苏教版2019高中数学 必修1 第5章　函数概念与性质 §5.1 .1　函数的概念 课件（66张PPT）

(共66张PPT)
第1课时　函数的概念
第5章　§5.1　函数的概念和图象
学习目标
1.会用集合语言和对应关系刻画函数.
2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.
3.会求简单函数的定义域与值域.
导语
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝ 是否相同吗？要解决这些
问题，就需要进一步学习函数概念.
课时对点练
一、函数的概念的理解
二、函数的定义域
三、求函数值或函数的值域
随堂演练
内容索引
函数的概念的理解
一
问题1　你还记得初中所学函数的概念吗？
提示　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，x是自变量.
问题2　下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？
(1)某“复兴号”高速列车提速到350 km/h后保持匀速运行半小时，这半小时内，列车行进的路程s与运行时间t的关系是函数关系吗？
提示　题中s是t的函数；
(2)如图是某市某日的空气质量指数变化图.你认为这里的空气质量指数I是时刻t的函数吗？
提示　题中I是t的函数；
(3)国际上常用恩格尔系数r 反映一个地区人民生活质
量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.
提示　题中r是y的函数.
年份y 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
上表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
问题3　上述例子中的函数有哪些共同特征？
提示　每个例子中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.每一个例子都涉及确定的函数.
知识梳理
概念 给定两个 集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 实数x，在集合B中都有 的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 y＝f(x)，x∈A 对应关系相同，定义域相同的两个函数就是
_______函数
定义域 集合 (自变量x的取值范围) 值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有 与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域. 非空实数
每一个
唯一
A
一个y(输出值)
同一个
(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集.
(2)应注意函数定义中的“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词.
(3)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积.
(4)函数三要素：定义域，对应关系与值域.
注意点：
(1)(多选)下列集合A到集合B的对应f是函数的是
A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
例1
√
√
按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求；
选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；
选项A和D符合函数的定义.
(2)下列各组函数表示同一个函数的序号是______.
对于①，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数；
对于②，f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应关系都相同，是同一个函数；
对于③，f(x)，g(x)的定义域都是R，但对应关系不同，不是同一个函数.
③f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1.
②
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
反思感悟
(2)判断两个函数为同一个函数的注意点
①先求定义域，定义域不同则不是同一个函数；
②若定义域相同，再看对应关系是否相同.
(1)(多选)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个选项，不能表示从集合M到集合N的函数关系的是
跟踪训练1
√
√
√
A中，因为在集合M中当1B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是；
C中，x＝2对应元素y＝3 N，所以C不是；
D中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是.
(2)下列各组函数中表示同一个函数的是
A.f(x)＝ ，g(x)＝x＋2
B.f(x)＝x2－3x，g(t)＝t2－3t
√
A中，f(x)＝ 的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x＋2的定义域为R，故不是同一个函数；
B中，f(x)＝x2－3x与g(t)＝t2－3t定义域都为R，且解析式相同，故是同一个函数；
C中，f(x)＝ 的定义域为{x|x≥0}，g(x)＝x的定义域为R，故不是同一个函数；
D中，f(x)＝ ＝|x|与g(x)＝x解析式不同，故不是同一个函数.
函数的定义域
二
问题4　初中我们学习过哪些函数？
提示　一次函数、二次函数和反比例函数.
问题5　你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
求下列函数的定义域：
例2
由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，
即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
要使函数有意义，
解不等式组得－1≤x<1.
求函数的定义域应关注三点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
反思感悟
求下列函数的定义域：
跟踪训练2
所以定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
求函数值或函数的值域
三
已知f(x)＝x2－4x＋2.
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
例3
f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2
＝a2－2a－1.
(2)求f(x)的值域；
f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞).
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值.
g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.
(1)函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得；
(2)求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则；
(3)配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域.
反思感悟
求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1,0,1,2}；
跟踪训练3
∵函数定义域为{－1,0,1,2}，
f(x)＝(x＋1)2＋2.
∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11，
∴函数f(x)的值域为{2,3,6,11}.
(2)f(x)＝x2＋2x＋3.
f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，
∴f(x)的值域为[2，＋∞).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的概念.
(2)求函数的定义域.
(3)求函数值或值域.
2.方法归纳：定义法.
3.常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义.
随堂演练
1.(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是
A.y是x的函数
B.x是y的函数
C.对于不同的x，y也不同
D.f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
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由函数的定义可知B错误，
根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误.
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2.下列图形中不是函数图象的是
A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义.
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3.若f(x)＝ ，则f(3)＝______，f(f(－2))＝____.
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4.函数y＝ 的定义域是_________________.
{x|x≥－1且x≠1}
所以x≥－1且x≠1，
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基础巩固
1.(多选)下列四种说法中，正确的有
A.在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
由函数定义知，A，C，D正确，B不正确.
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2.设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是
A.0 B.3a2－1
C.6a2－2 D.6a2
√
f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
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3.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是
A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；
C，D中值域为{1,2}，故错误.
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4.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是
根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
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5.(多选)下列各组函数是同一个函数的是
D.f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
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D项，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数.
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7.已知函数f(x)＝ ，又知f(t)＝6，则t＝_____.
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8.若f(x)＝ ，x∈{1,2}，则函数的值域为______.
∵函数的定义域为{1,2}，
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9.求下列函数的定义域：
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要使函数式有意义，
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所以函数的定义域为{x|x<0，且x≠－3}.
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(1)求函数f(x)的定义域；
根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为{x|x≥－4，且x≠1}.
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(2)求f(－1)，f(12)的值.
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综合运用
11.已知 ≈1.414 21，如果对应关系f将n对应到 的小数点后第n位上的数字，则f(2)＋f(4)等于
A.5 　　B.6 　　C.3　　 D.2
√
由题意f(2)＝1，f(4)＝2，
所以f(2)＋f(4)＝3.
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12.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为
A.f(x)＝x＋1 B.f(x)＝－x2
C.f(x)＝ D.f(x)＝|x|
√
对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立.
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2，f(x)＋1＝－x2＋1，不成立.
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立.
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13.若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝____，f(－1)＝____.
对任意x∈R,2f(x)－f(－x)＝3x＋1，
令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4， ①
令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2. ②
由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.
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14.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有_____个.
利用表格确定函数的个数.
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f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5
f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5
f(3) 4 5 4 5 4 5 4 5
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拓广探究
15.已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝　 ＋f(x－1)的定义域
是___________.
{x|0解得01
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(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与 有什么关系吗？证明你的发现；
证明如下：
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…，