改变，是变加速运动
(
基础演练
)
1、请分析以下圆周运动的向心力来源．
(
光滑的水平面
)
【答案】 拉力 静摩擦力 拉力与重力的合力
2、如图所示，质量为m的滑块滑到圆弧轨道的最低点时速度大小为v，已知圆弧轨道的半径是R，则滑块在圆弧轨道最低点时对轨道的压力是_____.
【答案】
3、在水平面上转弯的汽车，向心力是（ ）
A．重力与支持力的合力?
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力?
D．重力、支持力、牵引力的合力
【答案】B
4、有长短不同，材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么 （ ）
A．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断?
B．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断
C．两个球以相同的周期运动时，短绳易断?
D．不论如何，短绳易断
【答案】B
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课堂探究
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【观察与思考】
一、火车转弯
外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合外力F和提供向心力。
（1）当v＝时，内外轨均不受侧向挤压的力
（2）当v＞时，外轨受到侧向挤压的力
（3）当v＜时，内轨受到侧向挤压的力
思考：如果火车在拐弯时，内外轨道一样高会出现什么情况？
二、拱形桥
若汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为R，求汽车过桥的最高点时对桥面的压力？
a．选汽车为研究对象
b．对汽车进行受力分析：受到重力和桥对车的支持力
c．上述两个力的合力提供向心力、且向心力方向向下
d．建立关系式：
e．又因支持力与压力是一对作用力与反作用力，所以 且
思考：汽车在过拱形桥时，速度达到多大会飞起来？
三、航天器中的失重现象
（1）、航天器中的宇航员的向心力由引力和支持力的合力提供，方向竖直向下
（2）、宇航员具有竖直向下的加速度，对座椅的压力小于重力，处于失重状态．
注意：应该准确地理解失重和超重的概念，并不是重力消失了，而是与它接触物体的拉力或压力小于或大于重力的现象。
四、离心运动
1、物体做离心运动的条件:
合外力合外力突然消失，或不足以提供所需的向心力。
2、离心运动
做匀速圆周运动的物体，在所受合外力合外力突然消失或者不足以提供所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动
五、杆与绳
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大．物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论．
弹力只可能向下，如绳拉球．这种情况下有，即，否则不能通过最高点．
弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动．
弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）．这种情况下，速度大小v可以取任意值．但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零．②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零．
【经典例题】
例题1、一辆质量 t的小轿车，驶过半径 m的一段圆弧形桥面，重力加速度 ．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20 m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10 m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
解析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大。
1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f．在竖直方向受到桥面向上的支持力 和向下的重力 ，如图（甲）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力 与重力 的合力为 ，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即 ．由向心力公式有：
，
解得桥面的支持力大小为
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是 N．
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力 和桥面向上的支持力 ，如图（乙）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力 与支持力 的合力为 ，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即 ，由向心力公式有
，
解得桥面的支持力大小为
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为 N．
（3）设汽车速度为 时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零．根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力 就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即 ，由向心力公式有
，
解得：
汽车以30 m／s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
点评：公式是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力.因此，牛顿定律及由牛顿定律导出的一些规律（如超重、失重等）在本章仍适用.
例题2、绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求：
（1）最高点水不流出的最小速率
（2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力
解析：对于水桶中的水作圆周运动，在最高点时其受力为本身的重力和桶底对它的弹力，从而提供向心力，水在最高点的最小合外力是mg．所以，最高点的速度至少为 ．
（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力。
即：
则所求最小速率 m/s=2.42 m/s
（2）当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有
由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上。点评：抓住临界状态，找出临界条件是解这类极值问题的关键。
例题3、如图所示，细绳一端系着质量 kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量 kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在什么范围m会处于静止状态？（ ）
解析：要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态：当 为 所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心；当 为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心。
要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态：
当 为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N，此时对M有：
且
解得： rad/s．
当 为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2N，此时：
且
解得： rad/s
故所求 的范围为 ．
点评：分析两个极端（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围类”题目的基本思路和方法．
例题4、如图所示，一质量为m的小球p与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用手拉着小球的另一端使小球在水平板上绕O作半径为a，角速度为w的匀速圆周运动。
（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O作半径为b的匀速圆周运动，则从绳子被放松到拉紧经过多少时间？
（2）小球沿半径为b的圆周匀速运动时角速度w2多大？
解析：1）绳子放松后，小球将沿切线飞出，做匀速直线运动直至拉紧，要求的就是这一运动过程的时间
2）重新拉紧后，小球以垂直于绳子的速度分量为线速度作匀速圆周运动，如图。
（1）小球沿半径为a的圆周运动的线速度
v1=w1a
放松绳子后，小球的速度为v，位移如图所示
∴
（2）绳拉紧时，小球沿绳子方向的速度分量v’’变为0，只有垂直于绳子的速度分量v’，此后小球以线速度v’，半径b作圆周运动，设角速度为w2。
v2=w2b
即v1cosθ=w2b
w1a·=w2b
∴w2=
点评：在分析物体的运动问题时，首先应该明确物体做什么运动，在本题中，绳子放松后，小球因合外力为零沿切线飞出，做匀速直线运动直至拉紧；在拉紧是做匀速圆周运动，但要明确沿径向的速度变为零这一点，这是解决第二问时必须了解的关键一点。
如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1 m、长1 m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5 kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上．?
（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间 ?
（2）如果细线的抗断拉力为7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间 ?
【解析】小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F不断增大，半周期不断减小．推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间．
在第一个半周期内： ，
在第二个半周期内：，
在第三个半周期内：，
……?
在第n个半周期内： ，
由于所以n≤10?
（1）小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间：
（2）设在第x个半周期时，，由代入数据后得x＝8，则所经历的时间，
【说明】运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法．物理和数学是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较高的要求．因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解．
(
基础演练
)
1．同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有（ ）
A.车对两种桥面的压力一样大
B.车对平直桥面的压力大
C.车对凸形桥面的压力大
D.无法判断
【答案】 B
2.火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是
A.轨道半径R=
B.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
C.若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D.当火车质量改变时，安全速率也将改变
【答案】 B
3.如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆孤部分的最高点Ａ时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是：（ ）
Ａ．重力、弹力、和向心力
Ｂ．重力和弹力
Ｃ．重力和向心力
Ｄ．重力
【答案】 D
4．如图所示，A、B、C三个物体放在水平转台上，它们的质量之比为3∶2∶1，它们与转台圆心O点之间的距离之比为1∶2∶3，它们与转台平面的动摩擦因数均相同.当转台以角速度ω旋转时，它们相对于转台没有滑动.关于它们所受的静摩擦力（设为FA、FB、FC）的大小和方向，下列陈述中正确的是（ ）
A.FA＜FB＜FC
B.FA＞FB＞FC
C.FA＝FC＜FB
D.F的方向指向圆心
【答案】 CD
5．下列关于离心现象中说法正确的是（ ）
A 、当物体所受到离心力大于向心力时产生离心现象。
B、做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做背离圆心的圆周运动
C、做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将沿切线做直线运动
D、做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做曲线运动
【答案】 C
6．汽车车厢板上放一件货物，货物与车厢之间的摩擦力最大值是货物重力的0.2倍，当汽车以5m/s的速率匀速转过半径为8m的弯道时，从司机看来，货物（ ）
A、仍然和车厢相对静止
B、向后方滑动
C、右转时货物从车的左后方滑下，左转时从右后方滑下
D、右转时从右后方滑下，左转时从左后方滑下
【答案】 C
7．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动.圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.小球受到的向心力等于重力mg
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
【答案】 BCD
8．一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，圆盘半径为R.甲、乙物体质量分别是M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起.若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
9.如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列叙述正确的是（ ）
A、v的极小值为
B、v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C、当v从值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大。
D、当v从值逐渐减小时，杆对小球的弹力仍逐渐变大。
【答案】 BCD
10. 小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是（ ）
A.小球的角速度突然增大
B.小球的瞬时速度突然增大
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球对悬线的拉力突然增大
【答案】 B
11.质量为m的球用长为L的细绳悬于天花板的O点，并使之在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直线成θ角，则以下正确的是
A.摆球受重力、拉力和向心力的作用
B.摆球只受重力、拉力的作用
C.摆球做匀速圆周运动的向心力为mgtanθ
D.摆球做匀速圆周运动的向心加速度为gtanθ
【答案】BCD
12.用细线拴柱一球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.在线速度一定情况下，线越长越易断
B.在线速度一定情况下，线越短越易断
C.在角速度一定情况下，线越长越易断
D.在角速度一定情况下，线越短越易断
【答案】BC
13.关于向心力说法中正确的是（ ）
A、物体由于做圆周运动而产生的力叫向心力；
B、向心力不改变速度的大小；
C、做匀速圆周运动的的物体所受向心力是不变的；
D、向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新的力
【答案】 B
14.汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大值，当汽车速度增为原来2倍时，则汽车的转弯半径必须变化为 倍
【答案】4
15.如图所示，摩托车开到一个半径为R的圆弧形山坡处，山坡的圆弧部分恰为圆弧长，要使摩托车从圆弧山坡顶水平飞出直接落到地面，摩托车的速度大小至少为 ，落地点B处与坡底的水平距离AB至少为 。
【答案】(-1)R
16.如图所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为mA、mB的A、B两小球，两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面中心重合，已知mA＝0.5 kg，L＝1.2 m，LAO＝0.8 m，a＝2.1 m，h＝1.25 m，A球的速度大小vA＝0.4 m/s，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）绳子上的拉力F以及B球的质量mB；
（2）若当绳子与MN平行时突然断开，则经过1.5 s两球的水平距离；
（3）两小球落至地面时，落点间的距离．
【答案】（1）1 kg （2）1.5 m （3） m
【解析】（1） ,由得
（2），水平距离为
（3）
距离为
17.一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．
（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？
（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？
（3）若m1=m2=m ，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．
答案：1、（1）0.075m；（2）v=15m；（3）提速时应采取的有效措施是增大弯道半径 r和内外轨高度差h；
2、（1）v02=4gR；（2）；（3）A球受管的支持力为FA，方向竖直向上；设B球受管的弹力为FB，取竖直向上为FB的正方向，根据牛顿第二定律
又两球受圆管的合力F合=FA+BB，方向竖直向上，联立以上各式得F合=6mg，方向竖直向上 ，根据牛顿第三定律，A、B两小球对轨道作用力的合力大小为6mg，方向竖直向下。
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