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功和功率
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知识框架
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知识讲解
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知识点1 功
1．功的概念
（1）定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功．
（2）做功的两个必不可少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移．
（3）功的种类：正功、负功和零功．做负功，也可以说成物体克服这个力做正功．
2．功的公式
（1）力与位移同方向时：
（2）力与位移之间有夹角时：．可以理解为：是位移在力方向上的分量；是力在位移方向上的分量．
（3）注意：
①式中应为恒力，即大小、方向不变．
②做功与物体运动形式（匀速或变速）无关，也就是说当及其夹角确定后，功就有确定值．
③计算功时，一定要明确是哪个力对物体做的功．
④公式中的单位，——牛（）；——米（）； ——焦（）．
⑤实际计算时，不必生搬硬套公式，一般通过分解力，或分解位移的方法求解．
3．总功的计算方法
可以先求合力，再求总功．，如果各个力作用的位移不同，那么把各阶段力的功分别求出，再求功的代数和．（为在力方向上的位移）．
4．正功与负功
若，则不做功，若，则做正功；若，则力做负功（或说物体克服做了功）．
功的正、负表示是动力对物体对功还是阻力对物体做功，前者取正，后者取负．
5．对功的概念理解
（1）正功和负功是为了描述做功效果而引入的．功是标量，只有数值，没有方向．功的正负不是数量上的正与负，它们仅表示两种相反的做功效果，我们既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”．
（2）功与物体的运动状态及运动形式无关
力对物体做功，只与力的大小、位移的大小，以及两者之间的夹角有关，而与物体受力以后通过这段位移做什么运动没有关系．
（3）功的公式中和必须具有同时性
计算力做功时所发生的位移，必须是在同一个力持续作用下发生的，如果力只在物体的一段位移中有作用，力消失后仍继续运动，那么力所做的功，就只跟力作用的那一段位移有关，而跟其余位移无关．
（4）功是过程量．
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随堂练习
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功的概念
关于功的概念，下列说法正确的是（ ）
A．力对物理做功多，说明物体的位移一定大
B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小
C．力对物体做的功等于力的大小、位移的大小以及位移和力的夹角的余弦三者的乘积
D．力对物体不做功，说明物体一定无位移
【答案】C
下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功
B．平抛运动中，重力对物体做的功
C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功
D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
【解析】引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以这个力不做功；杠铃在此时间内位移为零；支持力与位移方向垂直，所以C、D所述情景做功都为零．故A、C、D是正确的．
【答案】ACD
下列说法正确的是（ ）
A．力对物体不做功，说明物体没有位移
B．力对物体做功越多，说明物体所受的力越大
C．把的物体匀速举高1m，举力做功为1J
D．把重1N的物体匀速举高1m，克服重力做功为1J
【答案】D
关于力对物体做功，如下说法正确的是（ ）
A．滑动摩擦力对物体一定做负功
B．静摩擦力对物体可能做正功
C．作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零
D．合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态
【答案】B
下列说法正确的是（ ）
A．作用力做正功时，反作用力一定做负功
B．作用力不做功时，反作用力也一定不做功
C．作用力和反作用力的功一定大小相等，正负相反
D．作用力做正功时，反作用力也可以做正功
【答案】D
如图所示，质量为的物体，受水平力的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法正确的是（ ）
A．如果物体做加速直线运动，一定对物体做正功
B．如果物体做减速直线运动，一定对物体做负功
C．如果物体做匀速直线运动，一定对物体做正功
D．如果物体做减速直线运动，可能对物体做正功
【解析】水平面粗糙，物体除了受力以外，还受摩擦力，总与物体相对运动方向相反，同时题中未明确物体运动情景，所以需要分析物体可能存在的运动情景．当物体加速运动时，只能与运动方向相同，故A正确；当物减速运动时，可能与运动方向相同，也可能相反，即可能做正功，也可能做负功，故B错误，D正确；当物体匀速运动时，只能与运动方向相同，故C正确．
【答案】ACD
下列运动中的物体，没有力对其做功的是（ ）
A．沿斜面下滑的物体
B．在水平路面上匀速行驶的汽车
C．从空中下落的雨滴
D．在光滑的水平面上做匀速直线运动的物体
【答案】D
关于摩擦力做功的下列说法中不正确的是（ ）
A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功
B．静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不做功
C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D．系统内相互作用的两物体间一对摩擦力做功的总和等于零
【答案】ABCD
有一轻绳拴了一个物体，如图所示，在悬点O以加速度a向下做减速运动时，作用在物体上的各力做功的情况是（ ）
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
【答案】A
下列哪些情况中力做的功为零（ ）
A．向上抛出一物体上升过程中，重力对物体做的功
B．卫星做匀速圆周运动时，卫星受到的引力对卫星所做的功
C．汽车匀速上坡时，车厢底部对货物的支撑力对货物所做的功
D．汽车匀速上坡时，车厢底部摩擦力对货物所做的功
【答案】BC
小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上（如图所示），从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ）
A．垂直于接触面，做功为零 B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零 D．不垂直于接触面，做功不为零
【解析】如图所示，小物块在下滑过程中与斜面之间有一对相互作用的力和．如果把斜面固定在水平桌面上，物体的位移方向和弹力方向垂直，这时斜面对物块不做功，但此题告诉的条件是斜面放在光滑的水平面上．可以自由滑动．此时弹力方向仍然重直于斜面，但是物块的位移方向却是从初位置指向末位置．如图所示，弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角，所以弹力对小物块做负功，B选项正确．
【答案】B
功的计算
用同样的水平力沿光滑水平面和粗糙水平面推动一辆相同的小车，都使它们移动相同的距离，两种情况下推力分别为，小车最终获得的能量分别为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
物体在两个相互垂直的力作用下运动，力对物体做功6J，物体克服力做功8J，则、的合力对物体作功为（ ）
A．14J B．10J C．2J D．
【答案】D
恒力F沿水平方向将物体M在水平面上向前推移S，做功为，用等大的力将物体2M沿斜面向上推移S，做功，仍用等大的力将物体3M竖直向上提升S做功，比较三者大小关系有_______．
【答案】
以一定的初速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力大小恒为F．则从抛出到回到原点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
质量为的物块放在光滑的水平面上，绳通过滑轮以与水平方向成角、大小为的力拉物块，如图所示．将物块由点拉至点，前进的距离为，求外力对物块所做的总功为多大
【解析】解法一：当物块在水平方向移动时，则力需将绳拉过长度，力的作用点既有水平移动，又有沿绳的移动，其合位移方向由指向，，如图甲所示．由功的定义得：
解法二：物块受力等效于图乙所示的情况，由合力的功等于各分力功的代数和得，．
【答案】
如图所示，物体从点滑到点，摩擦力做功为，若该物体从沿两斜面滑到，摩擦力做总功为，已知物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则（ ）
A． B．
C． D．不能确定的大小关系
【解析】物体沿水平面运动摩擦力做功，沿斜面运动摩擦力做功
∴
【答案】A
粗糙水平面上，用绳子系一小球作半径为R的圆周运动，小球质量为m，与桌面间的动摩擦因数为，则小球经过圆周的时间内（ ）
A．绳子的拉力对球不做功 B．绳子的拉力对球做功
C．重力和支持力不做功 D．摩擦力对物体做功
【答案】AC
如图所示，用力拉一质量为m的物体，使它沿水平面匀速移动距离s，若物体和地面间的摩擦因数为，则此力对物体做的功为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
质量为的物块始终固定在顶角为的斜面上，如图所示，下列说法中正确的是（ ）．
①若斜面向右匀速移动距离，斜面对物块没有做功
②若斜面向上匀速移动距离，斜面对物块做功
③若斜面向左做加速度为的加速运动，移动距离为，斜面对物块做功
④若斜面向下做加速度为的加速运动，移动距离为，斜面对物体做功
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解析】以物块为研究对象，物块受力情况如图所示，物块始终相对斜面静止，斜面对物块的作用力实际是斜面对它的支持力与摩擦力的合力，根据题设物块的运动状态，据牛顿定律可求力及其所做的功．
若物块与斜面一起向右匀速运动，物块处于平衡状态，斜面对物块的作用力竖直向上，而物块的位移水平向右，所以斜面对物块没有做功．
若斜面向上匀速运动，斜面对物块作用力大小为，方向竖直向上，所以斜面对物块做功．
若斜面向左以加速度运动，斜面对物块作用力的竖直分力与平衡，水平向左分力产生物体的加速度，所以有．
若斜面向下以加速度运动，有，则，方向竖直向上，所以斜面对物体做功
综上所述，正确选项为A．
【答案】A
质量的物体，与水平地面间的动摩擦因数．求下列两种情况下需对它做多少功：
（1）使物体沿水平地面以加速度移动；
（2）使物体竖直向上以加速度升高（）．
【解析】物体沿水平面和竖直向上运动时，物体的受力情况分别如下图中（a）、（b）所示．根据牛顿第二定律，分别求出两种情况中对它的作用力、即可用功的公式算出功．
（1）设使物体沿水平面加速运动的作用力为，由牛顿第二定律有：
水平方向 ，
竖直方向
又
联立三式，得
所以对物体做功为
（2）设使物体竖直向上加速运动的作用力为，同理由牛顿第二定律：
得
所以对物体做功为
【答案】（1）（2）
如图所示，木块放在木块的左上端，用恒力将拉至的右端．第一次将固定在地面上，做的功为；第二次让可以在光滑的地面上自由滑动，做的功为．比较两次做功，应有（ ）
A． B． C． D．无法比较
【解析】根据功的定义，力做的功只与力的大小及力的方向上发生的位移大小的乘积有关．位移的大小与参考系的选择有关，在没有指定参考系时，一般是以地球为参考系．相对于的位移在两种情况下是一样的，但在第一种情况中，相对于地面是静止的，故第二次对地的位移大于第一次对地的位移，即第二次做功多一些．正确选项为A．
【答案】A
质量为的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为的滑块以某一速度沿木块表面从点滑至点在木板上前进了，而木板前进了，如图所示．若滑块与木板间的动摩擦因数为，求摩擦力对滑块、对木块做功各为多少
【解析】滑块受力情况如图（a）所示．摩擦力对滑块做的功为
木板受力如图（b）所示．摩擦力对木板做的功为
【答案】，
质量为、长为的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为的小物块，如图所示．现在长木板右端加一水平恒力，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为，求把长木板抽出来所做的功．
【解析】此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力的功．
由得与的各自对地的加速度分别为
设抽出木板所用的时间为，则与在时间内的位移分别为
并有，即（对此式也可从相对运动的角度加以理解）．
由以上各式解得，故有．所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为
【答案】
静止在光滑水平面上质量为1kg的物体，受到右图所示水平变力的作用，则在这2s内力F共对物体做了多少功
【解析】0～1s内，a=2，，v=at=2m/s．
1s～2s内，．
W=F1s1+F2s2=2×1+(-2)×1=0J
【答案】0
一滑块在水平地面上沿直线滑行，时其速度为．从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力，力和滑块的速度随时间的变化规律分别如图甲和图乙所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力对滑块做的功分别为，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据功的一般计算式，第1秒内、第2秒内、第3秒内力分别为、、，根据图计算出第1秒内、第2秒内、第3秒内位移分别为，，，力的方向与位移方向相同，则，，，选B．
【答案】B
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知识讲解
)
知识点2 功率
1．功率的基本概念
（1）定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率．
（2）公式
定义式：
导出式：
（3）单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是
（4）物理意义：功率是表示物体做功快慢的物理量，它由物体的功与做这些功所需的时间决定，并不单纯由做功的多少决定．只是在做功时间相同的情况下，才能认为做功多则功率大．
2．不同功率的比较
（1）额定功率和实际功率：
①机械长时间正常工作时的最大输出功率叫做机械的额定功率，它是动力机械的性能指标之一，与机械是否做功无关，与机械实际做功的快慢也无关，它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”．
②机械工作时的实际输出功率叫做实际功率，实际功率不应大于额定功率，否则会缩短机械的使用寿命，甚至会损坏机械．
（2）平均功率和瞬时功率
①平均功率是指一段时间内做功的平均快慢程度，对应一段过程，常用定义式来计算．
②瞬时功率则是反映某时刻力或机械做功的快慢程度，对应于某一运动状态，常用导出式来计算．
3．对功率的理解
（1）功率是描述做功快慢的物理量．
①功率是功与完成这些功所用时间的比值，定义式：．此式是普遍适应的，不管是恒力做功还是变力做功，它都适用，它表示时间内的平均功率，应注意功率的大小只与“比值”有直接联系，与做功多少和时间长短无直接联系．比较功率的大小，要比较功与完成这些功所用时间之“比值”．“比值”大，功率就大，做功就快；“比值”小，功率就小，做功就慢．
②导出式：，式中的是与的夹角，此式不仅适用于求平均功率，也适用于求瞬时功率，若为变力，为某时刻的瞬时速度，则为该时刻的瞬时功率；若为恒力，为内的平均速度，则表示时间内的平均功率．在一定时，与成反比；在一定时，与成正比．
（2）物体做功功率是描述物体做功的一个状态，做功的多少是一个过程，所以也不能说功率大，做功就多．物体做功是作用力在做功过程中的一个积累，做功时间越长，做功就越多，，就是一个积累的意思，即在时间上的积累就是物体做功的多少．
（3）功率是标量，没有方向，但也存在正负，正值表示做功的力为动力，力对物体做正功；负值表示做功的力为阻力，力对物体做负功．
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随堂练习
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功率的概念
关于功率的概念正确的说法是（ ）
A．功率越大，越省力 B．功率越大，表示做功越快
C．功率越大，做功越多 D．功率越大，表示做功所用的时间越短
【答案】B
关于功率，下列说法正确的是（ ）
A．功率大说明物体做功多
B．功率小说明物体做功慢
C．单位时间内做功越多，其功率越大
D．由可知，物体运动速度越大，功率一定越大
【答案】BC
关于功率概念，下列说法中正确的是（ ）
A．力对物体做的功越多，力做功的功率越大
B．功率是描述物体做功快慢的物理量
C．从公式可知，汽车的发动机功率可以随速度的不断增大而提高
D．当轮船匀速航行时，合外力为零，所以此时发动机的实际功率为零
【答案】B
关于功率以下说法中正确的是：（ ）
A．据可知，机器做功越多，其功率就越大
B．据可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．据可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．根据可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
【答案】D
物体所受到的合外力为一恒力，由静止开始运动，该力的作用时间越长，则（ ）
A．物体的瞬时速度越大 B．物体的瞬时加速度越大
C．在单位时间内对物体所做的功越多 D．该力的瞬时功率越大
【答案】ACD
测定运动员体能的一种装置如图所示．运动员质量为．绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮（不计滑轮质量及摩擦），下悬一质量为的重物，人用力蹬传送带而人的重心不动，使传送带以速率匀速向右运动．下面是人对传送带做功的四种说法，其中正确的是（ ）
A．人对传送带做功 B．人对传送带不做功
C．人对传送带做功的功率为 D．人对传送带做功的功率为
【解析】人对传送带的摩擦力的作用点相对于地面有位移，因此人对传送带做功，故A正确、B错；绳子对人的拉力大小为而人不动，故传送带对人的摩擦力大小为，则人对传送带的摩擦力大小也为，因传送带匀速运动，故人对传送带做功的功率为．故C正确、D错．
【答案】AC
如图所示是健身用的“跑步机”示意图，质量为m的运动员踩在与水平面成角的静止皮带上，运动员用力后蹬皮带，皮带运动过程中受到的阻力恒定为f，使皮带以速度v匀速运动，则在运动过程中下列说法正确的是（ ）
A．人脚对皮带的摩擦力是皮带运动的动力
B．人对皮带不做功
C．人对皮带做功的功率为
D．人对皮带做功的功率为
【答案】AD
如图所示，分别用力将质量为的物体由 静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，在此过程中，做功的功率大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
功率的计算
从空中以的初速平抛一个重力为10N的物体，物体在空中运动3s落地，不计空气阻力，取，则物体落地时重力的即时功率为（ ）
A．400W B．300W C．500W D．700W
【答案】B
一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t=t1时刻F的功率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
从空中以的初速度沿着水平方向抛出一个重为的物体，不计空气阻力，取，求：
（1）在抛出后内重力的功率．
（2）在抛出后时重力的功率（设时未落地）．
【解析】（1）内的功率是指平均功率，内重力做功
故
（2）时的功率是指瞬时功率，应用求解，结合平抛知识得：
【答案】（1） （2）
一质量为5kg的小球从空中自由落下，求物体：
（1）前3s内重力的平均功率．（2）第3s内重力的平均功率．（3）第3s末重力的瞬时功率．
【解析】（1）h1=gt12=45m W1=mgh1=2250J ；
（2）h2=gt22=20m ；
（3）v=gt=30m/s P=mgv P =1500W．
【答案】750W 1250W 1500W
一个质量为的物体，从高度为、长度为的光滑斜面顶端由静止开始下滑，求物体到达斜面底端时重力做功的功率．
【解析】本题所求重力做功的功率，应为瞬时功率，而速度是沿着斜面向下的．如图所示，设斜面的倾角为，
根据，而，所以
【答案】
“神舟”6宇航员在进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，到达竖直状态的过程中，宇航员所受重力的即时功率变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解析】重力为恒力，故其重力为，宇航员向下摆动时速度的竖直分量先增大后减小，故C项正确．
【答案】C
质量为的物体静止在光滑水平面上，从时刻开始受到水平力的作用．力的大小与时间的关系如图所示，力的方向保持不变，则（ ）
A．时刻的瞬时功率为
B．时刻的瞬时功率为
C．在到这段时间内，水平力的平均功率为
D．在到这段时间内，水平力的平均功率为
【解析】时间内，物体的加速度为，时刻，速度为．时间内，物体的加速度为，时刻，速度为．
时刻的瞬时功率为
到这段时间内，水平力的平均功率为．
【答案】BD
(
知识讲解
)
知识点3 机车启动的两种过程
1．以恒定功率启动
机车以恒定的功率启动后，若运动过程中所受阻力不变，由于牵引力，随增大，减小．根据牛顿第二定律，当速度增大时，加速度减小，其运动情况是做加速度减小的加速运动．直至时，减小至零，此后速度不再增大，速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度是．下面是这个动态过程的简单方框图
2．机车以恒定的加速度，由，当加速度不变时，发动机牵引力恒定，再由知，一定，发动机实际输出功率随的增大而增大，但当增大到额定功率以后不再增大，此后发动机保持额定功率不变，继续增大，牵引力减小，直至时，，车速达到最大值，此后匀速运动．
在增至之前，车匀加速运动，其持续时间为
（这个必定小于，它是车的功率增至之时的瞬时速度）．计算时，先算出，，再求出，最后根据求．
在增至之后，为加速度减小的加速运动，直至达到．下面是这个动态过程的方框图．
这一过程的关系可由图所示．
说明：
①中的仅为机车的牵引力，而非机车所受的合力．
②机车以恒定功率启动的运动，是加速度逐渐减小的变加速运动，解题时不能误作匀加速运动处理，实际上，没有一部机器一开始就以恒定功率启动．初始阶段，功率是逐渐增大的，达到额定后，牵引力才渐渐变小，最终将匀速运行．
③如机车以恒定的加速度启动一定是一个变功率过程，当功率增大到额定值后，必须经过一个加速度逐渐减小的变加速运动过程．
④汽车以小于额定功率的实际功率运行时，仍然可以做匀速直线运动，比如空载时汽车做匀速直线运动的实际功率可以小于额定功率．
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随堂练习
)
纯电动概念车E1是中国馆的镇馆之宝之一．若E1概念车的总质量为920kg，在16s内从静止加速到100km/h（即），受到恒定的阻力为1500N，假设它做匀加速直线运动，其动力系统提供的牵引力为_____________N．当E1概念车以最高时速120km/h（即）做匀速直线运动时，其动力系统输出的功率为_____________kW．
【答案】；50
轮船航行阻力，则当船以额定功率P行驶时，最大速度=________．
【答案】
火车做匀加速直线运动中，若阻力不变，则牵引力F和瞬时功率P的变化情况是（ ）
A．F不变，P变大 B．F变小，P不变 C．F变大，P变大 D．F、P都不变
【答案】A
汽车以额定功率从静止开始行驶时，一定是（ ）
A．速度变大，加速度也变大
B．速度变小，加速度也变小
C．速度变大，而加速度变小
D．速度最大时，牵引力一定也最大
【答案】C
卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间前进距离，速度达到最大值．设此过程中发动机功率恒为，卡车所受阻力为，则这段时间内发动机所做的功为（ ）
A． B． C． D．
【解析】发动机所做的功是指牵引力的功．由于卡车以恒定功率运动，所以发动机所做的功应等于发动机的功率乘以卡车行驶的时间，∴A对．B项给出的是卡车克服阻力做的功，在这段时间内，牵引力的功不等于克服阻力做的功，∴B错．C项给出的是卡车所受合外力的总功．D项中，卡车以恒定功率前进，将做加速度逐渐减小的加速运动，达到最大速度时牵引力等于阻力，阻力乘以最大速度是发动机的功率，再乘以恰是发动机在时间内做的功．故AD是正确的．
【答案】AD
汽车在平直公路上以速度匀速行驶，发动机功率为，牵引力为．时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到时刻，汽车又恢复了匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变）．下面几个关于汽车牵引力、汽车速度在这个过程中随时间变化的图象中正确的是（ ）
【解析】由题意汽车先做匀速运动，再做加速度减小的减速运动，最后做匀速运动，A项正确；牵引力先不变，突然减半，后逐渐变大，再不变，D项正确．
【答案】AD
汽车质量，额定功率为，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的倍，问：
（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，保持以的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
【解析】（1）当汽车达到最大速度时，加速度，此时
①
②
由①、②解得
（2）汽车做匀加速运动，故，解得．
设汽车刚达到额定功率时的速度为，则，得．
设汽车做匀加速运动的时间为，则，得．
【答案】（1）（2）
一汽车额定功率为，质量为，设阻力恒为车重的倍．
（1）若汽车保持恒定功率运动，求运动的最大速度；
（2）若汽车以的匀加速运动，求其匀加速运动的最长时间．
【解析】（1）当，即时速度最大为．以后车即保持不变的匀速动．
（2）匀加速起动时，汽车牵引力恒定，它的实际功率还小于额定功率，随着，直至达到额定功率后，，汽车改做减小的变加速运动，直至达到最大速度后又匀速运动．
匀加速运动时由得汽车牵引力．
达到额定功率时的速度．
此即匀加速运动的末速度，所以匀加速运动的最长时间．
【答案】（1）（2）
质量是、额定功率为的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为．若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为，运动中的阻力不变，求：
（1）汽车所受阻力的大小．
（2）末汽车的瞬时功率．
（3）汽车做匀加速运动的时间．
（4）汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．
【解析】（1）所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出．以最大速度行驶时，根据，可求得，而此时牵引力和阻力大小相等．
（2）由于时的速度，而牵引力由，得，故此时的功率为．
（3）设匀加速运动的时间为，则时刻的速度为，这时汽车的功率为额定功率．
由，将和代入，得．
（4）匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所做的功
．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
一辆摩托车在平直的公路上以恒定的加速度启动，已知摩托车的额定功率为，人和车的总质量为．设行驶中受到的阻力为人和车重的0.1倍并保持不变，摩托车由静止开始匀加速运动的前8秒内的位移为，求：（取）
（1）摩托车做匀加速运动时加速度的大小及发动机牵引力的大小；
（2）摩托车能达到的最大速率；
（3）若摩托车达到最大速度时紧急制动，设车紧急制动时的制动力为车重的0.5倍，且其它阻力不计，求车滑行的距离．
【解析】（1）设匀加速运动时加速度的大小为，摩托车发动机牵引力的大小为，恒定阻力为
，得到，，得到
（2）摩托车的额定功率为，当时，有最大速度，由于，
（3）制动后，摩托车做匀减速运动，滑行距离为
，，
【答案】（1），（2）（3）
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功和功率
)
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知识框架
)
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知识讲解
)
知识点1 功
1．功的概念
（1）定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功．
（2）做功的两个必不可少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移．
（3）功的种类：正功、负功和零功．做负功，也可以说成物体克服这个力做正功．
2．功的公式
（1）力与位移同方向时：
（2）力与位移之间有夹角时：．可以理解为：是位移在力方向上的分量；是力在位移方向上的分量．
（3）注意：
①式中应为恒力，即大小、方向不变．
②做功与物体运动形式（匀速或变速）无关，也就是说当及其夹角确定后，功就有确定值．
③计算功时，一定要明确是哪个力对物体做的功．
④公式中的单位，——牛（）；——米（）； ——焦（）．
⑤实际计算时，不必生搬硬套公式，一般通过分解力，或分解位移的方法求解．
3．总功的计算方法
可以先求合力，再求总功．，如果各个力作用的位移不同，那么把各阶段力的功分别求出，再求功的代数和．（为在力方向上的位移）．
4．正功与负功
若，则不做功，若，则做正功；若，则力做负功（或说物体克服做了功）．
功的正、负表示是动力对物体对功还是阻力对物体做功，前者取正，后者取负．
5．对功的概念理解
（1）正功和负功是为了描述做功效果而引入的．功是标量，只有数值，没有方向．功的正负不是数量上的正与负，它们仅表示两种相反的做功效果，我们既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”．
（2）功与物体的运动状态及运动形式无关
力对物体做功，只与力的大小、位移的大小，以及两者之间的夹角有关，而与物体受力以后通过这段位移做什么运动没有关系．
（3）功的公式中和必须具有同时性
计算力做功时所发生的位移，必须是在同一个力持续作用下发生的，如果力只在物体的一段位移中有作用，力消失后仍继续运动，那么力所做的功，就只跟力作用的那一段位移有关，而跟其余位移无关．
（4）功是过程量．
(
随堂练习
)
功的概念
关于功的概念，下列说法正确的是（ ）
A．力对物理做功多，说明物体的位移一定大
B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小
C．力对物体做的功等于力的大小、位移的大小以及位移和力的夹角的余弦三者的乘积
D．力对物体不做功，说明物体一定无位移
下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功
B．平抛运动中，重力对物体做的功
C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功
D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
下列说法正确的是（ ）
A．力对物体不做功，说明物体没有位移
B．力对物体做功越多，说明物体所受的力越大
C．把的物体匀速举高1m，举力做功为1J
D．把重1N的物体匀速举高1m，克服重力做功为1J
关于力对物体做功，如下说法正确的是（ ）
A．滑动摩擦力对物体一定做负功
B．静摩擦力对物体可能做正功
C．作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零
D．合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态
下列说法正确的是（ ）
A．作用力做正功时，反作用力一定做负功
B．作用力不做功时，反作用力也一定不做功
C．作用力和反作用力的功一定大小相等，正负相反
D．作用力做正功时，反作用力也可以做正功
如图所示，质量为的物体，受水平力的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法正确的是（ ）
A．如果物体做加速直线运动，一定对物体做正功
B．如果物体做减速直线运动，一定对物体做负功
C．如果物体做匀速直线运动，一定对物体做正功
D．如果物体做减速直线运动，可能对物体做正功
下列运动中的物体，没有力对其做功的是（ ）
A．沿斜面下滑的物体
B．在水平路面上匀速行驶的汽车
C．从空中下落的雨滴
D．在光滑的水平面上做匀速直线运动的物体
关于摩擦力做功的下列说法中不正确的是（ ）
A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功
B．静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不做功
C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D．系统内相互作用的两物体间一对摩擦力做功的总和等于零
有一轻绳拴了一个物体，如图所示，在悬点O以加速度a向下做减速运动时，作用在物体上的各力做功的情况是（ ）
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
下列哪些情况中力做的功为零（ ）
A．向上抛出一物体上升过程中，重力对物体做的功
B．卫星做匀速圆周运动时，卫星受到的引力对卫星所做的功
C．汽车匀速上坡时，车厢底部对货物的支撑力对货物所做的功
D．汽车匀速上坡时，车厢底部摩擦力对货物所做的功
小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上（如图所示），从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ）
A．垂直于接触面，做功为零 B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零 D．不垂直于接触面，做功不为零
功的计算
用同样的水平力沿光滑水平面和粗糙水平面推动一辆相同的小车，都使它们移动相同的距离，两种情况下推力分别为，小车最终获得的能量分别为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
物体在两个相互垂直的力作用下运动，力对物体做功6J，物体克服力做功8J，则、的合力对物体作功为（ ）
A．14J B．10J C．2J D．
恒力F沿水平方向将物体M在水平面上向前推移S，做功为，用等大的力将物体2M沿斜面向上推移S，做功，仍用等大的力将物体3M竖直向上提升S做功，比较三者大小关系有_______．
以一定的初速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力大小恒为F．则从抛出到回到原点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A．0 B． C． D．
质量为的物块放在光滑的水平面上，绳通过滑轮以与水平方向成角、大小为的力拉物块，如图所示．将物块由点拉至点，前进的距离为，求外力对物块所做的总功为多大
如图所示，物体从点滑到点，摩擦力做功为，若该物体从沿两斜面滑到，摩擦力做总功为，已知物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则（ ）
A． B．
C． D．不能确定的大小关系
粗糙水平面上，用绳子系一小球作半径为R的圆周运动，小球质量为m，与桌面间的动摩擦因数为，则小球经过圆周的时间内（ ）
A．绳子的拉力对球不做功 B．绳子的拉力对球做功
C．重力和支持力不做功 D．摩擦力对物体做功
如图所示，用力拉一质量为m的物体，使它沿水平面匀速移动距离s，若物体和地面间的摩擦因数为，则此力对物体做的功为（ ）
A． B．
C． D．
质量为的物块始终固定在顶角为的斜面上，如图所示，下列说法中正确的是（ ）．
①若斜面向右匀速移动距离，斜面对物块没有做功
②若斜面向上匀速移动距离，斜面对物块做功
③若斜面向左做加速度为的加速运动，移动距离为，斜面对物块做功
④若斜面向下做加速度为的加速运动，移动距离为，斜面对物体做功
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
质量的物体，与水平地面间的动摩擦因数．求下列两种情况下需对它做多少功：
（1）使物体沿水平地面以加速度移动；
（2）使物体竖直向上以加速度升高（）．
如图所示，木块放在木块的左上端，用恒力将拉至的右端．第一次将固定在地面上，做的功为；第二次让可以在光滑的地面上自由滑动，做的功为．比较两次做功，应有（ ）
A． B． C． D．无法比较
质量为的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为的滑块以某一速度沿木块表面从点滑至点在木板上前进了，而木板前进了，如图所示．若滑块与木板间的动摩擦因数为，求摩擦力对滑块、对木块做功各为多少
质量为、长为的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为的小物块，如图所示．现在长木板右端加一水平恒力，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为，求把长木板抽出来所做的功．
静止在光滑水平面上质量为1kg的物体，受到右图所示水平变力的作用，则在这2s内力F共对物体做了多少功
一滑块在水平地面上沿直线滑行，时其速度为．从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力，力和滑块的速度随时间的变化规律分别如图甲和图乙所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力对滑块做的功分别为，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
(
知识讲解
)
知识点2 功率
1．功率的基本概念
（1）定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率．
（2）公式
定义式：
导出式：
（3）单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是
（4）物理意义：功率是表示物体做功快慢的物理量，它由物体的功与做这些功所需的时间决定，并不单纯由做功的多少决定．只是在做功时间相同的情况下，才能认为做功多则功率大．
2．不同功率的比较
（1）额定功率和实际功率：
①机械长时间正常工作时的最大输出功率叫做机械的额定功率，它是动力机械的性能指标之一，与机械是否做功无关，与机械实际做功的快慢也无关，它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”．
②机械工作时的实际输出功率叫做实际功率，实际功率不应大于额定功率，否则会缩短机械的使用寿命，甚至会损坏机械．
（2）平均功率和瞬时功率
①平均功率是指一段时间内做功的平均快慢程度，对应一段过程，常用定义式来计算．
②瞬时功率则是反映某时刻力或机械做功的快慢程度，对应于某一运动状态，常用导出式来计算．
3．对功率的理解
（1）功率是描述做功快慢的物理量．
①功率是功与完成这些功所用时间的比值，定义式：．此式是普遍适应的，不管是恒力做功还是变力做功，它都适用，它表示时间内的平均功率，应注意功率的大小只与“比值”有直接联系，与做功多少和时间长短无直接联系．比较功率的大小，要比较功与完成这些功所用时间之“比值”．“比值”大，功率就大，做功就快；“比值”小，功率就小，做功就慢．
②导出式：，式中的是与的夹角，此式不仅适用于求平均功率，也适用于求瞬时功率，若为变力，为某时刻的瞬时速度，则为该时刻的瞬时功率；若为恒力，为内的平均速度，则表示时间内的平均功率．在一定时，与成反比；在一定时，与成正比．
（2）物体做功功率是描述物体做功的一个状态，做功的多少是一个过程，所以也不能说功率大，做功就多．物体做功是作用力在做功过程中的一个积累，做功时间越长，做功就越多，，就是一个积累的意思，即在时间上的积累就是物体做功的多少．
（3）功率是标量，没有方向，但也存在正负，正值表示做功的力为动力，力对物体做正功；负值表示做功的力为阻力，力对物体做负功．
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随堂练习
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功率的概念
关于功率的概念正确的说法是（ ）
A．功率越大，越省力 B．功率越大，表示做功越快
C．功率越大，做功越多 D．功率越大，表示做功所用的时间越短
关于功率，下列说法正确的是（ ）
A．功率大说明物体做功多
B．功率小说明物体做功慢
C．单位时间内做功越多，其功率越大
D．由可知，物体运动速度越大，功率一定越大
关于功率概念，下列说法中正确的是（ ）
A．力对物体做的功越多，力做功的功率越大
B．功率是描述物体做功快慢的物理量
C．从公式可知，汽车的发动机功率可以随速度的不断增大而提高
D．当轮船匀速航行时，合外力为零，所以此时发动机的实际功率为零
关于功率以下说法中正确的是：（ ）
A．据可知，机器做功越多，其功率就越大
B．据可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．据可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．根据可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
物体所受到的合外力为一恒力，由静止开始运动，该力的作用时间越长，则（ ）
A．物体的瞬时速度越大 B．物体的瞬时加速度越大
C．在单位时间内对物体所做的功越多 D．该力的瞬时功率越大
测定运动员体能的一种装置如图所示．运动员质量为．绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮（不计滑轮质量及摩擦），下悬一质量为的重物，人用力蹬传送带而人的重心不动，使传送带以速率匀速向右运动．下面是人对传送带做功的四种说法，其中正确的是（ ）
A．人对传送带做功 B．人对传送带不做功
C．人对传送带做功的功率为 D．人对传送带做功的功率为
如图所示是健身用的“跑步机”示意图，质量为m的运动员踩在与水平面成角的静止皮带上，运动员用力后蹬皮带，皮带运动过程中受到的阻力恒定为f，使皮带以速度v匀速运动，则在运动过程中下列说法正确的是（ ）
A．人脚对皮带的摩擦力是皮带运动的动力
B．人对皮带不做功
C．人对皮带做功的功率为
D．人对皮带做功的功率为
如图所示，分别用力将质量为的物体由 静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，在此过程中，做功的功率大小关系是（ ）
A． B． C． D．
功率的计算
从空中以的初速平抛一个重力为10N的物体，物体在空中运动3s落地，不计空气阻力，取，则物体落地时重力的即时功率为（ ）
A．400W B．300W C．500W D．700W
一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t=t1时刻F的功率是( )
A． B． C． D．
从空中以的初速度沿着水平方向抛出一个重为的物体，不计空气阻力，取，求：
（1）在抛出后内重力的功率．
（2）在抛出后时重力的功率（设时未落地）．
一质量为5kg的小球从空中自由落下，求物体：
（1）前3s内重力的平均功率．（2）第3s内重力的平均功率．（3）第3s末重力的瞬时功率．
一个质量为的物体，从高度为、长度为的光滑斜面顶端由静止开始下滑，求物体到达斜面底端时重力做功的功率．
“神舟”6宇航员在进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，到达竖直状态的过程中，宇航员所受重力的即时功率变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
质量为的物体静止在光滑水平面上，从时刻开始受到水平力的作用．力的大小与时间的关系如图所示，力的方向保持不变，则（ ）
A．时刻的瞬时功率为
B．时刻的瞬时功率为
C．在到这段时间内，水平力的平均功率为
D．在到这段时间内，水平力的平均功率为
(
知识讲解
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知识点3 机车启动的两种过程
1．以恒定功率启动
机车以恒定的功率启动后，若运动过程中所受阻力不变，由于牵引力，随增大，减小．根据牛顿第二定律，当速度增大时，加速度减小，其运动情况是做加速度减小的加速运动．直至时，减小至零，此后速度不再增大，速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度是．下面是这个动态过程的简单方框图
2．机车以恒定的加速度，由，当加速度不变时，发动机牵引力恒定，再由知，一定，发动机实际输出功率随的增大而增大，但当增大到额定功率以后不再增大，此后发动机保持额定功率不变，继续增大，牵引力减小，直至时，，车速达到最大值，此后匀速运动．
在增至之前，车匀加速运动，其持续时间为
（这个必定小于，它是车的功率增至之时的瞬时速度）．计算时，先算出，，再求出，最后根据求．
在增至之后，为加速度减小的加速运动，直至达到．下面是这个动态过程的方框图．
这一过程的关系可由图所示．
说明：
①中的仅为机车的牵引力，而非机车所受的合力．
②机车以恒定功率启动的运动，是加速度逐渐减小的变加速运动，解题时不能误作匀加速运动处理，实际上，没有一部机器一开始就以恒定功率启动．初始阶段，功率是逐渐增大的，达到额定后，牵引力才渐渐变小，最终将匀速运行．
③如机车以恒定的加速度启动一定是一个变功率过程，当功率增大到额定值后，必须经过一个加速度逐渐减小的变加速运动过程．
④汽车以小于额定功率的实际功率运行时，仍然可以做匀速直线运动，比如空载时汽车做匀速直线运动的实际功率可以小于额定功率．
(
随堂练习
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纯电动概念车E1是中国馆的镇馆之宝之一．若E1概念车的总质量为920kg，在16s内从静止加速到100km/h（即），受到恒定的阻力为1500N，假设它做匀加速直线运动，其动力系统提供的牵引力为_____________N．当E1概念车以最高时速120km/h（即）做匀速直线运动时，其动力系统输出的功率为_____________kW．
轮船航行阻力，则当船以额定功率P行驶时，最大速度=________．
火车做匀加速直线运动中，若阻力不变，则牵引力F和瞬时功率P的变化情况是（ ）
A．F不变，P变大 B．F变小，P不变 C．F变大，P变大 D．F、P都不变
汽车以额定功率从静止开始行驶时，一定是（ ）
A．速度变大，加速度也变大 B．速度变小，加速度也变小
C．速度变大，而加速度变小 D．速度最大时，牵引力一定也最大
卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间前进距离，速度达到最大值．设此过程中发动机功率恒为，卡车所受阻力为，则这段时间内发动机所做的功为（ ）
A． B． C． D．
汽车在平直公路上以速度匀速行驶，发动机功率为，牵引力为．时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到时刻，汽车又恢复了匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变）．下面几个关于汽车牵引力、汽车速度在这个过程中随时间变化的图象中正确的是（ ）
汽车质量，额定功率为，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的倍，问：
（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，保持以的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
一汽车额定功率为，质量为，设阻力恒为车重的倍．
（1）若汽车保持恒定功率运动，求运动的最大速度；
（2）若汽车以的匀加速运动，求其匀加速运动的最长时间．
质量是、额定功率为的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为．若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为，运动中的阻力不变，求：
（1）汽车所受阻力的大小．
（2）末汽车的瞬时功率．
（3）汽车做匀加速运动的时间．
（4）汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．
一辆摩托车在平直的公路上以恒定的加速度启动，已知摩托车的额定功率为，人和车的总质量为．设行驶中受到的阻力为人和车重的0.1倍并保持不变，摩托车由静止开始匀加速运动的前8秒内的位移为，求：（取）
（1）摩托车做匀加速运动时加速度的大小及发动机牵引力的大小；
（2）摩托车能达到的最大速率；
（3）若摩托车达到最大速度时紧急制动，设车紧急制动时的制动力为车重的0.5倍，且其它阻力不计，求车滑行的距离．
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