(共55张PPT)
第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
第6章 §6.3 对数函数
学习目标
1.掌握与对数函数有关的图象变换.
2.了解反函数的概念.
3.掌握对数函数的实际应用.
课时对点练
一、与对数函数有关的图象变换
二、反函数
三、对数函数的实际应用
随堂演练
内容索引
与对数函数有关的图象变换
一
已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
例1
因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示.
延伸探究
1.在本例(3)中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象.
因为f(x)＝log5|x|，
所以g(x)＝log5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
2.在本例(3)中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象.
因为a＝5，所以h(x)＝|log5x|.
h(x)的图象如图所示.
对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，当x<0时，y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
(3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称.
反思感悟
(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为
跟踪训练1
∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，
当x>0时，f(x)＝logax＋1是增函数；
当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，
又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.
√
(2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间.
函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示.
由图象知，其值域为[0，＋∞)，减区间是(－1,0]，增区间是[0，＋∞).
二
反函数
问题 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两函数图象的关系.
提示
知识梳理
反函数：指数函数 (a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
y＝ax
若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为
A.16 B.0 C.1 D.2
例2
√
函数y＝2x的反函数是y＝log2x，
即f(x)＝log2x.
∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.
互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
反思感悟
C.(1,4) D.[－1,4]
跟踪训练2
√
可知y∈[－1,4].
所以反函数的定义域为x∈[－1,4].
三
对数函数的实际应用
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
例3
由题意知
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元.
对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型.
(2)依实际情况确定解析式中的参数.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
反思感悟
某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
跟踪训练3
由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，
则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)与对数函数有关的图象变换.
(2)反函数的概念.
(3)对数函数模型的简单应用.
2.方法归纳：换元法.
3.常见误区：混淆图象变换中的翻折和对称变换.
随堂演练
1.函数y＝loga(x－1)(0
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函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，
∵0√
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2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是
A.y＝log1.05x B.y＝log1.005x
C.y＝log0.95x D.y＝log0.995x
√
由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x.
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3.某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%.则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 5 ≈0.699，lg 11≈1.041)
A.2027年 B.2028年
C.2029年 D.2030年
√
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设n(n∈N*)年后公司全年投入的研发资金为y，
则y＝300(1＋10%)n，
令300(1＋10%)n>600，
将lg 2≈0.301，lg 11≈1.041，
即到2029年，该公司全年投入的研发资金开始超过600万元.
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y＝f(x)＝log3x，
－log32
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基础巩固
1.(多选)已知函数y＝ax与y＝logax，其中a>0且a≠1，下列说法正确的是
A.两者的图象关于直线y＝x对称
B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C.两函数在各自的定义域内增减性相同
D.y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图象
√
√
√
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函数y＝ax与y＝logax互为反函数，所以根据互为反函数的函数图象关于直线y＝x对称，可知A正确；
根据互为反函数的函数性质知，前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域，故B正确；
根据互为反函数的函数性质知C正确；
由图象的平移知，y＝ax平移后得不到y＝logax的图象，故D不正确.
方法一 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，
√
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3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋2)，若该动物在引入一年后的数量为150只，则25年后它们发展到
A.300只 B.450只
C.600只 D.700只
√
将x＝1，y＝150代入y＝alog3(x＋2)得，
150＝alog3(1＋2)，解得a＝150，
所以x＝25时，y＝150log3(25＋2)＝450.
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4.如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确
A.m<0，n>1
B.m>0，n>1
C.m>0,0D.m<0,0√
根据图象可知，函数y＝m＋lognx(m，n是常数)是减函数，所以01
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5.(多选)已知a>0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是
当a>1时，y＝a－x单调递减，恒过(0,1)，y＝loga(－x)单调递减，定义域为(－∞，0) 恒过(－1,0)，C选项符合题意；
当0√
√
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6.已知a>1，b<－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
根据对数函数的单调性及图象平移的知识，知函数y＝loga(x－b)的大致图象如图所示，函数图象不经过第四象限.
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7.若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝_____.
因为f(a)＝b，所以点(a，b)在y＝f(x)的图象上，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，所以点(b，a)在函数y＝g(x)的图象上，所以g(b)＝a.
a
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8.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为__________________.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
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9.已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示.
(1)求实数a与b的值；
由图象可知，函数的图象过点(－3,0)与点(0,2)，
所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，
解得a＝2，b＝4.
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(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图象有何关系？
由(1)知，y＝log2(x＋4).
函数y＝log2(x＋4)的图象可以由y＝log2x的图象向左平移4个单位长度得到.
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10.20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
即这次地震的震级为4级.
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(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
所以lg A8－lg A5＝3，
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍.
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综合运用
11.函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是
由f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误.
又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上是增函数，所以B正确.
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12.(多选)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝loga(x－b)，g(x)＝bx－a的图象可能是
√
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对于A，根据f(x)的图象知对数函数在定义域上单调递增，所以a>1，图象过(2,0)点，所以b＝1；根据g(x)的图象为y＝1的一条直线可判断b＝1，且无论a为何值图象均为y＝1，此类情况符合题意，A正确；
对于B，由g(x)的图象可知a>1,0对于C，由对数函数f(x)的图象知01
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对于D，由f(x)的图象知函数f(x)单调递减，则01
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13.(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是
A.f2(x)与f4(x)
B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x)
D.f3(x)与f4(x)
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由题知，f1(x)＝log2(x＋1)，
f2(x)＝log2(x＋2)，
f3(x)＝log2x2＝2log2|x|，
f4(x)＝log2(2x)＝log2x＋1，
对于A，可将函数f2(x)的图象向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度得到f4(x)，故满足定义，A正确；
对于C，可将函数f1(x)的图象向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位长度得到f4(x)，故满足定义，C正确；
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对于B，D，因函数f3(x)为分段函数，由两部分图形组成，不能单独平移得到其他函数图形，故不满足定义，故BD错误.
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14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝ ，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是_____m/s；一条鱼静止时耗氧量的单位数为______.
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当O＝2 700时，
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拓广探究
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作出函数f(x)的图象如图所示.
∵|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，
∴x3x4＝1，故C选项正确；
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15(共65张PPT)
第1课时 对数函数的概念与图象
第6章 §6.3 对数函数
学习目标
1.理解对数函数的概念，会求与对数函数有关的定义域问题.
2.掌握对数函数的图象和性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
导语
通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦.
课时对点练
一、对数函数的概念
二、对数函数的图象与性质
三、对数函数图象与性质的应用
随堂演练
内容索引
对数函数的概念
一
问题1 指数函数y＝2x部分函数值如下表：
提示 根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到x＝10和11.
x 1 2 3 … ？ ？
y 2 4 8 … 1 024 2 048
你能求出函数值为1 024和2 048时的x的值吗？
知识梳理
对数函数的概念
一般地，函数 叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
y＝logax(a>0，a≠1)
(0，＋∞)
(1)对数函数的系数为1；
(2)真数只能是一个x；
(3)底数a>0，且a≠1.
注意点：
(1)(多选)下列函数中不是对数函数的有
A.y＝3log2x B.y＝log6x
C.y＝logx5 D.y＝log2x＋1
例1
A中，log2x的系数是3，不是1，不是对数函数.
B中，符合对数函数的结构形式，是对数函数.
C中，自变量在底数位置上，不是对数函数.
D中，对数式log2x后又加上1，不是对数函数.
√
√
√
解得0≤x＜1.
(2)函数y＝ ln(1－x)的定义域为
A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]
√
设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，
(3)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则 ＝_____.
－5
(1)判断一个函数是对数函数的方法
反思感悟
(2)求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
①分母不能为0.
②根指数为偶数时，被开方数非负.
③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
反思感悟
(1)若函数f(x)＝(a2＋a－5)·logax是对数函数，则a＝______.
跟踪训练1
由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.
2
得x<4且x≠3，
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4).
(－∞，3)∪(3,4)
设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
二
对数函数的图象与性质
问题2 请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和 的函数图象.
提示 描点、连线：
x 0.25 0.5 1 2 4
y＝log2x
－2 －1 0 1 2
2 1 0 －1 －2
问题3 为了更好的研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a＝3，4，
在同一坐标系下作出它们的函数图象，观察这些图象的位置和变化趋势.
提示
知识梳理
对数函数的图象和性质
y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0图象
定义域 _________ 值域 R (0，＋∞)
单调性 在(0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数
最值 _______________ 奇偶性 _____________ 共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈_________ x∈(0,1)时，y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，y∈_________
对称性 函数y＝logax与 的图象关于 对称 无最大、最小值
非奇非偶函数
(1,0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
(1)函数图象只出现在y轴右侧；
(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)；
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；
(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
注意点：
(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
例2
作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0√
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝_____，c＝_____.
∵函数的图象恒过定点(3,2)，
∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，
得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
－2 2
对数函数图象的特点
(1)当01时，底数越大，图象越靠近x轴.
反思感悟
(1)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是
A.1B.cC.cD.d跟踪训练2
√
令函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.
直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c,1)，B(d,1)，C(a,1)，D(b,1)，从而得出c又a>1，b>1，d<1，c<1，∴c(2)函数 的图象恒过定点
A.(1,1) B.(1,0)
C.(2,1) D.(2,0)
令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数 的图象一定过定点(2,1).
√
三
对数函数图象与性质的应用
例3
(2)求关于x的不等式loga(2x－5)>loga(x－1)的解集.
当a>1时，
解得x>4.
(1)比较对数值大小时常用的四种方法
①同底数的利用对数函数的单调性.
②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
③底数和真数都不同，找中间量.
④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
(2)对数不等式的解法
对数不等式一般需化为同底，利用函数单调性解不等式，同时注意函数的定义域.
反思感悟
(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是
A.bC.c跟踪训练3
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，
所以b√
(2)已知log0.7(2x)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)对数函数的概念.
(2)对数函数的图象及性质.
(3)对数函数的图象及性质的简单应用.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件，忽视函数定义域.
随堂演练
1.下列函数是对数函数的是
A.y＝log2x B.y＝ln(x＋1)
C.y＝logxe D.y＝logxx
√
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2.在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的大致图象是
由指数函数与对数函数的单调性知：y＝2x在R上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，只有B满足.
√
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3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，
∴a>b>c.
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4.不等式 的解集为
√
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基础巩固
1.(多选)给出下列函数，其中不是对数函数的为
A. B.y＝log3(x－1)
C.y＝log(x＋1)x D.y＝logπx
√
AB不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；
D是对数函数.
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2.与函数y＝10lg(x－1)相等的函数是
y＝10lg(x－1)＝x－1(x>1)，
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3.ln x>0是x2>1的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
因为ln x>0，所以x>1，因为x2>1，所以x>1或x<－1，所以ln x>0是x2>1的充分不必要条件.
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4.下列式子中成立的是
A.log0.441.013.5
C.3.50.3<3.40.3 D.log76√
因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错；
因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；
由幂函数的性质知，3.50.3>3.40.3，故C错，
log76<11
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5.函数f(x)＝lg x＋ 的定义域为
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(0,1] D.(0,1)
√
即函数的定义域为(0,1]，故选C.
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6.(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是
A.k<0,0B.k>0，b>1
C. >0(x>0)，g(x)>0(x>0)
D.x>1时，f(x)－g(x)>0
√
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由图象可知k>0,0当x>1时，g(x)<0，所以C选项错误；
当x>1时，f(x)>0，g(x)<0，
所以f(x)－g(x)>0，所以D选项正确.
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7.函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝_____，f(9)＝_____.
∴f(x)＝log3x，
∴f(9)＝log39＝2.
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8.函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点_______.
令x－4＝1得x＝5，
此时y＝loga1＋2＝2，
所以函数y＝loga(x－4)＋2的图象恒过定点(5,2).
(5,2)
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9.已知函数f(x)＝loga(3－x)，其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域；
由3－x>0，得x<3，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，3).
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(2)比较f(－1)与f(1)的大小.
f(－1)＝loga(3－(－1))＝loga4，
f(1)＝loga(3－1)＝loga2，
当a>1时，函数y＝logax是增函数，
所以loga4>loga2，即f(－1)>f(1)，
当0所以loga41
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10.解下列关于x的不等式：
所以原不等式的解集为{x|01
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综合运用
11.若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a等于
A.0 B.1
C.0或1 D.不存在
√
由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.
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12.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是
A.x2C.x1√
分别作出三个函数的大致图象，如图所示.
由图可知，x21
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13.(多选)下列四个函数的图象过相同定点的有
A.y＝ax＋2－a B.y＝xa＋1
C.y＝ax－1＋1(a>0，a≠1) D.y＝loga(2－x)＋1(a>0，a≠1)
√
y＝a(x－1)＋2必过(1,2); y＝xa＋1，由1a＝1知函数必过(1,2); y＝ax－1＋1(a>0，a≠1)，由a0＝1知函数必过(1,2); y＝loga(2－x)＋1(a>0，a≠1)，由loga1＝0知函数必过(1,1)；∴A，B，C选项中函数的图象过相同的定点.
√
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14.已知a＝20.1，b＝log43.6，c＝log30.3，则
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
√
a＝20.1>20＝1,0＝log411
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拓广探究
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(－∞，0)单调递增，又f(－2)＝0，则不等式f(log2x－1)>0的解集为
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由已知条件画出f(x)的大致图象，如图，则当f(log2x－1)>0时，－22，
解得x∈ ∪(8，＋∞).
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16.若不等式x2－logmx<0在 内恒成立，求实数m的取值范围.
由x2－logmx<0，得x21
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