苏教版2019高中数学必修1 第7章7.3.1 三角函数的周期性 课件（58张PPT）

(共58张PPT)
7.3.1　三角函数的周期性
第7章　§7.3　三角函数的图象和性质
学习目标
1.理解周期函数，最小正周期的定义.
2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.
3.能够判断实际问题中的周期.
导语
生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质.
课时对点练
一、周期函数的概念
二、求三角函数的周期
三、周期函数在实际问题中的应用
随堂演练
内容索引
周期函数的概念
一
问题1　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？
提示　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.
每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.
即有sin(x＋2π)＝sin x，cos(x＋2π)＝cos x，故正弦函数、余弦函数也具有周期性.
同样，正切函数也具有类似性质，即tan(x＋π)＝tan x.
问题2　把这个性质推广到函数的一般形式，应如何描述呢？
提示　对于函数f(x)，若存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立，那么f(x)为周期函数.
知识梳理
1.函数的周期性
设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个 ，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且 ，那么函数f(x)就叫作周期函数. 叫作这个函数的周期.
2.最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
非零的常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
3.正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π.
函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为 ，函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为 .
(1)关键词“任意的x”体现了对定义域中每一个值都得成立；
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期；
(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可；
(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
注意点：
求三角函数的周期
二
　　求下列函数的周期：
例1
方法一　(定义法)
即f(x＋π)＝f(x)，
方法二　(公式法)
(2)f(x)＝|sin x|.
利用周期函数的定义，
∵f(x)＝|sin x|，
∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解.
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω>0)的函数，T＝ .
反思感悟
　　　 (多选)下列函数中，周期为4π的是
跟踪训练1
√
√
周期函数在实际问题中的应用
三
　　若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：
例2
从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；
若从A点算起，则到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.
反思感悟
　　　已知弹簧振子对平衡位置的位移x(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期；
跟踪训练2
由图象可知，该函数的周期为4 s.
(2)求t＝10.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.
设位移与时间的函数关系为x＝f(t)，
由T＝4，
所以f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm).
故t＝10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)周期函数的概念.
(2)三角函数的周期.
(3)周期函数的实际应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视定义域内x的任意性.
随堂演练
1.函数f(x)＝ 的最小正周期为
A.6π B.3π C.2π D.π
√
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A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
√
所以该函数是周期为2π的偶函数.
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y＝cos(－4x)＝cos 4x.
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基础巩固
1.函数f(x)＝ ，x∈R的最小正周期为
A. B.1
C.2 D.4
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A.±1 B.1 C.±2 D.2
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所以ω＝±1.
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由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.
由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.
3.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是
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T＝4，f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝3.
5.函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3，则f(99)等于
A.3 B.－3 C.0 D.－1
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6.(多选)下列命题中不正确的有
A.存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期
函数
B.存在实数T，使得对f(x)定义域内任意x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为
周期函数
C.周期函数可能没有最小正周期
D.周期函数的周期是唯一的
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√
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由周期函数的定义，可知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故A，B不正确；
如常数函数f(x)＝1，x∈R，显然是周期函数，但它没有最小正周期，故C正确；
若T为函数的周期，则f(x＋2T)＝f((x＋T)＋T)＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是周期，故D不正确.
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由题意知2π·A＝3π，
7.已知函数 的最小正周期为3π，则函数y＝3cos[(2A－1)
x－π]的最小正周期为_____.
π
∴y＝3cos[(2A－1)x－π]＝3cos(2x－π)的最小正周期为T＝π.
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∴正整数ω的最大值为6.
8.若函数f(x)＝ 的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为______.
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9.求下列函数的周期：
方法一　设f(x)的周期为T，
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10.若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期；
由图象可知，该函数的周期为1.5 s.
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(2)求t＝10 s时钟摆的高度.
设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s，
可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，
∴t＝10 s时钟摆的高度为20 mm.
综合运用
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又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.
12.函数y＝ (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值
应是
A.10 B.11 C.12 D.13
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13.设f(x)是周期为2的奇函数，当0A.sin x＋x B.sin(x－2)＋x－2
C.sin(x＋2)＋x＋2 D.sin(x＋2)＋x－2
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当1则0<2－x<1，
因为当0所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
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14.若f(x)＝ ，则f(－2)＝________；f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝______.
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∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
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∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)
＝337×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)
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拓广探究
15.干支纪年历法(农历)，是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.受此周期律的启发，可以求得函数f(x)＝ ＋cos 3x的最小正周期为
A.15π B.12π C.6π D.4π
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由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数60，
T1，T2的最小公倍数为6π，故f(x)的最小正周期为6π.
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(1)求f(x)的解析式；
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