(共54张PPT)
第1课时 对数的运算性质
第4章 4.2.2 对数的运算性质
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
导语
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.
课时对点练
一、对数的运算性质
二、利用对数的运算性质化简、求值
三、对数运算性质的综合应用
随堂演练
内容索引
对数的运算性质
一
问题1 将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示 由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N).
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0).
问题2 结合问题1，若 ，又能得到什么结论？
提示 将指数式 ＝ap－q化为对数式，得
loga ＝p－q＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0).
问题3 结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？
提示 由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R).
知识梳理
对数的运算性质
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝ .
(2) ＝ .
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
logaM＋logaN
logaM－logaN
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
注意点：
求下列各式的值.
(1)ln e2；
例1
ln e2＝2ln e＝2.
(3)lg 50－lg 5.
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
反思感悟
求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；
跟踪训练1
方法一 log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.
方法二 log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg 5＋lg 2；
lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1.
(4)log35－log315.
＝log33－1＝－1.
利用对数的运算性质化简、求值
二
计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
例2
原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
对数运算性质的综合应用解题思路
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简.
反思感悟
计算下列各式的值：
跟踪训练2
原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2
＝2＋1＝3.
对数运算性质的综合应用
三
已知lg 2＝a，lg 3＝b，则 ＝__________.
例3
＝lg(3×22)－(1－lg 2)
＝lg 3＋lg 22－1＋lg 2
＝lg 3＋3lg 2－1＝b＋3a－1.
b＋3a－1
对数运算性质的综合应用中的求值(或用代数式表示)问题思路
依据对数的运算性质，将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的乘、除，再展开，要注意常用对数中lg 2＋lg 5＝1.
反思感悟
用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；
跟踪训练3
lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
＝lg x＋lg y3－
＝ －(lg y2＋lg z)
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数的运算性质.
(2)利用对数的运算性质化简、求值.
(3)对数运算性质的运用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算
法则.
随堂演练
1.(多选)若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的有
A.(logax)n＝nlogax
1
2
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4
根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，a≠1)知BD正确.
C.(logax)n＝logaxn
√
√
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2.2log510＋log50.25等于
A.0 B.1 C.2 D.4
√
原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
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∵lg 3＝a，lg 7＝b，
√
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基础巩固
1.log242＋log243＋log244等于
A.1 B.2 C.24 D.
√
原式＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
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2.已知3a＝2，那么log38－2log36用a表示为
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
√
因为3a＝2，所以a＝log32，
所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2.
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3.计算lg 2－ －eln 2等于
A.－1 B. C.3 D.－5
√
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4.下列计算正确的是
A.(a3)2＝a9 B.log26－log23＝1
C. D.log3(－4)2＝2log3(－4)
√
由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6， ＝a0＝1，
所以A，C不正确；
由对数的运算性质，可得log26－log23＝ ＝log22＝1，所以B正确；
根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log34，
而log3(－4)无意义，所以D不正确.
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5.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于
∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，
∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，
∴lg(ab)＝2，
∴ab＝100.
√
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6.(多选)已知f(x)＝log5x，则对任意的a，b∈(0，＋∞)，下列关系成立的是
A.f(ab)＝f(a)＋f(b) B.f(ab)＝f(a)f(b)
√
∵f(x)＝log5x，a，b∈(0，＋∞)，
∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b
＝f(a)＋f(b)，
√
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8.若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则 ＝____.
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由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2，
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9.已知lg 2＝m，lg 3＝n，试用m，n表示 .
∵lg 2＝m，lg 3＝n，
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10.计算下列各式的值：
(1) ＋lg 25＋lg 4＋ ；
原式＝
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原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
(2)2log32－ ＋log38－ .
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综合运用
11.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于
x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
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12.已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是
√
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13.已知函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(4＋x)，若f(1)＝6，则f(log2128)＋f(log216)等于
A.6 B.0 C.－6 D.－12
√
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因为函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－6，
故f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(－1＋4)
＝f(－1)＝－6，
f(4)＝f(0)＝0，
所以f(log2128)＋f(log216)
＝f(log227)＋f(log224)
＝f(7)＋f(4)＝－6＋0＝－6.
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14.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且 ＝4，则f(2 023)＝____.
得－alog22 023－blog32 023＝2.
∴alog22 023＋blog32 023＝－2，
∴f(2 023)＝alog22 023＋blog32 023＋2＝－2＋2＝0.
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拓广探究
15.设a，b，c为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2－2x＋log2(c2－b2)－2log2a＋1＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状是_______
________.
由题意得Δ＝4－4log2(c2－b2)＋8log2a－4＝0，
∴2log2a＝log2(c2－b2).
∴a2＝c2－b2，故有a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形.
直角
三角形
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16.已知lg 2＝a，lg 3＝b.
(1)求lg 72，lg 4.5；
lg 72＝lg(23×32)＝3lg 2＋2lg 3
＝3a＋2b；
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(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值.
lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2(共54张PPT)
第2课时 换底公式及对数的应用
第4章 4.2.2 对数的运算性质
学习目标
1.掌握换底公式及其推论.
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
课时对点练
一、换底公式
二、有附加条件的对数式求值问题
三、对数的实际应用
随堂演练
内容索引
换底公式
一
问题1 上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？
问题2 是否对任意的logab都可以表示成logab＝ (a>0，a≠1；b>0；c>0，c≠1)？说出你的理由.
提示 依据当a>0，a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出.
故b＝ax，
知识梳理
换底公式
(1)logaN＝______(a>0，a≠1，N＞0，c>0，c≠1).
(2)对数换底公式的重要推论：
② (a>0，a≠1，b>0).
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝
或logab＝ .
注意点：
(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
例1
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值.
方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
反思感悟
跟踪训练1
√
方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
有附加条件的对数式求值问题
二
例2
方法一 由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
＝log369＋log364＝log3636＝1.
方法二 由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
反思感悟
跟踪训练2
∵3a＝5b＝c，∴c>0，∴a＝log3c，b＝log5c，
由logc15＝2得c2＝15，
对数的实际应用
三
一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元？(lg 2≈0.301 0，lg 9.125
≈0.960 2)
例3
设经过x年，这台机器的价值为8万元.
则8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4，
所以约经过10年这台机器的价值为8万元.
解决对数应用题的一般步骤
反思感悟
某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg 2≈0.301 0，
lg 3≈0.477 1，精确到1年)
跟踪训练3
设x年后每桶的生产成本为20元.
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%).
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2.
则50×(1－28%)x＝20.
即0.72x＝0.4.等号两边同时取常用对数，
得xlg 0.72＝lg 0.4.
≈3.
所以约3年后每桶的生产成本为20元.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)换底公式.
(2)有附加条件的对数式求值问题.
(3)对数的实际应用.
2.方法归纳：换底公式、转化法.
3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆.
随堂演练
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√
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2.已知2x＝3， ＝y，则x＋2y的值为
A.3 B.8 C.4 D.log48
√
由2x＝3得x＝log23，
＝log23＋(3log22－log23)＝3.
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3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是(参考数
据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
√
由已知得， ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.
故与 最接近的是1093.
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4.若xlog32＝1，则4x的值是
A.9 B.3
C.2log32 D.2log23
√
因xlog32＝1，
所以4x＝ ＝32＝9.
课时对点练
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基础巩固
1.化简得log832的值为
√
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2.(log29)(log34)等于
√
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3.已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则
A.a＝bc B.b2＝ac
C.c＝ab D.c2＝ab
√
由题意得令log2a＝log3b＝log6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab.
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4. 等于
原式
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5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝ ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10－10.1
√
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由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，
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6.(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有
√
√
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7.log23·log34·log42＝____.
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8.若lg 2＝a，lg 3＝b，则log916＝____(用a，b的代数式子表示)
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9.计算下列各式的值：
(1)log535＋ － －log514；
原式＝log535＋log550－log514＋
＝log553－1＝2.
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(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).
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10.设xa＝yb＝zc，且 ，求证：z＝xy.
设xa＝yb＝zc＝k，k>0，
则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.
即logkx＋logky＝logkz.
所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.
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综合运用
11.设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于
√
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∴lg 3＝3plg 2.
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
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12.计算log89×log910×log1011×…×log3132的结果为
log89×log910×log1011×…×log3132
√
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13.根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与
最接近的是
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
√
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∵汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.
≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88.
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又b＝log74，
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拓广探究
15.已知实数x，y，正实数a，b满足ax＝by＝2，且 ＝－3，则a2＋b的
最小值为________.
由题意得x＝loga2，y＝logb2，
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16.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
由换底公式，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t，
所以logay＝t2－3t＋3.
所以 (t≠0).
