(共60张PPT)
第1课时 同角三角函数关系
第7章 7.2.2 同角三角函数关系
学习目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
导语
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”.在我们看来南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
课时对点练
一、利用同角三角函数的关系求值
二、利用同角三角函数的基本关系化简
三、一般恒等式的证明
随堂演练
内容索引
利用同角三角函数的关系求值
一
问题1 观察下表，你能发现什么？
提示 对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
问题2 若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？
提示 若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1.
知识梳理
同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝__ 同一个角α的正弦、余弦的 等于__
商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的
_____
tan α
1
α≠____________
平方和
1
正切
例1
由①得sin α＝2cos α，
∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
反思感悟
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值.
跟踪训练1
∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，
当角α的终边在第四象限时，
二
利用同角三角函数的基本关系化简
问题3 你能发现同角三角函数的哪些变形形式？
提示 sin2α＋cos2α＝1
化简下列各式：
例2
利用同角三角函数基本关系化简的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称.
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号.
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简.
反思感悟
跟踪训练2
三
一般恒等式的证明
例3
方法一
所以原等式成立.
所以左边＝右边，原等式成立.
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简.
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.
反思感悟
反思感悟
跟踪训练3
方法一
所以原等式成立.
所以原等式成立.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)同角三角函数的基本关系.
(2)利用同角三角函数的基本关系化简.
(3)对一般恒等式的证明.
2.方法归纳：整体代换法.
3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象
限进行分类讨论.
随堂演练
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C.1 D.－1
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sin2α＋cos2α＝1，
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A.0 B.4 C.6 D.8
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根据同角三角函数的基本关系sin2 θ＋cos2 θ＝1，
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3.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是
原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
＝sin2α＋cos2α＝1.
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θ为第三象限角，则sin θ<0，cos θ<0，
sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
又sin θcos θ>0，
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5.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于
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6.(多选)如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是
由商数关系可知A，D均不正确；
当α为第二象限角时， cos α<0，sin α>0，故B正确，C不正确.
√
√
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因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，
所以原式＝－1＋1＝0.
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又sin2α＋cos2α＝1， ②
又α是第三象限角，
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因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
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综合运用
11.若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α等于
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∵α是第二象限角，且tan α＝m，
∴m<0，sin α>0，cos α<0，mcos α＝sin α，
代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1，
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由sin2α＋cos2α＝1，
得1－cos2α＝sin2α，
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A.sin α B.cos α
C.1＋sin α D.1＋cos α
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14.已知tan α＝cos α，那么sin α＝ .
则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，
又sin α＝cos2α>0，
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拓广探究
sin2α
∵sin2α＋cos2α＝1，
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16(共64张PPT)
第2课时 同角三角函数关系的应用
第7章 7.2.2 同角三角函数关系
学习目标
1.会利用同角三角函数的基本关系式进行弦切互化求值.
2.会利用同角三角函数的基本关系式对sin θ± cos θ型求值.
3.会利用同角三角函数的基本关系式对条件恒等式证明.
课时对点练
一、弦切互化求值
二、sin θ±cos θ型求值
三、条件恒等式的证明
随堂演练
内容索引
弦切互化求值
一
已知tan α＝3，求下列各式的值：
例1
(1)已知tan α＝m，可以求
的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的.
(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值.
反思感悟
跟踪训练1
方法一 (代入法)
二
sin θ±cos θ型求值
已知sin θ＋cos θ＝ ，θ∈(0，π)，求sin θ－cos θ.
例2
又sin2θ＋cos2θ＝1，
方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
所以sin θ－cos θ>0，
又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ
sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”.
(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号.
反思感悟
跟踪训练2
由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，
－2
三
条件恒等式的证明
例3
∴原等式成立.
对于有条件恒等式的证明，在证明过程中应利用所给条件，运用同角三角函数基本关系，由较复杂一侧切入证明，注意三角函数式的符号、消元等.
反思感悟
已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
跟踪训练3
因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)弦切互化求值.
(2)对sin θ±cos θ型求值.
(3)对条件恒等式证明.
2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法.
3.常见误区：忽视α所在的象限进行分类讨论.
随堂演练
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√
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2.若tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcos θ等于
已知tan θ＝2，
则2sin2θ－3sin θcos θ
√
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又sin2α＋cos2α＝1，
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所以sin θ－cos θ>0，
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方法一 上下同除以cos α得
即16(sin α＋2cos α)＝5(5cos α－sin α)，整理得21sin α＝－7cos α，
∵sin α＝3cos α，∴tan α＝3，
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知sin θ－cos θ<0，
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4.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝ ，那么这个三角形的形状为
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
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∵α是三角形一内角，
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5.(多选)下列计算或化简结果正确的有
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C不正确，∵α的范围不确定，∴tan α的符号不确定；
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∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)，
又∵(sin α＋cos α)2
＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α
∵sin αcos α>0且α∈(0，π)，
∴sin α>0，cos α>0，
∴sin α－cos α符号不确定，
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∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α
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∴sin θ>0，cos θ<0.
∴sin θ－cos θ>0.
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即2sin α－sin2α＝cos2α，
所以2sin α＝sin2α＋cos2α＝1，
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设sin2A＝m(0则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
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(2sin α＋cos α)2＝4sin2α＋cos2α＋4sin αcos α
所以11tan2α＋20tan α－4＝0，
所以tan α＝－2.
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则sin2θ＋2＝2cos θ，
即1－cos2θ＋2＝2cos θ，
即(cos θ－1)(cos θ＋3)＝0，
解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)，
故有cos θ＝1，sin θ＝0.
∴(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4×1＝4.
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所以(cos A－sin A)2＝cos2A－2sin Acos A＋sin2A
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14.已知sin θ＋cos θ＝ (0<θ<π)，则sin θcos θ＝ ，sin θ－cos θ＝ .
由上知θ为第二象限角，所以sin θ－cos θ>0，
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拓广探究
15.若sin4θ＋cos4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为
A.0 B.1
C.－1 D.±1
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sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θ·cos2θ
＝1－2sin2θ·cos2θ＝1，
∴sin θ·cos θ＝0.
当sin θ＝0时，cos θ＝±1，
∴sin θ＋cos θ＝±1；
当cos θ＝0时，sin θ＝±1，
∴sin θ＋cos θ＝±1.
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16.设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.
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假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0， ①
∵sin α<0，cos α<0，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
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即9m2－8m－20＝0，
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
故满足题意的实数m不存在.
