第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
基础过关练
题组一 用不等式(组)表示不等关系
1.某同学参加期末模拟考试,考后对自己的语文和数学成绩进行了估计:语文成绩x高于85分,数学成绩y不低于80分,用不等式组可以表示为 .
2.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在该汽车行驶8天的路程将超过2 200 km,这一关系可用不等式表示为 .
题组二 比较实数的大小
3.(2022辽东南协作体月考)已知x∈R,M=2x2-1,N=4x-6,则M,N的大小关系是( )
A.M>N B.M
C.M=N D.不能确定
4.(2020河北正定一中期中)已知a1,a2∈{x|0A.MN
C.M=N D.不确定
5.比较大小:+ 2+(填“>”“<”或“=”).
6.(2021河北辛集中学月考)已知a>b>0,且c>d>0,则与的大小关系是 .
题组三 不等式的性质及其简单应用
7.(2022北京清华大学附属中学期中)若a>b,c<0,则下列不等式成立的是( )
A.ac2>bc2 B.>
C.a+cb-c
8.(2020湖北武汉部分重点中学期末)下列说法正确的是( )
①若|a|>b,则a2>b2;②若a>b,c>d,则a-c>b-d;③若abd;④若a>b>0,c<0,则>.
A.①④ B.②③ C.③④ D.①②
9.(2021北京人大附中期末)在一次调查中发现甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
题组四 利用不等式的性质求代数式的取值范围
10.(2022吉林长春外国语学校月考)已知1≤a≤8,-2≤b≤3,则a-b的取值范围是( )
A.3≤a-b≤5 B.-2≤a-b≤10
C.-2≤a-b≤5 D.3≤a-b≤10
11.(2022浙江精诚联盟联考)若x,y满足-1A.-2C.-112.(2022河北石家庄二中期中)若3能力提升练
题组一 比较实数的大小
1.(2022湖北襄阳期中)已知a=+,b=+,则( )
A.a>b>1 B.b>a>1 C.a>1>b D.b>1>a
2.(2020四川成都第七中学期中)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是( )
A.b>a≥c B.c≥a>b
C.b>c≥a D.c>b>a
3.(2022福建厦门双十中学阶段测试)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要的参数,其值通常在0~1之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的大小,升级为一款新手机,则该手机“屏占比”的变化是( )
A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大 D.不确定
4.(2022湖北武汉中学月考)已知a+b>0,则+与+的大小关系是 .
5.(2021河南洛阳期中)购买同一种物品,可采取两种不同的方式,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品,其中甲在两次购物时均采用第一种方式,乙在两次购物时均采用第二种方式.已知第一次购物时该物品的单价为p1,第二次购物时该物品的单价为p2(p1≠p2).甲两次购物的平均价格记为Q1,乙两次购物的平均价格记为Q2.
(1)求Q1,Q2的表达式(用p1,p2表示);
(2)通过比较Q1,Q2的大小,说明哪种购物方式比较划算.
题组二 不等式的性质及其应用
6.(多选)设a,b为正实数,则下列命题正确的是( )
A.若a2-b2=1,则a-b<1
B.若-=1,则a-b<1
C.若|-|=1,则|a-b|<1
D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|
7.(多选)(2022山东枣庄三中月考)给出下列四个选项,其中能成为x>y的充分条件的是( )
A.xt2>yt2 B.x2>y2
C.xt>yt D.0<<
8.某花店搞活动,6枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格之和大于24元,而4枝红玫瑰与5枝黄玫瑰的价格之和小于22元,那么2枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格比较的结果是( )
A.2枝红玫瑰贵 B.3枝黄玫瑰贵
C.相同 D.不能确定
9.(2022福建三明一中月考)已知-1<α≤β≤2,设m=α+β,n=α-β,则m的取值范围是 ,n的取值范围是 .
10.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,则9a-c的取值范围是 .
答案全解全析
基础过关练
1.答案
解析 ∵语文成绩x高于85分,∴x>85.
∵数学成绩y不低于80分,∴y≥80.
∴
2.答案 8(x+19)>2 200
解析 ∵汽车原来每天行驶x km,现在每天行驶的路程比原来多
19 km,
∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在该汽车行驶8天的路程为8(x+19)km,则8(x+19)>2 200.故答案为8(x+19)>2 200.
3.A 由题意,M-N=2x2-1-(4x-6)=2x2-4x+5=2(x-1)2+3>0,因此M>N,故选A.
4.B 由题意得00,故M>N.故选B.
5.答案 >
解析 ∵-=13+2-(13+4)
=2-4=2-2=2(-)>0,
∴>,
因此+>2+.
6.答案 >
解析 ∵a>b>0,c>d>0,∴ac>bd>0,∴>>0,
∴>.
7.A 对于A,c2>0,a>b,则ac2>bc2,选项A成立;对于B,<0,a>b,则<,选项B不成立;对于C,a>b,则a+c>b+c,选项C不成立;对于D,若a=1,b=0,c=-2,则a8.C 对于①,取a=0,b=-2,则a2-b>0,-c>-d>0,
∴ac>bd,③正确;对于④,∵a>b>0,∴>0,∴a·>b·,即>,又c<0,∴>,④正确.故选C.
9.C 设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1,x2,x3,x4,
则x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0.
由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,可得x1+x3=x2+x4,①
由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,可得x1+x2由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和,可得x2>x1+x4,③
②-①得x2-x3②+①得2x1+x2+x3由③得x2>x1,x2>x4,
∴x3>x2>x4>x1,即阅读量最大的是丙.
故选C.
10.B 因为-2≤b≤3,所以-3≤-b≤2,又1≤a≤8,
所以-2≤a-b≤10.故选B.
11.A ∵-1又-1∵x故选A.
解题模板 不等式-112.答案 1<<2
解析 由2能力提升练
1.B 由题意得c+1≥0,所以c+2≥1,c+3≥2,c+4≥3,故a=+>1,b=+>1.
易得a2=2c+5+2,b2=2c+5+2,
又(c+2)(c+3)-(c+1)(c+4)=2>0,所以b2>a2,因此b>a>1.故选B.
解题模板 比较两式大小时,若两式不好直接比较,可对两式进行相同的变形,如比较含有根式的两式的大小,可先对两式平方,再比较不同部分的大小.
2.D 由a2=2a+c-b-1可得c-b=a2-2a+1=(a-1)2,
由a+b2+1=0可得a=-b2-1≤-1,∴c-b=(a-1)2>0,∴c>b.∵b-a=b2+b+1=+>0,∴b>a.
综上可知,c>b>a.故选D.
3.C 设该手机升级前“屏占比”为,升级后“屏占比”为(a>b>0,m>0),
因为-=>0,所以该手机升级后“屏占比”变大了,故选C.
方法技巧 已知a,b,c,d均为正整数,若<,则<<.特别地,若<1=(m>0),则<<1;若>1=(m>0),则>>1.
4.答案 +≥+
解析 +-=+=
==,
∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0.
∴+≥+.
5.解析 (1)设甲两次购物时购物量均为m,则两次购物总费用为p1m+p2m,购物总量为2m,平均价格为Q1==.
设乙两次购物时所花钱数均为n,则两次购物总费用为2n,购物总量为+,
平均价格为Q2==.
综上,Q1=,Q2=.
(2)∵p1≠p2,
∴Q1-Q2=-==>0,
∴Q1>Q2.
由此可知,第二种购物方式比较划算.
6.AD 对于A,若a,b为正实数,则a2-b2=1 a-b= a-b>0 a>b>0,故a+b>a-b>0,假设a-b≥1,则≥1 a+b≤1,这与a+b>a-b>0相矛盾,故a-b<1成立,所以A正确;对于B,取a=5,b=,则-=1,但a-b=5->1,所以B不正确;对于C,取a=4,b=1,则|-|=1,但|a-b|=3>1,所以C不正确;对于D,因为|a|≤1,|b|≤1,所以(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以D正确.故选AD.
7.AD 若xt2>yt2,则t2≠0,能推出x>y,故选项A正确;由x2>y2不能推出x>y,故选项B错误;xt>yt时,若t<0,则xy,故选项D正确.故选AD.
8.A 设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别为x元,y元,
由题意可得(*)
令2x-3y=m(6x+3y)+n(4x+5y)=(6m+4n)x+(3m+5n)y,
则解得
∴2x-3y=(6x+3y)-(4x+5y),
由(*)得(6x+3y)>×24,-(4x+5y)>-×22,
∴(6x+3y)-(4x+5y)>×24-×22=0,
∴2x-3y>0,因此2x>3y,
∴2枝红玫瑰的价格高.故选A.
9.答案 -2解析 由题意得-1<α≤2,-1<β≤2,
∴-2≤-β<1,-2<α+β≤4,即-2∴-3<α-β<3,又α≤β,∴α-β≤0,
∴-3<α-β≤0,即-310.答案 -1≤9a-c≤20
解析 令得
∴9a-c=y-x.
∵-4≤x≤-1,
∴≤-x≤①.
∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.
①和②相加,得-1≤y-x≤20,
∴-1≤9a-c≤20.
12.2 基本不等式
第1课时 基本不等式及求最大(小)值
基础过关练
题组一 对基本不等式的理解
1.下列说法正确的是( )
A.a2+b2≥2ab成立的前提条件是a≥0,b≥0
B.a2+b2>2ab成立的前提条件是a,b∈R
C.a+b≥2成立的前提条件是a≥0,b≥0
D.a+b>2成立的前提条件是ab>0
2.(多选)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是( )
A.a+≥4 B.a2+≥8
C.+> D.+≥2
3.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
4.(2020山东德州夏津一中月考)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )
A.x=5 B.x=4 C.x=3 D.x=-1
题组二 利用基本不等式求最大(小)值
5.已知函数y=2x2+,则函数的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
6.(2022北京首师大附中月考)已知0A. B. C. D.
7.(2022安徽合肥六中段考)当0A.8 B.9 C.10 D.12
8.(2022广东深圳南山外国语高级中学月考)函数y=(x>-1)的最小值为 .
题组三 利用基本不等式求含条件的最大(小)值
9.(2022江苏镇江一中段考)已知正数a,b满足a+b=2,则有( )
A.最小值1 B.最小值
C.最大值 D.最大值1
10.(2022北师大附中月考)已知两个正数m,n满足mn=3,则m+3n的最小值为( )
A.3 B.6 C. D.
11.(2022广东汕头澄海中学段考)已知正实数x,y满足2x+y=1,则+的最小值为 .
12.已知正实数x,y.
(1)若4x+y=1,求xy的最大值;
(2)若(x-1)(y-1)=1(x>1),求3x+4y的最小值.
能力提升练
题组一 对基本不等式的理解
1.已知0A.a2+b2 B.2
C.2ab D.a+b
2.(多选)(2022江苏扬州中学月考)已知实数a,b,下列不等式一定成立的是( )
A.≥ B.a+≥2
C.≥2 D.2(a2+b2)≥(a+b)2
题组二 利用基本不等式求最大(小)值
3.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)下列说法中正确的是( )
A.当x>0时,+≥2
B.当x>2时,x+的最小值是2
C.当x<时,y=4x-2+的最小值是5
D.若x>0,则x3+的最小值为2
4.(2022北京首师大附中月考)当x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m<-8 B.m>-8 C.m<-6 D.m>-6
5.已知a>b>0,则a2+的最小值为( )
A.8 B.8C.16 D.16
题组三 利用基本不等式求含条件的最大(小)值
6.(2021黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为( )
A.6 B.8 C.15 D.17
7.若正实数x,y满足x+y=1,则不等式+的最小值为( )
A. B. C.9 D.3
8.(2022河南南阳一中月考)已知正数x,y满足x+y=2,则下列选项不正确的是( )
A.+的最小值是2
B.xy的最大值是1
C.x2+y2的最小值是4
D.x(y+1)的最大值是
9.(2022浙江精诚联盟联考)已知a>0,b>0.
(1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值;
(2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值;
(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.
答案全解全析
基础过关练
1.C A错误,应为a,b∈R;B错误,应为a,b∈R,且a≠b;D错误,应为a≥0,b≥0,且a≠b;C正确.故选C.
2.BD 对于A、C,当a<0,b<0时,不等式不成立,故A,C不符合题意;对于B,a2+≥2=8,当且仅当a2=,即a=±2时等号成立,故B符合题意;对于D,∵ab>0,∴>0,>0,∴+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,∴D符合题意.
3.B 因为不等式成立的前提条件是x-2y和均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.
4.A 当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是=x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去).故选A.
5.C 易知x2+1>0,所以y=2x2+=2=2
≥2=6,当且仅当x2+1=2,即x=±1时取等号.故选C.
6.C x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×=,
当且仅当2x=1-2x,即x=时取等号,
因此x(1-2x)的最大值为.故选C.
7.B 因为0所以y=+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即x=时等号成立,
所以y=+的最小值为9.故选B.
解题模板 解决分式类型函数的最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“x+(1-x)=1”是定值,从而得到解决问题的方法.
8.答案 9
解析 因为x>-1,所以x+1>0,
所以y==
=
=(x+1)++5≥2+5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时等号成立,
所以所求函数的最小值为9.
导师点睛 求含二次分式(分子是二次式,分母是一次式)的函数的最大(小)值时,常将一次式看作一个整体,将原来函数表达式中的分子按照一次式的形式进行配凑,分离常数,转化为可利用基本不等式求最大(小)值的形式.
9.D ∵正数a,b满足a+b=2,
∴2=a+b≥2,当且仅当a=b=1时取等号,
∴≤1.∴的最大值是1.故选D.
10.B ∵m,n为正数,
∴m+3n≥2=2×3=6,当且仅当m=3n=3时取等号,
∴m+3n的最小值为6,故选B.
11.答案 9
解析 依题意得,+=(2x+y)=5++≥5+2≥5+4=9,当且仅当x=y= 时取等号.故+的最小值为9.
12.解析 (1)∵x,y均为正实数,
∴1=4x+y≥2=4,
∴≤,xy≤,当且仅当4x=y,即x=,y=时取等号,故xy的最大值为.
(2)∵(x-1)(y-1)=1(x>1),
∴xy=x+y,即+=1,
∴3x+4y=(3x+4y)=3+++4≥7+2=7+4,
当且仅当=,即x=+1,y=+1时取等号,∴3x+4y的最小值为7+4.
能力提升练
1.D 因为0所以a2因为a≠b,所以a2+b2>2ab,a+b>2,
所以a+b的值最大,故选D.
2.CD 当a<0,b<0时,≥不成立,故A不符合题意;
当a<0时,a+≥2不成立,故B不符合题意;
=+≥2,当且仅当a=±b时,等号成立,故C符合题意;
∵2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
∴2(a2+b2)≥(a+b)2,故D符合题意.故选CD.
3.A x>0时,+≥2,当且仅当=,即x=1时取等号,A正确;
当x>2时,x+>2,故B不正确;
由x<可得4x-5<0,
故y=4x-2+=4x-5++3=-+3≤1,
当且仅当5-4x=,
即x=1时取等号,C不正确;
2不是定值,D不正确.
故选A.
易错警示 利用基本不等式求最大(小)值时要注意各项为正,当各项为负时,可通过提取负号转化为各项为正的情况求解,此时注意求解的是最大值还是最小值.
4.D 当x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,即2(x-1)+>-m-2恒成立.当x>1时,x-1>0,∴2(x-1)+≥2×=4,
当且仅当x=2时取等号,
∴-m-2<4,解得m>-6.故选D.
解题模板 解决不等式恒成立问题,常将不等式变形(分离变量等),再将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,符合“一正、二定、三相等”的则利用基本不等式求解最大(小)值.
5.C ∵b(a-b)≤=,∴a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当即时,等号成立.
6.D ∵a+b=1,∴+=a+b++=1+=1+.
又ab≤=,∴≥4,∴1+≥17,
∴+≥17,当且仅当a=b=时取等号.
故选D.
7.A 因为x+y=1,所以(x+1)+y=2,即[(x+1)+y]=1,
所以+=[(x+1)+y]=×≥=,
当且仅当即时,等号成立,故+的最小值为.故选A.
8.C ∵正数x,y满足x+y=2,∴+=(x+y)·=≥=2,当且仅当x=y=1时等号成立,∴A正确;
由x+y≥2,可得2≤2,即xy≤1,当且仅当x=y=1时等号成立,∴B正确;
由x+y=2得x2+y2+2xy=4,又2xy≤x2+y2,∴2(x2+y2)≥4,∴x2+y2≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,
∴C不正确;
由正数x,y满足x+y=2,可得x+(y+1)=3,则x(y+1)≤==,
当且仅当x=y+1,即x=,y=时,等号成立,故x(y+1)的最大值是,∴D正确.故选C.
方法技巧 本题还可利用≤≤≤快速求解.
9.解析 (1)∵a+b=4,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当4a2=b2,即a=,b=时取等号,
∴+的最小值为,此时a=,b=.
(2)∵2a2+b2=4a+4b,∴+===+≥2=,
当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号,
∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2.
(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6,∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=.
1第2课时 基本不等式的应用
基础过关练
题组一 利用基本不等式比较大小
1.若0A.b>>a> B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
2.若a>b>c,则与的大小关系是 .
3.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价 %,若p,q>0,且p≠q,则提价较多的方案是 .
题组二 利用基本不等式证明不等式
4.(2021安徽六安城南中学开学考试)已知a,b,c是三个不全相等的正数.求证:++>3.
5.(2021福建三明第一中学月考)已知a,b均为正实数,求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
6.(2022广东深圳南山外国语高级中学月考)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;(2)a2+b2+c2≥.
题组三 利用基本不等式解决实际问题
7.(2022江苏镇江一中段考)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.30件 B.60件
C.80件 D.100件
8.(2022湖北武汉中学月考)将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
9.某大型广场计划新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).求整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度.
10.(2022广东汕头澄海中学段考)修建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙部分需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/米,新墙的造价为180元/米,设利用的旧墙的长度为x米,修建此矩形场地围墙的总费用为y元.
(1)将y表示为x的函数;
(2)当x为何值时,修建此矩形场地围墙的总费用最少 最少为多少
能力提升练
题组一 利用基本不等式比较大小
1.(多选)(2021辽宁葫芦岛质量检测)已知两个不等正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是( )
A.ab< B.+<4
C.+< D.a2+b2>
2.(2022豫西名校联考)设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA.v= B.v=
C.题组二 利用基本不等式证明不等式
3.(2021湖南长沙长郡中学检测)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)≥9.
4.(1)已知a,b,c均为正数,求证:++≥(a+b+c);
(2)若00,b>0,求证:+≥(a+b)2.
5.(2022湖北武汉中学月考)设a>0,b>0,a+b=2.证明:
(1)≥4;
(2)a3+b3≥2.
题组三 基本不等式的综合应用
6.(2022豫西名校联考)如图,某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,泳池四周墙壁的建造单价为400元/平方米,中间一条隔壁的建造单价为100元/平方米,池底的建造单价为60元/平方米(池壁厚忽略不计且池的深度一定),欲使泳池的总造价最低,则泳池的长(与中间隔壁垂直的一边为泳池的长)应设计为( )
A.13米 B.14米 C.15米 D.16米
7.(2021山东日照五莲期中)某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p>0),第二年的年产量增长率为q(q>0,p≠q),这两年的年产量平均增长率为x,则( )
A.x= B.x= C.x> D.x<
8.(2022江西南昌八一中学月考)我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角形面积的最大值为 .
9.某品牌行车记录仪支架销售公司从去年起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.据统计,发现产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是 万元.
10.(2022河南南阳一中月考)某校为迎接新生,要设计一张如图所示的矩形广告牌,该广告牌设有大小相等的左、中、右三个矩形栏目,这三个矩形栏目的面积之和为60 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.
(1)设每个矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,试用a,b表示整个矩形广告牌的面积S(单位:cm2);
(2)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸,能使整个矩形广告牌面积最小 最小为多少
答案全解全析
基础过关练
1.C ∵0a+b,ab>a2,∴b>>>a.
故选C.
2.答案 ≥
解析 因为a>b>c,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.
3.答案 乙
解析 不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为,
易知≤=1+,当且仅当1+p%=1+q%,即p=q时等号成立,又p≠q,所以(1+p%)(1+q%)<,所以提价较多的方案是乙.
4.证明 ∵a,b,c是三个不全相等的正数,
∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2的等号不能同时成立,
则+++++>6,
∴++>3,
即++>3.
5.证明 由基本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,b2+a2≥2ab,
三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab·(a+b+1),当且仅当a=b=1时,取等号.所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
6.证明 (1)因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取“=”),
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取“=”).
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca,
即ab+bc+ac≤.
(2)由(1)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),
所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥当且仅当a=b=c=时取“=”.
7.B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,
则y==+≥2=30,当且仅当=,即x=60时等号成立,
故每批应生产产品60件.故选B.
8.C 设直角三角形框架的两条直角边的边长分别为x m,y m,x>0,y>0,则xy=2,即xy=4,
故三角形框架的周长为x+y+=(x+y+)m.
∵x+y≥2 =4,∴x+y+≥4+2,当且仅当x=y=2时取等号,又4+2≈6.83,∴结合选项可知用7 m的铁丝最合适.故选C.
9.解析 设BC=x m,则CD= m,
所以=(x+10)
=1 040+4x+
≥1 040+2=1 440,
当且仅当4x=,即x=50时,等号成立,
所以当边BC的长度为50 m时,整个项目占地面积最小.
10.解析 (1)设与旧墙垂直的一边长为a米,
则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360.
依题意可知xa=360,则a=,
所以y=225x+-360(x>2).
(2)∵x>2,∴225x+≥2×=10 800,
∴y=225x+-360≥10 440,
当且仅当225x=,即x=24时,等号成立.
故当x=24时,修建围墙的总费用最少,最少为10 440元.
能力提升练
1.ACD A.因为a,b为两个不等正数,所以<=,可得ab<,故选项A正确;
B.因为+==,所以由选项A可知,>4,故选项B不正确;
C.因为=a+b+2=1+2,所以由选项A可知,(+)2=1+2<2,所以+<,故选项C正确;
D.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,所以由选项A可知,a2+b2=1-2ab>,故选项D正确.
2.D 设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为+,
∴v==,故A错误;
∵b>a>0,∴由基本不等式可得<,∴v=<=,故B,C错误;
∵v-a=-a=>=0,
∴v>a,则a3.证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴++=++=2,
又+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立,
∴++≥8.
(2)证法一:∵a+b=1,∴1+=1+=2+,
同理,1+=2+,
又a>0,b>0,
∴==5+2≥5+4=9,当且仅当a=b=时等号成立,
∴≥9.
证法二:=1+++.
由(1)知,++≥8,
故=1+++≥9,当且仅当a=b=时,等号成立.
4.证明 (1)易得≤,∴≥=(a+b)(当且仅当a=b时,等号成立).
同理,≥(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立),≥(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立).
三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)=(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).
(2)∵00.
又∵a>0,b>0,
∴+=(x+1-x)=a2+b2+·b2+·a2≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=(a+b)2当且仅当·b2=·a2,即x=时,等号成立.
故+≥(a+b)2.
5.证明 (1)因为a+b=2,
所以==1+,
易知ab≤=1(当且仅当a=b=1时取等号),
所以1+≥1+=4.
故≥4.
(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+6ab
≤a3+b3+6×=a3+b3+6,当且仅当a=b=1时取等号,
又(a+b)3=23=8,所以a3+b3≥2.
6.C 设泳池的深为h米,长为x米,总造价为y元,则宽为米,
y=400×h+100×h+60×200
=800×h+12 000
≥1 600h+12 000=24 000h+12 000,
当且仅当x=,即x=15时等号成立.
故泳池的长设计为15米时,可使总造价最低.故选C.
7.D 由题意可得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,即(1+p)·(1+q)=(1+x)2.
易得(1+p)(1+q)≤,当且仅当p=q时取等号,
∵p≠q,∴(1+p)(1+q)<,
则1+x<=1+,即x<.
故选D.
8.答案 12
解析 ∵a=6,b+c=10,∴p==8,
结合三角形的三边关系可得2∴三角形的面积S==4≤4×=12,
当且仅当b=c=5时,等号成立,此时三边可以构成三角形.
因此,该三角形面积的最大值为12.
9.答案 37.5
解析 因为x=3-,
所以t=-1(1设月利润为y万元,
则y=x-32x-3-t=16x--3
=16x-+-3
=45.5-≤45.5-2=37.5,
当且仅当16(3-x)=,即x=时取等号,
故该公司的最大月利润为37.5万元.
10.解析 (1)由题意可得ab=20 000,
整个矩形广告牌的高为(a+20)cm,宽为(3b+30)cm,
则S=(a+20)(3b+30)=30(a+2b)+60 600.
(2)由ab=20 000,得b=,
∴S=30(a+2b)+60 600=30+60 600≥30×2+60 600=12 000+60 600=72 600,
当且仅当a=,即a=200时取等号,此时b=100.
故当矩形栏目的高为200 cm,宽为100 cm时,可使整个矩形广告牌的面积最小,最小为72 600 cm2.
12.3 二次函数与一元二次方程、不等式
基础过关练
题组一 一元二次不等式的解法
1.(2021河北邢台期中)不等式x2+5x>0的解集为( )
A.{x|x<0或x>5} B.{x|0C.{x|x<-5或x>0} D.{x|-52.不等式-x2-x+2≥0的解集为( )
A.{x|x≤-2或x≥1} B.{x|x≤-1或x≥2}
C.{x|-1≤x≤2} D.{x|-2≤x≤1}
3.(2021浙江五湖联盟期中联考)若a>2,则关于x的不等式ax2-(2+a)x+2>0的解集为( )
A. B.
C. D.
4.(2022河南南阳一中月考)用列举法表示集合B={x∈N|2x2-5x-3<0}
= .
5.(2021上海浦东新区期中)不等式(x-2)2≤4的解集为 .
6.(2022江苏南京师范大学附属中学月考)求下列不等式的解集:
(1)2x2-7x+3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.
7.(2022北京一零一中学期中)求关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0(a∈R)的解集.
题组二 三个“二次”之间的关系
8.不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-29.(2022安徽合肥六中段考)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则不等式cx2+bx+a<0的解集为( )
A. B.
C. D.
10.(2022江苏张家港期中)若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集为{x|x≠m},则m+k=( )
A.-1 B.0 C.-2 D.2
11.(2022北京房山期中)已知关于x的不等式x2+px-q<0的解集是{x|112.(2020湖南长沙雅礼中学检测)若二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若=,求k的值.
题组三 一元二次不等式的恒(能)成立问题
13.(2021浙江台州七校联盟联考)关于x的不等式x2-mx+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A.{m|0B.{m|m<-2或m>2}
C.{m|-2≤m≤2}
D.{m|-214.(2022北京丰台期中)若关于x的不等式ax2-x+a<0的解集为R,则a的取值范围是( )
A.a<-或a> B.a<-
C.-15.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≤-2或m≥2}
B.{m|-2≤m≤2}
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|-216.(2022北京首师大附中月考)若不等式ax2+ax-1>0的解集为 ,则实数a的取值范围是 .
题组四 一元二次不等式的实际应用
17.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的关系为y=3 000+20x-0.1x2(x∈N*),假设生产的产品均可售出,若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
18.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家的利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围是( )
A.90C.10019.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4 000平方米,则这块绿地的长与宽至少应为多少米
能力提升练
题组一 一元二次不等式的解法
1.(2021广东中山实验中学等四校联考)关于实数x的不等式a(x-a)(x+1)>0(a∈R)的解集不可能是( )
A.{x|x<-1或x>a} B.R
C.{x|-12.(多选)(2022河北石家庄一中适应性测试)关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是( )
A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}
B.当a<0时,不等式的解集为xx>4或x<-
C.当a<0时,不等式的解集为
D.当a=-时,不等式的解集为
3.(2022江苏南通如东高级中学阶段测试)不等式≤2的解集为 .
4.(2022北京首师大附中月考)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是 .
5.(2022安徽合肥六中段考)解关于x的不等式:mx2+(m-2)x-2>0.
题组二 三个“二次”的综合应用
6.(2022河南南阳一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为,则函数y=cx2-x-a的图象大致为( )
7.(2021安徽合肥第一中学段考)已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,若关于x的不等式x2+ax+bA.9 B.8 C.6 D.4
8.(多选)(2022湖北武汉中学月考)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|mm>0,则以下选项正确的有( )
A.a<0
B.c>0
C.cx2+bx+a>0的解集为
D.cx2+bx+a>0的解集为
9.(2021上海华东师范大学第二附属中学月考)已知关于x的不等式-1<<1的解集是{x|-210.(2020山西大同中学月考)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集为,求k的值;
(3)若不等式的解集是R,求k的取值范围;
(4)若不等式的解集是 ,求k的取值范围.
题组三 一元二次不等式的恒(能)成立问题
11.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)已知命题p: x∈R,mx2+1≤0;命题q: x∈R,x2+mx+1>0.若p,q都是假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≤-2 B.m≥2
C.m≥2或m≤-2 D.-2≤m≤2
12.(2022重庆缙云教育联盟质检)在R上定义运算:a b=(a+1)b.已知1≤x≤2时,存在x使不等式(m-x) (m+x)<4成立,则实数m的取值范围为( )
A.{m|-2C.{m|-313.(2022豫西名校联考)当x>0时,不等式x2+mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是 .
14.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为 .
题组四 一元二次不等式的应用
15.某商家一月份至五月份的累计销售额达3 860万元,预测六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是 .
16.(2022湖北武汉部分学校期中)若使集合A={x|(kx-k2-2k-2)(2x-5)>0,x∈Z}中的元素个数最少,则实数k的取值范围是 .
17.(2022安徽合肥六中段考)已知a,b∈R,且a2+b2+ab=1,则b的取值范围是 .
18.一个小型服装厂生产某种风衣,月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本为(500+30x)元.
(1)该厂的月产量为多少时,每月获得的利润不少于1 300元
(2)当月产量为多少时,可获得最大利润 最大利润是多少元
(注:假设生产的风衣均能售出)
答案全解全析
基础过关练
1.C 易得方程x2+5x=0的两根分别为-5,0,由函数y=x2+5x的图象(图略)知,不等式x2+5x>0的解集为{x|x<-5或x>0}.故选C.
2.D 由-x2-x+2≥0,可得x2+x-2≤0,即(x-1)(x+2)≤0,∴-2≤x≤1,∴不等式-x2-x+2≥0的解集为{x|-2≤x≤1}.故选D.
3.A 由ax2-(2+a)x+2>0,得(x-1)(ax-2)>0.
∵a>2,∴0<<1,
∴原不等式的解集为.
故选A.
4.答案 {0,1,2}
解析 由2x2-5x-3<0,得-5.答案 {x|0≤x≤4}
解析 由(x-2)2≤4,得-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4,
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤4}.
6.解析 (1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-1)(x-3)<0,解得所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为3x2-6x+2≥0,易知方程3x2-6x+2=0的两根为x=1±,结合函数y=3x2-6x+2的图象(图略),可得原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为(2x+1)2>0,所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,即(x-3)2+1<0,所以原不等式的解集为 .
7.解析 由x2+(a-1)x-a>0,可得(x+a)(x-1)>0①,
则当-a<1,即a>-1时,解不等式①,得x<-a或x>1;
当a=-1时,解不等式①,得x≠1;
当-a>1,即a<-1时,解不等式①,得x<1或x>-a.
综上所述,当a>-1时,不等式的解集为{x|x<-a或x>1};当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当a<-1时,不等式的解集为{x|x<1或x>-a}.
8.A ∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为(-2,0),(1,0),且开口向下,故选A.
9.A ∵不等式ax2+bx+c>0的解集为,
∴方程ax2+bx+c=0的实数根为-和2,且a<0,
∴解得
则不等式cx2+bx+a<0可化为-ax2-ax+a<0,
即2x2+5x-3<0,解得-3∴所求不等式的解集为.故选A.
10.C 由题意可得函数y=kx2-2x+k的图象开口向下,且与x轴只有1个交点,∴解得k=-1,
∴不等式为-x2-2x-1<0,即x2+2x+1>0,其解集为{x|x≠-1},∴m=-1,∴m+k=-2.
故选C.
11.答案 -3;-2
解析 因为不等式x2+px-q<0的解集为{x|1所以1和2是方程x2+px-q=0的两个实数根,
由根与系数的关系,知
解得
12.解析 (1)由题意可知,x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个不相等的实数根,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1.
又x1>1,x2>1,
∴
即
可得k>,且k≠1.
∴实数k的取值范围是kk>且k≠1.
(2)由得
∴x1x2=·=k2+1,即k2-8k+7=0,
解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
13.D ∵不等式x2-mx+1>0的解集为R,
∴函数y=x2-mx+1的图象在x轴上方,
∴方程x2-mx+1=0无实数解,∴Δ<0,即m2-4<0,解得-2∴实数m的取值范围是{m|-2故选D.
14.B 当a=0时,原不等式为-x<0,即x>0,不满足题意;
当a≠0时,若关于x的不等式ax2-x+a<0的解集为R,则解得a<-.故选B.
15.A ∵关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,且函数y=-x2+mx-1的图象开口向下,∴函数图象与x轴有交点,∴Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.故选A.
16.答案 {a|-4≤a≤0}
解析 当a=0时,不等式化为-1>0,解集为 ,满足题意;
当a≠0时,若不等式ax2+ax-1>0的解集为 ,则解得-4≤a<0.
综上,实数a的取值范围是{a|-4≤a≤0}.
17.C 令3 000+20x-0.1x2≤25x,得x2+50x-30 000≥0,解得x≤-200(舍去)或x≥150.故选C.
18.A 设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家的利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得019.解析 设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥4 000②,
由①②可得b2+30b-4 000≥0,即(b+15)2≥4 225,
所以b+15≥65或b+15≤-65(舍去),所以b≥50,
所以b至少为50,则a至少为80,
所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米.
能力提升练
1.B 当a>0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)>0,解得x>a或x<-1;
当a=0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为0>0,此时不等式的解集为 ;
当-10可化为(x-a)(x+1)<0,解得-1当a=-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x+1)2<0,此时不等式的解集为 ;
当a<-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)·(x+1)<0,解得a故A、C、D都有可能,B不可能.
故选B.
2.AD 当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A正确;由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,当a≠0时,对应方程(ax+2)(x-4)=0的两根为-,4,若即a<-,则原不等式的解集为,若即-0的解集为 ,故B、C不正确,D正确.故选AD.
3.答案 {x|x≥1或x<0}
解析 不等式≤2即-2≤0,∴≤0,即≤0,即≥0,∴∴x≥1或x<0,
故原不等式的解集为{x|x≥1或x<0}.
易错警示 解分式不等式,一要注意在分母符号不确定时不能直接去分母,而要移项、通分;二要注意分子可以为零,分母不能为零.
4.答案 -2≤a<-1或3解析 关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)·(x-a)<0,
当a>1时,不等式的解集为{x|1当a=1时,不等式的解集为 ,不满足题意;
当a<1时,不等式的解集为{x|a由不等式的解集中恰有两个整数,可知两整数是-1和0,所以-2≤a<-1.
综上,a的取值范围是-2≤a<-1或3易错警示 解决参数的取值范围问题要注意两点:一是对参数进行分类讨论时要全面,二是参数取值范围的端点能否取到需单独考虑.
5.解析 当m=0时,不等式化为-2x-2>0,解得x<-1;
当m>0时,不等式可化为(x+1)>0,
解得x<-1或x>;
当m<0时,不等式可化为(x+1)<0,
若<-1,则-2此时不等式的解集为x若m=-2,则不等式可化为(x+1)2<0,此时不等式的解集为 ,
若>-1,则m<-2,此时不等式的解集为.
综上,m=0时,不等式的解集是{x|x<-1};
m>0时,不等式的解集是;
-2m=-2时,不等式的解集是 ;
m<-2时,不等式的解集是.
6.C 由题可得-1和是方程ax2-x-c=0的两个根,且a<0,
∴解得
则y=cx2-x-a=-x2-x+2=-(x+2)(x-1),
则函数图象开口向下,与x轴的交点为(-2,0),(1,0).故选C.
7.D ∵函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,
∴Δ=a2-4b=0,∴b=,
∴函数y=x2+ax+b=,其图象的对称轴为直线x=-.
∵不等式x2+ax+b∴方程x2+ax+-c=0的根为m,m+4,
∴m+m+4=-a,解得m=,
∴c==4.
故选D.
8.AC 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m所以a<0,m,n是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以A正确;
由根与系数的关系可得
解得
因为n>m>0,所以c=mna<0,所以B错误;
cx2+bx+a>0可化为mnax2-(m+n)ax+a>0,
即mnx2-(m+n)x+1<0,即(mx-1)(nx-1)<0,
因为n>m>0,所以0<<,
所以不等式cx2+bx+a>0的解集为,
所以C正确,D错误.故选AC.
解题模板 运用 “三个二次”的关系解决一元二次不等式问题的关键是由一元二次不等式的解集得到对应二次函数的图象和对应方程的两根,再利用根与系数的关系建立参数间的关系,解题时要关注二次项系数的符号、二次函数的对称轴等特征.
9.答案 {2}
解析 不等式-1<<1等价于<1,即(ax+1)2<(x-1)2,即(a2-1)x2+2(a+1)x<0,
∵不等式的解集是{x|-2∴a2-1>0且-=-2,解得a=2.
故答案为{2}.
10.解析 (1)由不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}可知k<0,且x=-3与x=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,
∴-3+(-2)=,解得k=-.
(2)由不等式的解集为可知解得k=-.
(3)依题意知解得k<-.
(4)依题意知解得k≥.
11.B 若命题p为假命题,则命题p的否定为真命题,即 x∈R,mx2+1>0为真命题,当m=0时,1>0恒成立,满足条件,当m≠0时,可得m>0,故m≥0.
若命题q为假命题,则命题q的否定为真命题,即 ∈R,x2+mx+1≤0为真命题,
所以Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.
故若p,q都是假命题,则即m≥2.故选B.
12.C (m-x) (m+x)<4即(m-x+1)(m+x)=m2-x2+m+x<4,
则当1≤x≤2时,存在x使不等式m2+m由x2-x+4=+,可得x=2时,x2-x+4取得最大值,为6,
所以m2+m<6,解得-313.答案 {m|m>-6}
解析 当x>0时,不等式x2+mx+9>0可化为-m又当x>0时,x+≥2=6,
当且仅当x=,即x=3时等号成立,
∴-m<6,即m>-6.
∴实数m的取值范围是{m|m>-6}.
14.答案 {λ|-8≤λ≤4}
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意的a,b∈R恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.
15.答案 20
解析 由题意得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
16.答案 {k|-2≤k≤-1}
解析 ①当k=0时,集合A={x|-2(2x-5)>0,x∈Z}=,则A中元素有无数个,不符合题意.
②当k>0时,(kx-k2-2k-2)(2x-5)>0的解集的形式为{x|xx2}(其中x1,x2为对应方程的根且x1③当k<0时,易知A=x2+k+故k的取值范围为{k|-2≤k≤-1}.
17.答案
解析 因为a2+b2+ab=1,所以a2+ab+b2-1=0,即关于a的一元二次方程有解,
所以Δ=b2-4(b2-1)≥0,解得-≤b≤.
18.解析 (1)设该厂的月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500.
令y≥1 300,即-2x2+130x-500≥1 300,
则x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.
∴当月产量在20件至45件(包括20件和45件)之间时,月获利不少于1 300元.
(2)由(1)知y=-2x2+130x-500
=-2+.
∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值1 612,
∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润为1 612元.
1第二章 一元二次函数、
方程和不等式
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式x2≥2x的解集是( )
A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}
2.“a-c>b-d”是“a>b且cA.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},若B A,则实数a的取值范围为( )
A.a≥2 B.a>2
C.a≥4 D.a>4
4.若命题“ x∈R,使得不等式mx2+(m2-3)x+m<0”是真命题,则实数m的取值集合是( )
A.{m|-33}
C.{m|m≤0} D.{m|-35.已知x>1,则4x+的最小值是( )
A.4 B.8 C.12 D.20
6.一元二次不等式kx2-2x+6k≥0的解集是空集,则实数k的取值范围是( )
A.k<-或k> B.-C.-≤k≤ D.k<-
7.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>1} B.{x|1C.{x|x<-1或x>2} D.{x|-18.已知实数a>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,则(a+1)(b+2)的最小值为( )
A.24 B.3+13 C.9+13 D.25
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知aA.a2C.ab
10.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<<.其中能成为x>y的充分条件的是( )
A.① B.② C.③ D.④
11.下列选项中正确的是( )
A.若a≠0,则a+的最小值为4
B.若x∈R,则+的最小值为2
C.若ab<0,则+的最大值为-2
D.若正实数x,y满足x+2y=1,则+的最小值为8
12.下列命题为真命题的是( )
A.若一个直角三角形的斜边长为2,则它周长的最大值为2+2
B.若一个直角三角形的斜边长为2,则它面积的最大值为1
C.若ax2+bx+c>0的解集是{x|10的解集是{x|-2D.若ax2+bx+c>0的解集是{x|10的解集是
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知关于x的不等式x2-mx+>0对任意x∈R恒成立,则m的取值范围是 .
14.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为 .
15.若非负实数x,y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32,则x+2y的最小值为 .
16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)设x(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞)且>,x>y,求证:>.
18.(12分)已知关于x的不等式ax2+5x-2>0的解集是M.
(1)若a=3,求解集M;
(2)若M=,解关于x的不等式:>1.
19.(12分)已知a>0,b>0,且(a+b)=1.
(1)求+的最小值;
(2)是否存在a,b,使得+的值为 并说明理由.
20.(12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小 并求出最小值.
21.(12分)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0.
(1)当a=-1,b=2,c=1时,求该不等式的解集;
(2)从下面两个条件中任选一个,并求出此时该不等式的解集.
①a=1,b=-2-m,c=2m;②a=m,b=m-2,c=-2.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
22.(12分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:
①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元.
如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案 为什么
答案全解全析
1.D 由x2≥2x得x(x-2)≥0,解得x≤0或x≥2,故选D.
2.B 由“a>b且cb-d”,故是必要条件,由“a-c>b-d”推不出“a>b且c3.A 易得A={x|x>2或x<-4},B={x|x>a},若B A,则a≥2.
故选A.
4.B 当m=0时,不等式为-3x<0,显然有解,满足题意;
当m<0时,不等式对应的二次函数的图象开口向下,必然存在x∈R,使得不等式mx2+(m2-3)x+m<0成立;
当m>0时,有Δ>0,即-4m2>0,解得m2>9或m2<1,所以03.
综上可得,m<1或m>3.故选B.
5.B 由x>1,可得x-1>0,
则4x+=4(x-1)++4≥2+4=8,
当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立,
所以4x+的最小值是8.故选B.
6.D 由题意可知,一元二次不等式kx2-2x+6k<0对任意的x∈R恒成立,
所以解得k<-.故选D.
7.D 因为关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},所以关于x的方程ax-b=0的根为x=1,且a<0,∴a-b=0,即b=a.
故不等式>0即>0,等价于<0,解得-1因此,不等式>0的解集为{x|-18.D 因为ab-a-2b-2=0,所以b=,又a>0,b>0,
所以>0,解得a>2,
又b==1+,
所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2
=a+2b+2+2a+b+2=3a+3b+4
=3a++7=3(a-2)++13
≥2+13=25,
当且仅当3(a-2)=,即a=4时,等号成立,
故(a+1)(b+2)的最小值为25.故选D.
9.CD 当a=-2,b=-1时,a2>b2,ab>b2,∴A、B错误;∵aab,-=>0,即>,∴C、D正确.故选CD.
10.AD ①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,因此xt2>yt2是x>y的充分条件.
②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小关系,故xt>yt不是x>y的充分条件.
③令x=-2,y=1,则x2>y2,但xy2不是x>y的充分条件.
④由0<<可得,x>0,y>0,-<0,即<0,所以y-x<0,所以x>y,因此0<<是x>y的充分条件.
故选AD.
11.CD 对于A,若a<0,则a+无最小值,A错误;
对于B,因为>0,所以+≥2=2,
当且仅当=,即x2=-1时取“=”,显然不成立,B错误;
对于C,因为ab<0,所以-ab>0,则+=-≤-2×=-2,
当且仅当-=-,且ab<0,即a=-b时取“=”,C正确;
对于D,因为x,y均为正数,且x+2y=1,所以+=(x+2y)=4++≥4+2=8,
当且仅当=,即x=,y=时取“=”,D正确.故选CD.
12.ABC 对于A,B,设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,则a2+b2=4,
由于(a+b)2≤2(a2+b2)=8,所以a+b≤2,当且仅当a=b=时,等号成立,则此直角三角形周长的最大值为2+2,故A正确;
因为ab≤=2,当且仅当a=b=时,等号成立,
所以此直角三角形的面积S=ab≤1,故B正确;
对于C,若ax2+bx+c>0的解集是{x|1则1和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
则有可得b=-3a,c=2a,
所以不等式ax2-bx+c>0即ax2+3ax+2a>0,
所以x2+3x+2<0,即(x+1)(x+2)<0,解得-2故ax2-bx+c>0的解集为{x|-2对于D,由C的分析可得不等式cx2-bx+a>0即2ax2+3ax+a>0,又a<0,
所以2x2+3x+1<0,即(2x+1)(x+1)<0,解得-1故cx2-bx+a>0的解集是,故D错误.
故选ABC.
13.答案 {m|-解析 由题意得Δ=m2-2<0,解得-14.答案 {a|a≤2}
解析 当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,
∴a-1≤1,解得a≤2,∴1当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意;
当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1},
由B={x|x≥a-1},且A∪B=R,得a-1≤a,恒成立,∴a<1.
综上,a的取值范围为{a|a≤2}.
15.答案 4
解析 因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32,所以(x+2y)2+(2xy)2=32,
又(x+2y)2+(2xy)2≤(x+2y)2+(x+2y)4,当且仅当x=2y时取等号,
所以(x+2y)4+16(x+2y)2-32×16≥0,
所以(x+2y)2≥16或(x+2y)2≤-32(舍去),
故x+2y≥4或x+2y≤-4(舍去),
故x+2y的最小值为4.
16.答案 2
解析 当a=0时,不等式ax2+2x+b≥0即2x+b≥0,此不等式不恒成立,不符合题意;
当a≠0时,依题意知
∵存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,
∴4-4ab≥0 ab≤1,
因此ab=1,且a>0,从而b>0.
∵a>b,∴a-b>0,
∴=
=(a-b)+≥2,
当且仅当a-b=,即a=,b=时,等号成立.
17.解析 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y),(2分)
因为x0,x-y<0,所以-2xy(x-y)>0,(4分)
因此(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).(5分)
(2)证明:-=,(7分)
因为>,且a,b∈(0,+∞),
所以b>a>0.(8分)
又因为x>y>0,所以bx>ay,x+a>0,y+b>0,
所以>0,即>.(10分)
18.解析 (1)当a=3时,不等式为3x2+5x-2>0,即(3x-1)(x+2)>0,(2分)
所以x<-2或x>,故解集M=.(5分)
(2)因为M=,
所以和2是方程ax2+5x-2=0的两根,且a<0,(6分)
所以解得a=-2,(8分)
故不等式>1即>1,
移项并整理,得>0,即(4x-1)(2x-1)<0,(10分)
所以故不等式>1的解集为.(12分)
19.解析 ∵a>0,b>0,且(a+b)=1,
∴a+b=,(1分)
又a+b≥2,(2分)
∴≥2,∴ab≤.(3分)
(1)+≥2=≥4,
当且仅当a=b=时取等号.(6分)
(2)∵a>0,b>0,∴+≥2=,当且仅当2a=3b时,等号成立,又ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,∴+>,(10分)
∵<,∴不存在a,b,使得+的值为.(12分)
20.解析 (1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.
易得=,∴AM=,
∴=AN·AM=.(4分)
由S矩形AMPN>32,得>32,
又x>0,∴3x2-20x+12>0,
解得06,(7分)
即DN的长(单位:米)的取值范围是x06.(8分)
(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y===3x++12≥2+12=24,(10分)
当且仅当3x=,即x=2时,等号成立,此时y取得最小值24.(11分)
故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米.(12分)
21.解析 (1)当a=-1,b=2,c=1时,
不等式ax2+bx+c≥0即-x2+2x+1≥0,即x2-2x-1≤0,(1分)
解得1-≤x≤1+,
故当a=-1,b=2,c=1时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|1-≤x≤1+}.(4分)
(2)选择条件①a=1,b=-2-m,c=2m,
则不等式ax2+bx+c≥0即x2-(2+m)x+2m≥0,即(x-2)(x-m)≥0,(5分)
当m=2时,不等式(x-2)(x-m)≥0即(x-2)2≥0,解集为R; (7分)
当m>2时,不等式(x-2)(x-m)≥0的解集为{x|x≤2或x≥m};(9分)
当m<2时,不等式(x-2)(x-m)≥0的解集为{x|x≤m或x≥2}.(11分)
故若选择条件①a=1,b=-2-m,c=2m,则当m=2时,原不等式的解集为R;当m>2时,原不等式的解集为{x|x≤2或x≥m};当m<2时,原不等式的解集为{x|x≤m或x≥2}. (12分)
选择条件②a=m,b=m-2,c=-2,
则不等式ax2+bx+c≥0即mx2+(m-2)x-2≥0,(5分)
当m=0时,不等式mx2+(m-2)x-2≥0即-2x-2≥0,解得x≤-1;(6分)
当m>0时,不等式mx2+(m-2)x-2≥0即(mx-2)(x+1)≥0,即(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥; (8分)
当m<0时,不等式mx2+(m-2)x-2≥0即(mx-2)(x+1)≥0,即(x+1)≤0,
(i)当=-1,即m=-2时,(x+1)≤0即(x+1)2≤0,解得x=-1;(9分)
(ii)当>-1,即m<-2时,解(x+1)≤0,得-1≤x≤;(10分)
(iii)当<-1,即-2综上所述,若选择条件②a=m,b=m-2,c=-2,则当m<-2时,原不等式的解集为;当m=-2时,原不等式的解集为{-1};当-20时,原不等式的解集为.(12分)
22.解析 (1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为=++40,x∈[70,100].(2分)
又++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立,(3分)
所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(4分)
因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(5分)
(2)若该企业采用第一种补贴方案,设该企业每日获利为y1元,
由题可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(7分)
因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(8分)
若该企业采用第二种补贴方案,设该企业每日获利为y2元,由题可得
y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(10分)
因为x∈[70,100],所以当x=90时, 企业获利最大,最大利润为850元.(11分)
答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(12分)
答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但第一种补贴方案只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择第一种补贴方案.(12分)
答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但第二种补贴方案能够为社会做出更大的贡献,所以选择第二种补贴方案.(12分)
1本章复习提升
易混易错练
易错点1 不能正确使用不等式的性质导致错误
1.(多选)(2022江苏张家港期中)下列四个选项中,p是q的充分不必要条件的是( )
A.p:x>y,q:x3>y3
B.p:x>3,q:x>2
C.p:2D.p:a>b>0,m>0,q:<
2.(2022豫西名校联考)已知-1易错点2 忽略基本不等式的应用条件而致错
3.(2021安徽蚌埠第三中学检测)当x>0时,下列函数的最小值为2的是( )
A.y=x(2-x) B.y=
C.y=x2+-1 D.y=+
4.(2022辽宁沈阳郊联体期中)已知x,y均为正实数,且4x+5y=1,则+的最小值是 .
易错点3 忽略二次项系数的符号而致错
5.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m6.(2022北京四中适应性考试)设集合P={m|-1A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=
7.若ax2+(a-2)x-2≥0的解集为{x|x≤-1或x≥2},则a的值为 .
易错点4 忽略分式不等式中的分母不等于0而致错
8.(多选)(2022湖北武汉部分学校期中)已知集合A={-2,-1,0,1},B=,则( )
A.A∩B={-2,-1,0,1}
B.A∪B={x|-2C.A∩B={-1,0,1}
D.A∪B={x|-2≤x≤1}
9.(2022北师大实验中学期中)“≥1”是“x(x-1)≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10.解关于x的不等式:≤0.
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2021山西太原师院附中、师苑中学月考)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则不等式ax2-bx+c<0的解集是 .
2.(2021浙江台州实验中学月考)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为 .
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.(2022河北石家庄二中期中)已知函数y=mx2-mx-1.
(1)若m=,解不等式:y<0;
(2)解关于x的不等式:y<(m-1)x2+2x-2m-1.
4.(2021吉林长春东北师范大学附属中学段考)已知a∈R,求关于x的不等式ax2-(a2+1)x+a>0的解集.
三、数形结合思想在“三个二次”问题中的应用
5.当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是 .
6.已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
7.已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)若对任意x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
四、转化与化归思想在解不等式中的应用
8.(2022河北石家庄二中期中)若关于x的不等式x2+mx+1≤0在09.(2022山西太原期中)已知a>0,b>0,且a+b+6=ab,则ab的取值范围是 .
答案全解全析
易混易错练
1.BCD 对于A,由x>y可得到x3>y3;由x3>y3可得到x>y,故p是q的充要条件,故A不符合题意.
对于B,由x>3可得到x>2;当x=2.5时,x>2,但不满足x>3,故p是q的充分不必要条件,故B符合题意.
对于C,2对于D,-=,当a>b>0,m>0时,可得<0,即<;
当<,即<0时,可以有a=3,b=5,m=-2,得不出a>b>0,m>0,∴p是q的充分不必要条件,故D符合题意.
故选BCD.
2.答案 -4解析 设2x+3y=m(x+y)+n(x-y),
则所以
即2x+3y=(x+y)-(x-y).
因为-1所以-<(x+y)<10,-<-(x-y)<-1,
所以-4<(x+y)-(x-y)<9,即-4易错警示 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式的性质,否则易扩大范围.
3.B 对于选项A,当x>2时,2-x<0,此时y<0,不符合题意;
对于选项B,当x>0时,可得y==x+≥2×=2,当且仅当x=,
即x=1时,等号成立,
∴y=的最小值为2,符合题意;
对于选项C,y=x2+-1=x2+2+-3≥2×-3=1,
当且仅当x2+2=,即x=0时等号成立,不符合题意;
对于选项D,y=+≥2×=2,
当且仅当=,即x2+2=1时取等号,又x2+2=1无解,∴等号不成立,∴y的最小值不是2,不符合题意.
故选B.
4.答案 4
解析 因为x,y均为正实数,且4x+5y=1,
所以+=[(x+3y)+(3x+2y)]=2++
≥2+2=4,
当且仅当=且4x+5y=1,
即x=,y=时取等号,
故+的最小值是4.
易错警示 利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑两项和或两项积为定值,解决本题的关键是利用条件与待求式的关系,凑出定值,解题时易忽视两项和为定值的条件导致解题错误.
5.B 原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.
由m+n>0知m>-n,
所以原不等式的解集为{x|-n故选B.
易错警示 解一元二次不等式时要注意二次项系数是不是正数,若不是,则先化为正数再求解.
6.C 对于不等式mx2+4mx-4<0,
①当m=0时,不等式为-4<0,恒成立;
②当m<0时,若不等式对任意实数x恒成立,则需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得-1③当m>0时,易知不等式无法恒成立.
所以Q={m|-1因为P={m|-1易错警示 含参数的“一元二次不等式”对任意实数x恒成立,分两种情况:①二次项系数为0时,判断结论是否成立;②二次项系数不为0时,结合此不等式对应二次函数的图象列出不等式,进而求得参数的范围.本题中容易忽略对m=0的讨论,导致解题错误.
7.答案 1
解析 因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为{x|x≤-1或x≥2},
所以a>0,且方程ax2+(a-2)x-2=0的两个根为2和-1,
所以解得a=1.
易错警示 已知一元二次不等式的解集求参数时,注意由解集的形式确定二次项系数的符号,解含参数的“一元二次不等式”时,也要注意二次项系数的符号.
8.CD 易得B=={x|-2易错警示 把含等号的分式不等式化为整式不等式求解时,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.
9.A 由≥1可得0由x(x-1)≤0可得0≤x≤1,易知当x=0时,无意义,
所以“≥1”是“x(x-1)≤0”的充分不必要条件,故选A.
10.解析 ≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1此时原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1思想方法练
1.答案
解析 由题意,可得-2和-是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a>0,
由不等式的解集得到相应方程的根,体现了函数与方程思想.
所以解得
则不等式ax2-bx+c<0可化为ax2-ax+a<0,即2ax2-5ax+2a<0,
因为a>0,所以不等式等价于2x2-5x+2<0,
即(x-2)(2x-1)<0,解得即不等式ax2-bx+c<0的解集为.
2.答案 {m|2-2解析 设函数y=x2-mx+m+2,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=,
设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解.
①当≤-2,即m≤-4时,则有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,
又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-40,解得2-2∴2-2③当≥4,即m≥8时,则有42-m×4+m+2>0,
解得m<6,
又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2思想方法 函数与方程思想在本章中的体现
(1)利用函数图象讨论方程根的个数及分布情况,讨论不等式的解集情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用;
(3)利用方程解决与函数有关的问题.
函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.
3.解析 (1)当m=时,y=x2-x-1,不等式y<0即x2-x-1<0,即(x-2)(x+1)<0,解得-1(2)由y=mx2-mx-1得不等式为mx2-mx-1<(m-1)·x2+2x-2m-1,即x2-(m+2)x+2m<0,即(x-m)(x-2)<0.
对m与2的大小关系进行分类讨论,得到不等式的解集.
当m<2时,原不等式的解集为{x|m2时,原不等式的解集为{x|24.解析 对不等式的二次项系数是不是0进行讨论.
(1)当a=0时,原不等式可化为-x>0,解得x<0.
(2)当a>0时,原不等式可化为(x-a)>0,
要得到原不等式的解集,需对对应方程的两根和
a的大小进行分类讨论.
①当0a,原不等式的解集为;
②当a=1时,原不等式可化为(x-1)2>0,其解集为{x|x≠1};
③当a>1时,a或x<.
(3)当a<0时,原不等式可化为(x-a)<0,
要得到原不等式的解集,需对对应方程的两根和
a的大小进行分类讨论.
①当-1②当a=-1时,原不等式可化为(x+1)2<0,其解集为 ;
③当a<-1时,>a,原不等式的解集为.
综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x<0};
当0当a=1时,不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,不等式的解集为;
当-1当a=-1时,不等式的解集为 ;
当a<-1时,不等式的解集为.
思想方法 在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况:
(1)二次项系数为参数且没有给出具体范围时,要分大于0,等于0,小于0三种情况讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
5.答案
解析 由题知Δ=a2+8>0,且当x=0时,x2+ax-2=-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.
作出二次函数的图象,结合已知条件得出参数满足的条件.
由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5时有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.
6.解析 (1)由方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.
因此a的取值范围是{a|a<1}.
(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即解得-3因此a的取值范围是{a|-3(3)由方程的两个根都大于零,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,判别式不小于0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,
即解得0因此a的取值范围是{a|0作出二次函数的图象,结合根的分布情况得出参数满足的条件.
思想方法 数形结合思想在本章中的应用主要体现在与“三个二次”有关的问题中,在解题时要充分利用二次函数的图象形象直观地研究一元二次不等式的解集与一元二次方程的根.
7.解析 (1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4综上可知,实数m的取值范围是{m|-4(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,
只需在x=1,x=3处的函数值均为负即可,
即
解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则结合函数图象知,只需在x=1时的函数值为负即可,所以m-m-1<0,恒成立,所以m<0.
结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件.
综上所述,实数m的取值范围是.
8.答案 m≤-2
解析 当0分离参数,转化不等式.
若不等式在0则只需m≤,0进一步转化为求最值.
又-=-≤-2=-2,当且仅当x=1时,等号成立,
所以m≤-2.
9.答案 ab≥36
解析 ∵a>0,b>0,∴ab=a+b+6≥2+6,当且仅当a=b时等号成立,
∴ab≥4+12,
∴-4-12≥0,
即(-6)(+2)≥0,
∴≥6,∴ab≥36.
利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式,解不等式即可.
思想方法 转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化.
1综合拔高练
五年高考练
考点1 一元二次不等式及其应用
1.(2020全国Ⅰ文,1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=( )
A.{-4,1} B.{1,5}
C.{3,5} D.{1,3}
2.(2019天津,10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
3.(2021上海,4)不等式<1的解集为 .
考点2 基本不等式及其应用
4.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为 .
6.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
7.(2021天津,13)若a>0,b>0,则++b的最小值为 .
考点3 不等式的实际应用
8.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
9.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
三年模拟练
应用实践
1.(2022河北石家庄一中适应性测试)不等式x>的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|x<-1或x>1}
C.{x|-11}
D.{x| x<-1或02.(2022江苏镇江一中段考)设x∈R,则|x-2|<1的必要不充分条件可以是( )
A.x2-4x+3<0 B.≤0
C.>1 D.|x-2|=0
3.(2022天津耀华中学期中)正实数a,b,c满足a2-3ab+16b2-c=0,当取得最大值时,+-的最大值为( )
A. B. C. D.
4.(2020山东聊城期末)若不等式ax2+2x+a<0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
5.(2022福建厦门双十中学阶段测试)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4},则下列结论中,正确结论的序号是 .
①a>0;
②不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4};
③不等式cx2-bx+a<0的解集为xx<-或x>;
④a+b+c>0.
6.(2022天津南开中学期中)若x,y均为正实数,(x-y)2=(xy)3,求+的最小值.
7.(2022安徽合肥六中段考)已知集合A={x|(x-a)(x-a+1)≤0},B={x|x2+x-2<0}.
(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)设命题p: x∈B,x2+(2m+1)x+m2-m>8,若命题p为假命题,求实数m的取值范围.
8.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)已知x,y均为正实数,x+2y+xy=30.
(1)求xy的取值范围;
(2)求x+y的取值范围.
9.(2021湖南湘潭一中期中)某种商品原来每件售价为25元,年销售量为8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,年销售量将相应减少2 000件,要使该商品的年销售收入不低于原收入,每件定价最高为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元/件.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少达到多少万件时,才可能使明年的年销售收入不低于原收入与总投入之和 此时商品的定价为多少
迁移创新
10.(2020山东泰安第四中学月考)我们学习了二元基本不等式:如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立.利用基本不等式可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)请猜想:对于三元基本不等式,设a>0,b>0,c>0,则 ≤,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);
(2)利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;
(3)利用(1)中猜想的三元基本不等式求最值:
设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.
综合拔高练
五年高考练
1.D 由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-12.答案
解析 3x2+x-2<0 (x+1)(3x-2)<0,所以-13.答案 {x|-7解析 <1 -1<0 <0 (x+7)(x-2)<0,解得-74.A 由a>0,b>0,得4≥a+b≥2,即ab≤4,充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab≤4,但a+b=5>4,不满足a+b≤4,必要性不成立.故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,故选A.
5.答案 4
解析 ++=+=+≥2=4,
当且仅当=,即a+b=4时取等号.
又∵ab=1,∴或时取等号,
∴++的最小值为4.
6.答案
解析 由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=,∴x2+y2=+y2==+≥
2=,当且仅当=,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为.
7.答案 2
解析 因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2,
当且仅当即a=b=时等号成立,故++b的最小值为2.
8.答案 ①130 ②15
解析 ①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,
所以x≤15.
所以x的最大值为15.
9.答案 30
解析 设总费用为y万元,则y=×6+4x=4×≥4×2=240,当且仅当x=30时,等号成立,故x的值是30.
三年模拟练
1.C 不等式x>可化为x->0,即>0,等价于或解得x>1或-1所以原不等式的解集为{x|-11}.故选C.
2.B 由|x-2|<1得(x-2)2<1,解得1由x2-4x+3<0得1由≤0得1≤x<3,故选项B是必要不充分条件;
由>1得-1==>0,即(x-2)(x-3)<0,所以2由|x-2|=0,得x=2,故选项D是充分不必要条件.故选B.
3.C 由a2-3ab+16b2-c=0,得c=a2-3ab+16b2,
所以==≤=,
当且仅当=,即a=4b时等号成立,此时=,故c=20b2,
则+-=+-=-+,①
故当=3,即b=,a=,c=时,①式取得最大值,为.故选C.
4.答案 {a|a<-1}
解析 当a=0时,不等式化为2x<0,故x<0,不符合题意;
当a≠0时,要使不等式ax2+2x+a<0对任意x∈R恒成立,则有
解得a<-1.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a<-1}.
5.答案 ①④
解析 由ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4},可得a>0,-=7,=12,即b=-7a,c=12a,故①正确;不等式bx+c>0即-7ax+12a>0,即7x-12<0,解得x<,故②错误;不等式cx2-bx+a<0即a(12x2+7x+1)<0,即(3x+1)(4x+1)<0,其解集为,故③错误;易得a+b+c=6a>0,故④正确.故答案为①④.
6.解析 由(x-y)2=(xy)3两边同除以(xy)2,得=xy,
则=+=xy+≥2=4,当且仅当xy=,即或时,等号成立,所以+≥=2.故+的最小值为2.
7.解析 (1)易得A={x|(x-a)(x-a+1)≤0}={x|a-1≤x≤a},
B={x|x2+x-2<0}={x|-2∵x∈A是x∈B的充分不必要条件,∴A B,
∴解得-1(2)因为命题p: x∈B,x2+(2m+1)x+m2-m>8为假命题,
所以 p: x∈B,x2+(2m+1)x+m2-m≤8为真命题,
结合函数y=x2+(2m+1)x+m2-m-8的图象知,当x=-2,x=1时,函数值均不大于0,
即解得-1≤m≤2.
所以实数m的取值范围是{m|-1≤m≤2}.
8.解析 (1)因为x,y均为正实数,x+2y+xy=30,
所以30-xy=x+2y≥2,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时取等号,
整理得(30-xy)2≥8xy,解得xy≤18或xy≥50,
因为x,y均为正实数,x+2y+xy=30,所以0所以0(2)因为x,y均为正实数,
所以30=x+2y+xy=x+y+y(x+1)≤x+y+,
当且仅当x+1=y,即x=4-2,y=4-1时取等号,
所以(x+1+y)2+4(x+1+y)-124≥0,
所以x+y+1≥8-2或x+y+1≤-8-2(舍去),
故x+y≥8-3.
因为x,y均为正实数,x+2y+xy=30,所以x+y<30,所以8-3≤x+y<30.
9.解析 (1)设每件定价为t元,
依题意得t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,
解得25≤t≤40.
故要使该商品的年销售收入不低于原收入,每件定价最高为40元.
(2)依题意知当x>25时,不等式ax≥25×8+50+×(x2-600)+x有解,
等价于x>25时,a≥+x+有解,
由于+x≥2=10,
当且仅当=,即x=30时等号成立,
所以a≥10.2.
故当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的年销售收入不低于原收入与总投入之和,此时商品的定价为30元/件.
10.解析 (1)对照二元基本不等式,可以得到当a>0,b>0,c>0时,
≤,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,≥,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴·≥·==abc,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.
(3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤===,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.专题强化练1 利用基本不等式求最大(小)值
1.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)已知a>b>1,且b=,则a+的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2022吉林长春北师大附校月考)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )
A.1 B.3
C.6 D.9
3.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.(2021江苏苏州新草桥中学月考)正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥3 B.m<3
C.m<6 D.m≥6
5.(2021山东新高考联盟联考)已知1A.3+9 B.+6
C.6+9 D.12
6.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则的最小值为 .
7.(2022江苏镇江一中段考)若m>0,n>0,则n++的最小值为 .
8.(2022重庆缙云教育联盟质检)已知正实数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,求x+y的最小值.
9.(2022广东深圳南山外国语高级中学月考)已知x>0,y>0.
(1)若不等式++≥0恒成立,求实数m的最小值;
(2)若x+y=1,+≥9恒成立,求正实数a的最小值.
答案全解全析
1.A ∵a>b>1,b=,
∴a+=a+=a-1++1≥2+1=3,
当且仅当a-1=,即a=2时取等号,故a+的最小值为3.故选A.
2.B 由x2+2xy-3=0,可得y=,
则2x+y=2x+==+≥2=3,当且仅当x=1,y=1时取“=”.
故2x+y的最小值是3.故选B.
解题模板 求含有条件的关于两个变量的表达式的最大(小)值,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若解题时找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值.
3.B ∵a>0,b>0,+=1,
∴a>1,b>1,a+b=ab,
∴>0,>0,
∴+≥2=2=4,
当且仅当=,即a=,b=3时,等号成立.故选B.
4.A 因为正数a,b满足9a+b=ab,所以+=1,
所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,
当且仅当=,即a=4,b=12时取等号,
所以(a+b)min=16,
若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,
则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,
即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立,
因为-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
所以m≥3.
故选A.
5.C ∵1∴m-1>0,4-3m>0,
∴+=[(3m-3)+(4-3m)]=9++
≥9+6,
当且仅当=,即m=时取等号.故选C.
6.答案 9
解析 由x>0,y>0,且x+4y=1,
可得=(x+4y)=5++≥5+2=9,
当且仅当x=2y=时取等号,
所以的最小值为9.
7.答案 4
解析 ∵m>0,n>0,
∴n++≥n+2=n+≥2=4,
当且仅当n=2m=2时,等号成立.
8.解析 因为x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1,
因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1,所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,
因此x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+
≥2+=,
当且仅当(x+3y-1)=(2x+y-1),即即时取等号,所以x+y的最小值为.
导师点睛 题中条件是积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用条件中的两个因式表示,可用待定系数法求解,令x+y=m(x+3y)+n(2x+y),可得x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+,然后利用基本不等式求解最值即可.
9.解析 (1)∵x>0,y>0,++≥0恒成立,
∴(x+y)≥-m恒成立,
又(x+y)=2++≥4,当且仅当x=y时取等号,∴-m≤4,则m≥-4,
故m的最小值为-4.
(2)∵+≥9恒成立,∴≥9,
又x>0,y>0,a>0,x+y=1,
∴+=(x+y)=a+1++≥a+1+2=,当且仅当y=x时,等号成立,
∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4.
故a的最小值为4.
1专题强化练2 三个二次(二次函数、二次方程、
二次不等式)的综合运用
1.下列不等式的解集为实数集R的是( )
A.x2+4x+4>0 B.>0
C.x2-x+1≥0 D.-1<
2.若不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a+b的值为( )
A.5 B.-5
C.6 D.-6
3.(2022江苏镇江一中段考)若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在x∈{x|1≤x≤4}时有解,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-2 B.a≥-2
C.a≥-6 D.a≤-6
4.若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m的取值范围是( )
A.-2C.-25.(2022江苏南通如东高级中学阶段测试)关于x的不等式x2-ax-12a2<0的解集中任意两个数的差不超过14,则a的最大值与最小值的差是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(2022河北石家庄一中适应性测试)已知关于x的不等式(tx)2+tx-1-9x2-3x>0的解集为空集,则实数t的取值范围是( )
A.-3≤t≤ B.-3C.-3≤t<3 D.-≤t≤3
7.已知关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的取值范围是 .
8.(2022重庆缙云教育联盟质检)若 x∈R,关于x的不等式(a2-1)x2+(a+1)x+>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
9.(2022河南南阳一中月考)命题“ x∈R,ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是 .
10.设A={x|-21},B={x|x2+ax+b≤0},A∪B={x|x+2>0},
A∩B={x|111.在限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问谁应负主要责任
答案全解全析
1.C 当x=-2时,选项A中的不等式不成立;当x=0时,选项B中的不等式不成立;对于选项C,Δ=1-4<0,且y=x2-x+1的图象开口向上,故y=x2-x+1的图象与x轴无交点,所以不等式x2-x+1≥0的解集为R;当x=0时,选项D中的不等式不成立.故选C.
2.B 由题意知-1,是关于x的方程ax2+bx+1=0的两个根,且a<0,
∴解得
∴a+b=-5.
3.A 不等式x2-4x-2-a≥0在x∈{x|1≤x≤4}时有解,等价于当1≤x≤4时,a≤(x2-4x-2)max.
由二次函数y=x2-4x-2的图象知,当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2,所以a≤-2.故选A.
4.D 令y=x2+(m-1)x+m2-2,作出函数的大致图象,如图所示,
由图象知,当x=-1时,y=m2-m<0,解得0综上可得,05.B 不等式x2-ax-12a2<0可化为(x-4a)(x+3a)<0,
当a>0时,原不等式的解集为{x|-3a当a=0时,原不等式的解集为 ;
当a<0时,原不等式的解集为{x|4a由题意可得或
解得-2≤a≤2,且a≠0,
则a的最大值与最小值的差为2-(-2)=4.故选B.
6.D 原不等式可化为(t2-9)x2+(t-3)x-1>0.
①当t2-9=0时,t=±3.
若t=3,不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0化为-1>0,其解集为空集,因此t=3满足题意;
若t=-3,不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0化为-6x-1>0,即x<-,其解集不为空集,因此t=-3不满足题意,舍去;
②当t2-9≠0,即t≠±3时.
∵关于x的不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0的解集为空集,
∴解得-≤t<3.
综上所述,t的取值范围是-≤t≤3.故选D.
7.答案 5解析 易知二次函数y=x2-6x+a的图象开口向上,对称轴是直线x=3,如图所示.
若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则这3个整数为2,3,4,∴当x=2时,y=a-8≤0;当x=1时,y=a-5>0,∴58.答案 a≤-1或a>3
解析 若a2-1=0,则a=±1,
当a=1时,原不等式为2x+>0,解得x>-,不满足题意;
当a=-1时,原不等式为>0,恒成立,满足题意.
若a2-1≠0,则有解得a<-1或a>3.
综上所述,a的取值范围是a≤-1或a>3.
9.答案 a<0或a≥3
解析 易知“ x∈R,ax2-2ax+3≤0”为真命题,
所以有a<0或所以a<0或a≥3.
10.答案 -2,-3
解析 ∵A={x|-21},A∪B={x|x+2>0}={x|x>-2},
A∩B={x|1∴方程x2+ax+b=0的两个根是3,-1,
则解得
11.解析 设甲车车速为x甲km/h,乙车车速为x乙km/h.
由题意可得s甲=0.1x甲+0.01>12,s乙=0.05x乙+0.005>10,
分别求解,得x甲<-40(舍去)或x甲>30,x乙<-50(舍去)或x乙>40,
则乙车超过限速,故乙车应负主要责任.
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