苏教版2019高中数学必修1 第6章§6.1 幂函数 课件（60张PPT）

(共60张PPT)
§6.1　幂函数
第6章　幂函数、指数函数和对数函数
学习目标
1.了解幂函数的概念.
2.掌握y＝xα
的图象与性质.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.
导语
同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
课时对点练
一、幂函数的概念
二、幂函数的图象与性质
三、幂函数的图象与性质的应用
随堂演练
内容索引
幂函数的概念
一
问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝ ,即c＝ ，这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数.
提示　这些函数的解析式都具有指数幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
知识梳理
幂函数的概念
一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中x是 ，α是 .
y＝xα
自变量
常数
(1)自变量前的系数是1；
(2)幂的系数为1；
(3)α是任意常数；
(4)函数的定义域与α有关.
注意点：
(1)在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为
A.0 　　　 B.1 　　　C.2 　　　D.3
例1
√
∵y＝　＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.
(2)已知y＝ ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式.
反思感悟
设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，
∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
　　　 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_____.
跟踪训练1
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幂函数的图象与性质
二
问题2　根据之前所学的函数概念与性质，我们应该从哪些方面来研究幂函数呢？
提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.
问题3　你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1这五个函数的图象吗？
提示　
问题4　观察函数图象以及函数解析式，完成下表.
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性
R　 R　 R　 [0，＋∞)　 {x|x≠0}
R　 [0，＋∞)　 R　 [0，＋∞)　 {y|y≠0}
奇函数　 偶函数　 奇函数 非奇非偶函数　 奇函数
增函数
在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
增函数
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
知识梳理
一般幂函数的性质
(1)函数y＝xα，当α>0时，具有的性质：
①函数的图象都过点 和 ；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而 ，函数在区间[0，＋∞)上是 函数.
(2)函数y＝xα，当α<0时，具有的性质：
①函数的图象都过点 ；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而 ，函数在区间(0，＋∞)上是 函数.
下降
减
上升
增
(0,0)
(1,1)
(1,1)
(1)函数y＝ 的图象是
例2
∵当x>1时，x> ；当x＝1时，x＝ ，所以A，C，D均不对，选B.
√
(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，
四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝ ；
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，
所以曲线C3的n＝－ ，曲线C4的n＝－2，故选B.
√
(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.
反思感悟
如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则
A.－1B.n<－1,0C.－11
D.n<－1，m>1
跟踪训练2
√
由于y＝xm在(0，＋∞)上是增函数，且为上凸函数，故0由于y＝xn在(0，＋∞)上是减函数，且在直线x＝1的右侧时，y＝xn的图象在y＝x－1的图象的下方，故n<－1.
幂函数的图象与性质的应用
三
比较下列各组数中两个数的大小：
例3
∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
(3) 与 .
∵函数y1＝ 在(0，＋∞)上是增函数，
又∵函数y2＝ 在(0，＋∞)上是增函数，且 <1，∴ ＝1，
∴ .
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
反思感悟
比较下列各组数中两个数的大小：
跟踪训练3
∵y＝x－0.3在(0，＋∞)上是减函数，
(2)－3.143与－π3.
∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)幂函数的定义.
(2)几个常见幂函数的图象.
(3)幂函数的性质.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.
3.常见误区：易忽略幂函数的概念.
随堂演练
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设幂函数为y＝xα，
√
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2.设α∈ ，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所
有α的值是
A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3
√
当α＝－1时，函数y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；
当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；
当α＝ 时，函数y＝ 的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；
当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R，且为奇函数.
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3.函数y＝ 的图象是
∵函数y＝ 的定义域为[0，＋∞)，
∴它是非奇非偶函数，故排除A，B选项.
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4.0.23－2.3与0.24－2.3的大小关系是_________________.
因为函数y＝x－2.3在(0，＋∞)上是减函数，且0.23<0.24，
所以0.23－2.3>0.24－2.3.
0.23－2.3>0.24－2.3
课时对点练
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基础巩固
1.幂函数的图象过点(16,4)，则该幂函数的解析式是
A.y＝x－1 B.y＝
C.y＝x2 D.y＝x3
√
设f(x)＝xα，则16α＝4，
∴α＝ ，∴f(x)＝ .
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2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是增函数的是
A.y＝ B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝x
√
由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不满足题意.
y＝ 在(0，＋∞)上是增函数，但不是偶函数，故A不满足题意.
y＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故C满足题意.
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3.已知函数f(x)＝ ，若0因为函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上是增函数，
√
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4.函数y＝ －1的图象关于x轴对称的图象大致是
y＝ 的图象位于第一象限，且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝ －1的图象可看作是由y＝ 的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，则y＝ －1的图象关于x轴对称的图象即
为选项B.
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5.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点 ，则幂函数f(x)具有的性质是
A.在其定义域上为增函数 B.在(0，＋∞)上是减函数
C.奇函数 D.定义域为R
√
设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，因为幂函数图象过点 ,所以f(x)＝ ，
所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均是减函数.
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6.(多选)下列命题不正确的是
A.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
B.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象有三个交点，那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(－1,1)
√
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对于A，幂函数的图象都经过点(1,1)，当y＝xn中n≤0时，不过点(0,0)，故A不正确；
对于B，当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是直线y＝1除去点(0,1)，故B不正确；
对于C，当两个幂函数的图象有三个交点时，两函数不一定相同，如y＝x与y＝x3的图象有三个交点，但这两个函数不相同，故C不正确；
对于D，因为幂函数的图象都经过点(1,1)，所以若幂函数为偶函数，其图象一定经过点(－1,1)，故D正确.
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7.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是______.
因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上是减函数.故α<0.
α<0
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8.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是____.
因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，
3
解得m＝3.
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9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)· ，m为何值时，函数f(x)是(1)正比例函数；
若函数f(x)为正比例函数，
(2)反比例函数；
若函数f(x)为反比例函数，
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(3)幂函数.
若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
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10.比较下列各组数的大小：
(1) 和 ；
函数y＝ 在(0，＋∞)上是减函数，
又3<3.2，所以
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函数y＝ 在(0，＋∞)上是增函数，
(2) 和 .
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综合运用
11.函数f(x)＝ ＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是
A.f(a)>f(b) B.f(a)C.f(a)＝f(b) D.以上都不对
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∵f(x)为幂函数，
∴f(x)＝ ，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且a>b>0，
∴f(a)>f(b).
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12.已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴
对称，则m等于
A.1 B.0,2
C.－1,1,3 D.0,1,2
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∵幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，
又m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意.
综上所述，m＝－1,1,3.
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13.若 ，则实数m的取值范围为________.
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14.给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n).如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为_____.
设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，
f(m)＋f(n)＝mα＋nα，
f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，
f(mn)＝(mn)α，
所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立.
③
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拓广探究
15.(多选)给出下列幂函数，其中满足条件 (x1>x2>0)的函数的是
A.f(x)＝x B.f(x)＝x2
C.f(x)＝x3 D.f(x)＝
√
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A.函数f(x)＝x的图象是一条直线，
故当x1>x2>0时，
B.函数f(x)＝x2的图象是下凸形曲线，
故当x1>x2>0时，
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C.在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，
故当x1>x2>0时，
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16.已知幂函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)＝
2x－k.
(1)求m的值；
依题意，得(m－1)2＝1，
解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上是减函数，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
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(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围.
由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)是增函数，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k].
∵A∪B＝A，∴B A，
∴实数k的取值范围是[0,1].