苏教版2019高中数学 必修1 第5章　函数概念与性质 §5.3 .1　函数的单调性 课件（73张PPT）

(共73张PPT)
第1课时　函数的单调性
第5章　§5.3　函数的单调性
学习目标
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性.
导语
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律.
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
课时对点练
一、函数的单调性的判定与证明
二、求函数的单调区间
三、函数单调性的简单应用
随堂演练
内容索引
函数的单调性的判定与证明
一
问题1　观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示　函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
问题2　如何理解函数图象是上升的？
提示　从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐变大，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐渐增大.
知识梳理
增函数与减函数的定义
前提条件 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A 条件 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1图示
<
>
结论 y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在I上单调递增)，I称为y＝f(x)的增区间 y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在I上单调递减)，I称为y＝f(x)的减区间
(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.
(2)单调性应注意“三特性”：①同区间性，即x1，x2∈I；②任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替；③有序性，即要规定x1，x2的大小.
(3)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一.
注意点：
已知函数f(x)＝ .
(1)求f(x)的定义域；
例1
由x2－1≠0，得x≠±1，
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明.
证明： x1，x2∈(1，＋∞)，
设x1由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
又x1即f(x1)>f(x2)，
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
反思感悟
证明：函数f(x)＝x＋ 在(0,1)上是减函数.
跟踪训练1
设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1∵0∴x1－x2<0,0即f(x1)>f(x2)，
求函数的单调区间
二
问题3　“函数y＝f(x)在I上为增函数”与“函数y＝f(x)的增区间为I”含义相同吗？
提示　不同.“函数y＝f(x)在I上为增函数”是指区间I为函数y＝f(x)的一个增区间，还可能存在其他增区间；“函数y＝f(x)的增区间为I”是指除区间I外，函数y＝f(x)不存在其他增区间.
知识梳理
函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是 ，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有 ，增区间和减区间统称为单调区间.
增函数或减函数
单调性
(1)如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接.
(2)单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质.
注意点：
求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.
(1)f(x)＝ ；
例2
函数f(x)＝ 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.
当x≥1时，f(x)是增函数，
当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数.
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，
[1，＋∞).
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数.
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解.
(2)利用函数的图象.
提醒：若所求出函数的增区间或减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开.
反思感悟
借助函数图象，求函数f(x)＝|x2－1|＋x的增区间.
跟踪训练2
当x≥1或x≤－1时，
当－1作出函数f(x)的图象(如图实线部分).
函数单调性的简单应用
三
(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是____________.
例3
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
解得a≤－4，
即实数a的取值范围为(－∞，－4].
(－∞，－4]
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为___________.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1).
(－∞，1)
延伸探究
1.在本例(1)中，若函数f(x)的增区间是(－∞，3]，则实数a的值为______.
由(1)知，函数f(x)的增区间为(－∞，－a－1]，
所以－a－1＝3，a＝－4.
－4
2.若本例(2)中函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)类——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
反思感悟
(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有
A.f(－1)≥f(a2＋1) B.f(－1)>f(a2＋1)
C.f(－1)≤f(a2＋1) D.f(－1)跟踪训练3
√
∵f(x)在R上是减函数，
∴对任意x1，x2，若x1均有f(x1)>f(x2).
又∵－1f(a2＋1).
(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)是________.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)增函数、减函数的定义.
(2)函数的单调性与单调区间.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集.
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域.
随堂演练
1.函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的增区间是
A.[－4,4]
B.[－4，－3]∪[1,4]
C.[－3,1]
D.[－3,4]
√
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由图象知增区间为[－3,1].
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2.若函数f(x)在R上是减函数，则有
A.f(3)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)
√
因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，
所以f(3)>f(5).
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3.函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上
A.是减函数 B.是增函数
C.先减后增 D.先增后减
√
即可作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数.
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4.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，
解得－2(－2,1)
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基础巩固
1.(多选)下列函数中，在区间(0,2)上为减函数的是
A.y＝5－x B.y＝x2＋2
C.y＝ D.y＝－|x|
√
选项A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数.
√
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2.函数y＝x2－2|x|＋1的增区间是
A.(－1,0) B.(－1,0)和(1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，－1)和(0,1)
√
作出其图象如图所示，
由图象可知，函数的增区间为(－1,0)和(1，＋∞).
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3.(多选)下列说法中，正确的有
A.若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数
B.函数y＝x2在R上是增函数
C.函数 在定义域上是减函数
D.函数 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
√
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当x1∴f(x1)∴C正确；B和D错误.
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4.函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的增区间分别是
A.(－∞，0]，(－∞，1]
B.(－∞，0]，(1，＋∞)
C.[0，＋∞)，(－∞，1]
D.[0，＋∞)，[1，＋∞)
√
分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)，得f(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(x)在(－∞，1]上为增函数.
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5.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是
C.(3，＋∞) D.(－∞，－3]
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∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝ 为函数的对称轴，
又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，
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6.已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有
A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
√
由题意知a＋b≤0，
得到a≤－b，b≤－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).
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7.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)值范围是______.
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8.若函数f(x)＝ 在(a,＋∞)上是减函数，则a的取值范围是___________.
函数f(x)＝ 的减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，
又f(x)在(a，＋∞)上是减函数，所以a≥－1.
[－1,＋∞)
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(1)求m，n的值；
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(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明.
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设1≤x1因为1≤x11，
所以2x1x2>2>1，
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即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
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10.已知函数 在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
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设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)
∵x1－x2<0，
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∵x1x2>1，
∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞).
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综合运用
11.若函数y＝ax与y＝ 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
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由于函数y＝ax与y＝ 在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝ <0，故函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数.
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12.已知函数 若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－2) D.(－2，＋∞)
√
画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上是增函数，
故f(4－a)>f(a) 4－a>a，解得a<2.
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13.已知函数 在(0，a－3)上是减函数，则实数a的
取值范围是
A.[3,4] B.[3,5]
C.(3,4] D.(3,5]
√
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∵函数f(x)在(0，a－3)上是减函数，
∴由图象可知0故实数a的取值范围是(3,5].
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14.已知函数 若f(x)是R上的增函数，则实数a的取
值范围为________.
因为f(x)是R上的增函数，
[4，8)
解得4≤a<8.
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拓广探究
15.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝－f(x)；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且 >0.
则f(－1)， ，f(2)的大小顺序是_______________.(用“<”连接)
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由①知f(1)＝－f(0)，
f(0)＝－f(－1)，所以f(－1)＝f(1).
所以函数f(x)在[0,1]上是减函数，
结合②知，函数f(x)在[1,2]上是增函数，
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16.已知函数f(x)＝x2－2x＋b.
(1)若b＝1，求函数f(x)的值域；
当b＝1时，
f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以函数f(x)的值域为[0，＋∞).
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(2)若函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，求实数b的取值范围.
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因为函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，
且f(x)在[m，n]上单调，
当m≥1时，函数f(x)在[m，n]上是增函数，
等价于方程x2－3x＋b＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，
令g(x)＝x2－3x＋b，
当n≤1时，函数f(x)在[m，n]上是减函数，
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将m＝1－n代入n2－2n＋b＝m可得方程
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两式相减得(m－n)(m＋n－1)＝0，
即m＝n(舍)或m＋n－1＝0，也即m＝1－n，
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