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自由落体
)
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知识讲解
)
知识点1 自由落体运动
1．自由落体运动
（1）定义
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫自由落体运动（free-fall motion）．
这种运动只在没有空气的空间才能发生，在有空气的空间，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略，物体的下落也可以近似看作自由落体运动．
（2）特点
①初速度
②受力特点：只受重力作用，没有空气阻力或空气阻力可忽略不计．
③加速度是重力加速度，其大小不变，方向始终竖直向下．
（3）运动性质：自由落体运动是初速度为零加速度为的匀加速直线运动．
2．自由落体运动的规律
（1）速度公式
由于做自由落体运动的物体只受重力作用，其运动性质是初速度为零加速度为的匀加速直线运动．故
（2）下落高度
下落高度实质上即是物体做初速度为零加速度为的匀加速直线运动的位移：
（也即）
（3）下落时间
自由下落高度，可以解得：下落高度所需要的时间为
（4）落地速度
物体从高处开始做自由落体运动，落地所需时间为，
此时速度应为：
(
随堂练习
)
关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A．某段时间的中间时刻的速度等于初速度与末速度和的一半
B．某段位移的中点位置的速度等于初速度与末速度和的一半
C．在任何相等时间内速度变化相同
D．在任何相等时间内位移变化相同
以下对物体做自由落体运动的说法中正确的是（ ）
A．物体开始下落时，速度为零，加速度也为零
B．物体下落过程中速度增加，加速度保持不变
C．物体下落过程中，速度和加速度同时增大
D．物体下落过程中，速度的变化率是个恒量
如图所示的各图象能正确反映自由落体运动过程的是 （ ）
物体做自由落体运动，经过通过整个高度的中点，那么该物体开始所在位置距地面的高度为（取）（ ）
A． B． C． D．无法确定
自由下落的物体在头内，头内和头内下落的高度之比是____，在第1个内、第2个内、第3个内下落的高度之比又是______．
一物体从高处自由下落，在最后通过的高度是______，最后的初速度是______，最后内的平均速度是______．
一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后内的位移是整个位移的，求塔高．
从某高处释放一粒小石子，经过从同一地点释放另一小石子，则它们落地之前，两石子之间的距离将 ( )
A．保持不变 B．不断变大
C．不断减小 D．有时增大有时减小
一只球从高处自由下落，下落0.5s时，一颗子弹从其正上方向下射击，要使球在下落1.8m时被击中，则子弹发射的初速度为多大
自由下落的物体，在任何相邻的单位时间内下落的距离之差和平均速度之差在数值上分别等于（ ）
A．g/2 2g B．g/2 g/4
C．g g D．g 2g
自由下落的物体，它下落一半高度所用的时间和全程所用的时间之比是（ ）
A． B． C． D．
物体从某一高度自由下落，第内就通过了全程的一半，物体还要下落多少时间才会落地( )
A． B． C． D．
一物体从高处自由下落，经时间落地，则当它下落时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
自由落体运动在任何两个相邻的内，位移的增量为（ ）
A． B． C． D．不能确定
从高处自由下落的物体，落到地面所用的时间是____，落地时的速度____，物体落下时和落下全程时的速度之比是_____，各自所经历的时间之比是______．
在绳的上、下两端各拴着一小球，一人用手拿住绳上端的小球站在三层楼的阳台上，放手后小球自由下落，两小球落地的时间差为△t．如果人站在四层楼的阳台上，放手让球自由下落，两小球落地的时间差将(空气阻力不计)______(选填“增大”、“减小”或“不变”)．
物体从高处自由下落，把它运动的总时间分成相等的段，则这段时间内下落的高度分别为______、______和______；若把下落的总高度分成相等的三段，则物体依次下落这段高度所用的时间之比为_______．
一物体从高处自由下落，在最后通过的高度是______，最后的初速度是______，最后内的平均速度是______．
将一链条自由下垂悬挂在墙上，放开后让链条作自由落体运动．已知链条通过悬点下3.2m处的一点历时0.5s，问链条的长度为多少
在现实生活中，雨滴大约在1.5km左右的高空中形成并开始下落．计算一下，若该雨滴做自由落体运动，到达地面时的速度是多少？你遇到过这样快速的雨滴吗？据资料显示，落到地面的雨滴速度一般不超过8m/s，为什么它们之间有这么大的差别呢？
甲、乙两个物体做自由落体运动，已知甲的重力是乙的重力的倍，甲距地面高度是乙距地面高度的一半，则（ ）
A．甲的加速度是乙的倍 B．甲落地的速度是乙的一半
C．各落下时，甲、乙的速度相等 D．各落下时，甲、乙的速度相等
甲、乙两物体分别从和高处同时自由落下，不计空气阻力，下面描述正确的是（ ）
A．落地时甲的速度是乙的
B．落地的时间甲是乙的倍
C．下落时甲的速度与乙的速度相同
D．甲、乙两物体在最后内下落的高度相等
从某一高度相隔先后由静止释放的两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它们在空中的任一时刻（ ）
A．甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大
B．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
C．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变
D．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小
一矿井深为，在井口每隔相同的时间间隔落下一小球，当第个小球刚从井口开始下落时，第个小球恰好达到井底，则相邻两个小球开始下落的时间间隔为多少，这时第个小球与第个小球相距多少米？（取）
屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第滴正欲滴下时，第滴已刚好到达地面，而第滴与第滴分别位于高为的窗户的上、下沿，如图所示，问：
（1）此屋檐离地面多高？
（2）滴水的时间间隔是多少？（）
跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面 125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以14.3 m/s2的加速度做匀减速运动，到达地面时速度为5 m/s，问：
（1）运动员离开飞机时距地面的高度为多少
（2）离开飞机后，经过多少时间才能到达地面 （g=10 m/s2）
长为的细杆，竖直放置，如图所示，点距杆下端为．现使细杆自由落下，求杆通过点时所用的时间及杆中点通过点时速度．
已知某一物体从楼上自由落下，经过高为的窗口所用时间为，物体是从距离窗顶多高处自由落下的 （）
建筑工人安装塔手架进行高空作业，有一名建筑工人由于不慎将抓在手中的一根长的铁杆在竖直状态下脱落了，使其做自由落体运动，铁杆在下落过程中经过某一楼层面的时间为，试求铁杆下落时其下端到该楼层的高度？（，不计楼层面的厚度）
(
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)【例 30】水龙头开口竖直向下，直径为1cm，安装在离接水盆75cm高处，现打开水龙头，水沿竖直方向流下，仔细观察将会发现连续的水流柱的直径在流下的过程中是不断减小的，现测得水在水龙头出口处的速度大小为1m/s，求水流柱落到接水盆中时的直径．（g=10m/s2）
【例 31】长为的细杆，竖直放置，如图所示，点距杆下端为．现使细杆自由落下，求杆通过点时所用的时间及杆中点通过点时速度．
【例 32】杂技演员把个球依次竖直向上抛出，形成连续的循环．在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球与刚才在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有个球，有时空中有个球，而演员手中则有一半时间内有个球，有一半时间内没有球．设每个球上升的高度为，取，则每个球每次在手中停留的时间是_______．
【例 33】一个小球从高的升降机顶下落，在下列各种情况下，小球到达升降机地板需多长时间？
（1）升降机静止．
（2）升降机以匀速下降．
（3）小球下落的同时，升降机以匀加速下降．
（4）小球下落的同时，升降机以匀加速上升．（以上均取）
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【例 34】有一直升机停在200m高的空中静止不动，有一乘客从窗口由静止每隔1秒释放一个钢球，则钢球在空中的排列情况说法正确的是（ ）
A．相邻钢球间距离相等
B．越靠近地面，相邻钢球的距离越大
C．在落地前，早释放的钢球速度总是比
晚释放的钢球的速度大
D．早释放的钢球落地时的速度大
(
考题欣赏
)
【例 1】甲、乙两物体分别从10m和20m高处同时自由落下，不计空气阻力，下面描述正确的是（ ）
A.落地时甲的速度是乙的1/2
B.落地的时间甲是乙的2倍
C.下落1s时甲的速度与乙的速度相同
D.甲、乙两物体在最后1s内下落的高度相等
【例 2】如图，一座房子宽，房顶与水平面夹角为，假如雨水落到房顶上后，由静止开始流下，不考虑雨水受到的阻力，求当为多少是雨水流下的时间最短。
【例 3】一弹性小球自高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间．
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自由落体
)
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知识讲解
)
知识点1 自由落体运动
1．自由落体运动
（1）定义
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫自由落体运动（free-fall motion）．
这种运动只在没有空气的空间才能发生，在有空气的空间，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略，物体的下落也可以近似看作自由落体运动．
（2）特点
①初速度
②受力特点：只受重力作用，没有空气阻力或空气阻力可忽略不计．
③加速度是重力加速度，其大小不变，方向始终竖直向下．
（3）运动性质：自由落体运动是初速度为零加速度为的匀加速直线运动．
2．自由落体运动的规律
（1）速度公式
由于做自由落体运动的物体只受重力作用，其运动性质是初速度为零加速度为的匀加速直线运动．故
（2）下落高度
下落高度实质上即是物体做初速度为零加速度为的匀加速直线运动的位移：
（也即）
（3）下落时间
自由下落高度，可以解得：下落高度所需要的时间为
（4）落地速度
物体从高处开始做自由落体运动，落地所需时间为，
此时速度应为：
(
随堂练习
)
关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A．某段时间的中间时刻的速度等于初速度与末速度和的一半
B．某段位移的中点位置的速度等于初速度与末速度和的一半
C．在任何相等时间内速度变化相同
D．在任何相等时间内位移变化相同
【答案】AC
以下对物体做自由落体运动的说法中正确的是（ ）
A．物体开始下落时，速度为零，加速度也为零
B．物体下落过程中速度增加，加速度保持不变
C．物体下落过程中，速度和加速度同时增大
D．物体下落过程中，速度的变化率是个恒量
【答案】BD
如图所示的各图象能正确反映自由落体运动过程的是 （ ）
【答案】BD
物体做自由落体运动，经过通过整个高度的中点，那么该物体开始所在位置距地面的高度为（取）（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
自由下落的物体在头内，头内和头内下落的高度之比是____，在第1个内、第2个内、第3个内下落的高度之比又是______．
【答案】
一物体从高处自由下落，在最后通过的高度是______，最后的初速度是______，最后内的平均速度是______．
【答案】
一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后内的位移是整个位移的，求塔高．
【解析】据题意，物体最后内的位移是整个位移的，所以内的位移是整个位移的．即．而，，由此得，，解得．
．
【答案】
从某高处释放一粒小石子，经过从同一地点释放另一小石子，则它们落地之前，两石子之间的距离将 ( )
A．保持不变 B．不断变大
C．不断减小 D．有时增大有时减小
【答案】B
一只球从高处自由下落，下落0.5s时，一颗子弹从其正上方向下射击，要使球在下落1.8m时被击中，则子弹发射的初速度为多大
【答案】v0=17.5m/s
自由下落的物体，在任何相邻的单位时间内下落的距离之差和平均速度之差在数值上分别等于（ ）
A．g/2 2g B．g/2 g/4
C．g g D．g 2g
【解析】 连续相等时间的位移之差是；根据平均速度公式，
【答案】C
自由下落的物体，它下落一半高度所用的时间和全程所用的时间之比是（ ）
A． B． C． D．
【解析】下落一半高度所用时间为，下落全程所用时间为，二者之比为，也即．
【答案】C
物体从某一高度自由下落，第内就通过了全程的一半，物体还要下落多少时间才会落地( )
A． B． C． D．
【答案】D
一物体从高处自由下落，经时间落地，则当它下落时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
自由落体运动在任何两个相邻的内，位移的增量为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
从高处自由下落的物体，落到地面所用的时间是____，落地时的速度____，物体落下时和落下全程时的速度之比是_____，各自所经历的时间之比是______．
【答案】
在绳的上、下两端各拴着一小球，一人用手拿住绳上端的小球站在三层楼的阳台上，放手后小球自由下落，两小球落地的时间差为△t．如果人站在四层楼的阳台上，放手让球自由下落，两小球落地的时间差将(空气阻力不计)______(选填“增大”、“减小”或“不变”)．
【答案】减小
物体从高处自由下落，把它运动的总时间分成相等的段，则这段时间内下落的高度分别为______、______和______；若把下落的总高度分成相等的三段，则物体依次下落这段高度所用的时间之比为_______．
【答案】
一物体从高处自由下落，在最后通过的高度是______，最后的初速度是______，最后内的平均速度是______．
【答案】
将一链条自由下垂悬挂在墙上，放开后让链条作自由落体运动．已知链条通过悬点下3.2m处的一点历时0.5s，问链条的长度为多少
【答案】2.75m
在现实生活中，雨滴大约在1.5km左右的高空中形成并开始下落．计算一下，若该雨滴做自由落体运动，到达地面时的速度是多少？你遇到过这样快速的雨滴吗？据资料显示，落到地面的雨滴速度一般不超过8m/s，为什么它们之间有这么大的差别呢？
【解析】根据：
可推出
可见速度太大，不可能出现这种现象．
【答案】
甲、乙两个物体做自由落体运动，已知甲的重力是乙的重力的倍，甲距地面高度是乙距地面高度的一半，则（ ）
A．甲的加速度是乙的倍 B．甲落地的速度是乙的一半
C．各落下时，甲、乙的速度相等 D．各落下时，甲、乙的速度相等
【答案】CD
甲、乙两物体分别从和高处同时自由落下，不计空气阻力，下面描述正确的是（ ）
A．落地时甲的速度是乙的
B．落地的时间甲是乙的倍
C．下落时甲的速度与乙的速度相同
D．甲、乙两物体在最后内下落的高度相等
【答案】C
从某一高度相隔先后由静止释放的两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它们在空中的任一时刻（ ）
A．甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大
B．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
C．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变
D．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小
【解析】设后释放的球运动时间为，则它们之间的距离．
可见随着时间增大，两球间距越来越大，而两球速度之差不变，故选项C正确．
【答案】C
一矿井深为，在井口每隔相同的时间间隔落下一小球，当第个小球刚从井口开始下落时，第个小球恰好达到井底，则相邻两个小球开始下落的时间间隔为多少，这时第个小球与第个小球相距多少米？（取）
【解析】设每隔时间落下一小球，则第个小球运动的时间是，第个小球运动的时间是，第个小球运动的时间是，由位移公式，得
，，，，这时第个小球与第个小球相距．
【答案】时间间隔为，第个小球与第个小球相距．
屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第滴正欲滴下时，第滴已刚好到达地面，而第滴与第滴分别位于高为的窗户的上、下沿，如图所示，问：
（1）此屋檐离地面多高？
（2）滴水的时间间隔是多少？（）
【解析】可以将这滴水运动等效地视为一滴水下落，并对这一滴水的运动全过程分成个相等的时间间隔，如图中相邻的两滴水间的距离分别对应着各个相等时间间隔内的位移，它们满足比例关系：．设相邻水滴之间的距离自上而下依次为：、、、，则窗户高为，依题意有： 则，屋檐高度
由 得：
所以滴水的时间间隔为：．
【答案】
跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面 125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以14.3 m/s2的加速度做匀减速运动，到达地面时速度为5 m/s，问：
（1）运动员离开飞机时距地面的高度为多少
（2）离开飞机后，经过多少时间才能到达地面 （g=10 m/s2）
【解析】（1）运动员打开伞后做匀减速运动，有
可求得运动员打开伞时的速度为
运动员自由下落距离为
运动员离开飞机时距地面高度为
（2）自由落体运动的时间为
打开伞后运动的时间为
离开飞机后运动的时间为
【答案】（1）（2）．
长为的细杆，竖直放置，如图所示，点距杆下端为．现使细杆自由落下，求杆通过点时所用的时间及杆中点通过点时速度．
【解析】以细杆端为观察点．细杆端到达点，杆下落位移为，由自由落体位移公
式可知，所用的时间为．
细杆通过点，即细杆端到达点，相当杆端下落位移为，
同理，下落这段距离所用的时间为．
则细杆通过点所用的时间为
细杆中点到达点，杆自由下落的高度为，则细杆中点到达点时速度，
根据速度—位移公式，则有，
【答案】，．
已知某一物体从楼上自由落下，经过高为的窗口所用时间为，物体是从距离窗顶多高处自由落下的 （）
【解析】设物体在下落过程中，出现在窗口上方的时间为，离开窗口的时间为，则有：，，解得，故物体下落位置离窗顶高度为
【答案】
建筑工人安装塔手架进行高空作业，有一名建筑工人由于不慎将抓在手中的一根长的铁杆在竖直状态下脱落了，使其做自由落体运动，铁杆在下落过程中经过某一楼层面的时间为，试求铁杆下落时其下端到该楼层的高度？（，不计楼层面的厚度）
【解析】铁杆下落做自由落体运动，其运动经过下面某一楼面时间，这个也就是杆的上端到达该楼层下落时间与杆的下端到达该楼层下落时间之差，设所求高度为，则由自由落体公式可得到： ，又有，解得．
【答案】
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)【例 30】水龙头开口竖直向下，直径为1cm，安装在离接水盆75cm高处，现打开水龙头，水沿竖直方向流下，仔细观察将会发现连续的水流柱的直径在流下的过程中是不断减小的，现测得水在水龙头出口处的速度大小为1m/s，求水流柱落到接水盆中时的直径．（g=10m/s2）
【解析】水流下落达到稳定时，在任一段时间内，流过任一水柱截面的水的
体积是一定的，即各处流量相等．由于水在下落过程中的速度不断
变大，所以横截面积不断变小．如图所示．
自由落体：，
流量相等：，
代入数值可得：r=0.5cm．
【答案】0.5cm
【例 31】长为的细杆，竖直放置，如图所示，点距杆下端为．现使细杆自由落下，求杆通过点时所用的时间及杆中点通过点时速度．
【解析】以细杆端为观察点．细杆端到达点，杆下落位移为，
由自由落体位移公式可知，所用的时间为．
细杆通过点，即细杆端到达点，相当杆端下落位移为，
同理，下落这段距离所用的时间为．
则细杆通过点所用的时间为
细杆中点到达点，杆自由下落的高度为，则细杆中点到达点时速度，
根据速度—位移公式，则有，
【答案】，
【例 32】杂技演员把个球依次竖直向上抛出，形成连续的循环．在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球与刚才在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有个球，有时空中有个球，而演员手中则有一半时间内有个球，有一半时间内没有球．设每个球上升的高度为，取，则每个球每次在手中停留的时间是_______．
【解析】设每个球在手中停留的时间为，由题意知每个球在空中运行的时间为，一个球抛出后，再经过的时间再次回到手中，所以球每次在手中停留的时间为．
【答案】
【例 33】一个小球从高的升降机顶下落，在下列各种情况下，小球到达升降机地板需多长时间？
（1）升降机静止．
（2）升降机以匀速下降．
（3）小球下落的同时，升降机以匀加速下降．
（4）小球下落的同时，升降机以匀加速上升．（以上均取）
【解析】（1）升降机静止时，小球做自由落体运动，它所经过的位移等于升降机内部高度，因此小球落到地板上的时间为．
（2）升降机匀速下降时，小球做初速度不为零的匀加速直线运动．设小球落到地板上的时间为t，则在这段时间内（见右图）：
对升降机：
对小球
联立两式得．
（3）升降机加速下降时，由于小球和升降机同时开始运动，小球和升降机分别做加速度不同的匀加速直线运动，在时间t内
对升降机：
对小球：
联立两式得
所以
（4）升降机加速上升时，小球做自由落体运动．在时间t内（如右图）
对升降机：
对小球：
联立两式得
所以．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【例 34】有一直升机停在200m高的空中静止不动，有一乘客从窗口由静止每隔1秒释放一个钢球，则钢球在空中的排列情况说法正确的是（ ）
A．相邻钢球间距离相等
B．越靠近地面，相邻钢球的距离越大
C．在落地前，早释放的钢球速度总是比
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)晚释放的钢球的速度大
D．早释放的钢球落地时的速度大
【解析】题中每个钢球的运动情况是完全一样
的：同高度且都是自由落体运动．唯一
不同的是释放时间不一样，同一时刻的
速度不一样，但落地时的速度均是一样
的．根据第3题的结论可知相邻两球的
距离是越来越大的，AD错；C正确；
从公式，
可知时间间隔越
长，两球的距离越大，所以越靠近地面，
两球距离越大，B正确．见下图．
【答案】BC
(
考题欣赏
)
【例 1】甲、乙两物体分别从10m和20m高处同时自由落下，不计空气阻力，下面描述正确的是（ ）
A.落地时甲的速度是乙的1/2
B.落地的时间甲是乙的2倍
C.下落1s时甲的速度与乙的速度相同
D.甲、乙两物体在最后1s内下落的高度相等
【答 案】 C
【例 2】如图，一座房子宽，房顶与水平面夹角为，假如雨水落到房顶上后，由静止开始流下，不考虑雨水受到的阻力，求当为多少是雨水流下的时间最短。
【解析】，
当时t有最小值，
【例 3】一弹性小球自高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间．
【解析】每碰撞一次后所做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不计空气阻力，这两段所用时间和行程相等．小球原来距桌面高度为，用表示，下落至桌面时的速度应为：．下落时间为：．
首先用演绎法：小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速度：
第一次碰撞后上升、回落需用时间：
小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率：
第二次碰撞后上升、回落需用时间：
再用归纳法：依次类推可得：小球第次和桌面碰撞后上升，回落需用时间：
所以小球从开始下落到经次碰撞后静止所用总时间为：
括号内为等比级数求和，首项，公比，因为
所以无穷递减等比级数的和为：
所以
【答案】
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