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知识点1 向心力
1．电场
（1）大小：
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
点评：“向心力”是一种效果力．任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力．“向心力”不一定是物体所受合外力．做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心．做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变．
2．处理方法
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向．分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢．
做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各种形式）．
如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大．如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况．
3．处理圆周运动动力学问题的一般步骤：
（1）确定研究对象，进行受力分析；
（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；
（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解．
知识点2 水平面内的匀速圆周运动
1．特点：
匀速圆周运动是线速度大小不变的运动．因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的．物体受的合外力全部提供向心力．?
2．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直．
3．特例：圆锥摆?
圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动．其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平．也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）
请分析以下圆周运动的向心力来源．
在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方
向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为，若已知女运动员的体重为35 kg，据此可估算该女运动员（ ）
A．受到的拉力约为350 N B．受到的拉力约为350 N
C．向心加速度约为10 m/s2 D．向心加速度约为10 m/s2
如图所示，洗衣机内半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度至少为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，A、B、C三个物体放在水平旋转的圆盘上，三物与转盘的最大静摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴距离为R，C离轴2R，若三物相对盘静止，则 不正确的有：（ ）
A．C的向心加速度最大?
B．B的摩擦力最小?
C．转速增大时，C比B先滑动?
D．转速增大时，B比A先滑动?
在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（ ）
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2?
有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
用长为L的细绳，系一质量为m的小球使小球在竖直面内做圆周运动，小球运动到某点时，线速度的大小为.求此时小球所需的向心力为多大？
对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于（ ）
A． B．ωH C．R D．R
在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝10 m/s2.
（1）求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小．
（2）求在5 s末被困人员B的速度大小及位移大小．
（3）直升机在t＝5 s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，如图所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比．?
质量为mA和mB的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起，用长为L1的细绳将A球系于O轴上，使AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速圆周运动，如图所示，当两球间的距离为L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，两球加速度aA和aB各是多少？?
如图所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为mA、mB的A、B两小球，两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面中心重合，已知mA＝0.5 kg，L＝1.2 m，LAO＝0.8 m，a＝2.1 m，h＝1.25 m，A球的速度大小vA＝0.4 m/s，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）绳子上的拉力F以及B球的质量mB；
（2）若当绳子与MN平行时突然断开，则经过1.5 s两球的水平距离；
（3）两小球落至地面时，落点间的距离．
知识点2 竖直面内的圆周运动
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大．物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论．
弹力只可能向下，如绳拉球．这种情况下有，即，否则不能通过最高点．弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）．这种情况下，速度大小v可以取任意值．但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零．②当弹力大小时，向心力有两解：；当弹力大小时，向心力只有一解：；当弹力时，向心力等于零．
用长为L的细绳，系一质量为m的小球使小球在竖直面内做圆周运动，小球运动到某点时，线速度的大小为.求此时小球所需的向心力为多大？
如图所示，质量为m的小球用细线悬于O点，可在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时的速度（l为细线长），则此时细线的张力为_____，若到达最高点时的速度时，细线的张力为_____
如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
轻杆一端固定在光滑水平轴O上,另一端固定一质量为m的小球，如图所示，给小球一初速度,使其在竖直平面内做圆周运动,且刚好能通过最高点P,下列说法正确的（ ）
A．小球在最高点时对杆的作用力为零?
B．小球在最高点时对杆的作用力为mg
C．若增大小球的初速度,则在最高点时球对杆的力一定增大?
D．若增大小球的初速度,则在最高点时球对杆的力可能增大
如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小．
小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系．（小球的半径远小于R．）
一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是：（ ）
A．a处 B．b处?
C．c处 Ｄ．d处?
如图所示, 有一质量为M的大圆环, 半径为R , 被一轻杆固结后悬挂在O点, 处于竖直平面内. 有两个质量为m的小环(可视为质点) , 同时从大环的对称位置由静止释放, 两小环同时滑到大环底部时, 速度为v , 则此时大环对轻杆的拉力大小为：（ ）
A． B．
C． D．
轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ）
A．一定是拉力 B．一定是推力
C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
小物块位于半径为R的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度，则物块（ ）
A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为
C．落地速度大小为2 D．落地时速度方向与地面成45°角
如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以速度v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比FB∶FA为（g取10 ）
A．1∶1 B．1∶2?
C．1∶3 D．1∶4?
如果表演“水流星”节目时（一个杯子），拴杯子的绳长为L，绳子能承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，要使绳子不断裂，节目成功，则杯子通过最高点的速度最小为______，通过最低点的速度最大为______．?
如图所示，质量为m＝1 kg的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受拉力达到Fm＝18 N时就会被拉断．当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断，若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球落地处到地面上P点的距离．（P点在悬点的正下方）?
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时杆子停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
【水平和竖直平面的圆周运动应用】
在半径为R的半球形碗的光滑内表面上， 质量为m的小球正以角速度ω在水平面内作匀速圆周运动, 则该小球作匀速圆周运动的轨道平面离碗底的高度为 __________ .
在水平圆盘上放置一个质量m = 0.1㎏的物块, 物块与圆盘间动摩擦因数为0.4，当圆盘以角速度40rad/s绕中心轴匀速转动时, 欲使物块相对圆盘不动, 物到转轴的最大距离为多少
一辆质量为4吨的汽车驶过半径为50 m的拱形桥面, 始终保持5.0 m/s的速率，汽车所受阻力为车对桥面压力的0.05倍， 通过桥面最高点时, 汽车的牵引力为 ________ .
如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球．把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动．要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为（ ）
A． B． C． D．
由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力（ ）
A．相等 B．前者一定稍大于后者 C．前者一定稍小于后者 D．均可能为零
用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的（ ）
在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ ）
A． B．
C． D．
如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是：（ ）
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求：
（1）最高点水不流出的最小速率；
（2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力．
如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1 m、长1 m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5 kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上．?
（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间 ?
（2）如果细线的抗断拉力为7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间 ?
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知识点1 向心力
1．电场
（1）大小：
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
点评：“向心力”是一种效果力．任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力．“向心力”不一定是物体所受合外力．做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心．做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变．
2．处理方法
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向．分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢．
做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各种形式）．
如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大．如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况．
3．处理圆周运动动力学问题的一般步骤：
（1）确定研究对象，进行受力分析；
（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；
（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解．
知识点2 水平面内的匀速圆周运动
1．特点：
匀速圆周运动是线速度大小不变的运动．因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的．物体受的合外力全部提供向心力．?
2．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直．
3．特例：圆锥摆?
圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动．其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平．也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）
请分析以下圆周运动的向心力来源．
【答案】 拉力 静摩擦力 拉力与重力的合力
在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方
向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为，若已知女运动员的体重为35 kg，据此可估算该女运动员（ ）
A．受到的拉力约为350 N B．受到的拉力约为350 N
C．向心加速度约为10 m/s2 D．向心加速度约为10 m/s2
【答案】AC
【解析】本题考查了匀速圆周运动的动力学分析．以女运动员为研究对象，受力分析如图．根据题意有G＝mg＝350 N；则由图易得女运动员受到的拉力约为350 N，A正确；，向心加速度约为，C正确．
如图所示，洗衣机内半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图所示，A、B、C三个物体放在水平旋转的圆盘上，三物与转盘的最大静摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴距离为R，C离轴2R，若三物相对盘静止，则 不正确的有：（ ）
A．C的向心加速度最大?
B．B的摩擦力最小?
C．转速增大时，C比B先滑动?
D．转速增大时，B比A先滑动?
【答案】 D
【解析】由知，C的向心加速度最大．由知，B所受的静摩擦力最小．物体将要滑动时有，即．所以在转速增大时，C先滑动．AB同时滑动．
在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（ ）
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2?
【答案】 D
【解析】 两球向心力、角速度均相等，由公式 得，则
有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
【答案】转盘角速度为时夹角为，此时飞椅做圆周运动的半径为，向心力，,则
如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
【解析】要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．对于A，，，对于B，，解得 ，，所以
用长为L的细绳，系一质量为m的小球使小球在竖直面内做圆周运动，小球运动到某点时，线速度的大小为.求此时小球所需的向心力为多大？
【答案】
【解析】向心力公式同样适用于变速圆周运动
对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 摩擦力提供向心力；根据临界条件，得?则
如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于（ ）
A． B．ωH C．R D．R
【答案】D
在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝10 m/s2.
（1）求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小．
（2）求在5 s末被困人员B的速度大小及位移大小．
（3）直升机在t＝5 s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【答案】（1）600 N （2）10 m/s 25 m （3）625 N
【解析】（1）被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得，解得悬索的拉力F＝600 N.
（2）被困人员5 s末在竖直方向上的速度为，合速度，竖直方向上的位移，水平方向的位移，合位移．
（3）t＝5 s时悬索的长度，旋转半径r＝l′sin 37°，由，解得．此时被困人员B的受力情况如右图所示， 由图可知，解得．
质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，如图所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比．?
【答案】 3∶2?
【解析】 A、B两球在光滑水平面上做匀速圆周运动时，B球受到重力、支持力、杆的拉力三个力做用，
重力和支持力平衡，杆AB对它的拉力即为它做匀速圆周运动的向心力，设杆转动的角速度为ω，
则①A球受到四个力的做用，其重力和支持力平衡，其做匀速圆周运动的向心力为OA和AB两段杆对A球拉力的合力，即? ②
由①②得,由OA段与AB段的拉力之比为： ?
质量为mA和mB的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起，用长为L1的细绳将A球系于O轴上，使AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速圆周运动，如图所示，当两球间的距离为L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，两球加速度aA和aB各是多少？?
【答案】 ,
【解析】 B球绕O点做匀速圆周运动时，向心力由弹簧的弹力提供，则?
烧断线的瞬间，A、B受的合外力均为，所以，两球的加速度分别为?
，
如图所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为mA、mB的A、B两小球，两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面中心重合，已知mA＝0.5 kg，L＝1.2 m，LAO＝0.8 m，a＝2.1 m，h＝1.25 m，A球的速度大小vA＝0.4 m/s，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）绳子上的拉力F以及B球的质量mB；
（2）若当绳子与MN平行时突然断开，则经过1.5 s两球的水平距离；
（3）两小球落至地面时，落点间的距离．
【答案】（1）1 kg （2）1.5 m （3） m
【解析】（1） ,由得
（2），水平距离为
（3）
距离为
知识点2 竖直面内的圆周运动
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大．物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论．
弹力只可能向下，如绳拉球．这种情况下有，即，否则不能通过最高点．弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）．这种情况下，速度大小v可以取任意值．但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零．②当弹力大小时，向心力有两解：；当弹力大小时，向心力只有一解：；当弹力时，向心力等于零．
用长为L的细绳，系一质量为m的小球使小球在竖直面内做圆周运动，小球运动到某点时，线速度的大小为.求此时小球所需的向心力为多大？
【答案】
【解析】向心力公式同样适用于变速圆周运动
如图所示，质量为m的小球用细线悬于O点，可在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时的速度（l为细线长），则此时细线的张力为_____，若到达最高点时的速度时，细线的张力为_____
【答案】0 3mg
如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BC
【解析】小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力与球重力在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，即： ，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误．
轻杆一端固定在光滑水平轴O上,另一端固定一质量为m的小球，如图所示，给小球一初速度,使其在竖直平面内做圆周运动,且刚好能通过最高点P,下列说法正确的（ ）
A．小球在最高点时对杆的作用力为零?
B．小球在最高点时对杆的作用力为mg
C．若增大小球的初速度,则在最高点时球对杆的力一定增大?
D．若增大小球的初速度,则在最高点时球对杆的力可能增大
【答案】BD
【解析】小球在最高点所受合力最小值为零,所以小球刚好通过最高点时对杆的作用力为mg,B项正确;稍稍增大小球的初速度,小球通过最高点的速度稍大于零,则小球所受支持力小于重力,C项错.
如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小．
【答案】小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下．
（1）若F向上，则 （2）若F向下，则
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度．需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清．
小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系．（小球的半径远小于R．）
【答案】小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平．如图所示有： ，由此可得：，（式中h为小球轨道平面到球心的高度）．可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），越大，T越小．
点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题．共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平．
一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是：（ ）?
A．a处 B．b处?
C．c处 Ｄ．d处?
【答案】 D
【解析】汽车在不同路段上的运动，可认为是半径不同的圆周运动．在a、c两处有
则正压力小于重力．在b、d两处有，则正压力大于重力，又因为d处的半径小，所以轮胎在d处受的正压力最大．?
如图所示, 有一质量为M的大圆环, 半径为R , 被一轻杆固结后悬挂在O点, 处于竖直平面内. 有两个质量为m的小环(可视为质点) , 同时从大环的对称位置由静止释放, 两小环同时滑到大环底部时, 速度为v , 则此时大环对轻杆的拉力大小为：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ）
A．一定是拉力 B．一定是推力
C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
【答案】D
【解析】本题是物体在竖直面内圆周运动的典型模型――轻杆模型（有支撑的情况），杆可以对物体有拉力，也可以有推力，对物体的弹力还可以为零，答案D．
小物块位于半径为R的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度，则物块（ ）
A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为
C．落地速度大小为2 D．落地时速度方向与地面成45°角
【答案】ACD
【解析】物体恰好不受轨道的支持力的情况下（物体在最高点做圆周运动）的临界条件是，最高点速度为，因为＞，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A正确；由平抛运动的规律可得：R＝，x=v0t，所以可得x=2R，B答案错误；落地时竖直分速度，合速度，其方向与地面成45°角，CD正确．
如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以速度v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比FB∶FA为（g取10 ）
A．1∶1 B．1∶2?
C．1∶3 D．1∶4?
【答案】 C
【解析】 小车突然停止，球B也随之停止，故球A开始从最低点摆动，则,
又所以
如果表演“水流星”节目时（一个杯子），拴杯子的绳长为L，绳子能承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，要使绳子不断裂，节目成功，则杯子通过最高点的速度最小为______，通过最低点的速度最大为______．?
【答案】
【解析】据圆周运动的知识，对最高点分析有：，，对最低点有：，
如图所示，质量为m＝1 kg的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受拉力达到Fm＝18 N时就会被拉断．当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断，若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球落地处到地面上P点的距离．（P点在悬点的正下方）?
【答案】 2 m
【解析】小球摆到悬点正下方时，细线的拉力达到Fm＝18 N，此时球的速度为v，则，解得，线断后小球做平抛运动，则，，解得．
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时杆子停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
【答案】BCD
【解析】绳b烧断前，竖直方向合力为零，即，绳b被烧断的同时杆子停止转动，此刻，小球仍具有水平方向的速度，因此，小球将在绳子的作用下，向上摆动烧断b后，因惯性，要在竖直面内做圆周运动，且，所以，A错B对，当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，小球则只能在平面内摆动C对，当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方最高点，从而做圆周运动，D对．
【水平和竖直平面的圆周运动应用】
在半径为R的半球形碗的光滑内表面上， 质量为m的小球正以角速度ω在水平面内作匀速圆周运动, 则该小球作匀速圆周运动的轨道平面离碗底的高度为 __________ .
【答案】
在水平圆盘上放置一个质量m = 0.1㎏的物块, 物块与圆盘间动摩擦因数为0.4，当圆盘以角速度40rad/s绕中心轴匀速转动时, 欲使物块相对圆盘不动, 物到转轴的最大距离为多少
【答案】，
一辆质量为4吨的汽车驶过半径为50 m的拱形桥面, 始终保持5.0 m/s的速率，汽车所受阻力为车对桥面压力的0.05倍， 通过桥面最高点时, 汽车的牵引力为 ________ .
【答案】1.9×10 3 N
如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球．把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动．要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力（ ）
A．相等 B．前者一定稍大于后者 C．前者一定稍小于后者 D．均可能为零
【答案】C
用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的（ ）
【答案】C
在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是：（ ）
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
【答案】AB
杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求：
（1）最高点水不流出的最小速率；
（2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力．
【解析】（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即：，则所求最小速率v0＝ m/s＝2.42 m/s.
（2）当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有FN＋mg＝m,FN＝m－mg＝2.6 N，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN ′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上．
点评：抓住临界状态，找出临界条件是解决这类极值问题的关键.
思考：若本题中将绳换成轻杆，将桶换成球，上面所求的临界速率还适用吗
如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1 m、长1 m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5 kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上．?
（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间 ?
（2）如果细线的抗断拉力为7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间 ?
【解析】小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F不断增大，半周期不断减小．推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间．
在第一个半周期内： ，
在第二个半周期内：，
在第三个半周期内：，
……?
在第n个半周期内： ，
由于所以n≤10?
（1）小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间：
（2）设在第x个半周期时，，由代入数据后得x＝8，则所经历的时间，
【说明】运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法．物理和数学是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较高的要求．因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解．
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