苏教版2019高中数学必修1 第8章8.1.1 函数的零点 课件（68张PPT）

(共68张PPT)
8.1.1　函数的零点
第8章　§8.1　二分法与求方程近似解
学习目标
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
导语
我们已经学习了二次函数的零点概念，知道二次函数的图象与x轴的交点有几个，对应的二次方程的实数解就有几个.随着学习的不断深入，我们会遇到其他方程的求解.我们就会不禁思考，二次函数与二次方程的关系能否套用到一般函数与方程.例如ln x＋2x－6＝0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数来研究它的解的情况呢？
课时对点练
一、函数零点的概念及求法
二、函数的零点的存在问题
三、函数零点的个数问题
随堂演练
内容索引
函数零点的概念及求法
一
问题1　类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)，你能说说什么是函数y＝f(x)的零点吗？
提示　与二次函数类似，我们称使f(x)＝0的实数x为函数y＝f(x)的零点.
问题2　类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)的零点，与对应方程的根、函数图象与x轴的交点有联系吗？
提示　有.函数y＝f(x)有零点，方程f(x)＝0有实数根，函数y＝f(x)的图象与x轴有交点，三者是等价的.
知识梳理
函数的零点
(1)概念：我们把使函数y＝f(x)的值为 的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点的横坐标、对应方程的根的关系
0
f(x)＝0
x轴
(1)与二次函数类似，零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；
(2)求零点可转化为求对应方程的解；
(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解.
注意点：
例1
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3(x＝1舍)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.
探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
反思感悟
　　　 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
跟踪训练1
令(lg x)2－lg x＝0，
则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
令x3－2x2－x＋2＝0，
得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)
＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)的零点是－1,1,2.
二
函数的零点的存在问题
问题3　探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？
提示　利用图象可知，零点－5∈(－6，－4)，零点1∈(0,2)，f(－6)·f(－4) <0，f(0)·f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的.再比如：函数f(x)
＝2x－1的零点为 ∈(0,1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)＝log2(x－1)的零点为2,2∈ ，且有 f(3)<0，以上函数在零点附近的图象也都是连续的.
知识梳理
函数零点存在定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且 ，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
不间断
f(a)f(b)<0
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件.
注意点：
　　(1)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
例2
√
方法一　∵f(0)＝－1<0，
f(1)＝e－1>0，
f(x)为R上的连续函数，
∴f(x)在(0,1)内有零点.
方法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，
∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间.
在同一坐标系内画出y＝ex和y＝2－x的图象，
如图，
由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点
所在的区间为(0,1).
(2)由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是
x 0 1 2 3 4
ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60
3x＋2 2 5 8 11 14
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
√
设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2,3).
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
反思感悟
　　　 若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于
A.－2 B.1
C.－2或1 D.0
跟踪训练2
√
由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，
所以k＝－2或k＝1.
三
函数零点的个数问题
问题4　通过上面的学习，你能总结如何判断零点的个数吗？
提示　可以直接求解f(x)＝0来判断个数，也可以利用函数图象与x轴的交点个数判断，或者转化为两个函数图象交点的问题.
　　判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数.
例3
方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，所以f(x)在(1,2)上必有一个零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以零点只有一个.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
反思感悟
　　　 已知函数f(x)＝ 和函数g(x)＝log2x，则函数h(x)＝
f(x)－g(x)的零点个数是_____.
跟踪训练3
3
作出g(x)与f(x)的图象如图，
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的零点定义.
(2)函数零点存在定理及其应用.
2.方法归纳：转化法、数形结合法.
3.常见误区：
(1)忽视函数零点存在定理的应用条件.
(2)不能把函数、方程问题相互灵活转化.
随堂演练
1.函数f(x)＝log2x的零点是
A.1 B.2 C.3 D.4
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令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.
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易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
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3.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则
A.方程f(x)＝0一定有一实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根
D.方程f(x)＝0可能无实数解
√
∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解.
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4.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有_____个.
∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
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课时对点练
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基础巩固
1.(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是
A.若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B.若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C.若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则f(a)·f(b)>0
D.若存在实数c∈(a，b)，f(c)＝0，则f(a)·f(b)<0
√
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由定理可知，A正确；
如图，满足f(a)f(b)>0，且存在实数c∈(a，b)，
使得f(c)＝0，故B错误；
因为对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，故y＝
f(x)在[a，b]上的图象与x轴没有交点，故y＝f(x)在[a，b]上的图象在x轴上方或在x轴下方，故f(a)f(b)>0，C正确；
如图，存在实数c∈(a，b)，f(c)＝0，而f(a)f(b)>0，故D错误.
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2.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间
A.(5,6) B.(3,4)
C.(2,3) D.(1,2)
√
f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4).
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3.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于
A.0 B.1
C.－1 D.不能确定
√
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
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当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
综上所述，函数f(x)的零点为0.
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5.(多选)已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m的零点在区间(0,1]内，则m可能的取值为
A.－4 B.－2 C.0 D.2
√
因为f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m在区间(0,1]上是增函数，且零点在(0,1]内，
所以－4≤m<0.
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6.已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈(a，b)，且b－a＝1，a，b∈N*，则a与b的值分别为
A.1,2 B.2,3
C.3,4 D.4,5
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因为函数f(x)＝3x＋x－5，
所以f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0.
所以f(1)·f(2)<0，
且函数f(x)在R上是增函数，
所以f(x)的零点x0在(1,2)内，
所以a＝1，b＝2.
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7.函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是_____.
函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数.如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象.
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点.
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8.若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数是_____.
∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根.
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点.
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9.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点.
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，
解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
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(2)f(x)＝x4－x2；
令f(x)＝x4－x2
＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
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(3)f(x)＝4x＋5；
令f(x)＝4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，
所以方程4x＋5＝0无实数解.
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点.
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(4)f(x)＝log3(x＋1).
令f(x)＝log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
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10.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
∴x＝0，∴函数f(x)的零点为0.
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(2)若f(x)有零点，求a的取值范围.
若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，
∵t>0，
∴g(t)在(0，＋∞)上是增函数，其值域为(0，＋∞)，
∴2a>0，∴a>0，即a的取值范围是(0，＋∞).
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综合运用
11.若函数y＝ ＋m有零点，则实数m的取值范围是
A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)
C.[－1,0) D.(0，＋∞)
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因为|x－1|≥0，
因此－1≤m<0.
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12.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为
A.至多有一个 B.有两个
C.有且仅有一个 D.一个也没有
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若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，
由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；
若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，
若f(x)在(1,2)上有两个零点，
则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾.
若f(x)在(1,2)上没有零点，
则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾.
故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.
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13.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是
A.(0,4] B.[0,4]
C.(0,4) D.[0,4)
√
由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，
作出函数y＝|x2－4x|的图象，如图所示，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则01
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14.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.
画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知aa1
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拓广探究
15.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”.若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是
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由题意可得函数y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点，
当x＝0时，y＝4－m，
当x＝3时，y＝－2－m<4－m，
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16.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
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函数有两个零点，
则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，
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(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；
由题意知0是对应方程的根，
故有1－m＝0，可解得m＝1.
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(3)若f(x)＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围.
由题意可得f(2)>0，
即－7－m>0，则m<－7.
故实数m的取值范围为(－∞，－7).