苏教版2019高中数学必修1 第8章8.2.2 函数的实际应用 课件（73张PPT）

(共73张PPT)
8.2.2　函数的实际应用
第8章　函数应用
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题.
导语
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，当面临一个实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
一、实际问题中的函数模型建立
二、实际问题中的函数模型选择
课时对点练
随堂演练
内容索引
实际问题中的函数模型建立
一
问题1　你能写出几种函数模型？
提示　
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
问题2　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？
提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.
(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
　　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(1)求x的值；
例1
由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0解得
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的 ，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的 ？
设从今年开始，还需治理n年，
故至少还需治理15年.
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
反思感悟
　　　某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为x(x∈N*)此时溶液杂质含量为y，
(1)分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量y1，y2的值；
跟踪训练1
(2)写出y与x的函数关系式(要求写出定义域)；
因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，
(3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 2≈0.301)
又x∈N*，所以x≥7，
即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求.
二
实际问题中的函数模型选择
　　近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
例2
年份 2019 2020 2021
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2022年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2022年实际销售123万斤，超额完成预定目标.
(1)将2019,2020,2021,2022年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；幂函数模型为g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0).请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；
若选择二次函数模型，
依题意，将前三年数据分别代入
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以f(x)＝7x2－7x＋41.
将x＝4代入f(x)，得f(4)＝7×42－7×4＋41＝125，
所以此与2022年实际销售量误差为125－123＝2(万斤).
若选择幂函数模型，
依题意，将前三年数据分别代入g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)，
将x＝4代入g(x)，
所以此与2022年销售量的实际误差为132－123＝9(万斤).
显然2<9，
因此，选用二次函数模型f(x)＝7x2－7x＋41能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系.
(2)依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2023年度的农产品销售量？
依据(1)，选用二次函数模型f(x)＝7x2－7x＋41进行预测，得f(5)＝7×52－7×5＋41＝181(万斤).
即预测该创业团队在2023年的农产品销售量为181万斤.
建立拟合函数与预测的基本步骤
反思感悟
　　　人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1 TB＝1024 GB)级别跃升到PB(1 PB＝1 024 TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝
1 024 EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，全球产生的数据量为：
跟踪训练2
年份 2008 2009 2010 2011 …
x(单位：年) 0 1 2 3 …
数据量(单位：ZB) 0.49 0.8 1.2 1.82 …
为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x(单位：年)的关系，根据上述数据信息，选择函数f(x)＝kx＋b和g(x)＝max(a>0，且a≠1)进行拟合研究.
(1)国际数据公司(IDC)预测2022年全球数据量将达到80.0 ZB，你认为依据哪一个函数拟合更为合理；
年份 2008 2009 2010 2011 …
x(单位：年) 0 1 2 3 …
数据量(单位：ZB) 0.49 0.8 1.2 1.82 …
设2008,2009,2010,2011，…，2020年分别对应第1年，第2年，第3年，第4年，…，第13年，设数据量为y，由已知列表如下：
x 1 2 3 4 … 13
y 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80.0
画出散点图如图：
由散点图知，5个点在一条曲线上，应选择函数g(x)＝max(a>0，且a≠1).
(2)设我国2022年的数据量为c ZB，根据拟合函数，请你估计我国的数据量达到100c ZB约需要多少年？
(参考数据：1.5310≈70.29，1.5311≈107.55，1.5312≈164.55，1.5313≈ 251.76)
所以g(x)＝0.32×1.53x，
由题意得c＝0.32×1.5313，
则100c＝0.32×1.53x，
解得x≈24，
所以我国的数据量达到100c ZB约需要11年.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)建立函数模型解决实际问题.
(2)实际问题中的函数模型选择问题.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：对函数拟合效果的分析不能做出正确选择.
随堂演练
1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
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x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
√
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2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是
A. B.y＝0.957 6100x
√
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设镭的衰变率为p，
则x，y的函数关系是y＝(1－p)x，
当x＝100时，y＝0.957 6，
即0.957 6＝(1－p)100，
解得
即
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3.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为 .若一个新丸体积变为 ，则需经过的天数为
A.125 B.100 C.75 D.50
√
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4.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是________.
设每月的产量增长率为x，
1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，
课时对点练
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基础巩固
1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足
A.y＝a(1＋5%x) B.y＝a＋5%
C.y＝a(1＋5%)x－1 D.y＝a(1＋5%)x
√
今年产量为a，经过1年后产量为y＝a(1＋5%)，经过2年后产量为y＝a(1＋5%)2，依此类推，经过x年后产量为y＝a(1＋5%)x.
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2.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律
A.y＝mx2＋n(m>0)
B.y＝mx＋n(m>0)
C.y＝max＋n(m>0，a>0，a≠1)
D.y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
√
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由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型.
3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为
A.a12－1 B.(1＋a)12－1
C.a D.a－1
√
不妨设第一年1月份的产值为b，则2月份的产值为b(1＋a)，3月份的产值为b(1＋a)2，依此类推，第二年1月份产值是b(1＋a)12.
由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月
产值的增长率为 ＝(1＋a)12－1.
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4.“道高一尺，魔高一丈”出自《西游记》第五十回用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是(注：1丈＝10尺)
A.y＝10x，x>0 B.y＝ ，x>0
C.y＝x＋10，x>0 D.y＝x＋9，x>0
√
因为一丈等于十尺，所以“道高一尺，魔高一丈”更适合用y＝10x，x>0来表示.
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5.某公司2022一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放).
方案1：奖金10万元；
方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍；
方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5 000元；
方案4：第n个月的奖金＝基本奖金7 000元＋200n元.
如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是
A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案4
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方案2：所得奖金为
4.5＋4.5×1.2＝9.9(万元)，
方案3：所得奖金为2＋(2＋0.5)＋(2＋1)＋(2＋1.5)＝11(万元)，
方案4：所得奖金为(7 000＋200)＋(7 000＋200×2)＋…＋(7 000＋200×12)＝99 600(元)＝9.96(万元).
所以应选方案3.
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6.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A.6 B.9 C.8 D.7
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√
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设经过n次过滤，产品达到市场要求，
即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
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7.通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当地描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是______(只需写出序号即可).
②
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根据表格提供数据可知，y随着x的增大先变小，后变大，即至少有减和增两个过程，而①，③对应的函数为单调函数，不符合题意；
②为二次函数，有减和增两个区间，当a>0时，能恰当地描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系.
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
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8.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2017年产生的垃圾量为a吨，由此预测该区2023年的垃圾量应为_________吨.
2018年的垃圾量为a(1＋b)吨，从2017年开始经过6年到2023年时该区的垃圾量应为a(1＋b)6吨.
a(1＋b)6
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9.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月
1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
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(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最好能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
t 50 110 250
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由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得
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(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
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10.某网店从2018年起参与“双十一”促销活动，已知2018－2020年“双十一”期间该网店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网店的销售额y(万元)与年份数x的关系(为计算方便，2018年用x＝1代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，若已知2021年“双十一”期间该网店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2022年“双十一”期间该网店的销售额.
若选用二次函数y＝ax2＋bx＋c，
若选用函数y＝a·bx＋c，
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则预测2022年“双十一”期间该网店的销售额为13.75万元.
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综合运用
11.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少.已知
1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克
A.5 730 B.11 460
C.17 190 D.22 920
√
由题意可得，碳14的半衰期为5 730年，则再过5 730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11 460年后，质量可消耗到0.125克.
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12.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)
＝ (A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装
第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是
A.75,25 B.75,16
C.60,25 D.60,16
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13.物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度(声强)随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象.一般地，声衰减遵从指数规律，即声强I(单位：瓦/平方米)与传播距离x(单位：米)之间有如下的函数关系：I＝I0eαx，其中I0为初始声强，α为常数.若某声波传播2米时，声强减小了30%，则声强减小80%时，传播距离大约为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5，lg 7 ≈0.8)
A.6米 B.7米
C.8米 D.9米
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由题意得，I0e2α＝(1－30%)I0，
即e2α＝0.7.
设当声波传播x米时，声强减小80%，
则I0eαx＝(1－80%)I0，即eαx＝0.2，
∴(eαx)2＝(0.2)2
∵(eαx)2＝(e2α)x，
∴0.22＝0.7x，
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即lg 0.22＝lg 0.7x，
∴x·lg 0.7＝2lg 0.2，
即x·(lg 7－1)＝2(lg 2－1)，
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14.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常
数).则a的值等于____.(参考数据：lg 2≈0.3)
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由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2.
即0.2＝alg 2.
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拓广探究
15.某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元及以上时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是______.(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
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由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10,1 000]时，
(1)函数为增函数；
(2)函数的最大值不超过5；
①中，函数y＝0.025x，易知满足(1)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(1)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
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但当x＝400时，y>5不满足公司要求.
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16.科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21－x(0≤x≤4，m>0).
(1)若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度？
由题意，得m＝2，
解得x＝1(负值舍去)，
因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度.
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(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围.
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由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立，
则由m·2x＋21－x≥2，
令t＝2－x，
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