(共63张PPT)
第1课时 指数函数的概念与图象
第6章 §6.2 指数函数
学习目标
1.理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式及函数值.
2.能掌握指数函数的图象和性质.
3.会利用指数函数的单调性比较大小和解不等式.
导语
话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是上一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？(211＝2 048)第24个月，他能获得多少工资？(223＝8 388 608)估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数.
课时对点练
一、指数函数的概念
二、指数函数的图象与性质
三、指数函数图象与性质的应用
随堂演练
内容索引
指数函数的概念
一
问题1 如果在某种细菌的培养过程中，细菌每10 min分裂一次，由1个分裂成两个.设分裂次数为x，细菌的个数为y，说出y与x的关系.
提示 细菌个数y是分裂次数x的函数，对应关系为y＝2x.
问题2 《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”设经过x天，剩余量为y，说出y与x的关系.
提示 对应关系为y＝ .
问题3 以上两个函数在结构上有什么共同点？
提示 函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量.
知识梳理
指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
y＝ax
(1)指数函数的底数a>0，且a≠1；
(2)指数幂的系数为1；
(3)注意区分幂函数和指数函数.
注意点：
(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是
A.0 B.1 C.2 D.4
例1
√
①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；
⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
A.(0,1)∪(1，＋∞) B.[0,1)∪(1，＋∞)
依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
√
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
反思感悟
根据指数函数的特征知，A，B，C不是指数函数.
(1)下列是指数函数的是
A.y＝－3x B.y＝
C.y＝ax D.y＝πx
跟踪训练1
√
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为_____.
由指数函数的定义知
2
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
指数函数的图象与性质
二
问题4 用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指
数函数y＝2x与y＝ 的图象.
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝2x
y＝
1 2 4 8
8 4 2 1
问题5 通过图象，分析y＝2x与y＝ 的性质并完成下列表格.
函数 y＝2x y＝
定义域
值域
单调性
最值
奇偶性
特殊点
y的变化情况 当x<0时，______ ； 当x>0时，____ 当x<0时，_____ ；
当x>0时，______
x∈R x∈R
(0，＋∞) (0，＋∞)
增函数 减函数
无最值 无最值
非奇非偶函数 非奇非偶函数
(0,1) (0,1)
0
y>1
y>1
0问题6 比一比y＝2x与y＝ 的图象有哪些相同点？有哪些不同点？
提示 相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点(0,1)；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝2x与y＝ 的底数互为倒数，且函数图象关于y轴对称.
问题7 再选取底数a＝3，a＝4，a＝ ，a＝ ，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势.
提示
知识梳理
a>1 0图象
性质 定义域 ___ 值域 _________ 过定点 过定点 ，图象在x轴的上方 (0，＋∞)
(0,1)
R
性质 函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时，______ 当x>0时， ；
当x<0时，______
单调性 在R上是_______ 在R上是_______
0y>1
0y>1
增函数
减函数
(1)函数图象只出现在x轴上方；
(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)；
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴；
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象都关于y轴对称.
注意点：
如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为
A.aB.bC.1D.a例2
√
方法一 由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，
则1方法二 根据图象可以先分两类：
③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小.
当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；
当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近x轴，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
反思感悟
已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是
跟踪训练2
√
由1>n>m>0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，
再由n>m可知应选C.
指数函数图象与性质的应用
三
(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是
A.aC.b例3
√
∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
即b(2)已知 0，a≠1)，求x的取值范围.
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
解得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，解得－1综上所述，当0x的取值范围是{x|x<－1或x>5}；
当a>1时，x的取值范围是{x|－1(1)比较幂值大小的3种类型及处理方法
反思感悟
(2)简单的指数不等式的解法
①利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
②解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)反思感悟
0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.
(1)下列大小关系正确的是
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
跟踪训练3
√
(2)不等式53－2x<0.23x－4的解集为________.
原不等式可化为53－2x<54－3x，
因为函数y＝5x是R上的增函数，
所以3－2x<4－3x，解得x<1，
则不等式的解集为{x|x<1}.
{x|x<1}
课堂
小结
1.知识清单：
(1)指数函数的定义.
(2)指数函数的图象和性质.
(3)指数函数的图象和性质的应用.
2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：忽视指数函数的底数a的范围致误.
随堂演练
1.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于
A.－1或2 B.－1
C.2 D.
√
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解得m＝2(m＝－1舍去).
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2.函数y＝3－x的图象是
√
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3.不等式 > 的解集为______.
(1,2)
所以x2－2x－2解得11
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4
4.已知a＝ ，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大
小关系为_______.
∴f(x)＝ax在R上是减函数，
又f(m)>f(n)，∴mm课时对点练
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基础巩固
1.若函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于
A.8 B. C.4 D.2
√
∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.
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2.若函数y＝(1－2a)x是R上的增函数，则实数a的取值范围为
∵y＝(1－2a)x是R上的增函数，
则1－2a>1，∴a<0.
√
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3.函数f(x)＝πx与g(x)＝ 的图象关于
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y＝－x对称
√
设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝ 的图象上的点.
因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝ 的图象关于y轴对称.
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A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
√
由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
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6.已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
a＝30.2∈(1,3)，b＝0.2－3＝ ＝53＝125，c＝(－3)0.2＝ <0，
所以b>a>c.
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7.已知函数f(x)为指数函数且f(3)＝27，则f(－2)＝____，f(f(－1))＝_____.
设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
∴a3＝27＝33，∴a＝3，∵f(x)＝3x，
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8.函数f(x)＝2ax－4＋3(a>0，且a≠1)恒过一个定点，则该点的坐标为______.
令x－4＝0，得x＝4，
又f(4)＝5，所以函数f(x)恒过定点(4,5).
(4,5)
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9.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的表达式；
由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x.
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F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数，证明如下：
F(x)＝2x－2－x，定义域为R，
∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数.
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.
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10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)1
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设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，
所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
因此由g(2x－1)得2x－1>3x，解得x<－1.所以x的取值范围为(－∞，－1).
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综合运用
11.二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝ 的图象可能是
√
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12.设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
因为y＝ (x>0)为增函数，所以a>c.
所以c>b，
所以a>c>b.
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13.若函数y＝ 在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝___.
由指数函数y＝x的图象可知函数在x＝ －1处取最小值为2，在x＝－2处取最大值为4.
∴m＋n＝6.
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14.设函数f(x)＝ 若f(x0)>1，则x0的取值范围是_________
____________.
当x0>0时， >1，∴x0>1；
当x0≤0时， －1>1，
∴ >2，∴x0<－1.
综上，x0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).
2－x－1，x≤0，
，x>0，
(－∞,－1)
∪(1，＋∞)
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拓广探究
15.(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
A.a＝b＝0 B.0C.a√
√
√
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由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示.
由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以选项A正确；
作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0当01
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16.设f(x)＝3x，g(x)＝ .
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
函数f(x)，g(x)的图象如图所示，
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(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.(共57张PPT)
第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
第6章 §6.2 指数函数
学习目标
1.掌握与指数函数有关的图象变换.
2.掌握指数函数的实际应用.
一、与指数函数有关的图象变换
二、指数函数的实际应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
与指数函数有关的图象变换
一
利用函数f(x)＝ 的图象，作出下列各函数的图象：①f(x－1)；
例1
②f(x)＋1；
③－f(x)；
④f(－x)；
⑤－f(－x)；
⑥f(|x|)；
⑦|f(x)－1|.
图形变换
(1)平移变换
反思感悟
(2)对称变换
反思感悟
(3)翻折变换
反思感悟
已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝ ＋2的图象？并画出相应图象.
跟踪训练1
作函数y＝3x关于y轴的对称图象，得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝ ＋2的图象，如图所示.
指数函数的实际应用
二
某林区2021年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域；
例2
现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2；
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为x∈N*.
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
由绘图软件作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图.
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300(木材蓄积量为300万立方米)时所经过的时间x年的值.
∵8解决有关增长(衰减)率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内作比较.
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再抽象为数学问题，最后求解数学问题即可.
反思感悟
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
反思感悟
酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 ml血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/ml，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车
A.6 B.5 C.4 D.3
跟踪训练2
√
设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则60(1－25%)x<20，
结合选项可知，他至少经过4个小时才能驾驶汽车.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)与指数函数有关的图象变换.
(2)指数型函数的实际应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：混淆|f(x)|与f(|x|)两种变换.
随堂演练
1.函数y＝2x＋1的图象是
1
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y＝2x＋1由y＝2x向左平移一个单位长度得到.
√
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2.(多选)若a>1，－1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
∵a>1，且－1故图象过第一、二、三象限.
√
√
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3.一种药在病人血液中的量低于80 mg时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药10 000 mg，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为
A.1.5小时 B.2小时
C.2.5小时 D.3小时
√
设时间为x，有10 000(1－0.8)x≥80，即0.2x≥0.008，解得x≤3.
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4.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了______天.
假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶刚好覆盖水面面积一半.
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1.函数y＝ 的图象是
√
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∴图象在(0，＋∞)上是减函数，
∴B选项正确.
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2.函数y＝|2x－2|的图象是
y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分翻折到x轴的上方得到的.
√
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3.为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是
A.50% B.40% C.30% D.20%
√
设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，
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4.随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为
A.3 000×1.06×7元 B.3 000×1.067元
C.3 000×1.06×8元 D.3 000×1.068元
√
设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3 000×
1.06x，从2018年到2025年共经过了7年，2025年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元.
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5.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2021年的湖水量为m，从2021年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝(1－0.150x)m
√
设每年湖水量为上一年的q%，
则(q%)50＝0.9，所以q%＝ ，
所以x年后的湖水量为y＝ .
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6.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0√
从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0又当x＝0时，f(x)<1，即a－b<1＝a0，
∴－b>0，即b<0.
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7.若0函数y＝ax的图象过点(0,1)，向下平移|b|个单位长度，超过1个单位长度，所以函数f(x)＝ax＋b的图象一定不经过第一象限.
一
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8.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aSnt(S，n为常数)，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则当t＝______秒时，甲桶中剩余的水量只有 升.
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方法一
其图象由两部分组成：
一部分：
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得到的函数图象如图中实线部分所示.
另一部分：
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其图象关于y轴对称，
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10.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次.
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
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设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为
y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.
乙方案在10年后的木材产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，
∴10年内乙方案能获得更多的木材.
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综合运用
11.某工厂去年十二月份的产量为a，已知月平均增长率为b，则今年十二月份的产量比去年同期增加的倍数为
A.(1＋b)12－1 B.a(1＋b)12
C.(1＋b)11－1 D.12b
由于去年十二月份的产量为a，且月平均增长率为b，则今年十二月份的产量为a(1＋b)12，比去年同期增加的倍数为 ＝
(1＋b)12－1.
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12.某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日内平均每天上涨5%，后5个交易日内平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为
A.赚723元 B.赚145元 C.亏145元 D.亏723元
√
由题意，得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5
≈10×0.992 77＝9.927 7，
100 000－99 277＝723(元)，
故股民亏723元.
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则 ＝1，
由y＝ <3－1，
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14.方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是______________.
作出函数y＝|2x－1|和直线y＝a的图象，如图，由题意知，直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
a≥1或a＝0
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拓广探究
15.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是
√
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由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.
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16.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
由图①知f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，
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(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
由图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1.
故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1).
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(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.
由(1)知f(x)＝ －3，
则画出|f(x)|＝| －3|的图象，如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一
个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}.