2.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步练习（含答案）

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第二章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60°角的三角函数值
基础过关
知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
1.若∠α的余角是30°,则cosα的值是( )
2.若锐角α满足且,则α的取值范围是( )
3.已知α为锐角，下列结论:①;②如果,那么;③如果 那么 其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若 则锐角α的度数是____________.
5.如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是__________.
6.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD边的中点,EF=4cm,则BE=___________cm.
7.在△中, 60°,AD为BC边上的高, 则BC的长为______.
8.计算：
9.如图,△ABC中,D为BC边上的一点,若∠B=
(1)求CD的长;
(2)利用此图求 的值.
知识点2 30°，45°，60°角的三角函数值的应用
10.某限高曲臂道路闸口如图所示,ABL地面于点A,BE与水平线的夹角为 ∥∥若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考
虑闸口与车辆的宽度.
①当α=90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当 时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当 时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.
则上述说法正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.如图，某渔船在A点处测得灯塔C点在北偏东22.5°方向，向正东方向航行4km后到达B点，测得C点在B点的西北方向，再沿东北方向航行到D点，此时测得C点在D点的北偏西75°方向，则D，C两点之间的距离为_________km.(结果保留根号)
12.如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行.为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东 方向，试计算此段河面的宽度.(结果取整数，参考数据：
能力提升
13. tan 30°的值等于( )
C.1 D.2
14.在△ABC中, 则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定
15.如图,数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为_________米.(结果精确到1米，参考数据：
16.计算:
17.计算:
18.已知:如图,在 中,∠C=90°,AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D,且
(1)求 的度数；
(2)求 的值.(结果保留根号)
19.[数学抽象]在Rt△ABC中,∠C=90°,有一个锐角为60°,AB=4.若点P在直线AB上(不与点A,B重合),且∠PCB=30°,则CP的长为____________.
20.[数学建模]如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40n mile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行.
(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)
(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20n mile到点C处时突然发
生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短 最短航程是多少(结果保留根号)
参考答案
基础过关
1.A ∠α=90°-30°=60°, cosx=cos 60°= / ;故选A.
2.A ∵α满足,∴.∵α满足 ∴α<45°..故选A.
3.C ①如图, 则故结论错误.
②因为 且在锐角范围内，正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，所以时, 所以 故结论正确.
③因为 且在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小，故 时,,故结论正确.
④因为在锐角范围内,,所以 ,故结论正确.故选C.
4.答案 50°
解析
5.答案
解析 如图,连接AB.易知△AOB是等腰直角三角形，∴∠ AOB=45°.
6.答案 6
解析 ∵∠AED=90°,F是AD边的中点,EF=4cm,∴AD=2EF=8cm.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°.∴∠BEA=∠DAE=30°.
在Rt△ABE中, 故填6.
7.答案 7或5
解析 ①如图1,在 中,∠ABC=60°,AD⊥BC,AD=6,
∴
②如图2,由①得 又
综上,BC的长为7或5.
8.解析
9.解析(1)∵AB=AC,∠B=360°,∴∠C=∠B=360°.∴∠BAC=180°-∠B-∠C=108°.
∵AB=BD,∠B=360°,∴∠BAD=∠BDA=(180°—∠B)=72°.
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=108°-72°=36°,即∠CAD=∠B.
又∵∠C=∠C,∴△CAD △
或 (舍去)∴.CD的长为
(2)如图,延长CB到点E,使BE=AB=2,连接AE,则∠E=∠BAE.
∵∠BAD=72°,∴∠EAD=72°+18°=90°.
∵∠C=∠CAD=360°,∴AD=CD=.
在Rt△EAD中, 即
10.C ①当α=90°时,限高曲臂道路闸口的高度为1.4+2=3.4米，所以h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.②当α=45°时，限高曲臂道路闸口的高度为 米，所以h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.③当α=60°时，限高曲臂道路闸口的高度为 米，所以h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③不正确.故选C.
11.答案
解析 由题意知 45°,∠CBD=90°,
∠CDB=180°-45°-75°=60°.
12.解析 如图,作ADLBC,垂足为点D.
由题意可知,BC=1.5×40=60(m),∠ABD=90°-60°=30°,∠ACD=90°-45°=45°.
在Rt△ACD中,∵tan∠ACD=tan45°=40/(0=1,∴AD=CD.
在Rt△ABD中,∵tan∠ABD=tan 30°=40/BD∴BD∴
答：此段河面的宽度约为82m.
能力提升
故选A.
14.C ∵(2sinA-1) +=0,∴,
=60°.∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形.故选C.
15.答案 14
解析 如图,过点O作OCLAB,垂足为C.
由题意知AC=45米, ∴OC=AC·tan30°=45×=15 (米).
∴旗杆的高度 (米).故填14.
16.解析
17.解析
18.解析 (1)连接AD,如图.
∵AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D，∴AD=BD.∴∠B=∠DAB.
∵BD=2AC,∴AD=2AC.又
(2)设AC=m,则AD=BD=2m.Rt△ACD中,CD=
中, 即.
19.答案 或2或2
解析 ①若∠ABC=60°,则BC=AB=2.当点P在线段AB上时，
如图.∵∠PCB=30°,∴CP⊥AB.∴
当点在AB的延长线上时，如图.
∵.
②若∠A=60°,则点P只能在线段AB上，如图.
∵∠PCB=30°,∠ACB=90°,∴∠ACP=60°.
∴△PAC为等边三角形.∴PC=AC=AB=2.∴PC=2.
综上,PC的长为或2或2.
20.解析 (1)如图,过B作BM⊥AC于M.
由题意可得∠BAM=30°+15°=45°,∴∠ABM=45°.
在Rt△ABM中,∵∠BAM=45°,AB=40n mile,∴AM=AB·cos∠BAM=40×∴渔船航行20n mile距离小岛B最近.C
,
∴
∴∠CBG=180°-60°-45°-30°=45°.
在 中,
∴救援队从B处出发沿东南方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是
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