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动能定理
)
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想一想
)
【思考】想一想轻小的缝衣针和扑克为什么能够击穿坚硬的玻璃和木板。
(
课堂探究
)
观察物体在运动过程中受力、各力做功，及物体动能的变化情况？
（1）质量为m的小球在空中自由下落高度h。
（2）初速度为v，质量为m的小车沿粗糙平面减速到静止（小车和地面间的摩擦因数是μ）。
就下列几种物理情境，用牛顿运动定律推导：外力做功与物体动能的变化之间的关系。
（1）质量为m的物体，在光滑水平面上，受到与运动方向相同的水平外力F的作用下，发生一段位移L，速度由v1增加到v2
（2）质量为m的物体，在粗糙水平面上，受摩擦力的作用下，发生的位移为l，速度由v1增加到v2
（3）质量为m的物体，在粗糙水平面上，受到与运动方向相同的水平外力F和摩擦力的作用下，发生一段位移L，速度由v1增加到v2
如图，将细绳拉至水平方向，由静止释放，若小球的质量是m，绳长为l，不计空气阻力，求小球在最低点时的速度。
如图所示，物体从高出地面处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑停止。用运动学和动能定理两分钟方法求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍．
【笔记】动能定理
1．内容：作用在物体上的合外力的功等于物体动能的变化．
2．表达式：
3．对动能定理的理解：
（2）动能的变化：初状态动能，末状态动能，那么动能变化为．动能为标量，动能的变化也为标量．
（3）是所有外力对物体做的总功，若，则表示合外力作为动力对物体做功．物体的动能增加，；，则表示合外力作为阻力对物体做功．物体的动能减少，．
（5）动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用．
（6）若物体运动包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段应用，也可以全过程应用．
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基础演练
)
若物体在运动过程中受到的合外力不为零，则（ ）
A．物体的动能不可能总是不变的
B．物体的加速度一定变化
C．物体的速度方向一定变化
D．物体所受合外力做的功可能为零
质量m=500 g的物体，原来的速度v1=2 m/s，受到一个与运动方向相同的力F=4 N的作用，发生的位移是s=2 m，物体的末动能是多大？（不考虑其他外力做功）
一辆质量为m，速度为v0的汽车在关闭发动机后于水平地面滑行了距离l后停下来，试求汽车受到的阻力．
一架喷气式飞机质量为5.0×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑，当位移达到L=5.0×102m时，速度达到起飞速度，v=60m/s在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍。求：飞机受到的牵引力。
人骑自行车上坡，坡长l=200 m，坡高h=10 m，人和车的总质量为100 kg，人蹬车的牵引力为F=100 N．若在坡底时车的速度为10 m/s，到坡顶时速度为4 m/s(g取10 m/s2），求：
（1）上坡过程中人克服阻力做多少功？
（2）人若不蹬车，以10 m/s的初速度冲上坡，能在坡上行驶多远？
一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处．求沙子对铅球的平均阻力．
如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R、A端与圆心O等高，AD为水平面，B点为光滑轨道的最高点且在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰好能通过B点，最后落到水平面C点处．求：
（1）小球通过轨道B点的速度大小；
（2）释放点距A点的竖直高度；
（3）落点C与A点的水平距离.
一滑块（可视为质点）经水平轨道AB进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道BC．已知滑块的质量m=0.50kg，滑块经过A点时的速度υA=5.0m/s，AB长x=4.5m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.10，圆弧形轨道的半径R=0.50m，滑块离开C点后竖直上升的最大高度h=0.10m．取．求
（1）滑块第一次经过B点时速度的大小；
（2）滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上B点压力的大小；
（3）滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功．
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D
C
A
B
h
O
R
)如图所示，在竖直平面内，由倾斜轨道AB、水平轨道BC和半圆形轨道CD连接而成的光滑轨道，AB与BC的连接处是半径很小的圆弧，BC与CD相切，圆形轨道CD的半径为R．质量为m的小物块从倾斜轨道上距水平面高为h=2.5R处由静止开始下滑．求：
（1）小物块通过B点时速度vB的大小；
（2）小物块通过圆形轨道最低点C时圆形轨道对物块的支持力F的大小；
（3）试通过计算说明，小物块能否通过圆形轨道的最高点D．
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知识点
)
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课后练习
)
水平桌面上有一物体在一水平恒力作用下，速度由零到v和由v增加到2v两阶段水平恒力F所做的功分别为W1和W2，则W1：W2为 （ ）
A．1：1； B．1：2； C．1：3； D．1：4
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h
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l
B
)如图所示，一个质量m为2kg的物块，从高度h=5m、长度l=10m的光滑斜面的顶端A由静止开始下滑，那么，物块滑到斜面底端B时速度的大小是(不计空气阻力，g取10m/s2) ( )
A．10m/s B．10m/s C．100m/s D．200m/s
甲物的质量是乙物的质量的两倍，它们以相同的初速度开始在水平面上滑行，如果摩擦系数相同，两物体滑行的最远距离分别为S1和S2，则 （ ）
A．S1=S2 B．S1>S2 C．S1某消防队员从一平台上跳下，下落2米后双脚触地，接着他用双腿弯屈的方法缓冲，使自身重心又下降0.5米。在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为 ( )
A．自身所受重力的2倍 B．自身所受重力的5倍
C．自身所受重力的8倍 D．自身所受重力的10倍
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θ
P
Q
O
)一个质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力 F作用下，从平衡位置P很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为 （ ）
A． B．
C． D．
在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v－t图象如图所示。设汽车的牵引力为F，摩擦力为Ff，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则（ ）
A．F∶Ff=1∶3 B．F∶Ff=4∶1
C．W1∶W2=1∶1 D．W1∶W2=1∶3
跳水运动员从高H的跳台以速度v1水平跳出，落水时速率为v2，运动员质量为m，若起跳时，运动员所做的功为W1，在空气中克服阻力所做的功为W2，则：（ ）
A．W1＝， B．W1＝mgH＋
C． W2＝＋mgH－ D．W2＝－
一小物体从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端，已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦力做功为E/2。若小物块冲上斜面的初动能为2E，则（ ）
A．返回斜面底端时的动能为E B．返回斜面底端的动能为3E/2
C．返回斜面底端时的速度大小为2v D．返回斜面底端时的速度大小为v
质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s，若木块对子弹的阻力F视为恒定，则下列关系式中正确的是 （ ）
A．FL=Mv2 B． Fs=mv2
C．Fs=mv02-（M+m）v2 D．F（L+s）= mv02-mv2
重20N的铁球从离地面40m高处由静止开始下落，若空气阻力是球重的0.2倍，那么该铁球从开始下落到着地的过程中，重力对小球做功为 ，空气阻力对小球做功为 ，小球克服空气阻力做功为 。
一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为10米的斜坡滑下，到达底部时速度为10米/秒。人和雪橇的总质量为50千克，下滑过程中克服阻力做的功等于 __焦 (取g=10米/秒２)。
一个子弹以水平速度500m/s射入一块固定的木板，射出时的速度为400m/s；如果子弹紧接着再射入一块同样的木板，则射出时子弹的速度为多大？
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O
A
B
C
)如图，光滑圆弧的半径为80cm，有一质量为1.0kg的物体自A点从静止开始下滑到B点，然后又沿水平面前进4m，到达C点停止，求：
（1）物体到达B点时的速度；
（2）物体沿水平面运动的过程中摩擦力做的功；
（3）物体与水平面间的动摩擦因数。（g取10m/s2）
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物理名人
)
勒奈·笛卡尔
勒奈·笛卡尔（Rene Descartes），1596年3月31日生于法国都兰城。笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，也是解析几何的创始人。笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
笛卡尔因家境富裕从小多病，学校允许他在床上早读，养成终生沉思的习惯和孤僻的性格。1606年他在欧洲最有名的贵族学校──耶稣会的拉弗莱什学校上学，1616年在普依托大学学习法律与医学，对各种知识特别是数学深感兴趣。在军队服役和周游欧洲中他继续注意“收集各种知识”，“随处对遇见的种种事物注意思考”，1629～1649年在荷兰写成《方法谈》（1637）及其附录《几何学》、《屈光学》、《哲学原理》（1644）。1650年2月11日卒于斯德哥尔摩，死后还出版有《论光》（1664）等。 他的 哲学与数学思想对历史的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”
托马斯·杨
托马斯·杨（Thomas Young，1773～1829 ）英国医生、物理学家，光的波动说的奠基人之一。他不仅在物理学领域领袖群英、名享世界，而且涉猎甚广，光波学、声波学、流体动力学、造船工程、潮汐理论、毛细作用、用摆测量引力、虹的理论……力学、数学、光学、声学、语言学、动物学、埃及学……他对艺术还颇有兴趣，热爱美术，几乎会演奏当时的所有乐器，并且会制造天文器材，还研究了保险经济问题。而且托马斯·杨擅长骑马，并且会耍杂技走钢丝。
1 / 10中小学教育资源及组卷应用平台
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动能定理
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想一想
)
【思考】想一想轻小的缝衣针和扑克为什么能够击穿坚硬的玻璃和木板。
(
课堂探究
)
观察物体在运动过程中受力、各力做功，及物体动能的变化情况？
（1）质量为m的小球在空中自由下落高度h。
（2）初速度为v，质量为m的小车沿粗糙平面减速到静止（小车和地面间的摩擦因数是μ）。
【答案】（1）mg，mgh，mgh
（2）mg、N、f，0、0、，
就下列几种物理情境，用牛顿运动定律推导：外力做功与物体动能的变化之间的关系。
（1）质量为m的物体，在光滑水平面上，受到与运动方向相同的水平外力F的作用下，发生一段位移L，速度由v1增加到v2
（2）质量为m的物体，在粗糙水平面上，受摩擦力的作用下，发生的位移为l，速度由v1增加到v2
（3）质量为m的物体，在粗糙水平面上，受到与运动方向相同的水平外力F和摩擦力的作用下，发生一段位移L，速度由v1增加到v2
【答案】外力做功等于物体动能变化量
如图，将细绳拉至水平方向，由静止释放，若小球的质量是m，绳长为l，不计空气阻力，求小球在最低点时的速度。
【答案】
如图所示，物体从高出地面处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑停止。用运动学和动能定理两分钟方法求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍．
【答案】
【笔记】动能定理
1．内容：作用在物体上的合外力的功等于物体动能的变化．
2．表达式：
3．对动能定理的理解：
（2）动能的变化：初状态动能，末状态动能，那么动能变化为．动能为标量，动能的变化也为标量．
（3）是所有外力对物体做的总功，若，则表示合外力作为动力对物体做功．物体的动能增加，；，则表示合外力作为阻力对物体做功．物体的动能减少，．
（5）动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用．
（6）若物体运动包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段应用，也可以全过程应用．
(
基础演练
)
若物体在运动过程中受到的合外力不为零，则（ ）
A．物体的动能不可能总是不变的
B．物体的加速度一定变化
C．物体的速度方向一定变化
D．物体所受合外力做的功可能为零
【答案】D
质量m=500 g的物体，原来的速度v1=2 m/s，受到一个与运动方向相同的力F=4 N的作用，发生的位移是s=2 m，物体的末动能是多大？（不考虑其他外力做功）
【解析】力F对物体所做的功为W=Fs=8 J．
根据动能定理可得：W=Ek2－Ek1，
而Ek1=mv12=1 J，
所以Ek2=W+Ek1=8 J+1 J=9 J．
【答案】9 J
一辆质量为m，速度为v0的汽车在关闭发动机后于水平地面滑行了距离l后停下来，试求汽车受到的阻力．
【答案】
一架喷气式飞机质量为5.0×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑，当位移达到L=5.0×102m时，速度达到起飞速度，v=60m/s在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍。求：飞机受到的牵引力。
【答案】17000N
人骑自行车上坡，坡长l=200 m，坡高h=10 m，人和车的总质量为100 kg，人蹬车的牵引力为F=100 N．若在坡底时车的速度为10 m/s，到坡顶时速度为4 m/s(g取10 m/s2），求：
（1）上坡过程中人克服阻力做多少功？
（2）人若不蹬车，以10 m/s的初速度冲上坡，能在坡上行驶多远？
【答案】（1）14200 J ，（2）l′=41.3 m
一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处．求沙子对铅球的平均阻力．
【答案】沙子对铅球的平均阻力是2020 N．
如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R、A端与圆心O等高，AD为水平面，B点为光滑轨道的最高点且在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰好能通过B点，最后落到水平面C点处．求：
（1）小球通过轨道B点的速度大小；
（2）释放点距A点的竖直高度；
（3）落点C与A点的水平距离.
【解析】（1）小球恰能通过最高点B时 ① 得
（2）设释放点到A高度h，则有 ②，联系①②解得：h=1.5R
（3）小球由C到D做平势运动 ③，水平位移 ④，联立①③④解得：，所以落点C与A点的水平距离为：
一滑块（可视为质点）经水平轨道AB进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道BC．已知滑块的质量m=0.50kg，滑块经过A点时的速度υA=5.0m/s，AB长x=4.5m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.10，圆弧形轨道的半径R=0.50m，滑块离开C点后竖直上升的最大高度h=0.10m．取．求
（1）滑块第一次经过B点时速度的大小；
（2）滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上B点压力的大小；
（3）滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功．
【解析】（1）滑块从A到B做匀减速直线运动，摩擦力 ，由牛顿第二定律可知，滑块的加速度大小 ，由运动学公式，解得滑块经过B点时速度的大小
（2）在B点，滑块开始做圆周运动，由牛顿第二定律可知 ，解得轨道对滑块的支持力 N = 21N ，根据牛顿第三定律可知，滑块对轨道上B点压力的大小也为21N．
（3）从B到滑块经过C上升到最高点的过程中，由动能定理 ，解得滑块克服摩擦力做功
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)如图所示，在竖直平面内，由倾斜轨道AB、水平轨道BC和半圆形轨道CD连接而成的光滑轨道，AB与BC的连接处是半径很小的圆弧，BC与CD相切，圆形轨道CD的半径为R．质量为m的小物块从倾斜轨道上距水平面高为h=2.5R处由静止开始下滑．求：
（1）小物块通过B点时速度vB的大小；
（2）小物块通过圆形轨道最低点C时圆形轨道对物块的支持力F的大小；
（3）试通过计算说明，小物块能否通过圆形轨道的最高点D．
【解析】（1）物块从A点运动到B点的过程中，由机械能守恒得： ， 解得：
（2）物块从B至C做匀速直线运动：∴ ，物块通过圆形轨道最低点C时，做圆周运动，由牛顿第二定律有： ，∴
（3）设物块能从C点运动到D点，由动能定理得： ，解得：
物块做圆周运动，通过圆形轨道的最高点的最小速度设为vD1，由牛顿第二定律得： ， ，可知物块能通过圆形轨道的最高点．
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知识点
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课后练习
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水平桌面上有一物体在一水平恒力作用下，速度由零到v和由v增加到2v两阶段水平恒力F所做的功分别为W1和W2，则W1：W2为 （ ）
A．1：1； B．1：2； C．1：3； D．1：4
【答案】C
(
h
A
l
B
)如图所示，一个质量m为2kg的物块，从高度h=5m、长度l=10m的光滑斜面的顶端A由静止开始下滑，那么，物块滑到斜面底端B时速度的大小是(不计空气阻力，g取10m/s2) ( )
A．10m/s B．10m/s C．100m/s D．200m/s
【答案】A
甲物的质量是乙物的质量的两倍，它们以相同的初速度开始在水平面上滑行，如果摩擦系数相同，两物体滑行的最远距离分别为S1和S2，则 （ ）
A．S1=S2 B．S1>S2 C．S1【答案】A
某消防队员从一平台上跳下，下落2米后双脚触地，接着他用双腿弯屈的方法缓冲，使自身重心又下降0.5米。在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为 ( )
A．自身所受重力的2倍 B．自身所受重力的5倍
C．自身所受重力的8倍 D．自身所受重力的10倍
【答案】B
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θ
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O
)一个质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力 F作用下，从平衡位置P很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v－t图象如图所示。设汽车的牵引力为F，摩擦力为Ff，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则（ ）
A．F∶Ff=1∶3 B．F∶Ff=4∶1
C．W1∶W2=1∶1 D．W1∶W2=1∶3
【答案】BC
跳水运动员从高H的跳台以速度v1水平跳出，落水时速率为v2，运动员质量为m，若起跳时，运动员所做的功为W1，在空气中克服阻力所做的功为W2，则：（ ）
A．W1＝， B．W1＝mgH＋
C． W2＝＋mgH－ D．W2＝－
【答案】AC
一小物体从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端，已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦力做功为E/2。若小物块冲上斜面的初动能为2E，则（ ）
A．返回斜面底端时的动能为E B．返回斜面底端的动能为3E/2
C．返回斜面底端时的速度大小为2v D．返回斜面底端时的速度大小为v
【答案】A
质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s，若木块对子弹的阻力F视为恒定，则下列关系式中正确的是 （ ）
A．FL=Mv2 B． Fs=mv2
C．Fs=mv02-（M+m）v2 D．F（L+s）= mv02-mv2
【答案】ACD
重20N的铁球从离地面40m高处由静止开始下落，若空气阻力是球重的0.2倍，那么该铁球从开始下落到着地的过程中，重力对小球做功为 ，空气阻力对小球做功为 ，小球克服空气阻力做功为 。
【答案】800J, -160J 160J
一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为10米的斜坡滑下，到达底部时速度为10米/秒。人和雪橇的总质量为50千克，下滑过程中克服阻力做的功等于 __焦 (取g=10米/秒２)。
【答案】2500焦
一个子弹以水平速度500m/s射入一块固定的木板，射出时的速度为400m/s；如果子弹紧接着再射入一块同样的木板，则射出时子弹的速度为多大？
【答案】265m/s
(
O
A
B
C
)如图，光滑圆弧的半径为80cm，有一质量为1.0kg的物体自A点从静止开始下滑到B点，然后又沿水平面前进4m，到达C点停止，求：
（1）物体到达B点时的速度；
（2）物体沿水平面运动的过程中摩擦力做的功；
（3）物体与水平面间的动摩擦因数。（g取10m/s2）
【答案】4m/s -8J 0.2
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物理名人
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勒奈·笛卡尔
勒奈·笛卡尔（Rene Descartes），1596年3月31日生于法国都兰城。笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，也是解析几何的创始人。笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
笛卡尔因家境富裕从小多病，学校允许他在床上早读，养成终生沉思的习惯和孤僻的性格。1606年他在欧洲最有名的贵族学校──耶稣会的拉弗莱什学校上学，1616年在普依托大学学习法律与医学，对各种知识特别是数学深感兴趣。在军队服役和周游欧洲中他继续注意“收集各种知识”，“随处对遇见的种种事物注意思考”，1629～1649年在荷兰写成《方法谈》（1637）及其附录《几何学》、《屈光学》、《哲学原理》（1644）。1650年2月11日卒于斯德哥尔摩，死后还出版有《论光》（1664）等。 他的 哲学与数学思想对历史的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”
托马斯·杨
托马斯·杨（Thomas Young，1773～1829 ）英国医生、物理学家，光的波动说的奠基人之一。他不仅在物理学领域领袖群英、名享世界，而且涉猎甚广，光波学、声波学、流体动力学、造船工程、潮汐理论、毛细作用、用摆测量引力、虹的理论……力学、数学、光学、声学、语言学、动物学、埃及学……他对艺术还颇有兴趣，热爱美术，几乎会演奏当时的所有乐器，并且会制造天文器材，还研究了保险经济问题。而且托马斯·杨擅长骑马，并且会耍杂技走钢丝。
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