(共54张PPT)
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
第7章 7.3.2 三角函数的图象与性质
学习目标
1.了解正弦函数、余弦函数的图象.
2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.
3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.
导语
网上百度一下一个物理实验：“沙摆实验”，就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么？
这个轨迹与我们今天要学习的正弦函数、余弦函数的图象有关.
课时对点练
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
二、“五点法”画函数的图象
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
随堂演练
内容索引
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
一
问题1 结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？
提示 先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.
问题2 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)
提示 如图，在x轴上任取一点O′，以O′为圆心，单位长为半径作圆.在⊙O′中，设 的长为x0(即∠AO′P＝x0)，则MP＝sin x0，所以点S(x0，sin x0)是以 的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点.
问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝
sin x，x∈[0,2π]的图象？
提示 在⊙O′中，作出对应于 的角及相应的正弦线，相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份.
把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示.
最后我们只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
问题4 如何画余弦函数的图象呢？
提示 根据诱导公式 ＝cos x，将正弦曲线向左平移 个单位，
可得到余弦函数的图象.
知识梳理
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
曲线 正弦曲线：正弦函数的图象 余弦曲线：余弦函数的图象
(多选)下列叙述正确的有
A.y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称
B.y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称
C.y＝sin x，x∈[0,2π]的图象在x＝π时到达最高点
D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围
由函数y＝sin x和y＝cos x的图象，易知ABD均正确.
例1
√
√
√
解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
反思感悟
下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是
A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
跟踪训练1
√
由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确.
“五点法”画函数的图象
二
知识梳理
“五点法”作图
函数 y＝sin x y＝cos x
图象画法 五点法 五点法
关键五点 ， ， ， ，_______ (0,1)， ，(π，－1)，
，(2π，1)
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
例2
列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.
(2)y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π].
列表：
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象.
x 0 π 2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
反思感悟
利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图.
跟踪训练2
列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.
正弦函数、余弦函数图象的应用
三
方程2sin x－1＝0，x∈[0,2π]的解集为________.
例3
延伸探究
1.不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为
√
2.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集.
利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)根据公式一写出定义域内的解集.
反思感悟
跟踪训练3
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正弦、余弦函数图象的初步认识.
(2)五点法作图.
(3)正弦、余弦函数图象的应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：五点法时选取点错误.
随堂演练
1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是
1
2
3
4
y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.
√
1
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3
4
2.函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
将y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，
显然，数形结合可知，只有1个交点.
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3.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
√
根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.
1
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4.函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为
______________.
课时对点练
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基础巩固
设余弦函数为y＝cos x，
√
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2.(多选)用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点
代入计算得B，C是关键点.
√
√
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A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移 个单位长度，得g(x)的图象
D.向右平移 个单位长度，得g(x)的图象
√
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5.函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝ 交点的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
√
由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，
6.(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是
在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，
√
√
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7.函数f(x)＝sin x－1，x∈[0,2π]与x轴交点的坐标为________.
令f(x)＝0，∴sin x＝1，
又x∈[0,2π]，
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8.函数y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝ 的交点有_____个.
∵x∈[0,2π]，
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9.用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0,2π].
列表：
描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示.
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(1)画出函数的简图；
图象如图所示.
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(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.
由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
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综合运用
11.(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]与y＝a有一个交点，则a的值为
A.－1 B.0
C.1 D.－2
√
画出y＝sin x－1的图象.如图.
依题意a＝0或a＝－2.
√
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12.方程sin x＝ 的根的个数是
A.7 B.8 C.9 D.10
√
在同一平面直角坐标系内画出y＝
和y＝sin x的图象如图所示.
根据图象可知方程有7个根.
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13.如图，在平面直角坐标系中，角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转 至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q.记线段BQ的长为y，则函数y＝f(α)的图象大致是
√
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即B(－sin α，cos α).
因为线段BQ的长为y，
所以函数y＝f(α)＝|cos α|.
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14.已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点 ，则m＝_____；
若f(x)<0，则x的取值集合为_____________________________.
∴m＝1.
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拓广探究
15.函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是______.
如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
4π
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16(共72张PPT)
第3课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
第7章 7.3.2 三角函数的图象与性质
学习目标
1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间.
2.会比较三角函数值的大小.
3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性.
课时对点练
一、正弦函数、余弦函数的单调性
二、利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
三、正弦函数、余弦函数的对称性
随堂演练
内容索引
正弦函数、余弦函数的单调性
一
问题1 观察正弦函数y＝sin x的函数图象，你能写出y＝sin x在x∈
上的单调区间吗？
提示
知识梳理
正弦函数、余弦函数的单调性
正弦函数 余弦函数
图象
单 调 性 在每一个闭区间_______________ (k∈Z)上都是增函数，在每一个 闭区间_________________(k∈Z)上都是减函数 在每一个闭区间____________ (k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间_____________(k∈Z)上都是减函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
例1
∴y＝2sin z是增(减)函数时，
延伸探究
又∵x∈[0,2π]，
求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上.
反思感悟
跟踪训练1
利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
二
比较大小：
(1)sin 220°与sin 230°；
例2
因为函数y＝sin x在90°≤x≤270°上是减函数，
且90°<220°<230°<270°，
所以sin 220°>sin 230°.
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
反思感悟
比较大小：
跟踪训练2
(2)cos 1与sin 2.
正弦函数、余弦函数的对称性
三
问题2 正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
提示 有，(kπ，0)(k∈Z).
问题3 正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
问题4 类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
知识梳理
正弦函数、余弦函数的对称性
正弦函数 余弦函数
图象
对称轴 x＝kπ，k∈Z
对称中心 (kπ，0)，k∈Z
函数y＝ 的图象的对称轴是直线_______________，对称
中心是________________.
例3
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.
反思感悟
跟踪训练3
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的单调性.
(2)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小.
(3)正弦函数、余弦函数的对称性.
2.方法归纳：整体代换、换元法.
3.常见误区：单调区间漏写k∈Z.
随堂演练
1.函数y＝－cos x在区间 上
A.是增函数 B.是减函数
C.先减后增 D.先增后减
√
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2.下列关系式中正确的是
A.sin 11°
C.sin 11°√
∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，
得sin 11°即sin 11°3.(多选)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是
√
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1.函数y＝|sin x|的一个增区间是
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2.(多选)关于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是
A.f(x)在 上单调递增
B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)的最大值为2
√
√
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因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
f(x)的最小正周期为π，故C错误；
f(x)的最大值为1，故D错误.
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结合x∈[－π，π]，当k＝0时，符合题意.
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6.(多选)如果函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值可以为
√
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由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，
当|φ|取最小值时，
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7.函数y＝cos x在区间[－π，a]上是增函数，则a的取值范围是________.
因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
所以只有－π(－π，0]
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8.函数f(x)＝ ，x∈[0，π]的增区间为________，减区间为
________.
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(1)求f(x)的增区间；
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(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
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(1)求f(x)；
依题意T＝π，∴ω＝2，
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(2)求f(x)的增区间.
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综合运用
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A显然正确.
令f(x)＝0，
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√
√
cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立.
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∴sin 3>sin 4，故C不成立.
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14.将sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为_______________.
∴sin(π－3)即sin 3sin 3拓广探究
15.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A>sin B，则
A.cos C>0 B.cos C<0 C.cos C＝0 D.cos C≥0
√
因为角A，B均为锐角，
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第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)
第7章 7.3.2 三角函数的图象与性质
学习目标
1.会求与正弦函数、余弦函数有关的定义域.
2.会求与正弦函数、余弦函数有关的的值域(最值).
3.解决正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性有关的问题.
导语
我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质.
课时对点练
一、正弦函数、余弦函数的定义域
二、正弦函数、余弦函数的值域
三、正弦函数、余弦函数的奇偶性与周期性
随堂演练
内容索引
正弦函数、余弦函数的定义域
一
问题1 观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的定义域、值域吗？
提示 定义域都是R，值域都是[－1,1].
知识梳理
正、余弦函数的定义域
y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
例1
要使函数有意义，
如图所示，
用三角函数图象求解定义域的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集.
(3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍.
反思感悟
跟踪训练1
要使函数有定义，
需满足2cos2x＋sin x－1≥0，
即2sin2x－sin x－1≤0，
由正弦函数的图象，可得函数的定义域为
正弦函数、余弦函数的值域
二
知识梳理
正、余弦函数的值域
y＝sin x y＝cos x
图象
值域 _______ _______
[－1,1]
[－1,1]
求下列函数的值域：
例2
(2)y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R.
y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，x∈R，
则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，－1≤t≤1，
当t＝－1时，函数取得最大值10；
当t＝1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2,10].
三角函数值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论.
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.
反思感悟
跟踪训练2
正弦函数、余弦函数的奇偶性与周期性
三
问题2 观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的奇偶性吗？
提示 由正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称可知，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数.
问题3 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
提示 通过研究一个周期内的函数图象，可推导出整个函数具有相同的性质.
知识梳理
正、余弦函数的奇偶性与周期性
y＝sin x y＝cos x
图象
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 2π 2π
例3
√
延伸探究
1.在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则
的值为_______.
1
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解.
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个.
反思感悟
函数 ，则f(x)是________(填“奇函数”或
“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω＝_____.
跟踪训练3
偶函数
±2
∴f(x)为偶函数，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的定义域.
(2)正弦函数、余弦函数的值域(最值).
(3)正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性.
2.方法归纳：整体代换法、换元法，数形结合法.
3.常见误区：求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围.
随堂演练
1.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
√
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4
由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
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2.函数y＝|cos x|，x∈R的周期为
A.π B.2π C. D.4π
√
y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示.
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
1
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4
3.函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为_______________________________.
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故该函数的值域为[－1,7].
[－1,7]
课时对点练
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2.设函数f(x)＝ ，x∈R，则f(x)是
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
D.最小正周期为 的偶函数
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＝－cos 2x，x∈R，
＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
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3.函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是
∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴函数是偶函数，排除B，D；
当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.
√
4.(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是
A.y＝|sin x| B.y＝sin 2x
A中，由y＝|sin x|的图象知，
y＝|sin x|是周期为π的偶函数，所以A正确；
B中，函数为奇函数，所以B不正确；
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5.函数y＝cos2x＋sin x的最大值为
A.2 B. C.1 D.0
y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
√
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6.(多选)若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为
A.2 B.－2 C.0 D.－1
√
√
所以ab＝2.
所以ab＝－2，综上所述ab＝±2.
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7.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝______.
令g(x)＝x3cos x，
∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，
∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
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8.函数f(x)＝lg cos x＋ 的定义域为____________________________.
作出y＝cos x的图象，如图所示.
结合图象可得函数的定义域为
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9.判断下列函数的奇偶性：
f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∴f(x)为奇函数.
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(2)f(x)＝cos x－x3sin x.
f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)
＝cos x－x3sin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
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10.设a，b为实数，已知定义在区间 上的函数f(x)＝2asin 2x＋b的最大值为1，最小值为－5，求a，b的值.
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所以－1≤sin 2x≤1，
因为函数f(x)＝2asin 2x＋b的最大值为1，最小值为－5，
当a>0时，有2a＋b＝1，－2a＋b＝－5，
当a<0时，有2a＋b＝－5，－2a＋b＝1，
综合运用
11.设函数f(x)＝ .若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，
则|x1－x2|的最小值为
A.4 B.2 C.1 D.
依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值.
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12.若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)在R上为偶函数，则φ可等于
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13.已知函数f(x)＝sin ωx在 上恰有4个零点，则正整数ω的值为
A.2或3 B.3或4 C.4或5 D.5或6
所以正整数ω的值为4或5.
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14.函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈ ，当x＝_____时，f(x)最小且
最小值为______.
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拓广探究
15.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为 ，则b－a的最大值与
最小值之和为______.
作出函数y＝sin x的图象，如图所示.由图可知，
2π
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16.若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围.
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因为cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，
即sin2θ－2msin θ＋2m＋1>0恒成立，
令t＝sin θ，则t∈[－1,1]，
所以不等式可化为2m(t－1)当t＝1时，不等式变为0<2恒成立，
所以m∈R；
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当t∈[－1,1)时，(共64张PPT)
第4课时 正切函数的图象与性质
第7章 7.3.2 三角函数的图象与性质
学习目标
1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质.
2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
导语
我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？
一、正切函数的图象与性质
二、正切函数图象与性质的综合应用
随堂演练
课时对点练
内容索引
正切函数的图象与性质
一
问题1 我们采用什么方法画正弦函数图象的？
提示 采用平移正弦线的方法，先画出一个周期的图象，再向左、右平移得到正弦函数的图象.
问题2 我们能否采用类似的方法画出函数y＝tan x的图象呢？
提示 可以参照画正弦函数的方法，先利用正切线画出y＝tan x，x∈ 的
图象，如图；再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈ 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x的图象.
知识梳理
正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
曲线 正切函数的图象称为正切曲线
定义域
值域 R
最小正周期 ___
奇偶性 奇函数
单调性
每个开区间______________________都是函数的增区间
对称性
对称中心______________
π
(1)研究正切函数时应注意定义域；
(2)正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋ (k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.
注意点：
例1
角度1 奇偶性与周期性
√
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
√
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ，常常利用此公式来求周期.
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.
反思感悟
角度2 单调性
(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
<
例2
<
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解 ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
反思感悟
(1)函数f(x)＝
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
跟踪训练1
√
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
正切函数图象与性质的综合应用
二
例3
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是 (k∈Z)，不存在对称轴.
(2)单调性：正切函数在每个开区间 (k∈Z)上都
是增函数，但不能说其在定义域内是增函数.
反思感悟
画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.
跟踪训练2
其图象如图，
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)正切函数的图象与性质.
(2)正切函数图象与性质的综合应用.
2.方法归纳：整体代换、换元法.
3.常见误区：最小正周期T＝ (ω>0)，在定义域内不单调，对称中心为
(k∈Z).
随堂演练
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3.函数f(x)＝sin xtan x
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
√
又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
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4.函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为 ，则ω的值是
A.1 B.2 C.3 D.8
√
√
√
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√
易知该函数的最小正周期为π，故B正确；
正切函数没有对称轴，因此函数y＝ 的图象也没有对称轴，故D错误.
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(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；
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(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
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(1)求f(x)的最小正周期和减区间；
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故原函数的最小正周期为4π.
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综合运用
√
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12.已知函数y＝tan ωx在区间 内是减函数，则
A.0<ω≤1 B.－1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤－1
√
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13.下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|
在x∈ 内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
√
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y＝tan(－x)＝－tan x在 上是减函数，只有图象d符合，即d对应③，故选D.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
[－4,4]
故所求函数的值域为[－4,4].
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拓广探究
√
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当x＝π时，y＝0；
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(1)求f(x)的解析式；
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它的图象过点(0，－3)，
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