中小学教育资源及组卷应用平台
知识点1 卫星及天体相遇问题
1.位置描述
两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时则相距最远．
2.角速度关系
设卫星（离地球近些）与卫星某时刻相距最近，
如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的整数倍，则两卫星又相距最近，
即；
如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，
即
如图，三个质点a、b、c质量分别为、、（）．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比，则它们的周期之比=______；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次．
【解析】根据，得，所以，
在b运动一周的过程中，a运动8周，所以a、b、c共线了14次．
【答案】，14
科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星距太阳的距离。
【解析】设小行星绕太阳周期为，＞，地球和小行星每隔时间相遇一次，则有：
设小行星绕太阳轨道半径为，万有引力提供向心力有 ；
同理对于地球绕太阳运动也有：；
由上面两式有 ；
【答案】
A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为，B的轨道半径为，已知恒星质量为，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径，若在某一时刻两行星相距最近，试求：
（1）再经过多少时间两行星距离又最近？
（2）再经过多少时间两行星距离最远？
【解析】A、B两行星如右图所示位置时距离最近，这时A、B与恒星在同一条圆半径上，A、B运动方向相同，A更靠近恒星，A的转动角度大、周期短，如果经过时间t，A、B与恒星连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近。
（1）设A、B的角速度分别为、，经过时间t，A转过的角度为，B转过的角度为。A、B距离最近的条件是：。
恒星对行星的引力提供向心力，则：，即，
得出：，；求得：
（2）如果经过时间，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则A、B相距最远，即：
；得：
把、代入得：
【答案】（1）（2）
知识点2 万有引力定律与抛体运动的结合
万有引力定律与抛体运动的结合，桥梁为重力加速度g。
宇宙飞船在靠近某星球表面环绕飞行时，已测得其环绕周期为T。当飞船停靠在该星球上后，地面指挥部下令该宇航员利用随声携带的秒表、米尺、钢球，粗测该星球质量。宇航员在该星球表面将一个钢球从高h处静止释放，记录下落时间t和高度h（已知万有引力常量为G），请你用所测物理量估算该星球的质量。
【解析】设星球表面重力加速度为g，由自由落体运动：；
设星球的质量为M，半径为R，由星球表面万有引力与重力近似相等：；
设飞船的质量为，其绕星球作圆周运动时有：
整理得：
【答案】
已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的．
（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升高度之比是多少
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少
【解析】（1）在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为，
式中和分别是月球表面和地球附近的重力加速度，根据万有引力定律得：
，
于是得上升高度之比为：
（2）设抛出点的高度为，初速度为，在月球和地球表面附近的平抛物体从抛出到落地所用时间分别为：，
其水平的射程之比为：
【答案】（1）（2）
在月球上以初速度自高h处水平抛出的小球，射程可达x，已知月球半径为R，如果在月球上发射一颗月球的卫星，求它在月球表面附近环绕月球运动的周期是多少
【解析】设月球表面的重力加速度为g′；由平抛规律知：；；
设近月月球卫星周期为T，由;;
所以
【答案】
知识点3 双星及多星问题
双星或多星问题，是指某些天体在宇宙形成的过程中出现了多个星体相互作用共同绕一个空间点而不是绕某中心天体转动的情形。在解决这类问题的时候要注意：
（1）两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；
（2）两星球绕两星球间连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度或周期的大小相等；
（3）两星球绕共同中心转动的半径、的和等于两星球间的距离，即．
月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（ ）
A．1：6400 B．1：80
C．80：1 D．6400：1
【解析】月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有：，所以，线速度和质量成反比，正确答案C。
【答案】C
我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体和构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，到C点的距离为，和的距离为，已知引力常量为G。由此可求出的质量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。两星中心距离为，其运动周期为，求两星的总质量。
【解析】设两星质量分别为和，都绕连线上点做周期为的圆周运动，星球l和星球2到点的距离分别为和，由万有引力定律、牛顿第二定律可得：
对：，所以：
对：，所以：
两式相加得
【答案】
知识点4 其他综合类问题
万有引力定律、天体运动、宇宙航行等知识常与其它知识进行综合进行考查．
要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动．如图所示，在A点，使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A点到B点所需的时间．已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R。
【解析】卫星在轨道时：
物体在地球表面有：，可得：
得：
当卫星在椭圆轨道运行：其半长轴为：；依开普勒第三定律：
得：，卫星从A到B的时间为：
【答案】
宇宙飞船以周期T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为．太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则（ ）
A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．飞船每次“日全食”过程的时间为
D．飞船周期为
【解析】由几何关系知：宇宙飞船的运行半径，
所以线速度，所以A正确；
由牛顿第二定律得：，所以D正确；
一天内飞船经历“日全食”的次数为，B错误；由几何关系知知，飞船每次被地球挡住阳光的轨迹圆弧对应的圆心角为，因此飞船每次“日全食”过程的时间为，所以C错误。
【答案】AD
【各类天体运动的综合应用】
在某星球表面以初速度竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，物体上升的最大高度为h。该星球表面的重力加速度为 ；已知该星球的半径R，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为 。
【答案】；
在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星．已知两颗恒星质量分别为、，两星之间的距离为，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度．
【解析】两恒星构成的系统能保持距离不变，则两恒星转动的角速度（周期）相同，设它们的角速度为，半径分别为，则 ①
它们间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，则
对恒星： ②
对恒星： ③
联立①、②、③式解得
将代入②式得
讨论：（1）当时，；
（2）当时，．这正是我们已熟知的人造地球卫星的运转模型．
【答案】，
“嫦娥一号”卫星发射后经过多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受到月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
【答案】C
我国自主研制的“神州七号”载人飞船于2008年9月25日21时10分04秒，在酒泉卫星发射中心成功发射．火箭将飞船送到近地点200km，远地点350km的椭圆轨道上，某时刻箭船分离．21时33分变轨成功，飞船进入距地球表面约343km的圆形预定轨道，绕行一周约90分钟．下列关于“神州七号”载人飞船在预定轨道上运行时的说法中正确的是（ ）
A．“神州七号”载人飞船在圆形轨道上飞行的线速度比第一宇宙速度大
B．飞船由于完全失重，飞船中的宇航员不再受到重力的作用
C．当飞船要离开圆形轨道返回地球时，要启动助推器让飞船速度减小
D．飞船绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度小
【答案】C
随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想．假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R．万有引力常量为G．则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度为
B．月球的质量为
C．宇航员在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【答案】AB
有一圆球形的天体，其自转周期为T(s)，在它两极处用弹簧秤称得某物体的重力为w(N)，在它的赤道处，称得该物体的重力w′=0.9w(N)，引力常量为G．则该天体的平均密度是多少
【解析】在极地
在赤道
即
而
所以
【答案】
设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直向上抛一物体的最大高度之比为k（均不计阻力），且已知地球于该天体的半径之比也为k，则地球与天体的质量之比为（ ）
A.1 B.k C.k2 D.1/k
【答案】B
两颗靠得较近的天体组成双星，它们以两者连线上某点为圆心。绕其做匀速圆周运动，因而不会由于相互的引力作用而被吸在一起，则下列说法中正确的是（ ）
A、双星做圆周运动的角速度、与双星质量、的关系为
B、双星做匀速圆周运动的向心力、与双星的质量、的关系为
C、双星做匀速圆周运载的轨道半径、与双星的质量、的关系为
D、双星做匀速圆周运动的线速度、与双星的质量、的关系为
【答案】CD
宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕二球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动。根据宇宙大爆炸理论,双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．双星相互间的万有引力减小
B．双星做圆周运动的角速度增大
C．双星做圆周运动的周期减小
D．双星做圆周运动的半径增大
【答案】AD
月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3kg的重物产生最大为10m/s2的竖直向上的加速度，g地=10m/s2，将重物和绳子均带到月球表面，用该绳子能使重物产生沿月球表面竖直向上的最大加速度为（ ）
A．60m/s2 B．20m/s2 C．18.3m/s2 D．10m/s2
【答案】C
经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的大小都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理（即其它星体对双星的作用可忽略不计）．现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．
（1）试计算该双星系统的运动周期T1
（2）若实际中观测到的运动周期为T2，T2与T1并不是相同的，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质，它均匀地充满整个宇宙，因此对双星运动的周期有一定的影响．为了简化模型，我们假定在如图14所示的球体内（直径看作L）均匀分布的这种暗物质才对双星有引力的作用，不考虑其他暗物质对双星的影响，已知这种暗物质的密度为ρ，求T1:T2.
【答案】，
1 / 12中小学教育资源及组卷应用平台
知识点1 卫星及天体相遇问题
1.位置描述
两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时则相距最远．
2.角速度关系
设卫星（离地球近些）与卫星某时刻相距最近，
如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的整数倍，则两卫星又相距最近，
即；
如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，
即
如图，三个质点a、b、c质量分别为、、（）．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比，则它们的周期之比=______；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次．
科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星距太阳的距离。
A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为，B的轨道半径为，已知恒星质量为，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径，若在某一时刻两行星相距最近，试求：
（1）再经过多少时间两行星距离又最近？
（2）再经过多少时间两行星距离最远？
知识点2 万有引力定律与抛体运动的结合
万有引力定律与抛体运动的结合，桥梁为重力加速度g。
宇宙飞船在靠近某星球表面环绕飞行时，已测得其环绕周期为T。当飞船停靠在该星球上后，地面指挥部下令该宇航员利用随声携带的秒表、米尺、钢球，粗测该星球质量。宇航员在该星球表面将一个钢球从高h处静止释放，记录下落时间t和高度h（已知万有引力常量为G），请你用所测物理量估算该星球的质量。
已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的．
（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升高度之比是多少
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少
在月球上以初速度自高h处水平抛出的小球，射程可达x，已知月球半径为R，如果在月球上发射一颗月球的卫星，求它在月球表面附近环绕月球运动的周期是多少
知识点3 双星及多星问题
双星或多星问题，是指某些天体在宇宙形成的过程中出现了多个星体相互作用共同绕一个空间点而不是绕某中心天体转动的情形。在解决这类问题的时候要注意：
（1）两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；
（2）两星球绕两星球间连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度或周期的大小相等；
（3）两星球绕共同中心转动的半径、的和等于两星球间的距离，即．
月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（ ）
A．1：6400 B．1：80
C．80：1 D．6400：1
我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体和构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，到C点的距离为，和的距离为，已知引力常量为G。由此可求出的质量为（ ）
A． B．
C． D．
两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。两星中心距离为，其运动周期为，求两星的总质量。
知识点4 其他综合类问题
万有引力定律、天体运动、宇宙航行等知识常与其它知识进行综合进行考查．
要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动．如图所示，在A点，使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A点到B点所需的时间．已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R。
宇宙飞船以周期T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为．太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则（ ）
A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．飞船每次“日全食”过程的时间为
D．飞船周期为
【各类天体运动的综合应用】
在某星球表面以初速度竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，物体上升的最大高度为h。该星球表面的重力加速度为 ；已知该星球的半径R，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为 。
在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星．已知两颗恒星质量分别为、，两星之间的距离为，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度．
“嫦娥一号”卫星发射后经过多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受到月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
我国自主研制的“神州七号”载人飞船于2008年9月25日21时10分04秒，在酒泉卫星发射中心成功发射．火箭将飞船送到近地点200km，远地点350km的椭圆轨道上，某时刻箭船分离．21时33分变轨成功，飞船进入距地球表面约343km的圆形预定轨道，绕行一周约90分钟．下列关于“神州七号”载人飞船在预定轨道上运行时的说法中正确的是（ ）
A．“神州七号”载人飞船在圆形轨道上飞行的线速度比第一宇宙速度大
B．飞船由于完全失重，飞船中的宇航员不再受到重力的作用
C．当飞船要离开圆形轨道返回地球时，要启动助推器让飞船速度减小
D．飞船绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度小
随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想．假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R．万有引力常量为G．则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度为
B．月球的质量为
C．宇航员在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
有一圆球形的天体，其自转周期为T(s)，在它两极处用弹簧秤称得某物体的重力为w(N)，在它的赤道处，称得该物体的重力w′=0.9w(N)，引力常量为G．则该天体的平均密度是多少
设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直向上抛一物体的最大高度之比为k（均不计阻力），且已知地球于该天体的半径之比也为k，则地球与天体的质量之比为（ ）
A.1 B.k C.k2 D.1/k
两颗靠得较近的天体组成双星，它们以两者连线上某点为圆心。绕其做匀速圆周运动，因而不会由于相互的引力作用而被吸在一起，则下列说法中正确的是（ ）
A、双星做圆周运动的角速度、与双星质量、的关系为
B、双星做匀速圆周运动的向心力、与双星的质量、的关系为
C、双星做匀速圆周运载的轨道半径、与双星的质量、的关系为
D、双星做匀速圆周运动的线速度、与双星的质量、的关系为
宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕二球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动。根据宇宙大爆炸理论,双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．双星相互间的万有引力减小
B．双星做圆周运动的角速度增大
C．双星做圆周运动的周期减小
D．双星做圆周运动的半径增大
月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3kg的重物产生最大为10m/s2的竖直向上的加速度，g地=10m/s2，将重物和绳子均带到月球表面，用该绳子能使重物产生沿月球表面竖直向上的最大加速度为（ ）
A．60m/s2 B．20m/s2 C．18.3m/s2 D．10m/s2
经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的大小都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理（即其它星体对双星的作用可忽略不计）．现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．
（1）试计算该双星系统的运动周期T1
（2）若实际中观测到的运动周期为T2，T2与T1并不是相同的，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质，它均匀地充满整个宇宙，因此对双星运动的周期有一定的影响．为了简化模型，我们假定在如图14所示的球体内（直径看作L）均匀分布的这种暗物质才对双星有引力的作用，不考虑其他暗物质对双星的影响，已知这种暗物质的密度为ρ，求T1:T2.
1 / 10
