(共71张PPT)
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)
第7章 7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
学习目标
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
导语
通过前面的学习，我们知道形如y＝Asin(ωx＋φ)这类函数的性质，与正弦函数的性质有一定的相似性，那么这类函数的图象与正弦曲线是否有关系呢？带着这个问题，开始今天的学习.
课时对点练
一、φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
二、A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
三、ω(ω >0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
随堂演练
内容索引
φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
一
问题1 你能在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝ 的函数图象吗？
提示
我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的
长度保持不变.可以发现， 的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上的点的横坐标加 ，这说明y＝ 的图象可以看作是把正弦函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移 个单位长度而得到的.
知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
左
右
函数y＝ 的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
例1
函数y＝ 的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移 个单位长度而得到的.
延伸探究
1.函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝ 的图象经过怎样的变换而得到的？
函数y＝sin x的图象，可以看作是由y＝ 上所有的点向左平移
个单位长度而得到的.
2.函数y＝ 的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的？
对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减.
反思感悟
为了得到y＝ 的图象只需将函数y＝cos x的图象_________
____________而得到.
跟踪训练1
向右平移
二
A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
问题2 在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝3sin x的图象，你能得出什么结论？
提示 (图略)可以发现对于同一x值，y＝3sin x的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点纵坐标的3倍.
问题3 在同一坐标系下函数 的图象如图所示，问题2的结论还成立吗？
提示 依然成立.
知识梳理
A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
A
函数y＝ 图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标变为原来的_____倍，将会得到函数 的图象.
例2
3
在研究A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)，即可得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
反思感悟
为了得到函数y＝ cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有
点的
A.横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
C.纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变
跟踪训练2
√
三
ω(ω >0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
问题4 如图是y＝sin x与y＝ 的图象，你能发现什么？
提示 由图象我们可以看到，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝ 的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝ 的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.
问题5 借助多媒体，在同一坐标系下画出
的函数图象如图所示，你能得到什么？
知识梳理
ω(ω >0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的
A.横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
C.纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变
例3
√
(2)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把各点
的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是
√
在研究ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝
sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin(ωx＋φ)的图象.
反思感悟
函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，
得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为______.
跟踪训练3
课堂
小结
1.知识清单：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.
(2)y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样.
随堂演练
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4.已知曲线C1：y＝cos x，C2： ，则下面结论正确的是
A.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向
右平移 个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向
左平移 个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
向左平移 个单位长度，得到曲线C2
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基础巩固
1.将函数y＝sin 4x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ) (0<φ<π)的图象，则φ的值为
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3.函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的 倍，然后将图象向左平移 个单位长度，得到的图象对应的解析式为
A.y＝sin 2x B.y＝－sin 2x
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4.将函数y＝sin 2x的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数是
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
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＝－sin(π－2x)＝－sin 2x.
由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数.
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＝sin ωπ＝0(ω>0)，
所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正数ω的最小值是1.
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6.(多选)有下列四种变换，其中能使y＝sin x的图象变为y＝ 的图象的是
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7.函数y＝ 图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的5倍，
可得到函数_____________的图象.
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9.函数f(x)＝ 的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得
到的？
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(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
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列表如下：
描点连线，图象如图所示.
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(2)求函数f(x)的增区间；
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(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
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综合运用
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因为y与y1的图象重合，
又因为ω>0，k∈Z，
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14.将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 图象上每一点的横坐标变为原
来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到y＝Asin x的图象，
则ω＝____，φ＝_____.
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再将每一点的横坐标变为原为的2倍(纵坐标不变)，
即为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
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拓广探究
15.已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为
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∵f(x)的最小正周期为π，
∴f(x)＝Asin 2x，
将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x，
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∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x，
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16.已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
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(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移1
个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a1
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由f(x)＝2sin 2x可得，
故若y＝g(x)的图象在[a，b]上与x轴至少有30个交点，(共80张PPT)
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)
第7章 7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
学习目标
掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
一、已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
二、函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
一
问题1 确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定三角函数的哪些参数？
提示 A，ω，φ的值.
问题2 观察如图所示的函数图象，你能说说这个图象有什么特点吗？
提示 这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质.
如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的一部分，求
此函数的解析式.
例1
方法一 (逐一定参法)
由图象知A＝3，
∴y＝3sin(2x＋φ).
方法二 (待定系数法)
由图象知A＝3.
方法三 (图象变换法)
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z.
反思感悟
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
反思感悟
跟踪训练1
√
二
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
问题3 你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？
提示 可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可.
知识梳理
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 _________
周期性
_______
对称性 对称中心 (k∈Z)
[－A，A]
(1)(多选)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为
例2
√
√
√
(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为奇函数.
反思感悟
(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
②采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间.
反思感悟
在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数；
跟踪训练2
问题：已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若________.
(1)求ω，φ的值；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
方案一：选条件①，
∵f(x)的最小正周期为π，
又f(x)是偶函数，
方案二：选条件②，
∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，
方案三：选条件③，
∴ω＝2，又f(0)＝2sin φ＝2，∴sin φ＝1，
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的函数图象
上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
方案一：选条件①，
方案二：选条件②，
同方案一(2).
方案三：选条件③，
同方案一(2).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)由图象求三角函数的解析式.
(2)三角函数的性质的综合应用.
2.方法归纳：特殊点法、数形结合法.
3.常见误区：求φ值时增区间上与x轴的交点和减区间上与x轴的交点的区别.
随堂演练
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A.非奇非偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数
D.偶函数
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＝cos 2x，为偶函数.
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3.同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝ 对称；(3)在
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4.如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为_________________.
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课时对点练
基础巩固
1.(多选)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有
等于
A.－3 B.－1 C.0 D.3
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2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为
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4.将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为
将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得y＝sin 2x，再向左平移φ(φ>0)个单位长度后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，
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故A不正确.
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7.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.
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所以T＝2π，所以ω＝1.
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8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所
示，则f(0)＝______.
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9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
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(2)写出f(x)的增区间.
解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
所以f(x)的增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.
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10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的一段图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
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由题意知A＝3，
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(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
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故至少把f(x)的图象向左平移 个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.
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综合运用
11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|< ，则
√
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由函数图象可知
f(x)min＝0，f(x)max＝4.
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解得0<ω≤3.
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13.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，
△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则 的值为_____.
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由T＝2，得ω＝π.
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拓广探究
15.方程2sin πx＝ 在x∈[－2,1)∪(1,4]内的所有实数解之和为_____.
由图可知共有8个公共点，所以方程有8个实数解.
易知两函数图象都关于点(1,0)中心对称，设8个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，…，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，从而x1＋x2＋…＋x8＝8，
所以原方程的实数解之和为8.
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16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在一个周期内的图象如
图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；
由题图，知A＝2，
由函数图象过点(0,1)，
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(2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数.
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在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示.
因为f(x)的最大值为2，
令lg x＝2，得x＝100，
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在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两
所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解.
