2.1锐角三角函数 同步练习（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
基础过关
知识点1 正切
1.在Rt△ABC中, 90°,AC=4,BC=3,则∠B的正切值等于 ( )
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC交BC于点D,AD=BD,若 则BC=( )
A.8 B.8 C.7
3.如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )
A. C.2
4.如图,在△ABC中,点O是角平分线AD,BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则tan∠OBD的值是( )
A. B.2
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若 则 =___________.
6.如图,在△ABC中,过点C作CD⊥AC交AB于点D, 试求tanA的值.
知识点2 坡度、坡角
7.已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，则这个斜坡的坡度i为( )
A.2 B.1: 2 C.1: D.1:
8.河堤横断面如图所示,AB=10米,迎水坡AB的坡比为1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )
A.5米 米 C.15米 D.10米
知识点3 正弦、余弦
9.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中正确的是( )
10.如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为( )
A.4cosα米 B.4sinα米 C.4tanα米 米
11. cos43°之间的大小关系是( )
12.如图,在Rt△ABC中, 垂足为点D，如果BC=3,AC=4,那么cos∠BCD= __________.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点， 求 的三个三角函数值.
能力提升
14.在△ABC中,∠ABC=90°,若AC=100, 则AB的长是( )
C.60 D.80
15.如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计的斜道满足 则斜道AC的长度是( )
A.25米 B.30米 C.35米 D.40米
16.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为( )
C.
17.在△ABC中,若∠C=90°,sinA=,则tanA=___________.
18.一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__________米.
19.如图,在△中, 求BC的长及 的正切值.
20.[数学抽象]如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D,则tan∠ADB= _________.
21.[直观想象]如图,在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点.
(1)AB的长度为_____________,CD的长度为_______________;
(2)若AB与CD所夹锐角为α,求tanα的值.
参考答案
基础过关
1.A ∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴ 故选A.
2.C ∵AD⊥BC交BC于点D,AD=BD,∴△ABD是等腰直角三角形.∴ A∴BC=BD+CD=7.故选C.
3.A如图，点D为格点，连接BD，设网格中每个小正方形的边长为1，则 C ,∴BD⊥AC.又BD=,AD, ∴tan A=故选A.
4.A ∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴∠ODB=90°,BD=CD
∵点O是角平分线AD,BE的交点,∴点O到△ABC三边的距离相等.∴△ABC的面积 +解得 在Rt△OBD中,故选A.
5.答案
解析
6.解析 如图,过点B作BM⊥DC,交CD的延长线于点M.
∵∠ACD=∠BMD=90°,∠ADC BM
在Rt△CBM中, 设则.
7.D 如图，设小球沿着斜坡向上前进了10cm后到达点B,过B作BC垂直于桌面，垂足为点C，由题意得
∴这个斜坡的坡度 故选D.
8.A 设BC=x米,∵迎水坡AB的坡比为 米.由勾股定理，得 即解得x=5或x=-5(舍去)∴AC=5;米.故选A.
9.C Rt△ABC中,
故选C.
10.A 如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC=2米,AD⊥BC,∴BD=DC,DC=AC·cosα=2cosα米.
∴BC=2DC=2×2cosα=4cosα米.故选A.
11.C ∵sin 30°=cos 60°,,且在锐角范围内,余弦值随着角度的增大而减小,∴.故选C.
12.答案
解析 ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°∴∠BCD=∠A.
∵BC=3,AC=4,∴根据勾股定理，得
∴
13.解析 在Rt△BCD中,∴CD=3,BD=5,∴BC=.
又AC=AD+CD=8,
能力提升
14.D 如图, 故选D.
15.B 在 中, 米,sinA=米,故选B.
16.B 如图,作格点D,连接AD,则 故选B.
17.答案
解析 在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由于 可设则,由勾股定理，得
18.答案 10
解析 设上升的高度为x米，∵上山直道的坡度为1：7，∴前进的水平距离为7x米，由勾股定理得 解得 (舍去).故填10.
19.解析 在Rt△ABC中,∴∠C=90°,AB=10,sinB=
20.答案 2或1
解析 如图所示，有两种情况.
情况一：
情况二：由网格特点知A△AD B是等腰直角三角形.
故填2或1.
21.解析 故分别填
(2)取格点E,连接CE,则 ∥AB,取格点F,连接EF,则 CD,设垂足为点G,连接DE,DF,
如图所示.
即
∵
∥
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第二章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
基础过关
知识点1 正切
1.在Rt△ABC中, 90°,AC=4,BC=3,则∠B的正切值等于 ( )
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC交BC于点D,AD=BD,若 则BC=( )
A.8 B.8 C.7
3.如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )
A. C.2
4.如图,在△ABC中,点O是角平分线AD,BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则tan∠OBD的值是( )
A. B.2
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若 则 =___________.
6.如图,在△ABC中,过点C作CD⊥AC交AB于点D, 试求tanA的值.
知识点2 坡度、坡角
7.已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，则这个斜坡的坡度i为( )
A.2 B.1: 2 C.1: D.1:
8.河堤横断面如图所示,AB=10米,迎水坡AB的坡比为1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )
A.5米 米 C.15米 D.10米
知识点3 正弦、余弦
9.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中正确的是( )
10.如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为( )
A.4cosα米 B.4sinα米 C.4tanα米 米
11. cos43°之间的大小关系是( )
12.如图,在Rt△ABC中, 垂足为点D，如果BC=3,AC=4,那么cos∠BCD= __________.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点， 求 的三个三角函数值.
能力提升
14.在△ABC中,∠ABC=90°,若AC=100, 则AB的长是( )
C.60 D.80
15.如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计的斜道满足 则斜道AC的长度是( )
A.25米 B.30米 C.35米 D.40米
16.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为( )
C.
17.在△ABC中,若∠C=90°,sinA=,则tanA=___________.
18.一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__________米.
19.如图,在△中, 求BC的长及 的正切值.
20.[数学抽象]如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D,则tan∠ADB= _________.
21.[直观想象]如图,在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点.
(1)AB的长度为_____________,CD的长度为_______________;
(2)若AB与CD所夹锐角为α,求tanα的值.
参考答案
基础过关
1.A ∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴ 故选A.
2.C ∵AD⊥BC交BC于点D,AD=BD,∴△ABD是等腰直角三角形.∴ A∴BC=BD+CD=7.故选C.
3.A如图，点D为格点，连接BD，设网格中每个小正方形的边长为1，则 C ,∴BD⊥AC.又BD=,AD, ∴tan A=故选A.
4.A ∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴∠ODB=90°,BD=CD
∵点O是角平分线AD,BE的交点,∴点O到△ABC三边的距离相等.∴△ABC的面积 +解得 在Rt△OBD中,故选A.
5.答案
解析
6.解析 如图,过点B作BM⊥DC,交CD的延长线于点M.
∵∠ACD=∠BMD=90°,∠ADC BM
在Rt△CBM中, 设则.
7.D 如图，设小球沿着斜坡向上前进了10cm后到达点B,过B作BC垂直于桌面，垂足为点C，由题意得
∴这个斜坡的坡度 故选D.
8.A 设BC=x米,∵迎水坡AB的坡比为 米.由勾股定理，得 即解得x=5或x=-5(舍去)∴AC=5;米.故选A.
9.C Rt△ABC中,
故选C.
10.A 如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC=2米,AD⊥BC,∴BD=DC,DC=AC·cosα=2cosα米.
∴BC=2DC=2×2cosα=4cosα米.故选A.
11.C ∵sin 30°=cos 60°,,且在锐角范围内,余弦值随着角度的增大而减小,∴.故选C.
12.答案
解析 ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°∴∠BCD=∠A.
∵BC=3,AC=4,∴根据勾股定理，得
∴
13.解析 在Rt△BCD中,∴CD=3,BD=5,∴BC=.
又AC=AD+CD=8,
能力提升
14.D 如图, 故选D.
15.B 在 中, 米,sinA=米,故选B.
16.B 如图,作格点D,连接AD,则 故选B.
17.答案
解析 在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由于 可设则,由勾股定理，得
18.答案 10
解析 设上升的高度为x米，∵上山直道的坡度为1：7，∴前进的水平距离为7x米，由勾股定理得 解得 (舍去).故填10.
19.解析 在Rt△ABC中,∴∠C=90°,AB=10,sinB=
20.答案 2或1
解析 如图所示，有两种情况.
情况一：
情况二：由网格特点知A△AD B是等腰直角三角形.
故填2或1.
21.解析 故分别填
(2)取格点E,连接CE,则 ∥AB,取格点F,连接EF,则 CD,设垂足为点G,连接DE,DF,
如图所示.
即
∵
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