苏教版2019高中数学 必修1 第5章　函数概念与性质 §5.4 .2　奇偶性的应用 课件（60张PPT）

(共60张PPT)
第2课时　奇偶性的应用
第5章　§5.4　函数的奇偶性
学习目标
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.
课时对点练
一、利用奇偶性与单调性比较大小
二、根据奇偶性求函数的解析式
三、利用单调性与奇偶性解不等式
随堂演练
内容索引
利用奇偶性与单调性比较大小
一
问题　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上为减函数，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上为减函数，那么它在(1,2)上的单调性如何？
提示　奇函数在(1,2)上为减函数，偶函数在(1,2)上为增函数.
知识梳理
函数的奇偶性与单调性
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a增函数
减函数
设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是
A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)例1
√
由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2).
比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
反思感悟
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)_____ f(3).(填“>”或“<”)
跟踪训练1
∵f(x)为偶函数，
∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]上是减函数，
∴f(5)<
根据奇偶性求函数的解析式
二
知识梳理
用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
例2
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ ，求函数f(x)，g(x)
的解析式.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
①
②
延伸探究
1.在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2.在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式.
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
①
②
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
反思感悟
(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式.
跟踪训练2
设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式.
设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
利用单调性与奇偶性解不等式
三
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<
f(m)，求实数m的取值范围.
例3
因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数.
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式.
(2)转化为简单不等式求解.
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域.
反思感悟
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.
若f(－3)＝0，则 <0的解集为____________________.
跟踪训练3
∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}.
{x|－33}
课堂
小结
1.知识清单：
(1)根据奇偶性求函数的解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：转化法、数形结合法.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.
随堂演练
1.已知奇函数在(－∞，0)上是增函数，则
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)＝f(2) D.以上都有可能
√
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∵f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(1)1
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2.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则
√
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4
∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2).
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，
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3.已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则满足条件f(2x＋1)A.(－∞，2) B.
C.(2，＋∞) D.
√
奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以由f(2x＋1)1
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4.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝_____.
当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x－1.
x－1
课时对点练
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基础巩固
1.已知定义在区间[－7,7]上的偶函数，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是
A.这个函数仅有一个增区间
B.这个函数有两个减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
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根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个增区间；
有三个减区间；在其定义域内最大值是7；
在其定义域内最小值不是－7.
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2.若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有
√
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因为f(x)是奇函数，
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方法二　(直接法)当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x).
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x
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3.(多选)若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则
A.a＝－2 B.a＝2
C.增区间为(－∞，0] D.减区间为(－∞，0]
√
因为函数为偶函数，
所以a＋2＝0，a＝－2，
所以该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数的增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞).
√
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4.设函数f(x)＝ 且f(x)为偶函数，则g(－2)等于
A.6　　　 B.－6 　　　 C.2 　　　 D.－2
√
g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
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5.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上
A.是增函数且最小值为－5 B.是增函数且最大值为－5
C.是减函数且最小值为－5 D.是减函数且最大值为－5
√
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5.
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6.(多选)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)A.f(0)>f(1) B.f(2)C.f(－3)f(3)
√
由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)f(1)成立，f(－1)>f(－3)＝f(3)成立，其他选项不成立.
√
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7.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x－1)＝f(|x－1|).
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2).
又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以|x－1|<2，解得－2(－1,3)
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8.已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1).则
函数f(x)的解析式为_________________________.
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设－3－x>0，
则有f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)，
又因为f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝x(x－1)，
又f(0)＝0，
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9.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
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∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，
即f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
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10.已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－4(－x)＋3＝x2＋4x＋3，
又∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2＋4x＋3.
∴当x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3，
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由(1)知f(x)＝(x－2)2－1(x≥0)在[0,2]上单调递减，函数f(x)是偶函数.
∴f(x)＝x2＋4x＋3(x<0)在[－2,0]上单调递增.
又∵f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
∴[－1，a－2] [－2,0].
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
故实数a的取值范围是(1,2].
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综合运用
11.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(1)＝0，则不等式
<0的解集为
A.(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0,1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1,0)∪(0,1)
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∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(1)＝0，
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)是减函数且f(－1)＝0，
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12.函数y＝f(x)在[0,2]上是增函数，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是
√
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∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[0,2]上是增函数，
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13.已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝_____.
∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，
∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
－1
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14.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0时，f(x)＝__________；若f(m＋1)__________.
x2－x－2
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当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2，
所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2；
f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增，
则f(m＋1)1
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拓广探究
15.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 023)等于
A.－2 　　　B.－1 　　　C.0 　　　 D.2
√
因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，
所以当x>0时，f(2 023)＝f(2 022)＝f(2 021)＝…＝f(1)，
又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.
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16.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都
有 >0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
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因为a>b，所以a－b>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b).
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(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.
由(1)知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4].