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动能定理
)
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知识框架
)
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知识讲解
)
知识点1 动能
1．定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能．
2．表达式：，即：物体的动能与质量成正比，与速度的平方成正比．
3．对动能的理解：
（1）动能的单位和功的单位一样，也是焦耳（）．
（2）动能是标量，只有大小，没有方向，动能的大小与速度方向也无关．
（3）像所有的能量一样，动能也是相对的，同一物体，对不同的参考系会有不同的动能．没有特别指明时，都是以地面为参考系相对地面的动能．
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随堂练习
)
关于对动能的理解，下列说法正确的是（ ）
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能总为正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
下列各种物体的运动，动能保持不变的是（ ）
A．物体作匀速直线运动 B．物体作匀加速直线运动
C．物体作匀速圆周运动 D．物体作平抛运动
在下列几种情况中，甲乙两物体的动能相等的是（ ）
A．甲的速度是乙的2倍，甲的质量是乙的
B．甲的质量是乙的2倍，甲的速度是乙的
C．甲的质量是乙的4倍，甲的速度是乙的
D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动
对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是（ ）
A．速度在改变，动能也在改变 B．速度改变，动能不变
C．速度不变，动能改变 D．动能、速度都不变
一个小球从高处自由落下，则球在下落过程中的动能（ ）
A．与它下落的距离成正比 B．与它下落距离的平方成正比
C．与它运动的时间成正比 D．与它运动的时间平方成正比
质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能（ ）
A．与它通过的位移成正比 B．与它通过的位移的平方成正比
C．与它运动的时间成正比 D．与它的运动的时间的平方成正比
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知识讲解
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知识点2 动能定理
1．内容：作用在物体上的合外力的功等于物体动能的变化．
2．表达式：
3．对动能定理的理解：
（1）动能定理涉及一个过程（做功过程）、两个状态（初、末状态），应用动能定理时必须明确是哪些力在哪一个过程中做功，以及这一过程初、末状态的物体的速度．
（2）动能的变化：初状态动能，末状态动能，那么动能变化为．动能为标量，动能的变化也为标量．
（3）是所有外力对物体做的总功，等于所有外力对物体做功的代数和．即
若物体所受外力为恒力．
（4），则表示合外力作为动力对物体做功．物体的动能增加，；，则表示合外力作为阻力对物体做功．物体的动能减少，．
（5）动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用．
（6）若物体运动包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段应用，也可以全过程应用．
（7）涉及单个物体（或可看成单个物体的物体系）的受力与位移问题时优先考虑动能定理．
（8）动能定理的计算式为标量式．一般选地面为参照系．
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随堂练习
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功和能的关系
下列说法正确的是（ ）
A．物体所受合力为0，物体动能可能改变
B．物体所受合力不为0，动能一定改变
C．物体的动能不变，它所受合力一定为0
D．物体的动能改变，它所受合力一定不为0
关于功和物体动能变化的关系，不正确的说法是（ ）
A．有力对物体做功，物体的动能就会变化
B．合力不做功，物体的动能就不变
C．合力做正功，物体的动能就增加
D．所有外力做功代数和为负值，物体的动能就减少
关于运动物体所受的合力、合力的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是（ ）
A．运动物体所受的合力不为零，合力必做功，则物体的动能一定要变化
B．运动物体所受的合力为零，物体的动能一定不变
C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力一定为零
D．运动物体所受合力不为零，则该物体一定做变速运动
物体A和B质量相等，A置于光滑的水平面上，B置于粗糙水平面上，开始时都处于静止状态，在相同的水平力F作用下移动相同的位移，则（ ）
A．力F对A做功较多，A的动能较大 B．力F对B做功较多，B的动能较大
C．力F对A和B做功相同，A和B的动能相同 D．力F对A和B做功相同，但A的动能较大
一物体速度由0增加到v，再从v增加到2v，外力做功分别为和，则和关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
一质量为2kg的滑块，以4m/s的速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为（ ）
A．0 B．8J C．16J D．32J
一人将一质量为的物体举高并获得速度，则（ ）
A．合力对物体做功为 B．人对物体做功为
C．人对物体做功为 D．人对物体做功为
如图所示，电梯质量为M，它的水平地板上放置一质量为m的物体，电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则这段过程中，以下正确的是（ ）
A．电梯地板对物体的支持力所做的功等于
B．电梯地板对物体的支持力所做的功等于
C．钢索的拉力所做的功等于
D．钢索的拉力所做的功大于
某人用手将的铅球水平掷出，落到远处地上，铅球在空中运动（取），则下列说法中正确的是（ ）
A．手对铅球做功 B．铅球落地时动能为
C．铅球落地时动能为 D．重力做功
一个质量为的物体静止放在光滑水平面上，在互成角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为，在力的方向上获得的速度分别为，那么在这段时间内，其中一个力做的功为（ ）
A． B． C． D．
有两个物体和，其质量分别为和，且，它们的初动能相同，若和分别受到不变的阻力和的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为和，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
一个物体由静止沿长为L的光滑斜面下滑当物体的速度达到末速度一半时，物体沿斜面下滑了（ ）
A． B． C． D．
一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用．下列判断正确的是（ ）
A．0～2s内外力的平均功率是W B．第2秒内外力所做的功是J
C．第2秒末外力的瞬时功率最大 D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
甲、乙两物体的质量之比为，它们分别在相同力的作用下沿光滑水平面从静止开始作匀加速直线运动，当两个物体通过的路程相等时，则甲、乙两物体动能之比为______．
汽车在平直的公路上从静止开始做匀加速运动，当汽车速度达到时关闭发动机，汽车继续滑行了一段时间后停止运动，其运动的速度如图所示．若汽车加速行驶时其牵引力做功为，汽车整个运动中克服阻力做功等于，则与的比值为________，牵引力和阻力大小之比为________．
如图所示，是水平面，是斜面，初速度为的物体从点出发沿滑动到顶点时速度刚好为零，如果斜面改为，让该物体从点出发沿滑动到点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，物体过（或）点时无机械能损失）（ ）
A．大于 B．等于
C．小于 D．取决于斜面的倾角
动能定理在曲线运动中的应用
如图所示，质量为m的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成角处，在此过程中人所做的功为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，质量为的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的倍，物块与转轴相距，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到滑动前的这一过程中，转台的摩擦力对物块做的功为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F时，圆周半径为R，当绳的拉力增大到8F时，小球恰可沿半径为的圆周匀速运动，在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________．
如图所示，质量为的物体用细绳经过光滑小孔的牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值时，转动半径为，当拉力逐渐减小到时，物体仍做匀速圆周运动，半径为．则外力对物体所做的功为（ ）
A． B． C． D．零
如图，一长为的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为（ ）
A． B． C． D．
动能定理在多过程问题中能够的应用
一个物体在恒力F作用下由静止开始运动，速率达到v，然后换成一个方向相反大小为3F的恒力作用，经过一段时间后，物体回到出发点，则物体回到原出发点时的速率为___________．
木块受水平力F作用在水平面上由静止开始运动，前进后撤去F，木块又沿原方向前进停止，则摩擦力________，木块最大动能为________．
一物体静止在不光滑的水平面上，已知，，现用水平外力拉其运动5m，后立即撤去水平外力F，求其还能滑多远？（g取）
一物体质量为，放在粗糙水平面的位置处，物体与粗糙水平面间的动摩擦因数为，现在用的水平力作用于物体上，使物体由静止开始运动，经过一段时间后撤去此力，物体继续运动到位置才停下来，测量间距离为，求物体在水平力的作用下运动的距离为多少
质量为8×107kg的列车，从某处开始进站并关闭发动机，只在恒定阻力作用下减速 滑行．已知它开始滑行时的初速度为20m/s，当它滑行了300m时，速度减小到10m/s，接着又滑行了一段距离后刚好到达站台停下，那么：
（1）关闭动力时列车的初动能为多大
（2）列车受到的恒定阻力为多大
如图所示，斜面倾角为，长为，段光滑，段粗糙，且．质量为的木块从斜面顶端无初速下滑，到达端时速度刚好减小到零．求物体和斜面段间的动摩擦因数．
如图所示，质量为的钢珠从高出地面处由静止自由下落，落到地面进入沙坑停止，则
（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？
（2）若让钢珠进入沙坑，则钢珠在处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变．
高台跳水中，跳台距水面高度为，此时跳水运动员恰好到达最高位置．估计此时她的重心离跳台台面高度为，当她下降到手触及水面时要伸直，双肩做一个翻掌压水花的动作．这时她的重心离水面大约也是，若从最高点到手触及水面的过程中其重心看作是自由落体运动，那么
（1）她在空中完成一系列动作可利用的时间为多少
（2）入水之后，她的重心能下沉到离水面约处，试估算水对她的平均阻力约是她自身重力的几倍
某滑板爱好者在离地高的平台上滑行，水平离开点后落在水平地面的点，其水平位移．着地时由于存在能量损失，着地后速度为，并以此为初速沿水平地面滑行后停止，已知人与滑板的总质量．求：
（1）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小；
（2）人与滑板离开平台时的水平初速度．（空气阻力忽略不计）
如图所示，用同种材料制成的两个轨道，段为圆弧，半径为，水平放置的段长度为．一小物块质量为，与轨道间动摩擦因数为，当它从轨道顶端由静止下滑时，恰好运动到点静止，那么物体在段克服摩擦力做的功为（ ）
B． C． D．
(
B
C
A
O
v
A
)一滑块经水平轨道AB，进入竖直平面内的四分之一圆弧轨道BC．已知滑块的质量m=0.60kg，在A点的速度vA=8.0m/s，AB长x=5.0m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15，圆弧轨道的半径R=2.0m，滑块离开C点后竖直上升h=0.20m，取g=10m/s2．求：
（1）滑块经过B点时速度的大小；
（2） 滑块经过B点时圆弧轨道对它的支持力的大小；
（3）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功．
如图所示，是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底的连接处都是一段与相切的圆弧，为水平的，其距离，盆边缘的高度为．在处放一个质量为的小物块并让其从静止出发下滑．已知盆内侧壁是光滑的，而盆底面与小物块间的动摩擦因数为．小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到的距离为多少
从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受到的空气阻力是它重力的k倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮，一条不可伸长的轻绳绕过分别与物块相连，的质量分别为、．开始时系统处于静止状态．现在一水平恒力拉物块，使物块上升．已知当上升距离为时，的速度为．求此过程中物块克服摩擦力所做的功．重力加速度为．
动能定理在机车启动问题中的应用
在一次抗洪抢险活动中，解放军某部队利用直升机抢救一重要落水物体．静止在空中的直升飞机上，电动机通过悬绳将物体从离飞机处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为，吊绳的拉力不能超过，电动机的最大输出功率是．为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是：先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，然后电动机又以最大功率工作，当物体到达机舱时恰好达到最大速度．（取）求：
（1）落水物体刚好到达机舱时的速度；
（2）这一过程所用的时间．
节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车．有一质量m=1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以km/h匀速行驶，发动机的输出功率为kw．当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L=72m后，速度变为km/h．此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求
（1）轿车以km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力的大小；
（2）轿车从km/h减速到km/h过程中，获得的电能；
（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能维持km/h匀速运动的距离．
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动能定理
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知识框架
)
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知识讲解
)
知识点1 动能
1．定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能．
2．表达式：，即：物体的动能与质量成正比，与速度的平方成正比．
3．对动能的理解：
（1）动能的单位和功的单位一样，也是焦耳（）．
（2）动能是标量，只有大小，没有方向，动能的大小与速度方向也无关．
（3）像所有的能量一样，动能也是相对的，同一物体，对不同的参考系会有不同的动能．没有特别指明时，都是以地面为参考系相对地面的动能．
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随堂练习
)
关于对动能的理解，下列说法正确的是（ ）
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能总为正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
【答案】ABC
下列各种物体的运动，动能保持不变的是（ ）
A．物体作匀速直线运动 B．物体作匀加速直线运动
C．物体作匀速圆周运动 D．物体作平抛运动
【答案】AC
在下列几种情况中，甲乙两物体的动能相等的是（ ）
A．甲的速度是乙的2倍，甲的质量是乙的
B．甲的质量是乙的2倍，甲的速度是乙的
C．甲的质量是乙的4倍，甲的速度是乙的
D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动
【答案】CD
对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是（ ）
A．速度在改变，动能也在改变 B．速度改变，动能不变
C．速度不变，动能改变 D．动能、速度都不变
【答案】B
一个小球从高处自由落下，则球在下落过程中的动能（ ）
A．与它下落的距离成正比 B．与它下落距离的平方成正比
C．与它运动的时间成正比 D．与它运动的时间平方成正比
【答案】AD
质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能（ ）
A．与它通过的位移成正比
B．与它通过的位移的平方成正比
C．与它运动的时间成正比
D．与它的运动的时间的平方成正比
【答案】AD
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知识讲解
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知识点2 动能定理
1．内容：作用在物体上的合外力的功等于物体动能的变化．
2．表达式：
3．对动能定理的理解：
（1）动能定理涉及一个过程（做功过程）、两个状态（初、末状态），应用动能定理时必须明确是哪些力在哪一个过程中做功，以及这一过程初、末状态的物体的速度．
（2）动能的变化：初状态动能，末状态动能，那么动能变化为．动能为标量，动能的变化也为标量．
（3）是所有外力对物体做的总功，等于所有外力对物体做功的代数和．即
若物体所受外力为恒力．
（4），则表示合外力作为动力对物体做功．物体的动能增加，；，则表示合外力作为阻力对物体做功．物体的动能减少，．
（5）动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用．
（6）若物体运动包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段应用，也可以全过程应用．
（7）涉及单个物体（或可看成单个物体的物体系）的受力与位移问题时优先考虑动能定理．
（8）动能定理的计算式为标量式．一般选地面为参照系．
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随堂练习
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功和能的关系
下列说法正确的是（ ）
A．物体所受合力为0，物体动能可能改变
B．物体所受合力不为0，动能一定改变
C．物体的动能不变，它所受合力一定为0
D．物体的动能改变，它所受合力一定不为0
【答案】D
关于功和物体动能变化的关系，不正确的说法是（ ）
A．有力对物体做功，物体的动能就会变化
B．合力不做功，物体的动能就不变
C．合力做正功，物体的动能就增加
D．所有外力做功代数和为负值，物体的动能就减少
【答案】A
关于运动物体所受的合力、合力的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是（ ）
A．运动物体所受的合力不为零，合力必做功，则物体的动能一定要变化
B．运动物体所受的合力为零，物体的动能一定不变
C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力一定为零
D．运动物体所受合力不为零，则该物体一定做变速运动
【答案】BD
物体A和B质量相等，A置于光滑的水平面上，B置于粗糙水平面上，开始时都处于静止状态，在相同的水平力F作用下移动相同的位移，则（ ）
A．力F对A做功较多，A的动能较大
B．力F对B做功较多，B的动能较大
C．力F对A和B做功相同，A和B的动能相同
D．力F对A和B做功相同，但A的动能较大
【答案】D
一物体速度由0增加到v，再从v增加到2v，外力做功分别为和，则和关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
一质量为2kg的滑块，以4m/s的速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为（ ）
A．0 B．8J C．16J D．32J
【答案】A
一人将一质量为的物体举高并获得速度，则（ ）
A．合力对物体做功为 B．人对物体做功为
C．人对物体做功为 D．人对物体做功为
【答案】B
如图所示，电梯质量为M，它的水平地板上放置一质量为m的物体，电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则这段过程中，以下正确的是（ ）
A．电梯地板对物体的支持力所做的功等于
B．电梯地板对物体的支持力所做的功等于
C．钢索的拉力所做的功等于
D．钢索的拉力所做的功大于
【答案】BD
某人用手将的铅球水平掷出，落到远处地上，铅球在空中运动（取），则下列说法中正确的是（ ）
A．手对铅球做功 B．铅球落地时动能为
C．铅球落地时动能为 D．重力做功
【解析】由平抛运动可知，铅球水平初速度，初动能
，A对；
又．，D对；落地动能，B对．
【答案】ABD
一个质量为的物体静止放在光滑水平面上，在互成角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为，在力的方向上获得的速度分别为，那么在这段时间内，其中一个力做的功为（ ）
A． B． C． D．
【解析】易发生的错解：在分力的方向上，由动能定理得，故A正确．正确解法：在合力的方向上，由动能定理得，，某个分力的功为，故B正确．
【答案】B
有两个物体和，其质量分别为和，且，它们的初动能相同，若和分别受到不变的阻力和的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为和，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
一个物体由静止沿长为L的光滑斜面下滑当物体的速度达到末速度一半时，物体沿斜面下滑了（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用．下列判断正确的是（ ）
A．0～2s内外力的平均功率是W
B．第2秒内外力所做的功是J
C．第2秒末外力的瞬时功率最大
D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
【解析】0～2s内外力的平均功率，，， ，代入得．由动量定理求出1s末、2s末速度分别为：v1=2m/s、v2=3m/s故合力做功为w=，功率为，1s末、2s末功率分别为：4W、3W，第1秒内与第2秒动能增加量分别为：、，比值：45．
【答案】AD
甲、乙两物体的质量之比为，它们分别在相同力的作用下沿光滑水平面从静止开始作匀加速直线运动，当两个物体通过的路程相等时，则甲、乙两物体动能之比为______．
【答案】
汽车在平直的公路上从静止开始做匀加速运动，当汽车速度达到时关闭发动机，汽车继续滑行了一段时间后停止运动，其运动的速度如图所示．若汽车加速行驶时其牵引力做功为，汽车整个运动中克服阻力做功等于，则与的比值为________，牵引力和阻力大小之比为________．
【答案】1∶1，4∶1
如图所示，是水平面，是斜面，初速度为的物体从点出发沿滑动到顶点时速度刚好为零，如果斜面改为，让该物体从点出发沿滑动到点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，物体过（或）点时无机械能损失）（ ）
A．大于 B．等于
C．小于 D．取决于斜面的倾角
【解析】直接根据功的定义式进行计算，设，，，则，
，物体在斜面上受到的摩擦力，
从点到点，运用动能定理有：．与无关，所以答案选B．
【答案】B
动能定理在曲线运动中的应用
如图所示，质量为m的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成角处，在此过程中人所做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图所示，质量为的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的倍，物块与转轴相距，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到滑动前的这一过程中，转台的摩擦力对物块做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F时，圆周半径为R，当绳的拉力增大到8F时，小球恰可沿半径为的圆周匀速运动，在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________．
【答案】
如图所示，质量为的物体用细绳经过光滑小孔的牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值时，转动半径为，当拉力逐渐减小到时，物体仍做匀速圆周运动，半径为．则外力对物体所做的功为（ ）
A． B． C． D．零
【解析】拉力逐渐减小（不是恒力），所以不能利用功的定义求解，
只能运用动能定理求
半径为时，，
半径为时，，
根据动能定理，外力做的功为，负号说明外力对物体做负功．
【答案】B
如图，一长为的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
动能定理在多过程问题中能够的应用
一个物体在恒力F作用下由静止开始运动，速率达到v，然后换成一个方向相反大小为3F的恒力作用，经过一段时间后，物体回到出发点，则物体回到原出发点时的速率为___________．
【答案】2v
木块受水平力F作用在水平面上由静止开始运动，前进后撤去F，木块又沿原方向前进停止，则摩擦力________，木块最大动能为________．
【答案】，
一物体静止在不光滑的水平面上，已知，，现用水平外力拉其运动5m，后立即撤去水平外力F，求其还能滑多远？（g取）
【答案】
一物体质量为，放在粗糙水平面的位置处，物体与粗糙水平面间的动摩擦因数为，现在用的水平力作用于物体上，使物体由静止开始运动，经过一段时间后撤去此力，物体继续运动到位置才停下来，测量间距离为，求物体在水平力的作用下运动的距离为多少
【解析】解法一：撤去水平之前，物体沿水平面做匀加速直线运动，该过程中初速度及物体的受力情况已知，由动能定理知，只要知道末速度就可以求出该过程中位移，而撤去水平力后物体做匀减速直线运动，其末速度为零，受力情况也已知，且该段过程的初速度刚好等于刚撤去水平力时的速度．设物体在水平力作用下的位移为，撤去水平力时物体的速度为．撤去力前，物体受力如图甲所示，由动能定理得：
①
撤去水平力后直到物体停下来前物体受力如图乙所示，由动能定理得： ②
解①②方程组可得：，．
解法二：物体开始运动到最终停止全过程中，初末速度已知，且撤去水平力前后，物体的受力情况已知，故可对从开始运动到停止全过程列出方程求解，设物体在水平力作用下的运动位移为，对全过程由动能定理得：，其中
解得：．
【答案】
质量为8×107kg的列车，从某处开始进站并关闭发动机，只在恒定阻力作用下减速 滑行．已知它开始滑行时的初速度为20m/s，当它滑行了300m时，速度减小到10m/s，接着又滑行了一段距离后刚好到达站台停下，那么：
（1）关闭动力时列车的初动能为多大
（2）列车受到的恒定阻力为多大
【解析】（1）列车的初动能J=1.6×1010 J
（2）由动能定理有：
解得列车受到的阻力N=4×107N．
【答案】1.6×1010 J 4×107N
如图所示，斜面倾角为，长为，段光滑，段粗糙，且．质量为的木块从斜面顶端无初速下滑，到达端时速度刚好减小到零．求物体和斜面段间的动摩擦因数．
【解析】以木块为研究对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为，摩擦力做的功为，支持力不做功．初、末动能均为零．
，
【答案】
如图所示，质量为的钢珠从高出地面处由静止自由下落，落到地面进入沙坑停止，则
（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？
（2）若让钢珠进入沙坑，则钢珠在处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变．
【解析】（1）取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理得
．取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考平
面，则重力的功，阻力的功代入得
，故有．即所求倍数为11．
（2）设钢珠在处的动能为，则对钢珠的整个运动过程由动能定理得，进一步展开为，得．
【答案】（1）11（2）
高台跳水中，跳台距水面高度为，此时跳水运动员恰好到达最高位置．估计此时她的重心离跳台台面高度为，当她下降到手触及水面时要伸直，双肩做一个翻掌压水花的动作．这时她的重心离水面大约也是，若从最高点到手触及水面的过程中其重心看作是自由落体运动，那么
（1）她在空中完成一系列动作可利用的时间为多少
（2）入水之后，她的重心能下沉到离水面约处，试估算水对她的平均阻力约是她自身重力的几倍
【解析】将运动员视为一个全部质量集中在其重心位置的一个质点，运动员从最高点到手触及水面的过程中所经历的时间即为她在空中完成一系列动作可利用的时间，设为，则
对运动员从最高点到其重心下沉到离水面约处的过程应用动能定理可得
，，即水对运动员的阻力为她自身重力的倍．
【答案】（1）（2）
某滑板爱好者在离地高的平台上滑行，水平离开点后落在水平地面的点，其水平位移．着地时由于存在能量损失，着地后速度为，并以此为初速沿水平地面滑行后停止，已知人与滑板的总质量．求：
（1）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小；
（2）人与滑板离开平台时的水平初速度．（空气阻力忽略不计）
【解析】（1）设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为，根据动能定理有
①
由①式解得 ②
（2）人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为，飞行时间为，根据平抛运动规律有
③
④
由③、④两式解得
【答案】（1）（2）
如图所示，用同种材料制成的两个轨道，段为圆弧，半径为，水平放置的段长度为．一小物块质量为，与轨道间动摩擦因数为，当它从轨道顶端由静止下滑时，恰好运动到点静止，那么物体在段克服摩擦力做的功为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设在段物体克服摩擦力做的功为，则物体由到利用动能定理可得
①
物体由到运用动能定理可得 ②
①②两式结合，并整理前得，故应选B．
【答案】
(
B
C
A
O
v
A
)一滑块经水平轨道AB，进入竖直平面内的四分之一圆弧轨道BC．已知滑块的质量m=0.60kg，在A点的速度vA=8.0m/s，AB长x=5.0m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15，圆弧轨道的半径R=2.0m，滑块离开C点后竖直上升h=0.20m，取g=10m/s2．求：
（1）滑块经过B点时速度的大小；
（2） 滑块经过B点时圆弧轨道对它的支持力的大小；
（3）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功．
【解析】（1）滑块从A到B，做匀减速直线运动，由动能定理：
①
摩擦力 f=μmg ②
联立上式，解得 m/s ③
（2） ④
⑤
N=20.7N
（3）滑块离开C点后做竖直上抛运动，由运动学公式
⑥
从B到C的过程中，摩擦力做功Wf ，由动能定理
⑦
联立③⑥⑦式，解得 Wf =-1.5J
克服摩擦力做功W’f=1.5J
【答案】7.0m/s 20.7N 1.5J
如图所示，是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底的连接处都是一段与相切的圆弧，为水平的，其距离，盆边缘的高度为．在处放一个质量为的小物块并让其从静止出发下滑．已知盆内侧壁是光滑的，而盆底面与小物块间的动摩擦因数为．小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到的距离为多少
【解析】分析小物块运动过程，可知由于克服摩擦力做功，物块机械能不断减少最终物块将停止运动．设在间物块运动路程为，由动能定理得，
所以．
故小物块正好停在点，所以停的地点到的距离为零．
【答案】停的地点到的距离为零
从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受到的空气阻力是它重力的k倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
【答案】
如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮，一条不可伸长的轻绳绕过分别与物块相连，的质量分别为、．开始时系统处于静止状态．现在一水平恒力拉物块，使物块上升．已知当上升距离为时，的速度为．求此过程中物块克服摩擦力所做的功．重力加速度为．
【解析】在此过程中，的重力势能的增量为，动能的增量为
，恒力所做的功为，用表示克服摩擦力所做的功，根据功能关系有，
即．
【答案】
动能定理在机车启动问题中的应用
在一次抗洪抢险活动中，解放军某部队利用直升机抢救一重要落水物体．静止在空中的直升飞机上，电动机通过悬绳将物体从离飞机处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为，吊绳的拉力不能超过，电动机的最大输出功率是．为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是：先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，然后电动机又以最大功率工作，当物体到达机舱时恰好达到最大速度．（取）求：
（1）落水物体刚好到达机舱时的速度；
（2）这一过程所用的时间．
【解析】（1）第一阶段绳以最大力拉着物体匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，物体变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时，速度达到最大．
由得物体刚到机舱时的速度
（2）匀加速上升的加速度为
匀加速阶段的末速度
匀加速上升时间为
匀加速上升的高度
以最大功率上升过程中由动能定理得
解得
所以吊起落水物体所用的总时间为
【答案】（1） （2）
节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车．有一质量m=1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以km/h匀速行驶，发动机的输出功率为kw．当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L=72m后，速度变为km/h．此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求
（1）轿车以km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力的大小；
（2）轿车从km/h减速到km/h过程中，获得的电能；
（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能维持km/h匀速运动的距离．
【解析】（1）汽车牵引力与输出功率的关系
将，代入得
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
（2）在减速过程中，注意到发动机只有用于汽车的牵引，根据动能定理有
，代入数据得
电源获得的电能为
(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为．此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功，
代入数据得．
【答案】（1）（2）（3）
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