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机械能守恒定律
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知识框架
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知识讲解
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知识点1 机械能守恒
机械能
定义：物体的动能和势能（重力势能和弹性势能）的总称为机械能．
特点：状态量、相对性、系统性
机械能守恒定律
内容：除重力和弹簧弹力外其他力不做功或做功的代数和为零，则系统机械能守恒。
表达式：（要选零势能参考平面）
（不用选零势能参考平面）
（不用选零势能参考平面）
机械能守恒的条件及其含义：
（1）一个物体：只有重力（或弹簧弹力）做功，物体的动能和势能相互转化。
（2）多个物体：除重力和弹力外其他力做功的代数和为零，物体的动能和势能相互转化或机械能在物体间传递。
推论：除重力和弹簧弹力外其他力做的功等于系统机械能的变化量。
（1）机械能守恒定律是特殊条件下的能量守恒定律的具体体现．
（2）机械能守恒定律的推论：
当重力和弹簧弹力以外的力做功不为零时，物体（或系统）的机械能要发生改变．重力和弹簧弹力以外的力做正功，物体（或系统）的机械能增加，重力和弹簧弹力以外的力做负功，物体（或系统）的机械能减少，且重力以外的力做多少功，物体（或系统）的机械能就改变多少，即重力以外的力做功的过程，就是机械能和其他形式的能相互转化的过程．在这一过程中，重力以外的力做的功是机械能改变的量度．即．
（3）内力为滑动摩擦力时，，为相对位移．
功能关系
做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度．在本章中，功和能关系有三种具体形式：
（1）动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系，即合外力做功的过程，是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，合外力所做的功，是物体动能变化的量度，即．
（2）重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，重力做的功量度了重力势能的变化，即．
（3）重力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能量相互转化的过程，重力以外的力做的功量度了机械能的变化，即．
(
随堂练习
)
关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做变速运动的物体机械能可能守恒
C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
【答案】BD
对一个系统，下面说法正确的是（ ）
A．受到合外力为零时，系统机械能守恒
B．系统受到除重力、弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒
C．只有系统内部的重力、弹力做功时，系统机械能守恒
D．除重力、弹力以外的力只要对系统作用，系统的机械能不守恒
【解析】A中当系统受到的合外力为零时，系统处于平衡状态，此时系统的机械能并不守恒，A错；根据系统机械能守恒的条件：①系统只受重力和弹力，不再受其他力；②系统除了重力或弹力以外，还受其他力，但其他力不做功；③系统除了受重力或弹力外，也受其他力，但其他力做功的代数和为零．可知B、C正确；D中，除重力、弹力以外的力对系统作用，若外力做功的代数和为零，机械能同样守恒，D错．
【答案】BC
下列关于机械能守恒的说法中正确的是（ ）
A．物体做匀速直线运动，它的机械能一定守恒
B．物体所受的合力的功为零，它的机械能一定守恒
C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒
D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒
【答案】C
下列哪些过程机械能守恒（ ）
A．做平抛运动的物体
B．力F拉物体沿竖直方向向上做匀速运动
C．铁球在水中下落
D．用细线拴着小球在竖直平面内做圆周运动
【答案】AD
在下列物理过程中，机械能守恒的有（ ）
A．把一个物体竖直向上匀速提升的过程
B．人造卫星沿椭圆轨道绕地球运行的过程
C．汽车关闭油门后沿水平公路向前滑行的过程
D．从高处竖直下落的物体落在竖直的弹簧上，压缩弹簧的过程，对弹簧，物体和地球这一系统
【答案】BD
物体在做下列哪些运动时机械能一定不守恒（ ）
A．自由落体运动
B．竖直向上运动
C．沿斜面向下匀速运动
D．沿光滑的竖直圆环轨道的内壁做圆周运动
【解析】竖直向上运动并不能确定除重力以外是否有其他力参与做功，故B不选，沿斜面向下匀速运动，动能不变，重力势能减小，故选C．
【答案】C
在下面列举的各个实例中，除A外都不计空气阻力，哪些情况机械能是守恒的（ ）
A．跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落
B．抛出的手榴弹或标枪做斜抛运动
C．拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升
D．飞行的子弹击中放在光滑水平桌面上的木块
【答案】B
一辆汽车从拱型桥的桥顶开始匀速率驶下的过程中（ ）
A．它的机械能的变化等于重力势能的变化 B．它的机械能守恒
C．它所受的合力为零 D．它所受外力做功的代数和为零
【答案】D
如图所示，两个质量相同的物体和，在同一高度处，物体自由落下，物体沿光滑斜面下滑，则它们到达地面时（空气阻力不计）（ ）
A．速率相同，动能相同
B．物体的速率大，动能也大
C．两物体在运动过程中机械能都守恒
D．物体重力所做的功比物体重力所做的功多
【答案】AC
高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空气阻力，则下落过程中该运动员机械能的转换关系是（ ）
A．动能减少，重力势能减少 B．动能减少，重力势能增加
C．动能增加，重力势能减少 D．动能增加，重力势能增加
【答案】C
物体做自由落体运动，代表动能，代表势能，代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图像中，能正确反映各物理量之间关系的是（ ）
【解析】物体做自由落体运动，机械能守恒．选取地面为零势能面，则
【答案】B
一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，那么如图所示，表示物体的动能Ek随高度h变化的图象A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图象B、物体的机械能E随高度h变化的图象C、物体的动能Ek随速度v的变化图象D，可能正确的是（ ）
【解析】设物体的初速度为v0，物体的质量为m，由机械能守恒定律得mv02=mgh+mv2，所以，物体的动能与高度h的关系为Ek=mv02－mgh，图象A正确．物体的重力势能与速度v的关系为Ep=mv02－mv2，则Ep－v图象为开口向下的抛物线（第一象限中的部分），图象B可能正确.由于竖直上抛运动过程中机械能守恒，所以，E－h图象为一平行h轴的直线，C图象正确.由Ek=mv2知，Ek－v图象为一开口向上的抛物线（第一象限中部分），所以，D图象不正确.
【答案】ABC
如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是（ ）
A．重力势能和动能之和总保持不变 B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和保持不变 D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
【解析】本题中小球速度、高度发生变化，弹簧的形变程度也发生变化，因而动能、重力势能还有弹性势能三者间相互转化，三者之和保持不变，故选项D正确．
【答案】D
一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
【解析】主要考查功和能的关系．运动员到达最低点过程中，重力做正功，所以重力势能始终减少，A项正确．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加，B项正确．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，只有重力和弹性力做功，所以机械能守恒，C项正确．重力势能的改变与重力势能零点选取无关，D项错误．
【答案】ABC
撑杆跳运动比赛中的几个画面，下列说法中正确的是（ ）
A．运动员过最高点时的速度为零
B．撑杆恢复形变时，其弹性势能全部转化为运动员的动能
C．运动员助跑阶段，身体中的化学能只转化为人的动能
D．运动员在上升过程中对杆先做正功后做负功
【解析】运动员过最高点时，有横向运动的速度，这样才能跨越横杆，A错；撑杆恢复形变时，其弹性势能转化为运动员的动能和重力势能，B错；运动员助跑阶段，身体中的化学能转化为人和杆的动能，C错；运动员上升过程中，杆的弹性势能先增大后减小，答案为D．
【答案】D
如图所示，轻弹簧一端与墙相连，质量为的木块沿光滑的水平面以的速度运动并压缩弹簧，求弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能及木块速度减为时的弹性势能．
【答案】在弹簧和木块相互作用过程中，只有弹簧弹力做功，没有其他力做功，故系统机械能守恒．设最大弹性势能为，由机械能守恒定律得：
当木块速度时，弹簧弹性势能为，则，
所以．
【答案】50J 32J
应用机械能守恒定律研究一个物体的运动规律
某同学在篮球场的篮板前做投篮练习，假设在一次投篮中篮球离开手时的动能为W，出手高度为，篮筐距地面高度为，球的质量为m．不计空气阻力，则篮球进筐时的动能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
在离地高为H处以初速度竖直向下抛一个小球，若与地球碰撞的过程中无机械能损失，那么此球回跳的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
一个人站在距地面高为h的阳台上，以相同的速率v0分别把三个球竖直向下、竖直向上、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率（ ）
A．上抛球最大 B．下抛球最大
C．平抛球最大 D．三球一样大
【答案】D
在高处的同一点将三个质量相同的小球以大小相等的初速度v0分别上抛、平抛、下抛，并落到同一水平地面上，则（ ）
A．三个小球落地时，重力的瞬时功率相同
B．从抛出到落地的过程中，重力对它们做功的平均功率相同
C．从抛出到落地的过程中，重力对它们做的功相同
D．三个小球落地时的速度相同
【答案】C
将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍，则这一位置的高度为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据机械能守恒定律：．，∴mgH=2mgh+mgh，．
【答案】C
以v0初速度竖直上抛物体，在高度为________时，它的重力势能是它的动能的3倍．
【答案】
如图所示，小球m分别从A点和B点无初速地释放，则经过最低点C时，小球的速率之比v1:v2为（空气阻力不计）（ ）
A．1: B．:1 C．2:1 D．1:2
【解析】EpA:EpB=2:1，故Ek1:Ek2=2:1，所以．
【答案】B
如图所示，一端固定的绳，另一端系一球，现将绳拉至水平位置将球由静止释放若不计空气阻力，设最低点重力势能为0，当球摆至动能为重力势能2倍处时，则绳与水平方向夹角α=________．
【解析】以最低点为零势能面，当动能为重力势能2倍时，其下降的高度为，
∴sinα=2/3
【答案】
从某高处平抛一物体，物体着地时，末速度与水平方向成α角，取地面为零势能面，物体抛出时动能与重力势能之比为________．
【解析】抛出时的动能，抛出时的势能．
【答案】cot2α
竖直向上抛出质量为0.1kg的石头，石头上升过程中，空气阻力忽略不计，石头离手时的速度是20m/s．g取10m/s2．求：
（1）石头离手时的动能；
（2）石头能够上升的最大高度；
（3）石头离地面15m高处的速度．
【解析】（1）；
（2）根据机械能守恒定律：，；
（3）根据机械能守恒定律，即：，
【答案】（1）20J （2）20m （3）10m/s
如图所示，质量为m的滑块在离地面高H=0.45m的光滑弧形轨道上由静止开始下滑求：
（1）滑块到达轨道底端B时的速度大小为多大
（2）如果滑块在水平面上滑行的最大距离是2.25m，则滑块与水平面间的动摩擦因数为多大 （g取10m/s2）
【解析】根据机械能守恒定律：，
，
根据动能定理：，
【答案】（1）3m/s （2）0.2
如图所示，光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切．圆轨道半径，一小球停放在光滑水平轨道上，现给小球一个的初速度，求小球从点抛出时的速度．
【解析】选取地面为零势面，那么由机械能守恒定律得：
，
．
【答案】
如图，小球m从斜面上高H处自由下滑，后进入半径为R的圆轨道，不计摩擦，则H为多少才能使球m能运动到轨道顶端．
【解析】根据圆周运动的知识可知：小球能到达最高点的条件是小球在最高点的速度至少为，
根据机械能守恒定律：，所以．
【答案】
如图所示，半径为R的半圆形光滑轨道固定在水平地面上，A与B两点在同一竖直线上，质量为m的小球以某一速度自A点进入轨道，它经过最高点后飞出，最后落在水平地面上的C点现已测出AC=2R，求小球自A点进入轨道时的速度大小．
【解析】小球自A点到B点的运动过程中，只有重力做功，机械能守恒小球自B点到C点做平抛运动，则，，根据机械能守恒定律（以地面为零势能面）有．
【答案】
光滑的3/4圆弧细圆管竖直放置，小球m从管口A处的正上方H高处自由下落，进入管口后恰能运动到C点，若小球从另一高度处h释放，则它运动到C点后又恰好飞落回A点．求两次高度之比．
【解析】根据机械能守恒定律可知
H=R ①，
根据机械能守恒定律： ②，
根据平抛运动的知识有：x=v·t，即，
代入②式可求出．
【答案】4:5
如图所示，一根不可伸长的轻质细线，一端固定于O点，另一端拴有一质量为m的小球，可在竖直平面内绕O点摆动，现拉紧细线使小球位于与O点在同一竖直面内的A位置，细线与水平方向成30°角，从静止释放该小球，当小球运动至悬点正下方C位置时，承受的拉力是多大
【解析】在细线突然张紧对小球施以拉力，使小球的速率变为切线方向，v'=vcos30°，小球动能减小；绳张紧后小球机械能守恒．
【答案】3.5mg
如图所示，有一质量可忽略的细杆，可绕垂直于纸面的O轴转动，杆长l=0.5m，在杆的一端固定一个质量m=2kg的小球，使小球在杆的带动下在竖直面内做圆周运动，小球运动到圆周最高点C时的速度为v，若g取10m/s2，试求：
（1）当v=4m/s时，小球在最高时球对杆的作用力T的大小和方向；
（2）当v=1m/s时，小球在最高时球对杆的作用力T的大小和方向；当小球运动到最低时球对杆的作用力T的大小和方向．
【解析】（1），向下，，向下．
（2）最高点：，向下，G=20N．∴杆中作用力F=10N向上；
最低点与最高点之间机械能守恒， ，向上，所以杆中作用力F=104N向上．
【答案】（1）44N，向下 （2）最高点：10N，向上；最低点：230N，向上
如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，经过落到斜坡上的A点．已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，运动员的质量．不计空气阻力．（取，；g取）求：
（1）A点与O点的距离大小；
（2）运动员离开O点时的速度大小；
（3）运动员落到A点时的动能．
【解析】（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有
A点与O点的距离
（2）设运动员离开O点的速度为，运动员在水平方向做匀速直线运动，
即
解得
（3）由机械能守恒，取A点位重力势能零点，运动员落到A点的动能为：
【答案】75m 20m/s 32500J
如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道．若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度．
【解析】小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为VC，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有
取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律
由两式消去v′，可得
同理可得小球滑过D点时的速度，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理
将、代入，可得
【答案】
一个质量的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上的B点，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径，弹簧的原长，劲度系数为，如图所示．若小球从图中所示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能．取重力加速度，求：小球到C点时的速度的大小．（弹簧处于原长时，弹性势能为零）
【解析】以弹簧和小球及地球组成的系统为研究对象，小球从B滑至C的过程中，机械能守恒．由图分析可知小球在B点时弹簧的长度，弹簧处于原长状态，弹性势能为零．取C点为重力势能零点．
初态时系统的动能
重力势能
弹性势能
末态时系统的动能
重力势能
弹性势能
由机械能守恒有
即
且
代入数据得：．
【答案】
应用机械能守恒研究多个物体的运动规律
一辆小车静止在光滑的水平面上，小车立柱上系一根长为L拴有小球的细绳，小球由和悬点在同一水平面处释放，如图所示，小球在摆动时，不计一切阻力，下面说法中正确的是（ ）
A．小球的机械能守恒 B．小球的机械能不守恒
C．小球和小车的总机械能不守恒 D．小球和小车的总机械能守恒
【答案】BD
如图所示，m1>m2．滑轮光滑，且质量不计，在m1下降一段距离（不计空气阻力）的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．m1的机械能守恒 B．m2的机械能守恒
C．m1和m2的总机械能减少 D．m1和m2的机械能守恒
【答案】D
如图所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中（ ）
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
【解析】A球在B球下摆过程中，重力势能增加，动能增加，机械能增加，所以A球和地球组成的系统机械能不守恒．由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒．因为A球、B球和地球组成的系统机械能守恒，而A球机械能增加，所以B球机械能一定减少．所以选项B、C正确．
【答案】BC
如图所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等．当两球都静止时，将悬线烧断，下列说法正确的是（ ）
A．线断瞬间，A球的加速度大于B球的加速度
B．线段后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能
C．在下落过程中，两小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D．线断后最初一段时间里，动能的增量大于重力势能的减少
【解析】悬线烧断前弹簧处于伸长状态，弹簧对A球的作用力向下，对B球的作用力向上．当悬线烧断瞬间，弹簧的伸长来不及改变，对A球作用力仍然向下，故A球的加速度大于B球的加速度，即选项A正确．在下落过程中，只有重力和弹力做功，故两小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即选项C正确．悬线烧断后最初的一段时间里，弹簧缩短到原长以前，重力势能和弹性势能均减少，系统的动能增大，即选项D正确． 所以本题的正确答案为A、C、D．
对绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
【答案】ACD
内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后（ ）
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
【解析】滑动过程中，杆的弹力对两小球分别做了功，两球的机械能都发生变化，但两球组成的系统在滑动过程中机械能守恒，故下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能，选项A正确．由于质量不同，甲球沿凹槽下滑到槽的最低点将使系统机械能增大，选项C错误．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，即系统的初态．选项D正确．
【答案】AD
如图A、B两个物体质量均为m，由轻杆相连，光滑水平轴AO=L，BO=2L，使杆由水平位置静止释放，当B转至O点正下方时，速度为________，它对细杆的拉力为________．
【解析】对AB组成的系统应用机械能守恒定律可以求出v，再以B为研究对象即可求出杆中拉力．
【答案】，
轻杆长，端连在固定轴上，端固定一个质量为的小球，中点固定一个质量为的小球．杆可以绕端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图所示，然后静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，试求：
（1）杆转到竖直位置瞬时，角速度多大
（2）杆转到竖直位置的过程中，端小球的机械能增量多大
【解析】（1）在杆由静止释放转到竖直位置的过程中，以球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有：
解得角速度
（2）在此过程中，端小球机械能的增量为
【答案】（1） （2）
如图所示，质量分别为和的两个小球固定在一根直角尺的两端、，直角尺的顶点处有光滑的固定转动轴．、的长分别为和．开始时直角尺的部分处于水平位置而在的正下方．让该系统由静止开始自由转动，求：（，）
（1）当到达最低点时，小球的速度大小；
（2）球能上升的最大高度；
（3）开始转动后球可能达到的最大速度．
【解析】以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒．
（1）的重力势能减少，、的动能和的重力势能增加，的即时速度总是的2倍．
，解得
（2）球不可能到达的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置与水平位置夹角为．
，此式可化简为，利用三角公式可解得
，则，
故球能上升的最大高度为
（3）球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功．设从开始转过角时球速度最大，
解得
【答案】（1）（2）（3）
内壁及边缘光滑的半球形容器的半径为质量为和的两个小球用不可伸长的细线相连，现将由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算滑到容器底时，两者的速率分别为多大
【解析】本题很容易让学生产生多种错解，根本原因就是不清楚两个小球之间的速度关系．设滑到容器底部时的速度为，水平向左，此速度可以分解为沿绳的速度和垂直与绳的速度，则有，的速度等于绳子的速度，即．运用机械能守恒定理有：，解得，上升的速度．
【答案】
A、B两球用细线绕过半径为R的圆柱体静止在水平直径两端，两球质量为m1和m2，m1>m2，可看成质点当m2刚好到达圆柱体顶端时对圆柱体压力为0，求两球的质量比值为多少
【解析】以初位置为零势能面，对m1和m2组成的系统应用机械能守恒定律：，根据圆周运动的知识可知．
【答案】m1:m2=3:（π-1）
如图，光滑斜面的倾角为30°，顶端离地面高度为0.2m，质量相等的两个小球A、B，用恰好等于斜面长的细绳子相连，使B在斜面顶端，A在斜面底端，现把B稍许移出斜面，使它由静止开始沿斜面的竖直边下落，求：
（1）当B球刚落地时，A球的速度；
（2）B球落地后，A球还可沿斜面运动的距离．（g=10m/s2）
【解析】（1）对A、B应用机械能守恒定律：，
（2）对A应用机械能守恒定律：， ，．
【答案】（1）1m/s （2）0.1m
如图所示，两轻质滑轮固定于天花板A、B两处，AB间的距离为，忽略滑轮的大小及与绳间的摩擦.一根轻质长绳穿过两个滑轮，它的两端都系上质量为m的重物，使两个滑轮间的绳子水平，在两个滑轮间绳子的中点C处，挂上一个质量M=m的重物，然后无初速释放重物M．求：
（1）重物M速度最大时下降的距离；
（2）重物M下降的最大距离．
【解析】（1）无初速释放重物M后，当M所受合外力为0时，加速度为0，速度最大．如图所示，设此时AD与竖直方向的夹角为θ，重物M下降的高度为，对M受力分析可得：
得
所以
（2）无初速释放重物M后，当M的速度为0时，重物M下降的距离最大．设此时重物M下落的高度为，对两个m和M组成的系统，机械能守恒．
由
得
【答案】0.5m 1.41m
如图，质量为的物体经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体相连，弹簧的劲度系数为，都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，上方有一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为的物体并从静止状态释放，已知它恰好能使离开地面但不继续上升．若将换成另一个质量为（）的物体，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次刚离地时的速度的大小是多少 已知重力加速度为．
【解析】开始时，静止，设弹簧压缩量为，有………①
挂并释放后，向下运动，向上运动，设刚要离地时弹簧伸长量为，有：
………．②
不再上升，表示此时和的速度为零，已降到其最低点．由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为：…………③
换成后，当刚离地时弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得
………．．④
由③④式得…………⑤
由①②⑤式得．
【答案】
应用机械能守恒研究连续体的运动规律
如图，均匀链条长为L，水平面光滑，垂在桌面下，将链条由静止释放，则链条全部滑离桌面时速度为________．
【解析】以桌面为零势能面，链条初状态的机械能：，末状态，机械能守恒．
【答案】
如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度大小为________．
【答案】
如图所示，一粗细均匀的型管内装有同种液体且竖直放置，右管口用盖板封闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为，型管中液柱总长度为．现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液柱刚好相齐时右侧液面下降的速度大小为多少？
【解析】以原来左侧液面处为重力势能零势面，则由机械能守恒定律得（设高液柱质量为）
解得：
【答案】
应用功能关系研究多个物体的运动规律
游乐场中的一种滑梯如图所示，小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则（ ）
A．下滑过程中支持力对小朋友做功
B．整个运动过程中小朋友的重力势能减少量等于产生的热量
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友不做功
【答案】B
如图所示，质量为m的物块从A点由静止开始下落，加速度是，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，在由A运动到C的过程中，空气阻力恒定，则（ ）
A．物块机械能守恒 B．物块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．物块机械能减少 D．物块、弹簧和地球组成的系统机械能减少
【答案】D
如图所示，质量为的物体以初速度沿水平面向左运动，起始点与轻弹簧端的距离为，物体与水平面间的动摩擦因数为，物体与弹簧相撞后，弹簧的最大压缩量为，则弹簧被压缩最短时，弹簧具有的弹簧势能为_____________．
【解析】根据能量转化与守恒定律可知物体具有的动能全部转化为弹性势能和内能，即，∴．
【答案】
如图，光滑水平面上，子弹m水平射入木块后留在木块内现将子弹、弹簧、木块合在一起作为研究对象，则此系统从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中，系统（ ）
A．能量守恒，机械能不守恒 B．能量不守恒，机械能不守恒
C．能量机械能均守恒 D．能量不守恒，机械能守恒
【答案】A
如图所示装置中，木块与水平桌面间的接触面是光滑的，子弹沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，则从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（ ）
A．子弹与木块组成的系统机械能守恒
B．子弹与木块组成的系统机械能不守恒
C．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒
D．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能不守恒
【解析】从子弹射木块到木块压缩至最短的整个过程，由于存在机械能与内能的相互转化，所以对整个系统机械能不守恒．对子弹和木块，除摩擦生热外，还要克服弹簧弹力做功，故机械能也不守恒．
【答案】
某人造地球卫星因受高空稀薄气体的作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看做圆周运动，某次测量的卫星轨道半径为r1，后来变为r2，r2A．Ek2T1
C．Ek2>Ek1，T2T1
【解析】， 人造卫星轨道降低时势能转化为动能和内能
【答案】C
半径为R=0.2的竖立的圆轨道与平直轨道相接，如图所示，质量为m=0.1kg的小球由直轨道以一定初速度沿圆轨道冲上去，若小球经过N点（刚进入圆轨道）时速率为4m/s，经过圆轨道最高点M时对轨道的压力为1N，求小球由N到M的过程中克服阻力所做的功．（g取10m/s2）
【解析】根据受力分析可知：m在最高点所受的合力为2N向下，根据可知vt=2m/s，
∴末状态的机械能．
【答案】0.2J
如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于滑道的末端O点．已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
（1）物块速度滑到O点时的速度大小；
（2）弹簧为最大压缩量d时的弹性势能 （设弹簧处于原长时弹性势能为零）
（3）若物块能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
【解析】（1）由机械能守恒定律得 解得
（2）在水平滑道上物块A克服摩擦力所做的功为
由能量守恒定律得
解得
（3）物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为
由能量守恒定律得
解得物块A能够上升的最大高度为：
【答案】（1）（2）（3）
如图所示，劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m =12kg的物体A、B，竖立静止在水平地面上．现要加一竖直向上的力F在物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s B刚要离开地面，设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s2 ）．求：
（1）此过程所加外力F的最大值和最小值；
（2）此过程中力F所做的功．
【解析】（1）整个过程弹簧由压缩状态变为伸长状态
当弹簧被压缩时，对，由牛顿定律得： 即：初始弹簧压缩量最大，取最大值，有最小值，满足
当弹簧被伸长时，对，由牛顿定律得： 即：
当恰好离开地面时，弹簧的伸长量最大，取最大值，有最大值，
满足：
对，由匀加速运动得：
解得：==，=3.75m/s2 =45N =285N
（2）由于初末状态=，弹性势能相等，由功能关系得：
＋=49.5J
【答案】（1）=45N = 285N （2）49.5J
如图所示，水平传送带两端点A、B间的距离为L，传送带开始时处于静止状态．把一个小物体放到右端的A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度v1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为W1、功率为P1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q1．随后让传送带以v2的速度匀速运动，此人仍然用相同的水平力恒定F拉物体，使它以相对传送带为v1的速度匀速从A滑行到B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q2．下列关系中正确的是（ ）
(
A
B
单位：
cm
乙
甲
7.02
4.86
v
2
F
)A．W1＝W2，P1＜P2，Q1＝Q2
B．W1＝W2，P1＜P2，Q1＞Q2
C．W1＞W2，P1＝P2，Q1＞Q2
D．W1＞W2，P1＝P2，Q1＝Q2
【答案】B
电机带动水平传送带以速度匀速传动，一质量为的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为，如图所示，当小木块与传送带相对静止时，求：
（1）小木块获得的动能；
（2）摩擦过程产生的摩擦热；
（3）电机带动传送带匀速转动输出的总能量．
【解析】对小木块，相对滑动时，由得加速度
由得，达到相对静止所用时间．
（1）小木块的位移．
（2）传送带始终匀速运动，路程．
（3）对小木块，其获得的动能．
（4）产生的摩擦热．
（5）由能的转化与守恒定律得，电机输出的总能量转化为小木块的动能与摩擦热，所以．
【答案】（3） （4） （5）
如图所示，一水平的浅色长传送带上放置一质量为的煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为．初始时，传送带与煤块都是静止的，现让传送带以恒定的加速度开始运动，当其速度达到后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动．关于上述过程，以下判断正确的是（重力加速度为）（ ）
A．与之间一定满足关系
B．黑色痕迹的长度为
C．煤块从开始运动到相对于传送带静止经历的时间为
D．煤块与传送带由于摩擦而产生的热量为
【解析】由题意知煤块相对传递带运动，故煤块的加速度应小于传送带的加速度，即，A错．
当煤块速度达到时，不再相对传送带滑动，经历的时间为，C正确．
煤块相对传送带的滑动有两个过程：一是传送带加速过程，二是传送带匀速运动过程．加速过程，传送带的位移，加速时间，煤块相对传送带静止还需时间，其中，所以，内传送带的位移，故黑色痕迹的长度，B错.
由于摩擦产生的热量，D错．
【答案】C
如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角，皮带在电动机的带动下，始终保持的速度运行．现把一质量为的工件（可视为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间，工件被传送到的高处，取．求
（1）工件与皮带间的动摩擦因数
（2）电动机由于传送工件多消耗的电能
【解析】（1）设工件先匀加速再匀速
匀加速时间
匀加速加速度
所以，
（2）皮带在匀加速时间内位移
工件匀加速位移
工件相对皮带位移
摩擦生热
工件获得动能
工件增加势能
电动机多消耗的电能
【答案】（1）（2）
(
知识讲解
)
知识点2 机械能守恒定律的验证
一、实验步骤
1．按图装置固定好计时器，并用导线将计时器接到电压合适的交流电源上（电火花计时器要接到220V交流电源上，电磁打点计时器要接到4V～6V的交流低压电源上）．
2．将纸带的一端用小夹子固定在重物上，使另一端穿过计时器的限位孔，用手竖直提着纸带，使重物静止在靠近计时器的地方．
3．接通电源，松开纸带，让重物自由下落，计时器就在纸带上打下一系列小点．
4．换几条纸带，重做上面的实验．
5．从几条打上了点的纸带上挑选点迹清晰的纸带进行测量．
6．在挑选出的纸带上，先记下打第一个点的位置0（或A），再任意选取几个点1、2、3（或B、C、D）等，用刻度尺量出各点到0的距离h1、h2、h3等，如图所示．
7．用公式vn=（hn+1-hn-1）/2T计算出各点对应的瞬时速度v1、v2、v3等．
8．计算出各点对应的势能减少量mghn和动能的增加量1/2mvn2的值，进行比较，得出结论．
9．实验结论： 在只有重力做功的情况下，物体的重力势能和动能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
二、实验注意事项
1．计时器要竖直地架稳、放正，以减小纸带运动时与限位孔的摩擦．
2．先接通电源，待计时器正常工作后，再松开纸带让重物下落．
3．对重物的要求：选用密度大、质量大些的物体，以减小运动中阻力的影响（使重力远大于阻力）．
4．测量下落高度时，必须从起点O量起．
5．本实验并不需要测出重物的质量．
三、误差分析：
1．做好本实验的关键是尽量减小重物下落过程中的阻力，但阻力不可能完全消除．本实验中，误差的主要来源是纸带摩擦和空气阻力．由于重物及纸带在下落中要不断地克服阻力做功，因此物体动能的增加量必稍小于重力势能的减少量，这是系统误差．减小系统误差的方法有选用密度大的实心重物，重物下落前纸带应保持竖直，选用电火花计时器等．
2．由于测量长度会造成误差，属偶然误差，减少办法一是测距离都应从起点0量起，下落高度h适当大些（过小，h不易测准确；过大，阻力影响造成的误差大），二是多测几次取平均值．
(
随堂练习
)
在利用重锤下落验证机械能守恒定律的实验中：
（1）下面叙述正确的是（ ）
A．选用的重锤的质量应当稍大一些；
B．必须选用点迹清晰，且第一、二两点间的距离接近2mm的纸带才行；
C．操作时应先通电再放释放纸带；
D．电磁打点计时器都应接在电压为4～6V的直流电源上．
（2）实验桌上有下列器材可供选用：铁架台，电磁打点计时器，复写纸，纸带，秒表，低压交流电源（带开关），导线，天平，刻度尺．
其中不必要的器材有________________________；缺少的器材是____________________．
【答案】（1）AC （2）秒表、天平 重锤
如图为验证机械能守恒定律的实验装置示意图．现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平.回答下列问题
（1）为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有______．
A．米尺 B．秒表 C．0～12V的直流电源 D．0～12V的交流电源
（2）实验中误差产生的原因有____________________________，___________________________________________________________________（写出两个原因）
【解析】（1）用A项米尺测量长度，用D项交流电源供打点计时器使用．
（2）纸带与打点计时器之间有摩擦，用米尺测量纸带上点的位置时读数有误差，计算势能变化时，选取始末两点距离过近，交流电频率不稳定．
【答案】（1）AD（2）纸带与打点计时器之间有摩擦，用米尺测量纸带上点的位置时读数有误差，计算势能变化时，选取始末两点距离过近，交流电频率不稳定．
利用图示装置进行验证机械能守恒定律的试验时，需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度和下落高度．某班同学利用实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案．
A．用刻度尺测出物体下落的高度，并测出下落时间，通过计算出瞬时速度
B．用刻度尺测出物体下落的高度，并通过计算出瞬时速度
C．根据做匀速直线运动时纸带上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度，并通过计算出高度
D．用刻度尺测出物体下落的高度，根据做匀速直线运动时纸带
上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度．
以上方案中只有一种正确，正确的是__________________．（填入相应的字母）
【答案】D
在“验证机械能守恒定律”的实验中，把质量为50g的钩码固定在纸带下端，让纸带穿过打点计时器，接通电源，松开纸带，让钩码自由下落，在纸带上打下一系列的点，用刻度尺测量起点O到各点的距离，并知道交流电源的频率为50Hz，空气阻力不可忽略．由上述数据，在此实验中可以做到（ ）
A．测出当地重力加速度的精确值 B．计算出纸带上某点对应的钩码的动能
C．计算钩码在下落过程中受到的合外力 D．准确地验证机械能守恒定律
【答案】BC
《验证机械能守恒定律》的实验中，打点计时器所接交流电频率为50Hz，当地重力加速度g=9.8m/s2．实验选用重锤质量为0.1kg，从所打纸带中选择一条合适的纸带，此纸带第1、2点间的距离接近____________．纸带上连续的点A、B、C、D至第1个点O的距离如图所示，则重锤从O运动到C，重力势能减少______________J（保留小数点后两位）．重锤经过C时的速度为_____________m/s．其动能增加__________J（保留小数点后两位）．
【答案】2mm 0.55 J 3.30 m/s 0.54 J
（1）关于验证机械能守恒定律的实验，下列说法中正确的是____________
A．选取重物时，体积大些好 B．选取重物时，质量小点好
C．选取重物时，应选质量大、体积小的物体较好 D．选定重物后，一定要称出它的质量
（2）在《验证机械能守恒定律》的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50Hz，测得当地的重力加速度g=9.80m/s2，测得所用重物的质量为1.00kg，实验中得到一点迹清晰的纸带，把第一点记作O，另选连续的4个点A、B、C、D作为测量的点，经测量知道A、B、C、D到0点的距离分别为62.99cm，70.18cm，77.76cm，85.73cm，根据以上的数据，可知重物由0运动到C点，重力势能的减小量等于____________J，动能的增加量等于_______________J．（保留三位有效数字）
【答案】（1）C；（2）7.62，7.56
用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律．实验所用的电源为学生电源，输出电压为6V的交流电和直流电两种．重锤从高处由静止开始下落，重锤上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点痕进行测量，即验证机械能守恒定律．
（1）下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件；
B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上；
C．用天平测出重锤的质量；
D．释放悬挂纸带的夹子，同时接通电源开关打出一条纸带；
E．测量纸带上某些点间的距离；
F．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的
动能．
其中没有必要进行的或者操作不当的步骤是______________．（将其选项
对应的字母填在横线处）
（2）利用这个装置也可以测量重锤下落的加速度a的数值．如图所示，根据打出的纸带，选取纸带上的连续的五个点A、B、C、D、E，测出A距起始点O的距离为s0，点AC间的距离为s1，点CE间的距离为s2，使用交流电的频率为f，根据这些条件计算重锤下落的加速度a＝_________．
(
A
s
2
s
1
B
C
D
E
s
0
O
)
（3）在上述验证机械能守恒定律的实验中发现，重锤减小的重力势能总是大于重锤动能的增加，其原因主要是因为在重锤下落的过程中存在阻力作用，可以通过该实验装置测阻力的大小．若已知当地重力加速度公认的较准确的值为g，还需要测量的物理量是_________________．试用这些物理量和上图纸带上的数据符号表示出重锤在下落的过程中受到的平均阻力大小F＝__________________．
【答案】（1）BCD （2）
（3）重锤的质量m， 或
“验证机械能守恒定律”的实验可以采用如图所示的（甲）或（乙）方案来进行．
（1）比较这两种方案， （填“甲”或“乙”）方案好些．
（2）如图是该实验中得到的一条纸带，测得每两个计数点间的距离如图中所示，已知相邻两个计数点之间的时间间隔T＝0.1s．物体运动的加速度a＝_____________；该纸带是采用________（填“甲”或“乙”）实验方案得到的．
【答案】（1）甲 （2）4.8 乙
某学习小组的同学利用如图所示装置验证动能定理，按如图所示组装好器材，在未装沙子的情况下释放小桶，滑块仍处于静止状态．你若是小组中的一位成员，要完成该实验
（1）你认为首先要进行的步骤是________________________；
（2）实验时为了保证“滑块受到的合力可认为与沙和沙桶的总重力大小基本相等”，沙和沙桶的总质量m与滑块的质量M应满足的关系是______________；
（3）实验时，让沙桶带动滑块加速运动，用打点计时器记录其运动情况，在打点计时器打出的纸带上取两点，测出这两点的间距L和这两点的速度大小v1与v2（v1【答案】（1）平衡摩擦力；（2）m《M；（3）
某实验小组利用如图甲所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒（气垫导轨底座已调水平）．
（1）如图乙所示，用游标卡尺测得遮光条的宽度d=____________cm；实验时将滑块从图6所示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间△t=1.2×10-2s，则滑块经过光电门时的瞬时速度为_____________m/s．在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、_______________和_____________（文字说明并用相应的字母表示）．
（2）本实验通过比较_______和_____________在实验误差允许的范围内相等（用测量的物理量符号表示），从而验证了系统的机械能守恒．
【答案】（1）0.52， 0.43，滑块质量M，滑块移动的距离s．
（2）mgs，
用如图实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒．m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律．下图给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点（图中未标出），计数点间的距离如图所示．已知m1=50g、m2=150g，则（g取10m/s2，结果保留两位有效数字）
(
26.40
单位：
cm
0
38.40
21.60
1
3
4
5
6
)
(
m
1
m
2
) (
v
2
/2(m
2
/s
2
)
h
(m)
1.20
5.82
0
)
①在纸带上打下记数点5时的速度v=______________m/s；
②在打点0~5过程中系统动能的增量△EK=____________J，系统势能的减少量△EP=_________J，由此得出的结论是__________________________________________________；
③若某同学作出图像如图，则当地的实际重力加速度g=_____________m/s2．
【答案】①2.4
②0.58；0.60；在误差允许的范围内，m1、m2组成的系统机械能守恒
③9.7
某实验小组利用如图甲所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒．
（1）实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，利用现有器材如何判断导轨是否水平？
___________________________________________________________________________．
（2）实验时将滑块从图示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间Δt，遮光条的宽度为d，则滑块经过光电门时的瞬时速度为________，在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、______________________和___________________（文字说明并用相应的字母表示）．
（3）本实验通过比较___________和_____________在实验误差允许的范围内相等（用测量的物理量符号表示），从而验证了系统的机械能守恒（当地重力加速度为g）
【答案】（1）接通气源，将滑块静置于气垫导轨上，若滑块基本保持静止，则说明导轨是水平的（或轻推滑块，滑块能基本做匀速直线运动）．
（2）d/Δt； 滑块上的遮光条初始位置到光电门的距离s；滑块的质量M．
（3）mgs；
在验证机械能守恒定律的实验中，质量m=1kg的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如下图所示，相邻记数点时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2．求：
（1）打点计时器打下记数点B时，物体的速度VB =___________________（保留两位有效数字）；
(
o
A
B
C
)
（2）从点O到打下记数点B的过程中，物体重力势能的减小量△EP =__________________，动能的增加量△EK =_______________________（保留两位有效数字）；
（3）根据题中提供的条件，可求出重锤实际下落的加速度a=____________．（保留两位有效数字）
（4）即使在实验操作规范，数据测量及数据处理很准确的前提下，该实验测得的△EP 也一定略大于△EK ，这是实验存在系统误差的必然结果，试分析该系统误差产生的主要原因．
【答案】（1）0.97m/s（2）0.48J 0.47J
（3）a=9.7m/s2（4）原因是重锤和纸带都受到阻力的作用，因此机械能有损失
某同学在实验室用如图所示的装置来研究牛顿第二定律和有关做功的问题．
（1）为了尽可能减少摩擦力的影响，计时器最好选用（填“电磁”或“电火花”）___________式打点计时器，同时需要将长木板的右端垫高，直到在没有沙桶拖动下，小车拖动纸带穿过计时器时能_________________．
（2）在____________条件下，可以认为绳对小车的拉力近似等于沙和沙桶的总重力，在控制___________不变的情况下，可以探究加速度与合力的关系．
（3）在此实验中，此同学先接通计时器的电源，再放开纸带，如图是在m=100g，M=1kg情况下打出的一条纸带，O为起点，A、B、C为过程中的三个相邻的计数点，相邻的计数点之间有四个点没有标出，有关数据如图所示，其中hA=42.05cm，hB=51.55cm，hC=62.00cm则小车的加速度为a=___________m/s2，打B点时小车的速度为VB=________ m/s．（保留2位有效数字）
（4）在此实验中，要验证沙和沙桶以及小车的系统机械能守恒实验数据应满足一个怎样的关系式______________________．（用上题的符号表示，不要求计数结果）
【答案】（1）电火花 匀速直线运动
（2）m<（3）0.95 1.0
（4）（m+M）g hB =1/2mVB2
1 / 30中小学教育资源及组卷应用平台
(
机械能守恒定律
)
(
知识框架
)
(
知识讲解
)
知识点1 机械能守恒
机械能
定义：物体的动能和势能（重力势能和弹性势能）的总称为机械能．
特点：状态量、相对性、系统性
机械能守恒定律
内容：除重力和弹簧弹力外其他力不做功或做功的代数和为零，则系统机械能守恒。
表达式：（要选零势能参考平面）
（不用选零势能参考平面）
（不用选零势能参考平面）
机械能守恒的条件及其含义：
（1）一个物体：只有重力（或弹簧弹力）做功，物体的动能和势能相互转化。
（2）多个物体：除重力和弹力外其他力做功的代数和为零，物体的动能和势能相互转化或机械能在物体间传递。
推论：除重力和弹簧弹力外其他力做的功等于系统机械能的变化量。
（1）机械能守恒定律是特殊条件下的能量守恒定律的具体体现．
（2）机械能守恒定律的推论：
当重力和弹簧弹力以外的力做功不为零时，物体（或系统）的机械能要发生改变．重力和弹簧弹力以外的力做正功，物体（或系统）的机械能增加，重力和弹簧弹力以外的力做负功，物体（或系统）的机械能减少，且重力以外的力做多少功，物体（或系统）的机械能就改变多少，即重力以外的力做功的过程，就是机械能和其他形式的能相互转化的过程．在这一过程中，重力以外的力做的功是机械能改变的量度．即．
（3）内力为滑动摩擦力时，，为相对位移．
功能关系
做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度．在本章中，功和能关系有三种具体形式：
（1）动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系，即合外力做功的过程，是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，合外力所做的功，是物体动能变化的量度，即．
（2）重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，重力做的功量度了重力势能的变化，即．
（3）重力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能量相互转化的过程，重力以外的力做的功量度了机械能的变化，即．
(
随堂练习
)
关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做变速运动的物体机械能可能守恒
C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
对一个系统，下面说法正确的是（ ）
A．受到合外力为零时，系统机械能守恒
B．系统受到除重力、弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒
C．只有系统内部的重力、弹力做功时，系统机械能守恒
D．除重力、弹力以外的力只要对系统作用，系统的机械能不守恒
下列关于机械能守恒的说法中正确的是（ ）
A．物体做匀速直线运动，它的机械能一定守恒
B．物体所受的合力的功为零，它的机械能一定守恒
C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒
D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒
下列哪些过程机械能守恒（ ）
A．做平抛运动的物体 B．力F拉物体沿竖直方向向上做匀速运动
C．铁球在水中下落 D．用细线拴着小球在竖直平面内做圆周运动
在下列物理过程中，机械能守恒的有（ ）
A．把一个物体竖直向上匀速提升的过程
B．人造卫星沿椭圆轨道绕地球运行的过程
C．汽车关闭油门后沿水平公路向前滑行的过程
D．从高处竖直下落的物体落在竖直的弹簧上，压缩弹簧的过程，对弹簧，物体和地球这一系统
物体在做下列哪些运动时机械能一定不守恒（ ）
A．自由落体运动
B．竖直向上运动
C．沿斜面向下匀速运动
D．沿光滑的竖直圆环轨道的内壁做圆周运动
在下面列举的各个实例中，除A外都不计空气阻力，哪些情况机械能是守恒的（ ）
A．跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落
B．抛出的手榴弹或标枪做斜抛运动
C．拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升
D．飞行的子弹击中放在光滑水平桌面上的木块
一辆汽车从拱型桥的桥顶开始匀速率驶下的过程中（ ）
A．它的机械能的变化等于重力势能的变化 B．它的机械能守恒
C．它所受的合力为零 D．它所受外力做功的代数和为零
如图所示，两个质量相同的物体和，在同一高度处，物体自由落下，物体沿光滑斜面下滑，则它们到达地面时（空气阻力不计）（ ）
A．速率相同，动能相同
B．物体的速率大，动能也大
C．两物体在运动过程中机械能都守恒
D．物体重力所做的功比物体重力所做的功多
高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空气阻力，则下落过程中该运动员机械能的转换关系是（ ）
A．动能减少，重力势能减少 B．动能减少，重力势能增加
C．动能增加，重力势能减少 D．动能增加，重力势能增加
物体做自由落体运动，代表动能，代表势能，代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图像中，能正确反映各物理量之间关系的是（ ）
一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，那么如图所示，表示物体的动能Ek随高度h变化的图象A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图象B、物体的机械能E随高度h变化的图象C、物体的动能Ek随速度v的变化图象D，可能正确的是（ ）
如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是（ ）
A．重力势能和动能之和总保持不变 B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和保持不变 D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
撑杆跳运动比赛中的几个画面，下列说法中正确的是（ ）
A．运动员过最高点时的速度为零
B．撑杆恢复形变时，其弹性势能全部转化为运动员的动能
C．运动员助跑阶段，身体中的化学能只转化为人的动能
D．运动员在上升过程中对杆先做正功后做负功
如图所示，轻弹簧一端与墙相连，质量为的木块沿光滑的水平面以的速度运动并压缩弹簧，求弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能及木块速度减为时的弹性势能．
应用机械能守恒定律研究一个物体的运动规律
某同学在篮球场的篮板前做投篮练习，假设在一次投篮中篮球离开手时的动能为W，出手高度为，篮筐距地面高度为，球的质量为m．不计空气阻力，则篮球进筐时的动能为（ ）
A． B．
C． D．
在离地高为H处以初速度竖直向下抛一个小球，若与地球碰撞的过程中无机械能损失，那么此球回跳的高度为（ ）
A． B． C． D．
一个人站在距地面高为h的阳台上，以相同的速率v0分别把三个球竖直向下、竖直向上、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率（ ）
A．上抛球最大 B．下抛球最大
C．平抛球最大 D．三球一样大
在高处的同一点将三个质量相同的小球以大小相等的初速度v0分别上抛、平抛、下抛，并落到同一水平地面上，则（ ）
A．三个小球落地时，重力的瞬时功率相同
B．从抛出到落地的过程中，重力对它们做功的平均功率相同
C．从抛出到落地的过程中，重力对它们做的功相同
D．三个小球落地时的速度相同
将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍，则这一位置的高度为（ ）
A． B． C． D．
以v0初速度竖直上抛物体，在高度为________时，它的重力势能是它的动能的3倍．
如图所示，小球m分别从A点和B点无初速地释放，则经过最低点C时，小球的速率之比v1:v2为（空气阻力不计）（ ）
A．1: B．:1 C．2:1 D．1:2
如图所示，一端固定的绳，另一端系一球，现将绳拉至水平位置将球由静止释放若不计空气阻力，设最低点重力势能为0，当球摆至动能为重力势能2倍处时，则绳与水平方向夹角α=________．
从某高处平抛一物体，物体着地时，末速度与水平方向成α角，取地面为零势能面，物体抛出时动能与重力势能之比为________．
竖直向上抛出质量为0.1kg的石头，石头上升过程中，空气阻力忽略不计，石头离手时的速度是20m/s．g取10m/s2．求：
（1）石头离手时的动能；
（2）石头能够上升的最大高度；
（3）石头离地面15m高处的速度．
如图所示，质量为m的滑块在离地面高H=0.45m的光滑弧形轨道上由静止开始下滑求：
（1）滑块到达轨道底端B时的速度大小为多大
（2）如果滑块在水平面上滑行的最大距离是2.25m，则滑块与水平面间的动摩擦因数为多大 （g取10m/s2）
如图所示，光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切．圆轨道半径，一小球停放在光滑水平轨道上，现给小球一个的初速度，求小球从点抛出时的速度．
如图，小球m从斜面上高H处自由下滑，后进入半径为R的圆轨道，不计摩擦，则H为多少才能使球m能运动到轨道顶端．
如图所示，半径为R的半圆形光滑轨道固定在水平地面上，A与B两点在同一竖直线上，质量为m的小球以某一速度自A点进入轨道，它经过最高点后飞出，最后落在水平地面上的C点现已测出AC=2R，求小球自A点进入轨道时的速度大小．
光滑的3/4圆弧细圆管竖直放置，小球m从管口A处的正上方H高处自由下落，进入管口后恰能运动到C点，若小球从另一高度处h释放，则它运动到C点后又恰好飞落回A点．求两次高度之比．
如图所示，一根不可伸长的轻质细线，一端固定于O点，另一端拴有一质量为m的小球，可在竖直平面内绕O点摆动，现拉紧细线使小球位于与O点在同一竖直面内的A位置，细线与水平方向成30°角，从静止释放该小球，当小球运动至悬点正下方C位置时，承受的拉力是多大
如图所示，有一质量可忽略的细杆，可绕垂直于纸面的O轴转动，杆长l=0.5m，在杆的一端固定一个质量m=2kg的小球，使小球在杆的带动下在竖直面内做圆周运动，小球运动到圆周最高点C时的速度为v，若g取10m/s2，试求：
（1）当v=4m/s时，小球在最高时球对杆的作用力T的大小和方向；
（2）当v=1m/s时，小球在最高时球对杆的作用力T的大小和方向；当小球运动到最低时球对杆的作用力T的大小和方向．
如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，经过落到斜坡上的A点．已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，运动员的质量．不计空气阻力．（取，；g取）求：
（1）A点与O点的距离大小；
（2）运动员离开O点时的速度大小；
（3）运动员落到A点时的动能．
如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道．若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度．
一个质量的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上的B点，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径，弹簧的原长，劲度系数为，如图所示．若小球从图中所示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能．取重力加速度，求：小球到C点时的速度的大小．（弹簧处于原长时，弹性势能为零）
应用机械能守恒研究多个物体的运动规律
一辆小车静止在光滑的水平面上，小车立柱上系一根长为L拴有小球的细绳，小球由和悬点在同一水平面处释放，如图所示，小球在摆动时，不计一切阻力，下面说法中正确的是（ ）
A．小球的机械能守恒 B．小球的机械能不守恒
C．小球和小车的总机械能不守恒 D．小球和小车的总机械能守恒
如图所示，m1>m2．滑轮光滑，且质量不计，在m1下降一段距离（不计空气阻力）的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．m1的机械能守恒 B．m2的机械能守恒
C．m1和m2的总机械能减少 D．m1和m2的机械能守恒
如图所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中（ ）
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
如图所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等．当两球都静止时，将悬线烧断，下列说法正确的是（ ）
A．线断瞬间，A球的加速度大于B球的加速度
B．线段后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能
C．在下落过程中，两小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D．线断后最初一段时间里，动能的增量大于重力势能的减少
内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后（ ）
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
如图A、B两个物体质量均为m，由轻杆相连，光滑水平轴AO=L，BO=2L，使杆由水平位置静止释放，当B转至O点正下方时，速度为________，它对细杆的拉力为________．
轻杆长，端连在固定轴上，端固定一个质量为的小球，中点固定一个质量为的小球．杆可以绕端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图所示，然后静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，试求：
（1）杆转到竖直位置瞬时，角速度多大
（2）杆转到竖直位置的过程中，端小球的机械能增量多大
如图所示，质量分别为和的两个小球固定在一根直角尺的两端、，直角尺的顶点处有光滑的固定转动轴．、的长分别为和．开始时直角尺的部分处于水平位置而在的正下方．让该系统由静止开始自由转动，求：（，）
（1）当到达最低点时，小球的速度大小；
（2）球能上升的最大高度；
（3）开始转动后球可能达到的最大速度．
内壁及边缘光滑的半球形容器的半径为质量为和的两个小球用不可伸长的细线相连，现将由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算滑到容器底时，两者的速率分别为多大
A、B两球用细线绕过半径为R的圆柱体静止在水平直径两端，两球质量为m1和m2，m1>m2，可看成质点当m2刚好到达圆柱体顶端时对圆柱体压力为0，求两球的质量比值为多少
如图，光滑斜面的倾角为30°，顶端离地面高度为0.2m，质量相等的两个小球A、B，用恰好等于斜面长的细绳子相连，使B在斜面顶端，A在斜面底端，现把B稍许移出斜面，使它由静止开始沿斜面的竖直边下落，求：
（1）当B球刚落地时，A球的速度；
（2）B球落地后，A球还可沿斜面运动的距离．（g=10m/s2）
如图所示，两轻质滑轮固定于天花板A、B两处，AB间的距离为，忽略滑轮的大小及与绳间的摩擦.一根轻质长绳穿过两个滑轮，它的两端都系上质量为m的重物，使两个滑轮间的绳子水平，在两个滑轮间绳子的中点C处，挂上一个质量M=m的重物，然后无初速释放重物M．求：
（1）重物M速度最大时下降的距离；
（2）重物M下降的最大距离．
如图，质量为的物体经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体相连，弹簧的劲度系数为，都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，上方有一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为的物体并从静止状态释放，已知它恰好能使离开地面但不继续上升．若将换成另一个质量为（）的物体，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次刚离地时的速度的大小是多少 已知重力加速度为．
应用机械能守恒研究连续体的运动规律
如图，均匀链条长为L，水平面光滑，垂在桌面下，将链条由静止释放，则链条全部滑离桌面时速度为________．
如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度大小为________．
如图所示，一粗细均匀的型管内装有同种液体且竖直放置，右管口用盖板封闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为，型管中液柱总长度为．现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液柱刚好相齐时右侧液面下降的速度大小为多少？
应用功能关系研究多个物体的运动规律
游乐场中的一种滑梯如图所示，小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则（ ）
A．下滑过程中支持力对小朋友做功
B．整个运动过程中小朋友的重力势能减少量等于产生的热量
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友不做功
如图所示，质量为m的物块从A点由静止开始下落，加速度是，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，在由A运动到C的过程中，空气阻力恒定，则（ ）
A．物块机械能守恒 B．物块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．物块机械能减少 D．物块、弹簧和地球组成的系统机械能减少
如图所示，质量为的物体以初速度沿水平面向左运动，起始点与轻弹簧端的距离为，物体与水平面间的动摩擦因数为，物体与弹簧相撞后，弹簧的最大压缩量为，则弹簧被压缩最短时，弹簧具有的弹簧势能为_____________．
如图，光滑水平面上，子弹m水平射入木块后留在木块内现将子弹、弹簧、木块合在一起作为研究对象，则此系统从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中，系统（ ）
A．能量守恒，机械能不守恒 B．能量不守恒，机械能不守恒
C．能量机械能均守恒 D．能量不守恒，机械能守恒
如图所示装置中，木块与水平桌面间的接触面是光滑的，子弹沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，则从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（ ）
A．子弹与木块组成的系统机械能守恒
B．子弹与木块组成的系统机械能不守恒
C．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒
D．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能不守恒
某人造地球卫星因受高空稀薄气体的作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看做圆周运动，某次测量的卫星轨道半径为r1，后来变为r2，r2A．Ek2T1
C．Ek2>Ek1，T2T1
半径为R=0.2的竖立的圆轨道与平直轨道相接，如图所示，质量为m=0.1kg的小球由直轨道以一定初速度沿圆轨道冲上去，若小球经过N点（刚进入圆轨道）时速率为4m/s，经过圆轨道最高点M时对轨道的压力为1N，求小球由N到M的过程中克服阻力所做的功．（g取10m/s2）
如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于滑道的末端O点．已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
（1）物块速度滑到O点时的速度大小；
（2）弹簧为最大压缩量d时的弹性势能 （设弹簧处于原长时弹性势能为零）
（3）若物块能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
如图所示，劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m =12kg的物体A、B，竖立静止在水平地面上．现要加一竖直向上的力F在物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s B刚要离开地面，设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s2 ）．求：
（1）此过程所加外力F的最大值和最小值；
（2）此过程中力F所做的功．
如图所示，水平传送带两端点A、B间的距离为L，传送带开始时处于静止状态．把一个小物体放到右端的A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度v1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为W1、功率为P1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q1．随后让传送带以v2的速度匀速运动，此人仍然用相同的水平力恒定F拉物体，使它以相对传送带为v1的速度匀速从A滑行到B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q2．下列关系中正确的是（ ）
(
A
B
单位：
cm
乙
甲
7.02
4.86
v
2
F
)A．W1＝W2，P1＜P2，Q1＝Q2
B．W1＝W2，P1＜P2，Q1＞Q2
C．W1＞W2，P1＝P2，Q1＞Q2
D．W1＞W2，P1＝P2，Q1＝Q2
电机带动水平传送带以速度匀速传动，一质量为的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为，如图所示，当小木块与传送带相对静止时，求：
（1）小木块获得的动能；
（2）摩擦过程产生的摩擦热；
（3）电机带动传送带匀速转动输出的总能量．
如图所示，一水平的浅色长传送带上放置一质量为的煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为．初始时，传送带与煤块都是静止的，现让传送带以恒定的加速度开始运动，当其速度达到后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动．关于上述过程，以下判断正确的是（重力加速度为）（ ）
A．与之间一定满足关系
B．黑色痕迹的长度为
C．煤块从开始运动到相对于传送带静止经历的时间为
D．煤块与传送带由于摩擦而产生的热量为
如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角，皮带在电动机的带动下，始终保持的速度运行．现把一质量为的工件（可视为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间，工件被传送到的高处，取．求
（1）工件与皮带间的动摩擦因数
（2）电动机由于传送工件多消耗的电能
(
知识讲解
)
知识点2 机械能守恒定律的验证
一、实验步骤
1．按图装置固定好计时器，并用导线将计时器接到电压合适的交流电源上（电火花计时器要接到220V交流电源上，电磁打点计时器要接到4V～6V的交流低压电源上）．
2．将纸带的一端用小夹子固定在重物上，使另一端穿过计时器的限位孔，用手竖直提着纸带，使重物静止在靠近计时器的地方．
3．接通电源，松开纸带，让重物自由下落，计时器就在纸带上打下一系列小点．
4．换几条纸带，重做上面的实验．
5．从几条打上了点的纸带上挑选点迹清晰的纸带进行测量．
6．在挑选出的纸带上，先记下打第一个点的位置0（或A），再任意选取几个点1、2、3（或B、C、D）等，用刻度尺量出各点到0的距离h1、h2、h3等，如图所示．
7．用公式vn=（hn+1-hn-1）/2T计算出各点对应的瞬时速度v1、v2、v3等．
8．计算出各点对应的势能减少量mghn和动能的增加量1/2mvn2的值，进行比较，得出结论．
9．实验结论： 在只有重力做功的情况下，物体的重力势能和动能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
二、实验注意事项
1．计时器要竖直地架稳、放正，以减小纸带运动时与限位孔的摩擦．
2．先接通电源，待计时器正常工作后，再松开纸带让重物下落．
3．对重物的要求：选用密度大、质量大些的物体，以减小运动中阻力的影响（使重力远大于阻力）．
4．测量下落高度时，必须从起点O量起．
5．本实验并不需要测出重物的质量．
三、误差分析：
1．做好本实验的关键是尽量减小重物下落过程中的阻力，但阻力不可能完全消除．本实验中，误差的主要来源是纸带摩擦和空气阻力．由于重物及纸带在下落中要不断地克服阻力做功，因此物体动能的增加量必稍小于重力势能的减少量，这是系统误差．减小系统误差的方法有选用密度大的实心重物，重物下落前纸带应保持竖直，选用电火花计时器等．
2．由于测量长度会造成误差，属偶然误差，减少办法一是测距离都应从起点0量起，下落高度h适当大些（过小，h不易测准确；过大，阻力影响造成的误差大），二是多测几次取平均值．
(
随堂练习
)
在利用重锤下落验证机械能守恒定律的实验中：
（1）下面叙述正确的是（ ）
A．选用的重锤的质量应当稍大一些；
B．必须选用点迹清晰，且第一、二两点间的距离接近2mm的纸带才行；
C．操作时应先通电再放释放纸带；
D．电磁打点计时器都应接在电压为4～6V的直流电源上．
（2）实验桌上有下列器材可供选用：铁架台，电磁打点计时器，复写纸，纸带，秒表，低压交流电源（带开关），导线，天平，刻度尺．
其中不必要的器材有________________________；缺少的器材是____________________．
如图为验证机械能守恒定律的实验装置示意图．现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平.回答下列问题
（1）为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有______．
A．米尺 B．秒表 C．0～12V的直流电源 D．0～12V的交流电源
（2）实验中误差产生的原因有____________________________，___________________________________________________________________（写出两个原因）
利用图示装置进行验证机械能守恒定律的试验时，需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度和下落高度．某班同学利用实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案．
A．用刻度尺测出物体下落的高度，并测出下落时间，通过计算出瞬时速度
B．用刻度尺测出物体下落的高度，并通过计算出瞬时速度
C．根据做匀速直线运动时纸带上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度，并通过计算出高度
D．用刻度尺测出物体下落的高度，根据做匀速直线运动时纸带
上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度．
以上方案中只有一种正确，正确的是__________________．（填入相应的字母）
在“验证机械能守恒定律”的实验中，把质量为50g的钩码固定在纸带下端，让纸带穿过打点计时器，接通电源，松开纸带，让钩码自由下落，在纸带上打下一系列的点，用刻度尺测量起点O到各点的距离，并知道交流电源的频率为50Hz，空气阻力不可忽略．由上述数据，在此实验中可以做到（ ）
A．测出当地重力加速度的精确值 B．计算出纸带上某点对应的钩码的动能
C．计算钩码在下落过程中受到的合外力 D．准确地验证机械能守恒定律
《验证机械能守恒定律》的实验中，打点计时器所接交流电频率为50Hz，当地重力加速度g=9.8m/s2．实验选用重锤质量为0.1kg，从所打纸带中选择一条合适的纸带，此纸带第1、2点间的距离接近____________．纸带上连续的点A、B、C、D至第1个点O的距离如图所示，则重锤从O运动到C，重力势能减少______________J（保留小数点后两位）．重锤经过C时的速度为_____________m/s．其动能增加__________J（保留小数点后两位）．
（1）关于验证机械能守恒定律的实验，下列说法中正确的是____________
A．选取重物时，体积大些好 B．选取重物时，质量小点好
C．选取重物时，应选质量大、体积小的物体较好 D．选定重物后，一定要称出它的质量
（2）在《验证机械能守恒定律》的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50Hz，测得当地的重力加速度g=9.80m/s2，测得所用重物的质量为1.00kg，实验中得到一点迹清晰的纸带，把第一点记作O，另选连续的4个点A、B、C、D作为测量的点，经测量知道A、B、C、D到0点的距离分别为62.99cm，70.18cm，77.76cm，85.73cm，根据以上的数据，可知重物由0运动到C点，重力势能的减小量等于____________J，动能的增加量等于_______________J．（保留三位有效数字）
用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律．实验所用的电源为学生电源，输出电压为6V的交流电和直流电两种．重锤从高处由静止开始下落，重锤上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点痕进行测量，即验证机械能守恒定律．
（1）下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件；
B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上；
C．用天平测出重锤的质量；
D．释放悬挂纸带的夹子，同时接通电源开关打出一条纸带；
E．测量纸带上某些点间的距离；
F．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的
动能．
其中没有必要进行的或者操作不当的步骤是______________．（将其选项
对应的字母填在横线处）
（2）利用这个装置也可以测量重锤下落的加速度a的数值．如图所示，根据打出的纸带，选取纸带上的连续的五个点A、B、C、D、E，测出A距起始点O的距离为s0，点AC间的距离为s1，点CE间的距离为s2，使用交流电的频率为f，根据这些条件计算重锤下落的加速度a＝_________．
(
A
s
2
s
1
B
C
D
E
s
0
O
)
（3）在上述验证机械能守恒定律的实验中发现，重锤减小的重力势能总是大于重锤动能的增加，其原因主要是因为在重锤下落的过程中存在阻力作用，可以通过该实验装置测阻力的大小．若已知当地重力加速度公认的较准确的值为g，还需要测量的物理量是_________________．试用这些物理量和上图纸带上的数据符号表示出重锤在下落的过程中受到的平均阻力大小F＝__________________．
“验证机械能守恒定律”的实验可以采用如图所示的（甲）或（乙）方案来进行．
（1）比较这两种方案， （填“甲”或“乙”）方案好些．
（2）如图是该实验中得到的一条纸带，测得每两个计数点间的距离如图中所示，已知相邻两个计数点之间的时间间隔T＝0.1s．物体运动的加速度a＝_____________；该纸带是采用________（填“甲”或“乙”）实验方案得到的．
某学习小组的同学利用如图所示装置验证动能定理，按如图所示组装好器材，在未装沙子的情况下释放小桶，滑块仍处于静止状态．你若是小组中的一位成员，要完成该实验
（1）你认为首先要进行的步骤是________________________；
（2）实验时为了保证“滑块受到的合力可认为与沙和沙桶的总重力大小基本相等”，沙和沙桶的总质量m与滑块的质量M应满足的关系是______________；
（3）实验时，让沙桶带动滑块加速运动，用打点计时器记录其运动情况，在打点计时器打出的纸带上取两点，测出这两点的间距L和这两点的速度大小v1与v2（v1某实验小组利用如图甲所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒（气垫导轨底座已调水平）．
（1）如图乙所示，用游标卡尺测得遮光条的宽度d=____________cm；实验时将滑块从图6所示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间△t=1.2×10-2s，则滑块经过光电门时的瞬时速度为_____________m/s．在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、_______________和_____________（文字说明并用相应的字母表示）．
（2）本实验通过比较_______和_____________在实验误差允许的范围内相等（用测量的物理量符号表示），从而验证了系统的机械能守恒．
用如图实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒．m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律．下图给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点（图中未标出），计数点间的距离如图所示．已知m1=50g、m2=150g，则（g取10m/s2，结果保留两位有效数字）
(
26.40
单位：
cm
0
38.40
21.60
1
3
4
5
6
)
(
m
1
m
2
) (
v
2
/2(m
2
/s
2
)
h
(m)
1.20
5.82
0
)
①在纸带上打下记数点5时的速度v=______________m/s；
②在打点0~5过程中系统动能的增量△EK=____________J，系统势能的减少量△EP=_________J，由此得出的结论是__________________________________________________；
③若某同学作出图像如图，则当地的实际重力加速度g=_____________m/s2．
某实验小组利用如图甲所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒．
（1）实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，利用现有器材如何判断导轨是否水平？
___________________________________________________________________________．
（2）实验时将滑块从图示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间Δt，遮光条的宽度为d，则滑块经过光电门时的瞬时速度为________，在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、______________________和___________________（文字说明并用相应的字母表示）．
（3）本实验通过比较___________和_____________在实验误差允许的范围内相等（用测量的物理量符号表示），从而验证了系统的机械能守恒（当地重力加速度为g）
在验证机械能守恒定律的实验中，质量m=1kg的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如下图所示，相邻记数点时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2．求：
（1）打点计时器打下记数点B时，物体的速度VB =___________________（保留两位有效数字）；
(
o
A
B
C
)
（2）从点O到打下记数点B的过程中，物体重力势能的减小量△EP =__________________，动能的增加量△EK =_______________________（保留两位有效数字）；
（3）根据题中提供的条件，可求出重锤实际下落的加速度a=____________．（保留两位有效数字）
（4）即使在实验操作规范，数据测量及数据处理很准确的前提下，该实验测得的△EP 也一定略大于△EK ，这是实验存在系统误差的必然结果，试分析该系统误差产生的主要原因．
某同学在实验室用如图所示的装置来研究牛顿第二定律和有关做功的问题．
（1）为了尽可能减少摩擦力的影响，计时器最好选用（填“电磁”或“电火花”）___________式打点计时器，同时需要将长木板的右端垫高，直到在没有沙桶拖动下，小车拖动纸带穿过计时器时能_________________．
（2）在____________条件下，可以认为绳对小车的拉力近似等于沙和沙桶的总重力，在控制___________不变的情况下，可以探究加速度与合力的关系．
（3）在此实验中，此同学先接通计时器的电源，再放开纸带，如图是在m=100g，M=1kg情况下打出的一条纸带，O为起点，A、B、C为过程中的三个相邻的计数点，相邻的计数点之间有四个点没有标出，有关数据如图所示，其中hA=42.05cm，hB=51.55cm，hC=62.00cm则小车的加速度为a=___________m/s2，打B点时小车的速度为VB=________ m/s．（保留2位有效数字）
（4）在此实验中，要验证沙和沙桶以及小车的系统机械能守恒实验数据应满足一个怎样的关系式______________________．（用上题的符号表示，不要求计数结果）
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