苏教版2019高中数学必修1 第4章指数与对数 4.1.2 指数幂的拓展 课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
4.1.2　指数幂的拓展
第4章　§4.1　指　数
学习目标
通过对有理数指数幂 (a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
导语
牛顿(Newton 1643－1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，
…，所以可将 ，…写成 ， ， ，…，将
…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数
指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程.
课时对点练
一、根式与分数指数幂的互化
二、利用指数幂的运算性质化简和求值
三、整体代换法求分数指数幂
随堂演练
内容索引
根式与分数指数幂的互化
一
提示　 　
知识梳理
分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： (a>0,m，n∈均为正整数)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： (a>0,m,n均为正整数)；
(3)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .
0
没有意义
(1)分数指数幂 不可理解为 个a相乘，它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
注意点：
把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.
例1
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
反思感悟
把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.
跟踪训练1
利用指数幂的运算性质化简和求值
二
知识梳理
1.对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质，保持不变，即：
(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)；
2.一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.
实数
(1)有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘.
(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算.
注意点：
化简求值：
(1) ＋2－2× －(0.01)0.5；
例2
(2)
原式＝
(3)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a>0，b>0，c≠0).
原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
反思感悟
　　　 化简求值：
(1)
跟踪训练2
原式＝
(2)
原式＝
整体代换法求分数指数幂
三
(1)已知 ，则x2＋x－2＝____.
例3
将 ，两边平方得x＋x－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，
两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，
所以x2＋x－2＝7.
7
(2)已知x＋x－1＝7，求值：
① ；
设m＝ ，
两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
因为m>0，所以m＝3，即 ＝3
②x2－x－2.
设n＝ ，
两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
所以
利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2,
反思感悟
跟踪训练3
课堂
小结
1.知识清单：
(1)根式与分数指数幂的互化.
(2)分数指数幂的运算.
2.方法归纳：整体代换法.
3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根
式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
随堂演练
1.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是
A.
B. (y<0)
C. (x≠0)
D. (x>0)
1
2
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4
√
√
1
2
3
4
对于选项A，
因为 (x≥0)，
而 (x≤0)，故A错误；
对于选项B，因为 (y<0)，故B错误；
对于选项C， (x≠0)，故C正确；
对于选项D， (x>0)，故D正确.
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2. (a>0)的值为_______.
原式＝
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3.若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝_____.
∵10x＝3，∴102x＝9，
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4.计算：0.25× －4÷20－ ＝______.
＝4－4－4＝－4.
－4
课时对点练
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基础巩固
1.若 有意义，则x的取值范围是
将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，
√
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2.将 化为分数指数幂为
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
√
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3.化简　　　　　　　　　 　　(a>0，b>0)得
A. B.
C. D.
√
原式＝ ＝ .
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4.(多选)已知a＋ ＝6，则 的值可以为
A.－2 B.－
C. D.2
√
∵ ＝a＋ －2＝6－2＝4，
∴ ＝±2.
√
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5.若x>0，则 等于
A.－23 B.23
C. D.
√
原式＝ ＝ ＝－23.
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6.(多选)下列化简结果中正确的有(字母均为正数)
A.(am)n＝amn B.
C. D.an＋bn＝(a＋b)n
√
由指数幂的运算性质可得(am)n＝amn， ， ＝am－n≠ ，AB选项正确，C选项错误，
取a＝b＝1，n＝2，则an＋bn＝2≠22＝(a＋b)n，D选项错误.
√
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7.化简： ＝_____.
原式＝
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8.已知 ，则 ＝________.
因为 ＝a＋a－1＋2
＝ ＝9＋4＝13.
又因为
所以 ＝ .
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9.化简下列各式(x>0，y>0)：
(1) ；
＝6x0y1＝6y.
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＝x2y.
(2)
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10.计算：
原式＝
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原式＝
(2)
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综合运用
A.a16 　　B.a8 　　C.a4 　　 D.a2
√
原式＝　　　　 ＝a2a2＝a2＋2＝a4.
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12.(多选)下列各式中一定成立的有
A.
√
√
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C中当x＝y＝1时，等式不成立；
D正确.
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13.已知2a＝5b＝m，且 ＝2，则m等于
A. 　　B.10 　　 C.20 　　 D.100
√
由题意得m>0，
∵2a＝m,5b＝m，∴2＝　，5＝　，
∵2×5＝　　　　　 ，
∴m2＝10，∴m＝ .
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14.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为____.
所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.
将am＝22代入②得22·a－n＝28，
所以an＝2－6，
所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6
＝22＝4.
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①
②
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拓广探究
15.已知 ，则 ＝__________.
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∵ ，
两边平方得x＋x－1＋2＝9，
∴x＋x－1＝7，两边再平方得x2＋x－2＝47，
又(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝49－4＝45，
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16.对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝
70ω， ，求a，b，c的值.
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∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，
∴ ，∴ .
同理，可得 ， .
∴
即
∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.