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知识点1 天体的运动
1．人类对天体运动的认识过程
公元年，希腊天文学家托勒密提出了地心说．他认为地球是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动，地球是宇宙的中心．到了公元年，波兰科学家哥白尼发表了《天体运行论》，否定了地心说，提出了日心说．
由于地心说比较符合人们的日常经验（太阳从东边升起，在西边落下，好像太阳绕地球运动），同时也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以地心说统治了人们很长时间．但是随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误．
日心说虽然比地心说更进一步，但还需要发展．因为地球、太阳都在不停地运动，不可能静止．太阳与九大行星组成太阳系，只不过是宇宙中的一个小星系，太阳系本身也在宇宙中不停地运动着．
2．开普勒三定律
（1）内容：
①开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
②开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
③开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等．用公式表示：，其中比例常数与行星无关只与太阳有关．
（2）对开普勒三定律的理解
①开普勒三定律是实验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，主要是从运动学的角度描述了行星绕太阳的运动规律．
②开普勒三定律否定了天体运行的圆轨道想法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给出了太阳的位置；它还指出行星绕太阳运行时离太阳较远速率小，离太阳较近速率大；开普勒第三定律提示了周期和轨道半径的关系，该定律具有普遍性，后面将学到的人造卫星也涉及相似的常数，此常数与卫星无关，只与地球质量有关．
（3）天体运动与地面上物体匀速圆周运动的比较：
①天上、地上的物体都遵循牛顿运动定律，当天体轨道近似圆周时，天体运动可看成是匀速圆周运动，与地面上物体的匀速圆周运动遵循的圆周运动规律是相同的．
②向心力来源不同．天体做圆周运动的向心力是天体间的万有引力（即将学到）提供的，地面上圆周运动的向心力可以由任何性质的力充当．
③天体运动时圆周运动的周期都较长，角速度都很小．
④天体运动都较复杂，一般是既有自转，又有公转．
下列说法中正确的是（ ）
A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮和行星都绕地球运动
B．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
C．地心说、日心说，现在看来都是错误的
D．月亮跟随地球绕太阳运动，但月亮不是太阳系的行星，它是地球的一颗卫星
【答案】CD
地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．冬至这天地球离太阳最近，夏至最远．下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是（ ）
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
【答案】B
关于太阳系中各行星的轨道，以下说法正确的是：（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同的行星绕太阳运动的轨道各不相同
【答案】ACD
下列说法中正确的是（ ）
A．大多数人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球处在这些椭圆的一个焦点上
B．人造地球卫星在椭圆轨道上运动时速度是不断变化的；在近地点附近速率大，远地点附近速率小；卫星与地心的连线，在相等时间内扫过的面积相等
C．大多数人造地球卫星的轨道，跟月亮绕地球运动的轨道，都可以近似看做为圆，这些圆的圆心在地心处
D．月亮和人造地球卫星绕地球运动，跟行星绕太阳运动，遵循相同的规律
【答案】ABCD
关于行星的运动说法正确的是（ ）
A．行星半长轴越长，自转周期越大 B．行星半长轴越长，公转周期越大
C．水星半长轴最短，公转周期最大 D．冥王星半长轴最长，公转周期最大
【答案】BD
关于开普勒定律，下列说法正确的是（ ）
A．开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的大量数据，进行计算分析后获得的结论
B．根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度随行星与太阳之间距离的变化而变化，距离小时速度大，距离大时速度小
C．行星绕太阳运动的轨道，可以近似看做为圆，既可以认为行星绕太阳做匀速圆周运动
D．开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用；行星的卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是不遵循开普勒定律的
【答案】ABC
关于公式，下列说法中正确的是（ ）
A．一般计算中，可以把行星的轨道理想化成圆，是这个圆的半径
B．公式只适用于围绕地球运行的卫星
C．公式只适用太阳系中的行星或卫星
D．公式适用宇宙中所有的行星或卫星
【答案】AD
由于多数行星的运动轨迹接近圆，开普勒行星运动规律在中学阶段可以近似处理，其中包括（ ）
A．行星做匀速圆周运动
B．太阳处于圆周的中心
C．中的R 即为圆周的半径
D．所有行星的周期都和地球公转的周期相同
【答案】ABC
把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
【答案】CD
1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
美国天文学家宣布，他们发现了可能成为太阳系第十大行星的以女神“塞德娜”命名的红色天体，如果把该行星的轨道近似为圆轨道，则它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的470倍，是迄今为止发现的离太阳最远的太阳系行星，该天体半径约为1000km，约为地球半径的．由此可以估算出它绕太阳公转的周期最接近（ ）
A．15年 B．60年 C．470年 D．104年
【答案】D
人造地球卫星的轨道半径是月球轨道半径的1/3，则此卫星的周期大约是（ ）
A．1天到4天之间 B．8天到12天之间
C．4天到8天之间 D．12天到16天之间
【答案】C
木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍？
【解析】木星、地球都绕太阳沿不同的轨道运动，太阳在它们的椭圆轨道的一个焦点上．设木星、地球绕太阳运动的周期分别为、，它们椭圆轨道的半长轴分别为、，根据开普勒第三定律得：，则．所以木星绕太阳运动轨道的半长轴约为地球绕太阳运动轨道半长轴的倍．
【答案】倍
设地球质量为m，绕太阳运动轨道为圆周，则它运动的轨道半径的三次方与公转周期平方之比为常数，试证明此常数K只与太阳的质量M有关。
【解析】因地球绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有：，得：；即：
知识点2 万有引力定律
1．万有引力定律的发现历程
在开普勒等科学家的努力下，人们已经清楚行星如何运动，行星运动的轨道怎样，太阳与行星的位置关系，人们又开始探讨一个新的问题：行星为什么这样运动
17世纪前，人们思考这类问题后认为：圆周运动是最完美的，因而神圣和永恒的天体必然应该做匀速圆周运动，无需什么动因．
当时的人知识比较缺乏，又受到迷信思想的影响，多数人都赞同这样的观点，这种想法被后来的一些观点所取代，很多科学家的意见不一致．
（1）伽利略：认为一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动．
（2）开普勒：行星绕太阳运动着，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用．
（3）笛卡儿：认为行星运动是因为在行星的周围有旋转的物质作用在行星上，使得行星绕太阳运动．
（4）胡克、哈雷；行星围绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受的引力大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比．
（5）牛顿：在前人研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明了，如果太阳和行星问的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆，并且阐述了普遍意义下的万有引力定律．
2．万有引力定律
（1）推导过程：
①简化轨道：把实际的椭圆轨道看成是圆形轨道，天体做匀速圆周运动．
②圆周运动条件：，即．
③开普勒定律的运用由于，
则，
其中，，所以．
④牛顿第三定律的结论：太阳对行星的引力与行星质量成正比，与距离平方成反比，而根据牛顿第三定律可知太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，性质相同．因此行星对太阳的引力一定与太阳质量成正比，因此．
（2）定律内容：
把上面的结论写成等式，此式即为万有引力定律的公式表达形式．
定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比．
公式中的G叫做引力常量，．
物理意义：对于任何物体来说，G值都是相同的，它在数值上等于质量为的两个物体，相距 时的相互作用力．
3．对万有引力定律的理解
（1）适用条件：
①当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算．
②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中是指两球心间距离．
③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力．
（2）万有引力的性质：
①普遍性：万有引力存在于任何两个有质量的物体之间．
②相互性：万有引力的作用是相互的，符合牛顿第三定律．
③一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著．因此在涉及天体运动时，才考虑万有引力．
（3）万有引力定律的意义：
①万有引力定律的发现，是世纪自然科学最伟大的成果之一，将天地间的规律统一起来，第一次提示了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑．
②消除了人们的迷信思想，使人们有信心、有能力理解天地间的各种事物，解放了思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用．
在下面括号内列举的科学家中，对发现和完善万有引力定律有贡献的是 。（安培、牛顿、焦耳、第谷、卡文迪许、麦克斯韦、开普勒、法拉第）
【答案】第谷；开普勒；牛顿；卡文迪许
下列关于万有引力公式的说法中正确的是（ ）
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中万有引力常量G的值是牛顿规定的
【答案】C
牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿（ ）
A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即Fm的结论
C．根据Fm和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出Fm1m2
D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
【答案】AB
苹果落向地球，而不是地球向上运动碰到苹果，产生这个现象的原因是（ ）
A．由于地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力造成的
B．由于苹果质量小，对地球的引力小，而地球质量大，对苹果的引力大造成的
C．苹果与地球间的相互引力是相等的，由于地球质量极大，不可能产生明显加速度
D．以上说法都不对
【答案】C
万有引力定律发现102年后，引力恒量G才被卡文迪许用扭秤装置测出，在这个实验中，他用的物理规律有（ ）
A．牛顿运动定律 B．开普勒行星运动定律
C．有固定转轴力矩的平衡条件 D．光的干涉
【答案】C
设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较（ ）
A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将减小
C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短
【答案】BD
如图所示，两球的半径远小于，两球质量均匀分布，质量为、，则两球间的万有引力大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【答案】AD
地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，这飞行器距地心距离与距月心距离之比为（ ）
A．1:1 B．3:1 C．6:1 D．9:1
【答案】D
万有引力定律和库仑定律都遵循平方反比律，因此引力场和电场之间有许多想念的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱，设地球质量为，半径为，地球表面处的重力加速度为，引力常量为，如果一个质量为的物体位于距离地心处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图所示，阴影区域是质量为、半径为的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小球体的球心和大球体球心间的距离是，求该剩余部分对球体外离球心距离为、质量为的质点的引力。
【解析】本题中不规则的阴影区不能当作一个质点来处理的，可用补偿法．将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点的引力，
半径为的小球的质量，
补上的小球对质点的引力，
因而挖去小球后的阴影部分对质点的引力：
【答案】
知识点3 重力、重力加速度与万有引力的关系
1．地球上的重力和万有引力的关系
在地球表面上的物体所受的万有引力可以分解成物体所受的重力和随地球自转而做圆周运动的向心力，如图所示，其中，而，
（1）当物体在赤道上时，、、三力同向，此时达到最大值，重力加速度达到最小值；
（2）当物体在两极的极点时，，，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为；
因为地球自转角速度很小，，所以在一般情况下计算时认为。
2．天体表面的重力和重力加速度
在质量为、半径为的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为的物体的重力加速度可以认为是由万有引力产生的，则，得：（为天体半径，为天体质量）。
由此可得不同星球表面重力加速度的关系为：
3．求某高度处的重力加速度
设离星球表面高度为处的重力加速度为，则，则，
重力加速度随高度的增加而减小。
星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为：
关于地球上物体由于随地球自转而运动具有的向心加速度，正确的说法是（ ）
A．方向都指向地心 B．两极处最小
C．赤道处最小 D．同一地点质量大的物体向心加速度也大
【答案】B
在地球表面，放在赤道上的物体A和放在北纬600的物体B由于地球的自转，它们的（ ）
① 角速度之比ωA:ωB=2:1 ② 线速度之比νA:νB=2:1
③ 向心加速度之比 aA: aB=2:1 ④ 向心加速度之比aA: aB=4:1
A．只有①②正确 B．只有②③正确
C．只有③①正确 D．只有④①正确
【答案】B
发射人造卫星时将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方。如图所示，这样选址的优点是，在赤道附近（ ）
A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大
C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大
【答案】B
若某行星的质量和半径均为地球的一半，那么质量为的宇航员在该星球上的重力是地球上重力的（ ）
A．倍 B．倍 C．2倍 D．4倍
【答案】C
设地球表面的重力加速度为，物体在距地心（是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度，则为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
科学研究发现，在月球表面附近没有空气，没有磁场，重力加速度约为地球表面的l／6。若宇航员登上月球后，在空中从同一高度同时释放氢气球和铅球，忽略地球和其他星球的影响，以下说法正确的是（ ）
A．氢气球和铅球都将下落，且同时落到月球表面
B．氢气球和铅球都将下落，但铅球先落到月球表面
C．氢气球将加速上升，铅球将加速下落
D．氢气球和铅球都将上升
【答案】A
月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为，设月球表面的重力加速度大小为，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
地球半径为，地球附近的重力加速度为，则在离地面高度为处的重力加速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比，行星的半径R行与卫星的半径R卫之比。行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比。则卫星表面的重力加速度与行星表面的重力加速度之比为（ ）。
【答案】
设同步卫星轨道半径是地球半径的倍，则同步卫星的向心加速度是地球赤道上物体重力加速度的（ ）倍。
【答案】
一物体在地球表面上的重力为，它在以的加速度加速上升的火箭中的示重，则此时火箭离地面的高度是地球半径R的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．0.5倍
【答案】B
【天体运动和开普勒三定律】
根据德国天文学家开普勒的行星运动三定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星都绕太阳做匀速圆周运动，太阳处在圆心上
B．所有行星都绕太阳做椭圆轨道运动，太阳处在椭圆的一个焦点上
C．离太阳较远的行星，围绕太阳转一周的时间长
D．地球绕太阳运动的速率是不变的
【答案】BC
B关于开普勒行星运动的公式，以下说法正确的是（ ）
A．k是一个与行星无关的常数 B．不同星球的行星，k值可能不同
C．T表示行星运动的自转周期 D．T表示行星运动的公转周期
【答案】ABD
地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，木星与太阳之间的平均距离约为（ ）
水星 金星 地球 火星 木星
公转周期（年） 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86
A．6.0亿千米 B．7.8亿千米 C．9.3亿千米 D．12.4亿千米
【答案】B
把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）
A．火星和地球的质量之比 B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比 D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
【答案】CD
【万有引力定律】
下列关于万有引力定律说法正确的是（ ）
A．万有引力定律是牛顿发现的
B．万有引力定律适用于质点间的相互作用
C．中的是一个比例常数，没有单位
D．两个质量分布均匀的球体，是两球心间的距离
【答案】ABD
如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A．行星同时受到太阳的万有引力和向心力
B．行星受到太阳的万有引力，行星运动不需要向心力
C．行星受到太阳的万有引力与它运动的向心力不等
D．行星受到太阳的万有引力，万有引力提供行星圆周运动的向心力
【答案】D
一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为 。
【答案】
设想把质量为m的物体，放到地球的中心，地球的质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（ ）
A． B．无穷大
C．零 D．无法确定
【答案】C
假设火星和地球都是球体，火星的质量为M火和地球质量M地之比M火／M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比R火／R地＝q，那么火星表面重力加速度g火和地球表面重力加速度g地之比为（ ）
A． B．
C． D．pq
【答案】A
物体在地面上的重力为mg，它在高出地面R（R为地球的半径）的地方的重力为______，此处的重力加速度为__________。
【答案】 ；
一个半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( )
A.4倍 B.6倍 C.13.5倍 D.18倍
【答案】A
太阳对地球有相当大的万有引力，但它们不会靠在一起，其原因是（ ）
A．地球对太阳也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相平衡了
B．地球和太阳相距太远了，它们之间的万有引力还不够大
C．其他天体对地球也有万有引力，这些力的合力为零
D．太阳对地球的万有引力充当了向心力，不断改变地球的运动方向，使地球绕太阳运转
【答案】D
下列说法正确的是（ ）
A．牛顿进行了月一地检验，说明天上和地下的物体都遵从万有引力定律。
B．根据开普勒行星运动第三定律和匀速圆周运动公式，可以推导出：太阳对行星的引力 （m为行星质量、r为行星运动半径）
C．卡文迪许利用扭秤装置测出了静电力常量
D．伽利略研究自由落体运动时，通过上百次实验得到：只要斜面的倾角一定，小球从不同的高度开始滚动，小球的加速度是相同的
【答案】ABD
已知地球半径约为，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约为.________m。（结果只保留一位有效数字）
【答案】
两个行星质量分别为M1.M2，绕太阳运行轨道的半径之比为R1.R2,那么它们绕太阳公转的周期之比T1：T2为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设地球表面的重力加速度go，物体在距地面3R（R是地球半径）处，由于地球作用而产生的加速度为g，则g/go为（ ）
A．1：16 B．16：1 C．1：9 D．9：1
【答案】A
地球半径为R，在离地面h高处和离地面H高处重力加速度之比为_____________。
【答案】
一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( )
A.6倍 B.4倍 C.25／9倍 D.12倍
【答案】C
假设地球为密度均匀的球体，若保持密度不变，而将半径缩小1／2，那么地面上的物体所受的重力将变为原来的( )
A.2倍 B.1／2 C.4倍 D.1／8
【答案】B
质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求物体所处的高度．（已知地球的平均半径为R）
【解析】在地面附近有G1＝G，在离地h高度处有 G2＝G，
由题意知＝2，解得：
【答案】
某行星其质量为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（ ）
A．0.5 B．0.2 C．3.2 D．4
【答案】B
某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝g/2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径，g取）
【答案】是地球半径的3倍，即。
火星的半径是地球半径的一半，其质量是地球质量1/9，一宇航员的质量是72kg，则他在火星上所受的重力是多大？这个宇航员在地球上最多能举起100kg的物体，那么他在火星上最多能举起质量多大的物体？
【答案】320N，225kg
如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体中心2R处，有一质量为m的质点，M对m的万有引力的大小为F。现从M中挖出一半径为r的球体，如图，。求M中剩下的部分对m的万有引力的大小。
【解析】根据万有引力定律，，挖去的球体原来对质点m的引力为，而所以剩下的部分对质点m的引力为：。
【答案】
1 / 16中小学教育资源及组卷应用平台
知识点1 天体的运动
1．人类对天体运动的认识过程
公元年，希腊天文学家托勒密提出了地心说．他认为地球是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动，地球是宇宙的中心．到了公元年，波兰科学家哥白尼发表了《天体运行论》，否定了地心说，提出了日心说．
由于地心说比较符合人们的日常经验（太阳从东边升起，在西边落下，好像太阳绕地球运动），同时也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以地心说统治了人们很长时间．但是随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误．
日心说虽然比地心说更进一步，但还需要发展．因为地球、太阳都在不停地运动，不可能静止．太阳与九大行星组成太阳系，只不过是宇宙中的一个小星系，太阳系本身也在宇宙中不停地运动着．
2．开普勒三定律
（1）内容：
①开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
②开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
③开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等．用公式表示：，其中比例常数与行星无关只与太阳有关．
（2）对开普勒三定律的理解
①开普勒三定律是实验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，主要是从运动学的角度描述了行星绕太阳的运动规律．
②开普勒三定律否定了天体运行的圆轨道想法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给出了太阳的位置；它还指出行星绕太阳运行时离太阳较远速率小，离太阳较近速率大；开普勒第三定律提示了周期和轨道半径的关系，该定律具有普遍性，后面将学到的人造卫星也涉及相似的常数，此常数与卫星无关，只与地球质量有关．
（3）天体运动与地面上物体匀速圆周运动的比较：
①天上、地上的物体都遵循牛顿运动定律，当天体轨道近似圆周时，天体运动可看成是匀速圆周运动，与地面上物体的匀速圆周运动遵循的圆周运动规律是相同的．
②向心力来源不同．天体做圆周运动的向心力是天体间的万有引力（即将学到）提供的，地面上圆周运动的向心力可以由任何性质的力充当．
③天体运动时圆周运动的周期都较长，角速度都很小．
④天体运动都较复杂，一般是既有自转，又有公转．
下列说法中正确的是（ ）
A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮和行星都绕地球运动
B．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
C．地心说、日心说，现在看来都是错误的
D．月亮跟随地球绕太阳运动，但月亮不是太阳系的行星，它是地球的一颗卫星
地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．冬至这天地球离太阳最近，夏至最远．下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是（ ）
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
关于太阳系中各行星的轨道，以下说法正确的是：（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同的行星绕太阳运动的轨道各不相同
下列说法中正确的是（ ）
A．大多数人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球处在这些椭圆的一个焦点上
B．人造地球卫星在椭圆轨道上运动时速度是不断变化的；在近地点附近速率大，远地点附近速率小；卫星与地心的连线，在相等时间内扫过的面积相等
C．大多数人造地球卫星的轨道，跟月亮绕地球运动的轨道，都可以近似看做为圆，这些圆的圆心在地心处
D．月亮和人造地球卫星绕地球运动，跟行星绕太阳运动，遵循相同的规律
关于行星的运动说法正确的是（ ）
A．行星半长轴越长，自转周期越大 B．行星半长轴越长，公转周期越大
C．水星半长轴最短，公转周期最大 D．冥王星半长轴最长，公转周期最大
关于开普勒定律，下列说法正确的是（ ）
A．开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的大量数据，进行计算分析后获得的结论
B．根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度随行星与太阳之间距离的变化而变化，距离小时速度大，距离大时速度小
C．行星绕太阳运动的轨道，可以近似看做为圆，既可以认为行星绕太阳做匀速圆周运动
D．开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用；行星的卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是不遵循开普勒定律的
关于公式，下列说法中正确的是（ ）
A．一般计算中，可以把行星的轨道理想化成圆，是这个圆的半径
B．公式只适用于围绕地球运行的卫星
C．公式只适用太阳系中的行星或卫星
D．公式适用宇宙中所有的行星或卫星
由于多数行星的运动轨迹接近圆，开普勒行星运动规律在中学阶段可以近似处理，其中包括（ ）
A．行星做匀速圆周运动
B．太阳处于圆周的中心
C．中的R 即为圆周的半径
D．所有行星的周期都和地球公转的周期相同
把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为（ ）
A． B． C． D．
美国天文学家宣布，他们发现了可能成为太阳系第十大行星的以女神“塞德娜”命名的红色天体，如果把该行星的轨道近似为圆轨道，则它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的470倍，是迄今为止发现的离太阳最远的太阳系行星，该天体半径约为1000km，约为地球半径的．由此可以估算出它绕太阳公转的周期最接近（ ）
A．15年 B．60年 C．470年 D．104年
人造地球卫星的轨道半径是月球轨道半径的1/3，则此卫星的周期大约是（ ）
A．1天到4天之间 B．8天到12天之间
C．4天到8天之间 D．12天到16天之间
木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍？
设地球质量为m，绕太阳运动轨道为圆周，则它运动的轨道半径的三次方与公转周期平方之比为常数，试证明此常数K只与太阳的质量M有关。
知识点2 万有引力定律
1．万有引力定律的发现历程
在开普勒等科学家的努力下，人们已经清楚行星如何运动，行星运动的轨道怎样，太阳与行星的位置关系，人们又开始探讨一个新的问题：行星为什么这样运动
17世纪前，人们思考这类问题后认为：圆周运动是最完美的，因而神圣和永恒的天体必然应该做匀速圆周运动，无需什么动因．
当时的人知识比较缺乏，又受到迷信思想的影响，多数人都赞同这样的观点，这种想法被后来的一些观点所取代，很多科学家的意见不一致．
（1）伽利略：认为一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动．
（2）开普勒：行星绕太阳运动着，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用．
（3）笛卡儿：认为行星运动是因为在行星的周围有旋转的物质作用在行星上，使得行星绕太阳运动．
（4）胡克、哈雷；行星围绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受的引力大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比．
（5）牛顿：在前人研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明了，如果太阳和行星问的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆，并且阐述了普遍意义下的万有引力定律．
2．万有引力定律
（1）推导过程：
①简化轨道：把实际的椭圆轨道看成是圆形轨道，天体做匀速圆周运动．
②圆周运动条件：，即．
③开普勒定律的运用由于，
则，
其中，，所以．
④牛顿第三定律的结论：太阳对行星的引力与行星质量成正比，与距离平方成反比，而根据牛顿第三定律可知太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，性质相同．因此行星对太阳的引力一定与太阳质量成正比，因此．
（2）定律内容：
把上面的结论写成等式，此式即为万有引力定律的公式表达形式．
定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比．
公式中的G叫做引力常量，．
物理意义：对于任何物体来说，G值都是相同的，它在数值上等于质量为的两个物体，相距 时的相互作用力．
3．对万有引力定律的理解
（1）适用条件：
①当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算．
②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中是指两球心间距离．
③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力．
（2）万有引力的性质：
①普遍性：万有引力存在于任何两个有质量的物体之间．
②相互性：万有引力的作用是相互的，符合牛顿第三定律．
③一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著．因此在涉及天体运动时，才考虑万有引力．
（3）万有引力定律的意义：
①万有引力定律的发现，是世纪自然科学最伟大的成果之一，将天地间的规律统一起来，第一次提示了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑．
②消除了人们的迷信思想，使人们有信心、有能力理解天地间的各种事物，解放了思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用．
在下面括号内列举的科学家中，对发现和完善万有引力定律有贡献的是 。（安培、牛顿、焦耳、第谷、卡文迪许、麦克斯韦、开普勒、法拉第）
下列关于万有引力公式的说法中正确的是（ ）
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中万有引力常量G的值是牛顿规定的
牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿（ ）
A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即Fm的结论
C．根据Fm和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出Fm1m2
D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
苹果落向地球，而不是地球向上运动碰到苹果，产生这个现象的原因是（ ）
A．由于地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力造成的
B．由于苹果质量小，对地球的引力小，而地球质量大，对苹果的引力大造成的
C．苹果与地球间的相互引力是相等的，由于地球质量极大，不可能产生明显加速度
D．以上说法都不对
万有引力定律发现102年后，引力恒量G才被卡文迪许用扭秤装置测出，在这个实验中，他用的物理规律有（ ）
A．牛顿运动定律 B．开普勒行星运动定律
C．有固定转轴力矩的平衡条件 D．光的干涉
设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较（ ）
A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将减小
C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短
如图所示，两球的半径远小于，两球质量均匀分布，质量为、，则两球间的万有引力大小为（ ）
A． B．
C． D．
在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，这飞行器距地心距离与距月心距离之比为（ ）
A．1:1 B．3:1 C．6:1 D．9:1
万有引力定律和库仑定律都遵循平方反比律，因此引力场和电场之间有许多想念的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱，设地球质量为，半径为，地球表面处的重力加速度为，引力常量为，如果一个质量为的物体位于距离地心处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是（ ）
A． B． C． D．
如图所示，阴影区域是质量为、半径为的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小球体的球心和大球体球心间的距离是，求该剩余部分对球体外离球心距离为、质量为的质点的引力。
知识点3 重力、重力加速度与万有引力的关系
1．地球上的重力和万有引力的关系
在地球表面上的物体所受的万有引力可以分解成物体所受的重力和随地球自转而做圆周运动的向心力，如图所示，其中，而，
（1）当物体在赤道上时，、、三力同向，此时达到最大值，重力加速度达到最小值；
（2）当物体在两极的极点时，，，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为；
因为地球自转角速度很小，，所以在一般情况下计算时认为。
2．天体表面的重力和重力加速度
在质量为、半径为的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为的物体的重力加速度可以认为是由万有引力产生的，则，得：（为天体半径，为天体质量）。
由此可得不同星球表面重力加速度的关系为：
3．求某高度处的重力加速度
设离星球表面高度为处的重力加速度为，则，则，
重力加速度随高度的增加而减小。
星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为：
关于地球上物体由于随地球自转而运动具有的向心加速度，正确的说法是（ ）
A．方向都指向地心 B．两极处最小
C．赤道处最小 D．同一地点质量大的物体向心加速度也大
在地球表面，放在赤道上的物体A和放在北纬600的物体B由于地球的自转，它们的（ ）
① 角速度之比ωA:ωB=2:1 ② 线速度之比νA:νB=2:1
③ 向心加速度之比 aA: aB=2:1 ④ 向心加速度之比aA: aB=4:1
A．只有①②正确 B．只有②③正确
C．只有③①正确 D．只有④①正确
发射人造卫星时将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方。如图所示，这样选址的优点是，在赤道附近（ ）
A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大
C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大
若某行星的质量和半径均为地球的一半，那么质量为的宇航员在该星球上的重力是地球上重力的（ ）
A．倍 B．倍 C．2倍 D．4倍
设地球表面的重力加速度为，物体在距地心（是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度，则为（ ）
A．1 B． C． D．
科学研究发现，在月球表面附近没有空气，没有磁场，重力加速度约为地球表面的l／6。若宇航员登上月球后，在空中从同一高度同时释放氢气球和铅球，忽略地球和其他星球的影响，以下说法正确的是（ ）
A．氢气球和铅球都将下落，且同时落到月球表面
B．氢气球和铅球都将下落，但铅球先落到月球表面
C．氢气球将加速上升，铅球将加速下落
D．氢气球和铅球都将上升
月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为，设月球表面的重力加速度大小为，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为，则（ ）
A． B． C． D．
火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（ ）
A． B． C． D．
地球半径为，地球附近的重力加速度为，则在离地面高度为处的重力加速度是（ ）
A． B． C． D．
一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比，行星的半径R行与卫星的半径R卫之比。行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比。则卫星表面的重力加速度与行星表面的重力加速度之比为多少？
设同步卫星轨道半径是地球半径的倍，则同步卫星的向心加速度是地球赤道上物体重力加速度的多少倍。
一物体在地球表面上的重力为，它在以的加速度加速上升的火箭中的示重，则此时火箭离地面的高度是地球半径R的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．0.5倍
【天体运动和开普勒三定律】
根据德国天文学家开普勒的行星运动三定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星都绕太阳做匀速圆周运动，太阳处在圆心上
B．所有行星都绕太阳做椭圆轨道运动，太阳处在椭圆的一个焦点上
C．离太阳较远的行星，围绕太阳转一周的时间长
D．地球绕太阳运动的速率是不变的
B关于开普勒行星运动的公式，以下说法正确的是（ ）
A．k是一个与行星无关的常数 B．不同星球的行星，k值可能不同
C．T表示行星运动的自转周期 D．T表示行星运动的公转周期
地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，木星与太阳之间的平均距离约为（ ）
水星 金星 地球 火星 木星
公转周期（年） 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86
A．6.0亿千米 B．7.8亿千米 C．9.3亿千米 D．12.4亿千米
把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）
A．火星和地球的质量之比 B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比 D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
【万有引力定律】
下列关于万有引力定律说法正确的是（ ）
A．万有引力定律是牛顿发现的
B．万有引力定律适用于质点间的相互作用
C．中的是一个比例常数，没有单位
D．两个质量分布均匀的球体，是两球心间的距离
如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A．行星同时受到太阳的万有引力和向心力
B．行星受到太阳的万有引力，行星运动不需要向心力
C．行星受到太阳的万有引力与它运动的向心力不等
D．行星受到太阳的万有引力，万有引力提供行星圆周运动的向心力
一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为 。
设想把质量为m的物体，放到地球的中心，地球的质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（ ）
A． B．无穷大 C．零 D．无法确定
假设火星和地球都是球体，火星的质量为M火和地球质量M地之比M火／M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比R火／R地＝q，那么火星表面重力加速度g火和地球表面重力加速度g地之比为（ ）
A． B． C． D．pq
物体在地面上的重力为mg，它在高出地面R（R为地球的半径）的地方的重力为______，此处的重力加速度为__________。
一个半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( )
A.4倍 B.6倍 C.13.5倍 D.18倍
太阳对地球有相当大的万有引力，但它们不会靠在一起，其原因是（ ）
A．地球对太阳也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相平衡了
B．地球和太阳相距太远了，它们之间的万有引力还不够大
C．其他天体对地球也有万有引力，这些力的合力为零
D．太阳对地球的万有引力充当了向心力，不断改变地球的运动方向，使地球绕太阳运转
下列说法正确的是（ ）
A．牛顿进行了月一地检验，说明天上和地下的物体都遵从万有引力定律。
B．根据开普勒行星运动第三定律和匀速圆周运动公式，可以推导出：太阳对行星的引力 （m为行星质量、r为行星运动半径）
C．卡文迪许利用扭秤装置测出了静电力常量
D．伽利略研究自由落体运动时，通过上百次实验得到：只要斜面的倾角一定，小球从不同的高度开始滚动，小球的加速度是相同的
已知地球半径约为，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约为.________m。（结果只保留一位有效数字）
两个行星质量分别为M1.M2，绕太阳运行轨道的半径之比为R1.R2,那么它们绕太阳公转的周期之比T1：T2为（ ）
A． B． C． D．
设地球表面的重力加速度go，物体在距地面3R（R是地球半径）处，由于地球作用而产生的加速度为g，则g/go为（ ）
A．1：16 B．16：1 C．1：9 D．9：1
地球半径为R，在离地面h高处和离地面H高处重力加速度之比为_____________。
一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( )
A.6倍 B.4倍 C.25／9倍 D.12倍
假设地球为密度均匀的球体，若保持密度不变，而将半径缩小1／2，那么地面上的物体所受的重力将变为原来的( )
A.2倍 B.1／2 C.4倍 D.1／8
质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求物体所处的高度．（已知地球的平均半径为R）
某行星其质量为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（ ）
A．0.5 B．0.2 C．3.2 D．4
某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝g/2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径，g取）
火星的半径是地球半径的一半，其质量是地球质量1/9，一宇航员的质量是72kg，则他在火星上所受的重力是多大？这个宇航员在地球上最多能举起100kg的物体，那么他在火星上最多能举起质量多大的物体？
如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体中心2R处，有一质量为m的质点，M对m的万有引力的大小为F。现从M中挖出一半径为r的球体，如图，。求M中剩下的部分对m的万有引力的大小。
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