苏教版2019高中数学必修1 第6章培优课 与指数函数、对数函数有关的复合函数 课件（共72张PPT）

(共72张PPT)
培优课　与指数函数、对数函数有关的复合函数
第6章　幂函数、指数函数和对数函数
与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数.
课时对点练
一、复合函数单调性的判断与应用
二、复合函数的值域与最值问题
三、判断复合函数的奇偶性
随堂演练
内容索引
复合函数单调性的判断与应用
一
　　讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性.
例1
则当a>1时，
若x>1，则u＝3x2－2x－1是增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)是增函数；
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)是减函数.
当0若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)是减函数；
　　已知函数 在区间(－∞， )上是增函数，求实数a的取值范围.
例2
令g(x)＝x2－ax＋a，
∴ 是关于g(x)的减函数.
(1)形如函数y＝logaf(x)的单调性判断
首先要求定义域，在定义域内，当a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性保持一致，当0(2)已知复合函数的单调性求参数的取值范围要注意
①函数的定义域.
②遵循“同增异减”原则.
③区别“在区间[a，b]上是增(减)函数”与“增(减)区间是[a，b]”.
反思感悟
　　　 (1)函数 的增区间是
A.(－1,1] B.(－∞，1)
C.[1,3) D.(1，＋∞)
跟踪训练1
√
由题意得，要使函数 有意义，则要满足－x2＋2x＋3>0，
解得－1即函数的定义域为(－1,3)，
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在区间(－1,1]上是增函数，在区间[1,3)上是减函数，
又由函数 在定义域上是减函数，
所以 的增区间为[1,3).
(2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是_______.
a≥1
因为函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，
若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，
则t＝|x－a|在区间(－∞，1]上单调递减，
又函数t＝|x－a|在区间(－∞，a]上单调递减，
所以(－∞，1] (－∞，a]，故有a≥1.
二
复合函数的值域与最值问题
　　求函数 的值域.
例3
设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0又 在(0,4]上是减函数，
∴ 的值域为[－2，＋∞).
　　求函数 在区间[2,4]上的最大值和最小值.
例4
因为2≤x≤4，所以
即－2≤ ≤－1.
设 ，则－2≤t≤－1.
所以当t＝－2时，ymax＝10；
求复合函数的最值
(1)首先恰当地把复合函数分解为两个或多个基本函数.
(2)然后按照“由内到外”的原则，利用函数的性质求最值.
反思感悟
　　　 (1)函数 的值域为______.
跟踪训练2
(0,2]
∵1－x2≤1，∴ ≤21＝2，
∴0(2)函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的最小值为_____.
1
令u＝x2＋2x＋4，
则u＝(x＋1)2＋3≥3，
∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，
即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的最小值为1.
三
判断复合函数的奇偶性
　　(1)判断函数f(x)＝loga(x＋ )(a>0且a≠1)的奇偶性，并说明理由.
例5
(2)若函数f(x)＝2x＋ 为偶函数，则a＝______.
1
函数的定义域为R，关于原点对称.任取x∈R，
因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，则有a＝1.
本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零.
反思感悟
　　　 (1)已知函数f(x)＝ 是奇函数，则a＝_____，不等式
f(x)<0的解集是________.
跟踪训练3
1
(－1,0)
由题意f(0)＝log2(2－a)＝0，a＝1，
解得－1(2)若a>0且a≠1，则函数f(x)＝ 是
A.奇函数
B.偶函数
C.不是奇函数也不是偶函数
D.奇偶性与a的具体取值有关
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)指数、对数型函数的单调性.
(2)指数、对数型函数的值域和最值问题.
(3)指数、对数型函数的奇偶性.
2.方法归纳：换元法.
3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域.
随堂演练
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0,1)
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∵u＝1－x为减函数，
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2.(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则
A.f(x)在(0,1)上单调递增
B.f(x)在(0,1)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
√
√
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由题意知，f(x)的定义域为(0,2)，
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(－x2＋2x)，
令μ＝－x2＋2x，x∈(0,2)，
μ的单调增区间为(0,1)，
μ的单调减区间为(1,2)，
又y＝ln μ单调递增，
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,2)，
∴A正确，B错误；
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∵函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，
∴f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x，
即f(x)＝f(2－x)，
即f(x)的图象关于直线x＝1对称.
∴C正确，D错误.
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3.函数 的值域是________.
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又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值为2，
课时对点练
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基础巩固
1.函数f(x)＝ 的增区间为
A.(－∞，2) B.(1,2)
C.(2,3) D.(2，＋∞)
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由题意知f(x)的定义域为[1,3]，
因为f(x)＝2g(x)在定义域上为增函数，
令h(x)＝－x2＋4x－3，
由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1≤x≤3，
即f(x)＝ 的增区间为[1,2]，也可写作(1,2).
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2.若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围为
令u＝(2a－1)x＋3，由于函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，函数y＝3u为R上的增函数，则函数u＝(2a－1)x＋3为R上的减函数，
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4.对于函数f(x)＝ ，下列描述正确的选项是
A.是减函数且值域为(－1,1)
B.是增函数且值域为(－1,1)
C.是减函数且值域为(－∞，1)
D.是增函数且值域为(－∞，1)
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因为函数y＝3x>0且在R上是增函数，
所以f(x)为R上的增函数，
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5.(多选)如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么
A.f(x)在(1，＋∞)上为增函数且无最大值
B.f(x)在(1，＋∞)上为减函数且无最小值
C.f(x)在定义域内是偶函数
D.f(x)的图象关于直线x＝1对称
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由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}.
在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；
因为f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上为减函数，所以a>1，
所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上为增函数且无最大值，A正确，B错误；
又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误.
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6.(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝ ，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{－1,0,1}
√
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∴g(－1)≠g(1)，则g(x)不是偶函数，故A错误；
∴f(x)为奇函数，故B正确；
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又y＝2x在R上是增函数，
∵2x>0，∴1＋2x>1，
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7.函数f(x)＝ 的增区间为__________.
令t＝x2－2x－1，
所以函数t＝x2－2x－1＝(x－1)2－2在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.
(－∞，1)
故f(x)＝ 在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.
故f(x)的增区间为(－∞，1).
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8.设函数f(x)＝ ，若f(2m－1)＋f(m－2)<0，则实数m的取值范围是
__________.
∴f(x)为奇函数，
又f(x)在R上单调递减，由f(2m－1)＋f(m－2)<0，得f(2m－1)<－f(m－2)＝f(2－m)，∴2m－1>2－m，解得m>1.
(1，＋∞)
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9.已知函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值；
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
解得a＝2，经检验a＝2符合题意.
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(2)求函数f(x)的值域.
∵2x＋1>1，
∴函数f(x)的值域为(－1,1).
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(1)判断函数f(x)的奇偶性；
故函数f(x)为奇函数.
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(2)讨论f(x)的单调性；
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设任意x1，x2∈(－1,1)，x1则1－x2>0,1＋x1>0，
又(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)<0，(1＋x1)(1－x2)>0，
则0<(1＋x1)(1－x2)<(1－x1)(1＋x2)，
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即f(x1)1
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(3)解不等式f(2x)>f(1－x) .
由(2)知，函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
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综合运用
11.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为
A.(0,1) B.(1,2)
C.(0,2) D.[2，＋∞)
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∵y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，
令u＝2－ax，又a>0，∴u＝2－ax在[0,1]上单调递减，∴y＝logau在[2－a,2]上单调递增，∴a>1.
又2－ax>0在x∈[0,1]时恒成立，
∴umin＝2－a×1＝2－a>0，即a<2，
综上，a的取值范围为(1,2).
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12.函数f(x)＝(log2x)2－log2x3＋4，x∈(1,4]的值域为
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令t＝log2x，
则t∈(0,2]，
∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈(0,2]，
当t＝0时，y有最大值为4，但取不到.
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13.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则满足f(log2x)>f(2)的x的取值范围是
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由于函数y＝f(x)是偶函数，
由f(log2x)>f(2)，得f(|log2x|)>f(2)，
又∵函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，
∴|log2x|>2，
即log2x<－2或log2x>2，
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14.已知函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x2－2x－8)的增区间为__________.
函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝ln x，
(4，＋∞)
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拓广探究
15.(多选)定义运算 ：①对 m∈R，m 0＝0 m＝m；②对 m，n，p∈R，(m n) p＝p (mn)＋m p＋n p.若f(x)＝ex－1 e1－x，则有
A.函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称
B.函数f(x)在R上单调递增
C.函数y＝f(x)的最小值为2
D.
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依题意，得f(x)＝ex－1 e1－x＝(ex－1 e1－x) 0＝0 (ex－1·e1－x)＋ex－1 0＋e1－x 0＝e0＋ex－1＋e1－x＝ex－1＋e1－x＋1，
故f(1－x)＝e－x＋ex＋1，f(1＋x)＝ex＋e－x＋1，
即f(1－x)＝f(1＋x)，函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故A正确；
当x<1时，u＝ex－1∈(0,1)，单调递增，此时y＝u＋ ＋1单调递减，故y＝f(x)在(－∞，1)上单调递减；
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当x>1时，u＝ex－1∈(1，＋∞)，单调递增，此时y＝u＋ ＋1单调递增，故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故B错误；
根据单调性知y＝f(x)在x＝1时取得最小值，
f(1)＝e0＋e0＋1＝3，故C错误；
因为 ，
根据单调性得 ，故D错误.
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16.已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
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由f(x)的定义域为R，
得ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，由2x＋1>0，
当a≠0时，
即实数a的取值范围为(1，＋∞).
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(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
因为f(x)的值域为R，
所以{y|y＝ax2＋2x＋1} (0，＋∞)，
(也可以说y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数)
①当a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意；
综上，实数a的取值范围为[0,1].