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计算天体质量和密度
)
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小故事
)
给我一个支点，我就能翘起地球
“给我一个支点，我就能翘起地球。”这是古代科学家阿基米德说的话。
一次，阿基米德写了一封信给叙拉古国王希说，“一定大小的力可以移动任何重量”，接着他补充说，“如果还有另一个地球的话，他就能到上面去，把我们的地球移动。”
事实上，如果这个古代伟大的伟大的科学家知道地球的质量是多么大，他也许就不会这样说了。让假设阿基米德找到了支点，他也做成了一根足够长的杠杆。但是，他要用至少30万亿年的时间才能将地球举起1厘米。
将地球的质量“称”完以后，它的重力计算的结果大约是：“6×10”的“21次方”吨。如果能直接举起60千克的重物，那么要“举起”地球，就得把自己的手放在假设存在的杠杆上，这个的动力（长）臂应当是阻力（短）臂的“100×10”的“21次方”倍。在阻力臂的那头举高1厘米，动力臂在宇宙空间里走过的弧的长度大约是“1×10”的“18次方”公里。
上面的数据说明，阿基米德如果要把地球举起1厘米，他就必须走到一个不可想象的一个距离！那么他要用多少时间才能做完这件事呢？如果我们阿基米德能在1秒钟里把60千克的重物举高1米，那么，他要把地球举起1厘米，就得用去1×10”的“21次方”秒，也就是：30万亿年！
(
课堂探究
)
【阅读与思考】
地球的质量这么大，那人们如何来测量地球的质量？有哪些方法？其它天体的质量又怎么去测量呢？
【笔记】常用的万有引力方程：
【讨论与交流】
通过天体运动的规律，以及常用的方程，我们都有哪些测量天体质量的方法？
【笔记】天体质量的计算
（1）建立天体的运动模型
由于天体（如太阳）的质量通常都比较大，根据一般的方法是难以测定的，必须设计恰当的方法才能解决．在天文学上，通常是通过绕该天体运行的行星的一些信息来实现对该天体（我们称之为中心天体）质量或密度的测量．
我们通常以某一行星为研究对象，把该行星看成质点，它绕中心天体做匀速圆周运动，建立的是匀速圆周运动模型．
（2）已知行星的公转半径，公转周期，设行星的质量为，中心天体质量为．
那么由万有引力定律得：
根据圆周运动规律，，即，所以．
即如果知道绕中心天体（如太阳）运行的行星（如地球）的运行半径和运行周期，就可以求中心天体的质量．
（3）已知天体：半径和天体表面的重力加速度，根据得．
（4）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度和轨道半径，根据，
得：．
（5）已知行星绕中心天体运行的线速度和周期，根据和
得：
(
基础演练
)
已知万有引力常量，地球半径，月球和地球之间的距离，同步卫星距地面的高度，月球绕地球的运转周期，地球的自转周期，地球表面的重力加速度．某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由得．
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
【答案】（1）上面的结果是错误的，地球半径在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果为：
由得．
（2）解法一：对月球绕地做圆周运动，得．
解法二：在地球表面重力近似等于万有引力，得．
1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离为L2．你估算出（）
A．地球的质量 B．太阳的质量
C．月球的质量 D．可求月球、地球及太阳的密度
【答案】AB
宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则（）
A． B．
C． D．
【答案】D
为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是（ ）
A．运转周期和轨道半径 B．质量和运转周期
C．线速度和运转周期 D．环绕速度和质量
【答案】AC
木星的一个卫星运行一周需要时间，其轨道半径为，求木星的质量为多少千克．
【解析】木星对卫星的万有引力提供卫星公转的向心力，
【答案】
地球绕太阳公转，轨道半径为，周期为月球绕地球运行轨道半径为，周期为，则太阳与地球质量之比为多少
【解析】地球绕太阳公转，太阳对地球的引力提供向心力，则得
月球绕地球公转，地球对月球的引力提供向心力，则得
故太阳与地球的质量之比
【答案】
土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.7×10-11Nm2/kg2，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）
A.9×1016kg B.6×1017kg
C.9×1025kg D.6×1026kg
【答案】D
设在地球上和在天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为（均不计阻力），且已知地球和天体的半径比也为，则地球质量与此天体的质量比为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设天体半径为，在星球表面，重力等于万有引力，所以
，……．．…①
竖直上抛到达最大高度有，∴………．②
将②代入①得，由于、相同，且，
∴．
【答案】B
设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R速率为v，则太阳的质量M是多大？（用v、R和引力常量G表示）。太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，那么银河系中恒星数目约为多少？（答案保留1位有效数字）
【答案】，1011
(
课堂探究
)
【设计与思考】
通过回忆初中所学知识，请思考：如何测量物体的密度？
通过密度的定义式，我们可以用天平测出物体的质量，再利用量筒测量物体的体积，从而计算出物体的密度。
【笔记】密度定义式
【讨论与交流】
根据密度的定义式，天体密度如何去计算？
【笔记】天体密度的测定
（1）天体质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即
式中为行星的公转轨道半径，为中心天体的半径，为行星的公转周期．
若行星为中心天体的近地卫星，则，中心天体的密度．
（2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，根据，求出天体质量，则天体密度．
(
基础演练
)
若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为（）
A． B． C． D．
【答案】B
一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为行星是密度均匀的球体．要确定该行星的密度，只需要测量（ ）
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
【解析】飞船绕行星做圆周运动，万有引力提供向心力，行星的质量，行星的密度，只要测出飞船的周期就可确定行星的密度．
【答案】C
天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的倍，质量是地球的倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为小时，引力常量，由此估算该行星的平均密度约为（）
A． B．C． D．
【答案】D
若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍则该星球质量是地球质量的（ ）
A．倍 B．2倍
C．4倍 D．8倍
【答案】D
行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是，试证明；是一个常量，即对任何行星都相同．
【答案】因为行星的质量（是行星的半径），行星的体积，所以行星的平均密度即，是一个常量，对任何行星都相同。
已知地球的半径，地面的重力加速度，求地球的平均密度．
【解析】设在地球表面上有一个质量为的物体，
则
得
而
代入数据得
【答案】
为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时，周期分别为和。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出（）
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
【解析】设火星的半径为R，火星的质量为M，由可得：，
和，联立可以求出火星的半径为R，火星的质量为M，
由密度公式，可进一步求出火星的密度；
由，可进一步求出火星表面的重力加速度，A正确。
由于不知道“萤火一号”的质量，所以不能求出火星对“萤火一号”的引力。
【答案】A
某研究小组用天文望远镜对一颗行星进行观测，发现该行星有一颗卫星，卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T，已知引力常量为G，根据这些数据可以估算出（ ）
A．行星的质量 B．行星的半径
C．行星的平均密度 D．行星表面的重力加速度
【答案】C
(
课后练习
)
已知某行星绕太阳做匀速圆周运动的半径为r，公转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（）
A．可求出行星的质量 B．可求出太阳的质量
C．可求出行星的绕行速度 D．据公式，行星的向心加速度与半径r成正比
【答案】BC
1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度．根据你所学过的知识，估算出地球密度的大小最接近（）（地球半径R=6400km，万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2）
A．5.5×103kg/m3 B．5.5×104kg/m3 C．7.5×103kg/m3 D．7.5×104kg/m3
【答案】A
随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其它星球成为可能。假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的（）
A．0.5倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍
【答案】D
利用下列哪组数据，可以计算出地球质量（）
A．已知地球半径和地面重力加速度B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期
C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期
【答案】AB
一均匀球体以角速度绕自己的对称轴自转，若维持球体不被解体的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少
【解析】设球体质量为，半径为，设想有一个质量为的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则：；所以由于，得，则，即此球的最小密度为
【答案】
1 / 10中小学教育资源及组卷应用平台
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计算天体质量和密度
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小故事
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给我一个支点，我就能翘起地球
“给我一个支点，我就能翘起地球。”这是古代科学家阿基米德说的话。
一次，阿基米德写了一封信给叙拉古国王希说，“一定大小的力可以移动任何重量”，接着他补充说，“如果还有另一个地球的话，他就能到上面去，把我们的地球移动。”
事实上，如果这个古代伟大的伟大的科学家知道地球的质量是多么大，他也许就不会这样说了。让假设阿基米德找到了支点，他也做成了一根足够长的杠杆。但是，他要用至少30万亿年的时间才能将地球举起1厘米。
将地球的质量“称”完以后，它的重力计算的结果大约是：“6×10”的“21次方”吨。如果能直接举起60千克的重物，那么要“举起”地球，就得把自己的手放在假设存在的杠杆上，这个的动力（长）臂应当是阻力（短）臂的“100×10”的“21次方”倍。在阻力臂的那头举高1厘米，动力臂在宇宙空间里走过的弧的长度大约是“1×10”的“18次方”公里。
上面的数据说明，阿基米德如果要把地球举起1厘米，他就必须走到一个不可想象的一个距离！那么他要用多少时间才能做完这件事呢？如果我们阿基米德能在1秒钟里把60千克的重物举高1米，那么，他要把地球举起1厘米，就得用去1×10”的“21次方”秒，也就是：30万亿年！
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课堂探究
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【阅读与思考】
地球的质量这么大，那人们如何来测量地球的质量？有哪些方法？其它天体的质量又怎么去测量呢？
【笔记】常用的万有引力方程：
【讨论与交流】
通过天体运动的规律，以及常用的方程，我们都有哪些测量天体质量的方法？
【笔记】天体质量的计算
（1）建立天体的运动模型
（2）已知行星的公转半径，公转周期，设行星的质量为，中心天体质量为．
（3）已知天体：半径和天体表面的重力加速度，
（4）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度和轨道半径，
（5）已知行星绕中心天体运行的线速度和周期，
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基础演练
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已知万有引力常量，地球半径，月球和地球之间的距离，同步卫星距地面的高度，月球绕地球的运转周期，地球的自转周期，地球表面的重力加速度．某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由得．
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离为L2．你估算出（）
A．地球的质量 B．太阳的质量
C．月球的质量 D．可求月球、地球及太阳的密度
宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则（）
A． B．
C． D．
为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是（ ）
A．运转周期和轨道半径 B．质量和运转周期
C．线速度和运转周期 D．环绕速度和质量
木星的一个卫星运行一周需要时间，其轨道半径为，求木星的质量为多少千克．
地球绕太阳公转，轨道半径为，周期为月球绕地球运行轨道半径为，周期为，则太阳与地球质量之比为多少
土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.7×10-11Nm2/kg2，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）
A.9×1016kg B.6×1017kg
C.9×1025kg D.6×1026kg
设在地球上和在天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为（均不计阻力），且已知地球和天体的半径比也为，则地球质量与此天体的质量比为（ ）
A． B． C． D．
设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R速率为v，则太阳的质量M是多大？（用v、R和引力常量G表示）。太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，那么银河系中恒星数目约为多少？（答案保留1位有效数字）
(
课堂探究
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【设计与思考】
通过回忆初中所学知识，请思考：如何测量物体的密度？
通过密度的定义式，我们可以用天平测出物体的质量，再利用量筒测量物体的体积，从而计算出物体的密度。
【笔记】密度定义式
【讨论与交流】
根据密度的定义式，天体密度如何去计算？
【笔记】
天体密度的测定
（1）天体质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即
（2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，
(
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若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为（）
A． B． C． D．
一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为行星是密度均匀的球体．要确定该行星的密度，只需要测量（ ）
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的倍，质量是地球的倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为小时，引力常量，由此估算该行星的平均密度约为（）
A． B．C． D．
若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍则该星球质量是地球质量的（ ）
A．倍 B．2倍
C．4倍 D．8倍
行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是，试证明；是一个常量，即对任何行星都相同．
已知地球的半径，地面的重力加速度，求地球的平均密度．
为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时，周期分别为和。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出（ ）
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
某研究小组用天文望远镜对一颗行星进行观测，发现该行星有一颗卫星，卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T，已知引力常量为G，根据这些数据可以估算出（ ）
A．行星的质量 B．行星的半径
C．行星的平均密度 D．行星表面的重力加速度
(
课后练习
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已知某行星绕太阳做匀速圆周运动的半径为r，公转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（）
A．可求出行星的质量 B．可求出太阳的质量
C．可求出行星的绕行速度 D．据公式，行星的向心加速度与半径r成正比
1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度．根据你所学过的知识，估算出地球密度的大小最接近（）（地球半径R=6400km，万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2）
A．5.5×103kg/m3 B．5.5×104kg/m3 C．7.5×103kg/m3 D．7.5×104kg/m3
随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其它星球成为可能。假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的（）
A．0.5倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍
利用下列哪组数据，可以计算出地球质量（）
A．已知地球半径和地面重力加速度B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期
C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期
一均匀球体以角速度绕自己的对称轴自转，若维持球体不被解体的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少
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