苏教版2019高中数学必修1 第5章函数概念与性质 §5.4.1奇偶性的概念 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
第1课时　奇偶性的概念
第5章　§5.4　函数的奇偶性
学习目标
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
导语
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
而对称美在函数中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究函数中的对称美.
课时对点练
一、函数的奇偶性的概念及判断
二、奇、偶函数的图象及应用
三、利用函数的奇偶性求值
随堂演练
内容索引
函数的奇偶性的概念及判断
一
问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　这两个函数图象都关于y轴对称.
问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …
问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
知识梳理
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数 关于 对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称.
(3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0.
(4)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集.
注意点：
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－|x3|；
例1
函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝1－|－x3|＝1－|x3|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数.
函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，
则f(x)＝0，
又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)既是偶函数又是奇函数.
函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
反思感悟
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ ；
跟踪训练1
(2)f(x)＝x2(x2＋2).
f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数.
奇、偶函数的图象及应用
二
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
例2
由题意作出函数图象如图.
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
据图可知，增区间为(－1,0)，(1，＋∞).
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2延伸探究
1.本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？
结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0).
2.若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)据图可知，增区间为(－1,1).
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}.
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
反思感悟
定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示.
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
跟踪训练2
由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.
(2)比较f(1)与f(3)的大小.
观察图象，知f(3)利用函数的奇偶性求值
三
(1)已知函数 为奇函数，则a＝____；b＝_____.
例3
－1　 1
当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x).
即ax2－bx＝－x2－x，
∴a＝－1，b＝1.
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____.
令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
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利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
反思感悟
(1)设函数f(x)＝ 为奇函数，则a＝______.
跟踪训练3
因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
－1
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝
则f(f(－2))＝_____.
因为f(x)为R上的偶函数，
所以f(－2)＝f(2)＝0，
所以f(f(－2))＝f(0)＝1.
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课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念.
(2)奇函数、偶函数的图象特征.
(3)利用函数的奇偶性求值.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.
随堂演练
1.函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a等于
A.－1 B.0
C.1 D.无法确定
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∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝0，即a＝1.
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2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是
选项A，C中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
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3.(多选)下列函数是奇函数的是
A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2
C.y＝ D.y＝x|x|
√
利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；
又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
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4.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是_____.
由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
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基础巩固
1.(多选)下列函数中为奇函数的是
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝x5
C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝
√
选项ABC中的函数满足f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.
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2.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x).
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数.
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3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－ ，则f(1)等于
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
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4.函数f(x)＝ －x的图象
A.关于y轴对称 B.关于直线y＝x对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝－x对称
√
∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称.
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5.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为
A.0　　　 B.－1　　　 C.1　　　 D.2
√
∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得a＝1.
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6.(多选)若f(x)为R上的奇函数，下列四个说法正确的是
A.f(x)＋f(－x)＝0
B.f(x)－f(－x)＝2f(x)
C.f(x)·f(－x)<0
√
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∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x).
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确.
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确.
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确.
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7.已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为____，f(－2)＝_____.
因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
f(－2)＝(－2)2＋5×(－2)＝－6.
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8. 奇函数y＝f(x)的局部图象如图，则f(－2)＋f(－1)的值为_______.
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9.已知函数f(x)＝x＋ (a>0).
(1)若f(1)＝3，求a的值；
由题意知，f(1)＝1＋a＝3，
所以a＝2>0满足题意.
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函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝x＋ (a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称.
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明.
所以函数f(x)为奇函数.
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10.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
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偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3).
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
综合运用
11.函数f(x)＝ 是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
√
若x是有理数，则－x也是有理数，
∴f(－x)＝f(x)＝1；
若x是无理数，则－x也是无理数，
∴f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数.
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12.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
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∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数.
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13.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为____.
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，
所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)
＝f(2)－f(2)＝0.
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14. 设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为__________________.
由f(x)在[0,6]上的图象知，
满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3).
又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3).
综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3).
[－6，－3)∪(0，3)
拓广探究
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)
＝2－[1＋h(a)]
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16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数；
由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.
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(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).
由(1)知f(x)为奇函数.
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)
＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.