苏教版2019高中数学 必修1 第7章7.1.2　弧度制 课件（65张PPT）

(共65张PPT)
7.1.2　弧度制
第7章　§7.1　角与弧度
学习目标
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.
导语
同学们，大家看过《水浒传》吗？在这些类似的古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，若按照我们今天的标准(1米＝3尺)换算，这些人的身高都超过了姚明的身高，难道古人真的都有那么高吗？其实不然，在我国历史的不同时期，一尺的标准是不一样的，比如在春秋战国时期，一尺约等于0.23米，这样算来，八尺也就1.84米，“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右.据说在商代的时候，一尺约等于0.17米，人高约一丈，故有“丈夫”之称，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们开始今天的新课.
课时对点练
一、弧度制的概念及角度制与弧度制的相互转化
二、用弧度制表示角的范围
三、弧度制下的扇形的弧长与面积公式
随堂演练
内容索引
弧度制的概念及角度制与弧度制的相互转化
一
问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？
提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系.
知识梳理
1.弧度制的概念
(1)度量角的两种制度
角度制 定义 用 作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的_____
弧度制 定义 用 作为角的单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的弧所对的圆心角
弧度
半径长
度
(2)弧度数的计算
正
负
0
2.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝ rad 2π rad＝_____
180°＝ rad π rad＝_____
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ 度≈57.30°
度数× ＝弧度数 弧度数× ＝度数
2π
360°
π
180°
(1)一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关；
(2)①弧度单位rad可以省略；
②在同一个题目中，弧度与角度不能混用.
注意点：
　　把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；
例1
(2)－300°；
(3)2；
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，
由它可以得到：度数× ＝弧度数，弧度数× ＝度数.
反思感悟
跟踪训练1
二
用弧度制表示角的范围
　　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
例2
所以－1 125°是第四象限角.
延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
知k＝－2，－1,0,1，
用弧度制表示终边相同角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
反思感悟
　　　 (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为
跟踪训练2
√
(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合.
终边落在射线OA上的角为θ＝k·360°＋135°，k∈Z，
终边落在射线OB上的角为θ＝k·360°－30°，k∈Z，
三
弧度制下的扇形的弧长与面积公式
问题2　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
提示　圆心角为n°，半径为R的扇形的弧长公式和面积公式分别为
知识梳理
弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(|α|≤2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ .
|α|r
　　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
例3
设扇形弧长为l，
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
设扇形圆心角为θ(|θ|≤2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8，此时，|θ|＝8 rad>2π rad，舍去.
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ (其中l是扇
形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角，|α|≤2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
反思感悟
　　　 若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积.
跟踪训练3
设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法.
3.常见误区：弧度与角度混用.
随堂演练
1.(多选)下列说法中，正确的是
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
√
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根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.
√
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2.下列命题中的假命题是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题.
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
√
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3.将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是
－1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 －10π.
√
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4.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为____.
设扇形的半径为r，弧长为l，
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基础巩固
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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2.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
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∴当r，l均变为原来的2倍时，|α|不变.
∵|α|不变，∴S变为原来的4倍.
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A，B中弧度与角度混用，不正确；
－315°＝－360°＋45°，
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4.时针经过一小时，转过了
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时针经过一小时，转过－30°，
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5.集合 中角所表示的范围(阴影部分)是
当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).
√
6.(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为
设该弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，
由于弦长等于半径，
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660°
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8.在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______.
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9.已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
所以角α是第二象限的角.
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(2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.
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10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
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(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
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综合运用
11.(多选)下列表示中正确的是
A.终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
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A，B显然正确.
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，
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12.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是
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13.若角α与角x＋ 有相同的终边，角β与角x－ 有相同的终边，那么α与β间的关系为
A.α＋β＝0
B.α－β＝0
C.α＋β＝2kπ(k∈Z)
D.α－β＝2kπ＋ (k∈Z)
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因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.
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14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ (弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是_____ m2(精确到1 m2).
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矢＝4－2＝2(m)，
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拓广探究
15.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一
下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据： ≈1.414，
≈1.732)
A.1.012米 B.2.043米
C.1.768米 D.2.945米
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弓形所在的扇形如图所示，
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16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，求P，Q第一次相遇
时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长.
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如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
所以t＝4，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒.