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(
共点力的平衡、超重和失重
)
(
知识框架
)
(
共点力
平衡的条件
) (
失重的特点和规律
) (
超重和失重
) (
超重的特点和规律
) (
物体的动态平衡
) (
正交分解法解平衡问题
) (
平衡力、作用力与反作用力
) (
共点力的平衡
)
(
知识讲解
)
知识点1 物体的平衡
1．共点力作用下物体的平衡
（1）共点力的判别：
同时作用在同一物体上的各个力的作用线交于一点就是共点力．这里要注意的是“同时作用”和“同一物体”两个条件，而“力的作用线交于一点”和“同一作用点”含义不同．当物体可视为质点时，作用在该物体上的外力均可视为共点力：力的作用线的交点既可以在物体内部，也可以在物体外部．
（2）平衡状态：物体保持静止或做匀速直线运动
（3）共点力平衡条件：在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零．
①二力平衡时，两个力必等大、反向、共线；
②三力平衡时，若是非平行力，则三力作用线必交于一点，三力的矢量图必为一闭合三角形；
③多个力共同作用处于平衡状态时，这些力在任一方向上的合力必为零；
④多个力作用平衡时，其中任一力必与其它力的合力是平衡力；
⑤若物体有加速度，则在垂直加速度的方向上的合力为零．
（4）平衡力与作用力、反作用力
一对平衡力和一对作用力与反作用力都是大小相等、方向相反，作用在一条直线上的两个力．
一对平衡力 一对作用力与反作用力
作用对象 只能是同一物体 分别作用在两个物体上
力的性质 可以是不同性质的力 一定是同一性质的力
作用效果 二者的作用相互抵消 各自产生自己的效果，互不影响
（5）正交分解法解平衡问题
①正交分解法是解共点力平衡问题的基本方法，其优点是不受物体所受外力多少的限制．解题依据是根据平衡条件，将各力分解到相互垂直的两个方向上．
②正交分解方向的确定：原则上可随意选取互相垂直的两个方向；但是，为解题方便通常的做法是： 使所选取的方向上有较多的力；选取运动方向和与其相垂直的方向为正交分解的两个方向．在直线运动中，运动方向上可以根据牛顿运动定律列方程，与其相垂直的方向上受力平衡，可根据平衡条件列方程．使未知的力特别是不需要的未知力落在所选取的方向上，从而可以方便快捷地求解．
③解题步骤：
选取研究对象受力分析建立直角坐标系找角、分解力列方程求解．
(
随堂练习
)
如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为（ ）
A．mg和mg B．mg和mg
C．mg和mg D．mg和mg
【答案】A
如图所示，在粗糙的水平地面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别有两个质量为m和M的物体做匀速下滑，则粗糙水平地面对三角形木块（ ）
(
a
b
c
M
m
) A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定
D．以上结论都不对
【答案】D
三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心Oa位于球心，b球和c球的重心Ob、Oc分别位于球心的正上方和球心的正下方，如图所示，三球均处于平衡状态，支点P对a球的弹力为Na，对b球和c球的弹力分别为Nb和Nc，则（ ）
A．Na=Nb=Nc B．Nb>Na>Nc C．NbNb=Nc
【解析】本题主要考查弹力方向．接触面之间的弹力总是与接触面垂直，接触处为点—面接触，所以三种情况下，支点P、Q对球的弹力与球面垂直（即与球面在该处的切线垂直），都沿着它们与球心的连线指向球心，而不能想当然地错误认为弹力都沿着它们与重心的连线而指向重心．由对称性可知P、Q两点对球的作用力大小相等，平衡时，每一种情况下，P、Q两点对球的弹力的夹角一定．故由三力平衡知识可得：三种情景下P点对球的弹力相等，正确选项为A．
【答案】A
如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ．质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？
(
(
M+m
)
g
f
F
N
图甲
)【解析】选取A和B整体为研究对象，它受到重力（M+m）g，地面支持力N，墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用（如图甲所示）而处于平衡状态．根据平衡条件有：
N －（M+m）g=0 ①
F=f ②
可得N=（M+m）g ③
再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力NB，墙壁
对它的弹力F的作用（如图乙所示），而处于平衡状态，根据平衡条
(
N
B
mg
F
θ
图乙
)件有：
NBcosθ=mg ④
NBsinθ=F ⑤
解得F=mgtanθ ⑥
所以f=F=mgtanθ ⑦
【答案】（M+m）g mgtanθ
(
O
B
A
A
B
)如图所示，橡皮条OA和OA'之间的夹角为0°时，结点O吊着质量为1kg的砝码，O点恰好在圆心．现将A、A'分别移到同一竖直平面内的圆周上的B和B'点，且它们与竖直方向的夹角都为60°，要使O点仍在圆心上，则所挂砝码的质量只能是（ ）
A．1kg B．2kg
C．0.5kg D．/2kg
【答案】C
一个木块放在斜面上，用沿斜面方向的轻弹簧拉着处于静止．要使木块静止在斜面上，弹簧的最小伸长为ΔL1，最大伸长为ΔL2，已知弹簧的倔强系数为k．木块在斜面上受到的最大静摩擦力是__________．
(
A
B
C
F
)【答案】
如图所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC=α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，则摩擦力的大小为__________．
【答案】Fsin+mg
如图所示，质量分别为10 kg的物体A和B通过滑轮与物体C相连，平面和斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面的倾角为37°．若C刚好能匀速拉动A和B下滑，则物体C的质量为（重力加速度g取10 m/s2）（ ）
A．9.6 kg B．80 kg C．36 kg D．76 kg
【解析】物体A处于平衡状态，所以绳的拉力为T1＝μmAg＝20N，再分析B的受力情况，如图所示，f＝μmBgcosθ＝16N，T1′＝20N，所以T2＝f+T1′+mBgsinθ＝96N，物体C处于平衡状态，所以mCg＝T2＝96N，mC＝9.6kg．
【答案】A
两光滑平板MO、NO构成一具有固定的夹角θ0=75°的V形槽，一球置于槽内，用θ表示NO板与水平面之间的夹角，如图所示，若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大小，则下列θ值中哪个是正确的（ ）
? A．15° B．30° C．45° D．60°?
【解析】圆球受重力mg和两个挡板给它的支持力FN、FM，由于球对板NO压力的大
小等于球的重力，所以板对小球的支持力FN=mg，三力平衡，则必构成如图
所示首尾相接的矢量三角形，由于FN=mg，此三角形为等腰三角形，设底角
为β，则α+2β=180°，又因为四边形内角和为360°，则α+β+θ0=180°，θ0=75°，
解得α=30°，由几何关系得θ=α=30°．
(
A
B
C
F
θ
θ
图
1
)【答案】B
如图1所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．
【解析】作出A受力图如图2所示，由平衡条件有：
(
G
F
2
F
1
F
x
y
θ
θ
图
2
)Fcosθ-F2-F1cosθ=0，
Fsinθ+F1sinθ-mg=0，
要使两绳都能绷直，则有：F1
由以上各式可解得F的取值范围为：．
【答案】
均匀棒AB重G＝8N，Ａ端用细轻绳悬于O点．用水平力F拉棒的B端，当棒平衡时OA与竖直方向的夹角α＝37°（取sin37°＝0.6），如图所示，求水平拉力F和绳OA中拉力T．
【解析】棒仅受G、T、F三个力作用而平衡，故此三力共点．如图所示，三力的作用线均过C点，以过C点的水平直线为x轴，竖直线为y轴，应用正交法，由ΣFx＝0、ΣFy＝0，有： F－Tsinα＝0
G－Tcosα＝0
解出F＝6N，T＝10N．
【答案】6N 10N
如图所示，质量为m的物体放在水平放置的钢板C上，物体与钢板的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽AB的控制，该物体只能沿水平导槽运动，现使钢板以速度v向右运动，同时用力F沿导槽方向拉动物体使其以速度v1沿槽运动，则F的大小（ ）
A．等于μmg B．大于μmg C．小于μmg D．不能确定
【解析】物体m竖直方向上重力与支持力相互平衡，水平面上有F、f滑、NA、NB四个力，物体m的运动状态是平衡状态，NA与NB的合力向右，大小为（NA－NB），F与（NA－NB）的合力应等于反方向的摩擦力f滑，由图可知，显然满足滑动摩擦力的方向与合力运动方向相反的事实，故B项正确．
【答案】B
重力为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水平绳中的张力大小为F1，求地面对杆下端的作用力大小和方向？
(
O
α
)
【解析】地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和摩擦力的两个力的合力，这样杆共受三个彼此不平行的作用力，根据三力汇交原理知三力必为共点力，如图所示，设F与水平方向夹角为β，根据平衡条件有：Fsinβ=G，Fcosβ=F1，解得F=，β=arctan
(
O
α
G
F
1
F
β
)
当物体处于平衡状态时，由力的合成分解作出平行四边形，由三角形相似可列式求解．
【答案】F=，β=arctan
重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木板做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
【解析】取物块为研究对象，在与水平面夹θ角斜向右上方的拉力F作用下，物块沿水平面向右做匀速直线运动，此时，物块的受力情况如图所示，建立起水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向的直角坐标系，沿两坐标轴方向列出平衡方程为
Fcosθ－f=0；Fsinθ+N－mg=0．
考虑到动摩擦力f与正压力N间的关系，又有f=μN．
由上述三个方程消去未知量N和f，将F表示为θ的函数，得
F=μmg/（cosθ+μsinθ），
对上述表达式作变换，又可表示为F=，其中tanα=μ．
由此可知，当θ=arctanμ时，拉力F可取得最小值Fmin=μmg/．
其实，此例题可用“几何方法”分析求解：对物块做匀速直线运动时所受的四个力来说，重力mg的大小、方向均恒定；拉力F的大小和方向均未确定；由于支持力N与动摩擦力f的比值是确定的，做其合力R的大小未确定而方向是确定的（与竖直线夹α角），于是，把N与f合成为一个力R，物块所受的四个力即可等效地视为三个力R、mg和F，而这三个力的矢量关系可由图来表示．
由图便很容易得出结论：当拉力F与水平面夹角为α=arctan时，将取得最小值 Fmin=mgsinα= ．
【答案】，其中tanα=μ
如图所示，一个质量为m的物体放在斜面上，斜面倾角为θ，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，用一水平力F推物体使之在斜面上匀速上滑．求：
(1)推力F
(2)若倾角θ可变，那么θ等于多少时无论用多大的推力，也不能使物体上滑．
【解析】（1）在斜面方向上（x轴方向上）由平衡条件：
mgsinθ+Ff=Fcosθ ①
而Ff=μFN ②
沿y轴方向上：FN=mgcosθ+Fsinθ ③
联立①②③式解得
F=(sinθ+μcosθ)mg/(cosθ-μsinθ)
(2)由(1)知：F=(sinθ+μcosθ)mg/(cosθ-μsinθ)
可见当分母(cosθ-μsinθ)→0时，分数值F→∞．此时θ=arctan(1/μ)
故当θ≥arctan(1/μ)时，无论F多大，物体也不能上滑．
【答案】F=(sinθ+μcosθ)mg/(cosθ-μsinθ) θ≥arctan(1/μ)
(
知识讲解
)
知识点2 物体的动态平衡
动态平衡中的三力问题
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡．这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”．根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点．
方法一：三角形图解法．
特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题．
方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形．然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了．
方法二：相似三角形法．
特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的 问题．
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论．
方法三：作辅助圆法
特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：
①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变．
②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变．
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况．第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况．
方法四：解析法
特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题．
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系．当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系．
(
随堂练习
)
如图所示，质量为m的物体放在倾角为θ的斜面上始终保持静止，如果倾角逐渐减小，则（ ）
A．物体给斜面的压力逐渐加大
B．斜面给物体的摩擦力逐渐加大
C．斜面给物体的摩擦力逐渐减小
D．物体给斜面的压力先增大后减小
【答案】AC
(
F
)一个截面是直角三角形的木块放在水平地面上，在斜面上放一个光滑球，球的一侧靠在竖直墙上，木块处于静止，如图所示．若在光滑球的最高点再施加一个竖直向下的力F，木块仍处于静止，则木块对地面的压力N和摩擦力f的变化情况是（ ）
A．N增大，f增大
B．N增大，f不变
C．N不变，f增大
D．N不变，f不变
【答案】A（此题除了正规法解出所求力的表达式进行分析外，也可以采用等效的方法，一个竖直向下的力F相当于增加重力，来判定比较简单．）
(
A
B
F
)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3．若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中（ ）
A．F1保持不变，F3缓慢增大
B．F1缓慢增大，F3保持不变
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大
D．F2缓慢增大，F3保持不变
(
A
B
F
F
2
F
1
)【解析】力F产生了两个作用效果，一个是使B压紧竖直墙面的力F1，一个是压紧A的力F2，用整体法进行分析，可知F1和F3的大小相等，当力F缓慢增大时，合力的方向和两个分力的方向都没有发生变化，所以当合力增大时两个分力同时增大，C正确．
【答案】C
如图甲所示，粗糙长木板的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始木板处于水平位置．当木板向下转动，角逐渐增大的过程中，摩擦力Ff的大小随角变化最有可能的是图乙中的（ ）
图甲 图乙
【解析】当Ff为静摩擦力时Ff = mgsin，即按正弦规律变化；当木块滑动后Ff为动摩擦力，Ff =FN =mgcos，即按余弦规律变化．
【答案】B
(
B
A
4
m
)如图，两竖直固定杆间相距4m，轻绳系于两杆上的A、B两点，A、B间的绳长为5m．重G＝80N的物体p用重力不计的光滑挂钩挂在绳上而静止，求绳中拉力T．
【解析】光滑挂钩两侧的绳为同一根绳，它们的拉力相等，均为T，如图所示，由ΣFx＝0，ΣFy＝0，有：
Tcosα－Tcosβ＝0
Tsinα＋Tsinβ＝G
解出α＝β，．
设O点到两杆的水平距离分别为a和b，
则a＝cosα，ｂ＝cosβ＝cosα故有
a＋b＝（＋）cosα(式中＋为绳长).解出cosα＝＝，
sinα＝，从而进一步解出T＝66.7N．
【答案】66.7N
如图所示，两个质量分别为m、4m的质点AB之间用轻杆固结，并通过长L的轻绳挂在光滑的定滑轮上，求系统平衡时OA、OB段绳长各为多少？
(
A
m
B
4
m
O
)
【解析】分别以A、B为研究对象，作出受力图．此题中杆子处于自由状态，故其杆子的弹力必沿杆子的方向．由力三角形与几何三角形相似得：
(
A
m
B
4
m
O
mg
F
T
O
/
4
mg
F
)，，而OA＋OB=L，故OA=，．
【答案】，
(
30
○
30
○
45
○
G
0
A
C
B
)如图所示，轻杆AB和BC组成一个固定的三角形支架，重力不计的滑轮用轻绳OB系在B点，跨过滑轮的轻绳一端系一重物G＝100 N，另一端在拉力FT作用下使物体匀速上升，求两根轻杆所受的力（忽略滑轮的摩擦）．
【解析】选滑轮为研究对象，建立直角坐标，根据平衡条件有：
X方向：FTcos30○－Tcosθ=0
Y方向：Tsinθ－FTsin300－G=0
(
X
Y
F
BC
F
AB
T
60
○
4
5
○
3
0
○
)因为物体匀速上升，所以FT=G，代入解得θ=60○，T=
再以B点为研究对象，画出受力图，建立坐标．
X方向：Tcos60○＋FBCcos45○－FABcos30○=0
Y方向：FBCsin45○－T sin60○－FABsin30○=0
将T=代入得FBC=669N，FAB=646N
根据牛顿第三定律知杆AB所受拉力为646N，杆BC所受的压力为669N．
【答案】646N， 669N
(
F
R
)如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力F缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为N，则N，F的变化情况是（ ）
A．都变大
B．N不变，F变小
C．都变小
D．N变小，F不变
(
BB
A
Q
O
P
mg
N
F
)
【解析】对小球进行受力分析如图所示，显然ΔAOP与ΔPBQ相似．由相似三角形
性质有：(设OA=H，OP=R，AB=L)
因为mg、H、R都是定值，所以当L减小时，N不变，F减小．
【答案】B
(
F
A
B
)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物．现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉（均未断），在AB杆达到竖直前（ ）
A．绳子越来越容易断
B．绳子越来越不容易断
C．AB杆越来越容易断
D．AB杆越来越不容易断
【解析】因为轻杆，力的作用点在杆的一端，故杆中的作用力沿杆的方向．对B点受力分析，如图，当θ角减小时，绳中拉力减小．杆受到的压力沿杆的方向，故杆无所谓易断不易断．故B项正确．
【答案】B
如图所示，用等长细绳OA和OB悬挂着一个重物，保持重物的位置不变．现使OB端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C移动，在这过程中，OB绳中的张力的最小值是多少？
【解析】O点在重力G、OA和OB绳的张力TA和TB的三个力作用下处于平衡状态，G、TA、TB组成闭合三角形．G的大小、方向已知，TA方向与G的夹角为，欲求最小值，则必需垂直于，且．
【答案】
(
A
O
B
)如图所示，小圆环重G，固定的竖直大环的半径为R．轻弹簧原长为L（L<2R）其劲度系数为k，接触面光滑，求小环静止时，弹簧与竖直方向的夹角？（请分别用两种不同的方法求解）
【解析】方法１：相似三角形法：选取小球为研究对象并对它进行受力分析．受力
分析时要注意讨论弹簧对小球的弹力方向（弹簧是被拉长还是被压缩了）和
大环对小环的弹力方向（指向圆心还是背离圆心）的可能性．受力图示如图所示．
△ACD（力）∽△ACO（几何）
G/R=T/2Rcos
T=k（2Rcos-L）
解得
方法２：正交分解法：如图所示，选取坐标系，以小环所在位置为
坐标原点，过原点沿水平方向为x轴，沿竖直方向为y轴．据Fx=0，
Fy=0，建立方程有
-Tsin+Nsin2=0
Tcos-G-Ncos2=0
解得 T=2Gcos
而T=k（2Rcos-L）
所以
【答案】
有一个支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有一个小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是（ ）
A．N不变，T变大 B．N不变，T变小
C．N变小，T变大 D．N变大，T变小
【解析】先用整体法，将P环和Q环看作一个整体．整体受到两个环的
重力G=2mg，OA杆的支持力N和摩擦力f，OB杆的支持力F．如
图所示．由共点力平衡易知N=G=2mg，大小不变．
再用隔离法，将Q环单独隔离出来分析，Q环受到重力G1=mg，OB杆的支持力F和绳子的拉力T，如图所示．仔细分析发现，Q环受力满足图解法受力特点，由图解法易知T变小．
【答案】B
一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )
A．FN先减小，后增大 B．FN始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变
(
A
F
B
O
θ
) (
A
F
B
O
θ
G
F
N
F
L
l
H
)
【解析】取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图所示，设AO高为H，BO长为L，绳长l)，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小．
【答案】B
(
β
α
)如图所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
【解析】取球为研究对象，如图所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2．因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形．F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直．F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图中一画出的一系列虚线表示变化的F2．由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小．
(
β
α
G
F
1
F
2
F
1
G
F
2
)
【答案】F2先减小后增大，F1随增大而始终减小
轻绳的两端A、B固定在天花板上，绳能承受的最大拉力为120N．现用挂钩将一重物挂在绳子上，结果挂钩停在C点，如图所示，两端与竖直方向的夹角分别为37°和53°．求：
(
37
0
53
0
A
C
B
)（1）此重物的最大重力不应超过多少 sin370=0.6；cos370=0.8
（2）若将挂钩换成一个光滑的小滑轮，重物的最大重力可达多大
【解析】（1）取C点为研究对象进行受力分析如图甲所示：
由图可知，物体平衡时AC上的张力比BC上大，所以当
(
B
37
0
53
0
A
C
T
1
T
2
G
图甲
)AC上的张力为最大值120N时，BC上的张力小于120N，
由三角形法则重物的最大重力为：
（2）在图甲中，由几何关系设AB=s，则绳长l=0.6s+0.8s=1.4s；
(
B
θ
A
C
图乙
T
T
G
)若将挂钩换成滑轮，则两根绳子的张力大小相相等，对C点受力分
析，如图乙所示，由几何关系cosθ=
由三角形法则重物的最大重力为：，
则：．
【答案】150N 168N
(
知识讲解
)
知识点四：超重、失重
（一）、超重
1、现象：体重计的示数（视重）大于实际重力的现象；
2、受力特征：向上的力大于向下的重力，即（如图）；
3、运动特征：有向上的加速度，所以物体可能做向上加速运动或向下减速运动。
（二）、失重
1、现象：体重计的示数（视重）小于实际重力的现象；
2、受力特征：向上的力小于向下的重力，即（如图）；
3、运动特征：有向下的加速度，所以物体可能做向下加速运动或向上减速运动。
（三）、完全失重
1、现象：体重计的示数为零的现象；
2、受力特征：只受向下的重力；
3、运动特征：向下的加速度为g，如：自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动。
注：超重、失重不是指物体的重力增大、减小，只是体重计的示数发生了变化，而物体的重力大小是不发生变化的。
(
随堂练习
)
关于超重和失重，下列说法中正确的是（ ）
A．超重就是物体的重力增加了
B．失重就是物体的重力减小了
C．完全失重就是物体不受重力作用
D．不论超重、失重或完全失重，物体所受重力是不变的
【答案】D
在升降电梯内的地面上放一体重计，电梯静止时，晓敏同学站在体重计上，体重计示数为50 kg，电梯运动过程中，某一段时间内晓敏同学发现体重计示数如图所示，在这段时间内下列说法中正确的是（ ）
A．晓敏同学所受的重力变小了
B．晓敏对体重计的压力小于体重计对晓敏的支持力
C．电梯一定在竖直向下运动
D．电梯的加速度大小为g/5，方向一定竖直向下
【答案】D
【解析】晓敏在这段时间内处于失重状态，是由于晓敏对体重计的压力变小了，而晓敏的重力没有改变，A选项错；晓敏对体重计的压力与体重计对晓敏的支持力是一对作用力与反作用力，大小一定相等，B选项错，以竖直向下为正方向，有：mg－F＝ma，即50g－40g＝50a，解得a＝g/5，方向竖直向下，但速度方向可能是竖直向上，也可能是竖直向下，C选项错，D选项正确．
某研究性学习小组用实验装置模拟火箭发射卫星．火箭点燃后从地面竖直升空，燃料燃尽后火箭的第一级第二级相继脱落，实验中测得卫星竖直方向的速度——时间图象如图所示，设运动中不计空气阻力，燃料燃烧时产生的推力大小恒定．下列判断正确的是（ ）
A．时刻卫星到达最高点，时刻卫星落回地面
B．卫星在时间内的加速度大于时间内的加速度
C．时间内卫星处于超重状态
D．时间内卫星处于超重状态
【答案】C
【解析】由速度——时间图线的斜率可知，卫星在、时间内匀加速上升，卫星处于超重状态，且小于时间内的加速度；时间内，卫星匀减速上升，处于失重状态。在整个过程中，卫星一直在上升，所以时刻卫星到达最高点。
某人在地面上用弹簧秤称得其体重为490N，他将弹簧秤移至电梯内称其体重，至时间段内，弹簧秤的示数如图所示，电梯运行的图可能是（取电梯向上运动的方向为正）（ ）
【答案】A
【解析】由图5可知，在t0-t1时间内，弹簧秤的示数小于实际重量，则处于失重状态，此时具有向下的加速度，在t1-t2阶段弹簧秤示数等于实际重量，则既不超重也不失重，在t2-t3阶段，弹簧秤示数大于实际重量，则处于超重状态，具有向上的加速度，若电梯向下运动，则t0-t1时间内向下加速，t1-t2阶段匀速运动，t2-t3阶段减速下降，A正确；BD不能实现人进入电梯由静止开始运动，C项t0-t1内超重，不符合题意。
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(
共点力的平衡、超重和失重
)
(
知识框架
)
(
共点力平衡的条件
) (
失重的特点和规律
) (
超重和失重
) (
超重的特点和规律
) (
物体的动态平衡
) (
正交分解法解平衡问题
) (
平衡力、作用力与反作用力
) (
共点力的平衡
)
(
知识讲解
)
知识点1 物体的平衡
1．共点力作用下物体的平衡
（1）共点力的判别：
同时作用在同一物体上的各个力的作用线交于一点就是共点力．这里要注意的是“同时作用”和“同一物体”两个条件，而“力的作用线交于一点”和“同一作用点”含义不同．当物体可视为质点时，作用在该物体上的外力均可视为共点力：力的作用线的交点既可以在物体内部，也可以在物体外部．
（2）平衡状态：物体保持静止或做匀速直线运动
（3）共点力平衡条件：在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零．
①二力平衡时，两个力必等大、反向、共线；
②三力平衡时，若是非平行力，则三力作用线必交于一点，三力的矢量图必为一闭合三角形；
③多个力共同作用处于平衡状态时，这些力在任一方向上的合力必为零；
④多个力作用平衡时，其中任一力必与其它力的合力是平衡力；
⑤若物体有加速度，则在垂直加速度的方向上的合力为零．
（4）平衡力与作用力、反作用力
一对平衡力和一对作用力与反作用力都是大小相等、方向相反，作用在一条直线上的两个力．
一对平衡力 一对作用力与反作用力
作用对象 只能是同一物体 分别作用在两个物体上
力的性质 可以是不同性质的力 一定是同一性质的力
作用效果 二者的作用相互抵消 各自产生自己的效果，互不影响
（5）正交分解法解平衡问题
①正交分解法是解共点力平衡问题的基本方法，其优点是不受物体所受外力多少的限制．解题依据是根据平衡条件，将各力分解到相互垂直的两个方向上．
②正交分解方向的确定：原则上可随意选取互相垂直的两个方向；但是，为解题方便通常的做法是： 使所选取的方向上有较多的力；选取运动方向和与其相垂直的方向为正交分解的两个方向．在直线运动中，运动方向上可以根据牛顿运动定律列方程，与其相垂直的方向上受力平衡，可根据平衡条件列方程．使未知的力特别是不需要的未知力落在所选取的方向上，从而可以方便快捷地求解．
③解题步骤：
选取研究对象受力分析建立直角坐标系找角、分解力列方程求解．
(
随堂练习
)
如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为（ ）
A．mg和mg B．mg和mg
C．mg和mg D．mg和mg
如图所示，在粗糙的水平地面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别有两个质量为m和M的物体做匀速下滑，则粗糙水平地面对三角形木块（ ）
(
a
b
c
M
m
) A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定
D．以上结论都不对
三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心Oa位于球心，b球和c球的重心Ob、Oc分别位于球心的正上方和球心的正下方，如图所示，三球均处于平衡状态，支点P对a球的弹力为Na，对b球和c球的弹力分别为Nb和Nc，则（ ）
A．Na=Nb=Nc B．Nb>Na>Nc C．NbNb=Nc
如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ．质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？
(
O
B
A
A
B
)如图所示，橡皮条OA和OA'之间的夹角为0°时，结点O吊着质量为1kg的砝码，O点恰好在圆心．现将A、A'分别移到同一竖直平面内的圆周上的B和B'点，且它们与竖直方向的夹角都为60°，要使O点仍在圆心上，则所挂砝码的质量只能是（ ）
A．1kg B．2kg
C．0.5kg D．/2kg
一个木块放在斜面上，用沿斜面方向的轻弹簧拉着处于静止．要使木块静止在斜面上，弹簧的最小伸长为ΔL1，最大伸长为ΔL2，已知弹簧的倔强系数为k．木块在斜面上受到的最大静摩擦力是__________．
如图所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC=α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，则摩擦力的大小为__________．
如图所示，质量分别为10 kg的物体A和B通过滑轮与物体C相连，平面和斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面的倾角为37°．若C刚好能匀速拉动A和B下滑，则物体C的质量为（重力加速度g取10 m/s2）（ ）
A．9.6 kg B．80 kg C．36 kg D．76 kg
两光滑平板MO、NO构成一具有固定的夹角θ0=75°的V形槽，一球置于槽内，用θ表示NO板与水平面之间的夹角，如图所示，若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大小，则下列θ值中哪个是正确的（ ）
? A．15° B．30° C．45° D．60°?
(
A
B
C
F
θ
θ
图
1
)如图1所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．
均匀棒AB重G＝8N，Ａ端用细轻绳悬于O点．用水平力F拉棒的B端，当棒平衡时OA与竖直方向的夹角α＝37°（取sin37°＝0.6），如图所示，求水平拉力F和绳OA中拉力T．
如图所示，质量为m的物体放在水平放置的钢板C上，物体与钢板的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽AB的控制，该物体只能沿水平导槽运动，现使钢板以速度v向右运动，同时用力F沿导槽方向拉动物体使其以速度v1沿槽运动，则F的大小（ ）
A．等于μmg B．大于μmg
C．小于μmg D．不能确定
重力为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水平绳中的张力大小为F1，求地面对杆下端的作用力大小和方向？
(
O
α
)
重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木板做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
如图所示，一个质量为m的物体放在斜面上，斜面倾角为θ，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，用一水平力F推物体使之在斜面上匀速上滑．求：
(1)推力F
(2)若倾角θ可变，那么θ等于多少时无论用多大的推力，也不能使物体上滑．
(
知识讲解
)
知识点2 物体的动态平衡
动态平衡中的三力问题
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡．这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”．根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点．
方法一：三角形图解法．
特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题．
方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形．然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了．
方法二：相似三角形法．
特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的 问题．
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论．
方法三：作辅助圆法
特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：
①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变．
②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变．
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况．第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况．
方法四：解析法
特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题．
原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系．当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系．
(
随堂练习
)
如图所示，质量为m的物体放在倾角为θ的斜面上始终保持静止，如果倾角逐渐减小，则（ ）
A．物体给斜面的压力逐渐加大
B．斜面给物体的摩擦力逐渐加大
C．斜面给物体的摩擦力逐渐减小
D．物体给斜面的压力先增大后减小
(
F
)一个截面是直角三角形的木块放在水平地面上，在斜面上放一个光滑球，球的一侧靠在竖直墙上，木块处于静止，如图所示．若在光滑球的最高点再施加一个竖直向下的力F，木块仍处于静止，则木块对地面的压力N和摩擦力f的变化情况是（ ）
A．N增大，f增大
B．N增大，f不变
C．N不变，f增大
D．N不变，f不变
(
A
B
F
)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3．若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中（ ）
A．F1保持不变，F3缓慢增大
B．F1缓慢增大，F3保持不变
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大
D．F2缓慢增大，F3保持不变
如图甲所示，粗糙长木板的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始木板处于水平位置．当木板向下转动，角逐渐增大的过程中，摩擦力Ff的大小随角变化最有可能的是图乙中的（ ）
图甲 图乙
(
B
A
4
m
)如图，两竖直固定杆间相距4m，轻绳系于两杆上的A、B两点，A、B间的绳长为5m．重G＝80N的物体p用重力不计的光滑挂钩挂在绳上而静止，求绳中拉力T．
如图所示，两个质量分别为m、4m的质点AB之间用轻杆固结，并通过长L的轻绳挂在光滑的定滑轮上，求系统平衡时OA、OB段绳长各为多少？
(
A
m
B
4
m
O
)
(
30
○
30
○
45
○
G
0
A
C
B
)如图所示，轻杆AB和BC组成一个固定的三角形支架，重力不计的滑轮用轻绳OB系在B点，跨过滑轮的轻绳一端系一重物G＝100 N，另一端在拉力FT作用下使物体匀速上升，求两根轻杆所受的力（忽略滑轮的摩擦）．
(
F
R
)如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力F缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为N，则N，F的变化情况是（ ）
A．都变大
B．N不变，F变小
C．都变小
D．N变小，F不变
(
F
A
B
)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物．现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉（均未断），在AB杆达到竖直前（ ）
A．绳子越来越容易断
B．绳子越来越不容易断
C．AB杆越来越容易断
D．AB杆越来越不容易断
如图所示，用等长细绳OA和OB悬挂着一个重物，保持重物的位置不变．现使OB端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C移动，在这过程中，OB绳中的张力的最小值是多少？
(
A
O
B
)如图所示，小圆环重G，固定的竖直大环的半径为R．轻弹簧原长为L（L<2R）其劲度系数为k，接触面光滑，求小环静止时，弹簧与竖直方向的夹角？（请分别用两种不同的方法求解）
有一个支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有一个小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是（ ）
A．N不变，T变大 B．N不变，T变小
C．N变小，T变大 D．N变大，T变小
一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )
A．FN先减小，后增大 B．FN始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变
(
A
F
B
O
θ
)
(
β
α
)如图所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
轻绳的两端A、B固定在天花板上，绳能承受的最大拉力为120N．现用挂钩将一重物挂在绳子上，结果挂钩停在C点，如图所示，两端与竖直方向的夹角分别为37°和53°．求：
(
37
0
53
0
A
C
B
)（1）此重物的最大重力不应超过多少 sin370=0.6；cos370=0.8
（2）若将挂钩换成一个光滑的小滑轮，重物的最大重力可达多大
(
知识讲解
)
知识点四：超重、失重
（一）、超重
1、现象：体重计的示数（视重）大于实际重力的现象；
2、受力特征：向上的力大于向下的重力，即（如图）；
3、运动特征：有向上的加速度，所以物体可能做向上加速运动或向下减速运动。
（二）、失重
1、现象：体重计的示数（视重）小于实际重力的现象；
2、受力特征：向上的力小于向下的重力，即（如图）；
3、运动特征：有向下的加速度，所以物体可能做向下加速运动或向上减速运动。
（三）、完全失重
1、现象：体重计的示数为零的现象；
2、受力特征：只受向下的重力；
3、运动特征：向下的加速度为g，如：自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动。
注：超重、失重不是指物体的重力增大、减小，只是体重计的示数发生了变化，而物体的重力大小是不发生变化的。
(
随堂练习
)
关于超重和失重，下列说法中正确的是（ ）
A．超重就是物体的重力增加了
B．失重就是物体的重力减小了
C．完全失重就是物体不受重力作用
D．不论超重、失重或完全失重，物体所受重力是不变的
在升降电梯内的地面上放一体重计，电梯静止时，晓敏同学站在体重计上，体重计示数为50 kg，电梯运动过程中，某一段时间内晓敏同学发现体重计示数如图所示，在这段时间内下列说法中正确的是（ ）
A．晓敏同学所受的重力变小了
B．晓敏对体重计的压力小于体重计对晓敏的支持力
C．电梯一定在竖直向下运动
D．电梯的加速度大小为g/5，方向一定竖直向下
某研究性学习小组用实验装置模拟火箭发射卫星．火箭点燃后从地面竖直升空，燃料燃尽后火箭的第一级第二级相继脱落，实验中测得卫星竖直方向的速度——时间图象如图所示，设运动中不计空气阻力，燃料燃烧时产生的推力大小恒定．下列判断正确的是（ ）
A．时刻卫星到达最高点，时刻卫星落回地面
B．卫星在时间内的加速度大于时间内的加速度
C．时间内卫星处于超重状态
D．时间内卫星处于超重状态
某人在地面上用弹簧秤称得其体重为490N，他将弹簧秤移至电梯内称其体重，至时间段内，弹簧秤的示数如图所示，电梯运行的图可能是（取电梯向上运动的方向为正）（ ）
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