莆田砺志学校2021～2022学 高二 年级 数学 学科
下学期期中考试试卷答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。（其中1-8为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的。9-12为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C A B B D A AD AB BCD CD
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 48
14、
15. 14
16【答案】
三、解答题：本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
(1)求y＝f(x)的导数；
(2)求函数的单调区间
(1)...............4分
（2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增..............10分
18．已知的展开式中，所有二项式系数之和为64．
(1)求n的值以及二项式系数最大项
(2)若，求的值．
【答案】(1)，(2)365
(1)二项式系数之和为，故当时，二项式系数最大，
此时所求项为；.......6分
(2)令得：=729；.......12分
19、已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数至多有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)增区间为，，减区间为；
(2)﹒
(1)
依题意：，
故当时，，当时，，当时，，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
........6分
(2)令，得.
∵，，结合f(x)单调性，作出f(x)图像：
∴至多有两个零点可转化为与至多有两个交点.
结合图像可知，或，
即实数a的取值范围为........12分
20．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业 礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
(1)甲 乙两人至多一人测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
20．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
(1)根据题意，甲测试合格的概率为；
乙测试合格的概率为；故甲 乙两人都测试合格的概率为，则甲 乙两人至多一人测试合格的概率为...........5分
(2)由题可知，甲答对的试题数X可以取，
又，，
，，
故的分布列如下：
则............12分
21、冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
【答案】(1)
(2)乙选手，理由见解析
(1)解：甲滑雪用时比乙多秒分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.
设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件，
“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件，
依题意，事件和事件是互斥事件，，
，，
所以，.
即甲胜乙的概率为....6分
(2)解：依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为，则，，
所以甲被罚时间的期望为（分钟），
乙被罚时间的期望为（分钟），
又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，所以甲最终用时的期望比乙多2分钟.
因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高...........12分
22．已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，当时，在上单调递增，在上单调递减；
（Ⅱ）
Ⅰ，
．
当时，，在上是单调增函数；
当时，．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上是单调增函数，
当时，在上单调递增，在上单调递减；...6分
Ⅱ由Ⅰ可得，当时，．
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立．
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
的最大值为．
由，得．
实数b的取值范围是．...........12分莆田砺志学校2021～2022学 高二 年级 数学 学科
下学期期中考试试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。（其中1-8为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的。9-12为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
1．已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．袋中有3红5黑共8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（ ）
A． B． C． D．
4．用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比2000大的四位数共有（ ）
A．72个 B．66个 C．60个 D．55个
5．某市高二年级男生的身高(单位：)近似服从正态分布，则随机选择名本市高二年级的男生身高在内的概率为（ ）
附：随机变量符合正态分布，则，
A． B． C． D．
6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
7．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
10．（多选）若函数在区间内存在极大值，则整数a可以取（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
11．（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件与事件相互独立 B．，，是两两互斥的事件
C． D．
12．（多选）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有__________种排法.
14．若，则=___________．
15．在的展开式中常数项是_________
16．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设，则曲线在点处的切线方程为__________，用此结论计算__________.
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三、解答题：本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数
(1)求y＝f(x)的导数；
(2)求函数的单调区间
18．（12分）已知的展开式中，所有二项式系数之和为64．
(1)求n的值以及二项式系数最大项
(2)若，求的值．
19．（12分）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数至多有两个零点，求实数a的取值范围.
20．（12分）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业 礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
(1)甲 乙两人至多一人测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
21.（12分）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
22．（12分）已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．
