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第七章 平行线的证明
2 定义与命题
第2课时 定义与命题(二)
A组
1. 下列叙述错误的是（ ）
A. 所有的命题都有条件和结论
B. 所有的命题都是定理
C. 所有的定理都是命题
D. 所有的公理都是真命题
B
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “对顶角相等”是定义
B. “在直线AB上取一点C”是命题
C. “整体大于部分”是公理
D. “同位角相等”是定理
C
3. “同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 这个语句是( )
A. 定理 B. 公理
C. 定义 D. 只是命题
4. “两条直线相交成直角，就叫做两直线相互垂直”这个句子是( )
A. 定义 B. 只是命题
C. 公理 D. 定理
B
A
5. A. 同位角相等，两直线平行
B. 两点确定一条直线
C. 无限不循环小数叫做无理数
D. 两直线平行，同位角相等
上述句子中，是定理的是___________，是公理的是___________，是定义的是___________.
D
A，B
C
B组
6. 证明：同角的余角相等.
已知：如图KH7-2-1,∠１+∠B=90°,∠A+∠B=90°.
求证： ∠１=∠A.
证明：∵∠1+∠B=90°(已知),
∴∠1= 90°-∠B(等式的性质).
∵∠A+∠B=90°(已知),
∴∠A=90°-∠B(等式的性质).
∴∠1=∠A(等量代换).
7. 已知任意三角形两边之和大于第三边，有一△ABC的三条边长a，b，c满足a2-ac+bc=b2，判断这个三角形的形状，并证明．
解：△ABC为等腰三角形．证明如下.
由已知，得a2-b2=ac-bc，
所以（a+b）（a-b）=c（a-b）.
所以（a-b）（a+b-c）=0.
因为a，b，c是△ABC的三边长，
所以a+b-c＞0.
所以a-b=0.
所以a=b.
所以△ABC为等腰三角形．
C组
8. 如图KH7-2-2，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O，用所学公理、定理、定义证明：（1）△ABC≌△ADC；（2）OB=OD.
证明：（1）在△ABC和△ADC中，
AB=AD,
BC=DC,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
（2）由（1）知△ABC≌△ADC，
∴∠BCA=∠DCA（全等三角形对应角相等）.
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO（SAS）.
∴OB=OD（全等三角形对应边相等）.
BC=DC，
∠BCO=∠DCO,
CO=CO,
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第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
A组
1. 如图KH7-4-1，∠1=∠2，∠3=82°，则∠4的度数是（ ）
A. 72° B. 80°
C. 82° D. 108°
C
2. 如图KH7-4-2，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1=65°，则∠2的大小为（ ）
A. 35°
B. 40°
C. 50°
D. 65°
C
3. 如图KH7-4-3，已知∠AEF=∠EGH，AB∥CD，则下列判断不正确的是（ ）
A. ∠BEF=∠EGH
B. ∠AEF=∠EFD
C. AB∥GH
D. GH∥CD
A
4. 如图KH7-4-4，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上. 若∠1=60°，则下列结论错误的是( )
A. ∠2=60°
B. ∠3=60°
C. ∠4=120°
D. ∠5=40°
D
5. 如图KH7-4-5，∠BAC=90°，EF∥BC，∠1=∠B，则∠DEC=___________.
90°
6. 如图KH7-4-6,已知l1∥l2,直线l与l1,l2相交于C,D两点,把一块含30°角的三角尺按图示位置摆放. 若∠1=130°,则∠2=___________.
20°
B组
7. 请结合如图KH7-4-7所示图形完成下列推理过程：
（1）∵∠2+∠4=180°，
∴DE∥AC（________________________）.
（2）∵∠1=∠C，
∴DE∥___________（_______________________________）.
同旁内角互补，两直线平行
AC
同位角相等，两直线平行
（3）∵AB∥DF，
∴∠2=___________（_____________________________）.
（4）∵AB∥___________，
∴∠B=∠3（________________________________）.
∠BED
两直线平行，内错角相等
DF
两直线平行，同位角相等
8. 如图KH7-4-8，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为点D，F，∠B+∠BDG=180°.
求证：∠BEF=∠CDG.
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴∠BFE=∠BDC=90°（垂直的定义）.
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴∠BEF=∠BCD（两直线平行，同位角相等）.
∵∠B+∠BDG=180°（已知），
∴DG∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠CDG=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.
∴∠BEF=∠CDG（等量代换）.
9. 如图KH7-4-9，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°. 求证：
(1)AB∥EF；
(2)AB∥ND.
证明： (1)∵∠1=60°，∠2=60°(已知)，
∴∠2=∠1(等量代换).
∴AB∥EF(同位角相等，两直线平行).
(2)∵AB∥EF，∠MAE=45°(已知)，
∴∠AEF=∠MAE=45°(两直线平行，内错角相等).
∵∠FEG=15°(已知)，
∴∠ AEG=45°+15°=60°(等量代换).
∵EG平分∠AEC(已知)，
∴∠CEG=∠AEG=60°(角平分线的定义).
∴∠FEC=60°+15°=75°(等量代换).
∵∠NCE=75°(已知)，
∴∠FEC=∠NCE=75°(等量代换).
∴EF∥ND(内错角相等，两直线平行).
∵AB∥EF(已知)，
∴AB∥ND(平行于同一条直线的两条直线平行).
C组
10. 如图KH7-4-10，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.
（1）求证：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数.
（1）证明：∵DC∥FP（已知），
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠1（等量代换）.
∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行）.
（2）解：∵DC∥FP，DC∥AB，∠FED=28°（已知），
∴∠FED=∠EFP=28°（两直线平行，内错角相等），
AB∥FP（平行于同一条直线的两条直线平行）.
又∵∠AGF=80°（已知），
∴∠GFP=∠AGF=80°（两直线平行，内错角相等）.
∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+28°=108°（等量代换）.
又∵FH平分∠EFG（已知），
∴∠GFH= ∠GFE=54°（角平分线的定义）.
∴∠PFH=∠GFP-∠GFH=80°-54°=26°（等量代换）.
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第七章 平行线的证明
3 平行线的判定
A组
1. 如图KH7-3-1，∠1=∠2，下列结论正确的是（ ）
A. AB∥CD
B. AD∥BC
C. AD∥EF
D. EF∥BC
C
2.如图KH7-3-2，下列条件能够判断EG∥CH的是（ ）
A. ∠FEB=∠ECD
B. ∠AEG=∠DCH
C. ∠GEC=∠HCF
D. ∠CEB+∠ECD=180°
C
3. 如图KH7-3-3，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE. 下列说法正确的是（ ）
A. 因为∠A=∠B，所以AD∥BC
B. 因为∠B=∠EDC，所以AB∥DE
C. 因为∠B+∠DEB=180°，所以AB∥DE
D. 因为∠B=∠DEC，所以AD∥BC
C
B组
4. 填空：已知：如图KH7-3-4，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，∠1=∠2=∠E，∠3=∠4. 求证：AB∥CD.
证明：∵∠2=∠E,
∴___________( _____________________________).
∴∠3=___________(___________________________).
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠DAC(___________).
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(___________)，
即∠BAF=___________.∴∠4=∠BAF.
∴AB∥CD(______________________________).
AD∥BC
内错角相等，两直线平行
∠DAC
两直线平行，内错角相等
等量代换
等式的性质
∠DAC
同位角相等，两直线平行
5. 如图KH7-3-5，CD平分∠ECF，∠B=∠ACB.
求证：AB∥CE.
证明：∵CD平分∠ECF（已知），
∴∠ECD=∠DCF（角平分线的定义）.
∵∠ACB=∠DCF（对顶角相等），
∴∠ECD=∠ACB（等量代换）.
又∵∠B=∠ACB（已知），
∴∠B=∠ECD（等量代换）.
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行）.
C组
6. 如图KH7-3-6，直线a，b被直线c所截，∠1+∠2=180°，试用三种方法证明a∥b.
证明：（方法一）∵∠1+∠2=180°
（已知），
∠2+∠5=180°（平角的定义），
∴∠1=∠5（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
（方法二）∵∠1+∠2=180°（已知），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2+∠3=180°（等量代换）.
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
（方法三）∵∠1+∠2=180°（已知），
∠2+∠5=180°（平角的定义），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠5=∠3（等量代换）.
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
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第七章 平行线的证明
2 定义与命题
第1课时 定义与命题(一)
A组
1. 下列描述不属于定义的是（ ）
A．单项式和多项式统称整式
B．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．由几个方程组成的一组方程叫做方程组
C
2. 下列语句是命题的有（ ）
①两点之间线段最短；②不平行的两条直线有一个交点；③x与y的和等于0吗？④对顶角不相等；⑤互补的两个角不相等；⑥作线段AB.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
3. 下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞4，则a＞2”是假命题的反例的是（ ）
A. a=3 B. a=2
C. a=-3 D. a=-2
C
4. 下列命题是假命题的是( )
A. 锐角小于90°
B. 一个平角等于两个直角
C. 若aD. 若a2≠b2，则a≠b
C
5. “对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为_______________________________________，它是___________(填“真”或“假”) 命题.
6. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是_____________________________________.
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
真
一个直角三角形中的两个锐角
B组
7. 命题“互补的角是同旁内角”是真命题吗？如果是，说明理由；如果不是，请举出一个反例.
（要求：画出图形，并用相应的文字语言或符号语言说明理由或表述所举反例）
解：假命题.
反例：如答图KH7-2-1，∠1与∠2是
邻补角，∠1与∠2互补，但是它们不是同旁内角.
8. 判断下列命题是真命题还是假命题.若是假命题，举出一个反例.
（1）如果点P到两定点A，B的距离之和等于A,B之间的距离，那么点P是AB的中点；
（2）若∠AOB=2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线；
（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除.
解：（1）如果点P到两定点A，B的距离之和等于A，B之间的距离，那么点P是AB的中点是假命题.反例：如点P到两定点A，B的距离之和等于A，B之间的距离，点P在线段AB上，但不是AB的中点.
（2）若∠AOB=2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线是假命题.反例：如OC在∠AOB的外面，∠AOB=2∠AOC，但OC不是∠AOB的平分线.
（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除是假命题.反例：如2能被2整除，但2不能被4整除.
C组
9. 已知命题“若n是自然数，则代数式（3n+1）（3n+2）的值是3的倍数”.
（1）写出命题的条件和结论；
（2）判断这个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）命题的条件是n是自然数，结论是代数式
（3n+1）（3n+2）的值是3的倍数.
（2）假命题. 理由如下.
因为（3n+1）（3n+2）
=9n2+6n+3n+2
=9n2+9n+3-1
=3（3n2+3n+1）-1，
又因为n为自然数，
所以3（3n2+3n+1）-1不是3的倍数.
所以这个命题是假命题.
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第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
第2课时 三角形内角和定理(二)
A组
1. 如图KH7-5-9，已知△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（ ）
A. ∠BAC＜∠ADC
B. ∠BAC=∠ADC
C. ∠BAC＞∠ADC
D. 不能确定
B
2. 如图KH7-5-10，在△ABC中，∠A=78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC= ∠ABC，∠ECD= ∠ACD，则∠E的度数为（ ）
A. 22°
B. 26°
C. 28°
D. 30°
B
3. 如图KH7-5-11，l1∥l2，则下列式子值为180°的是（ ）
A. α+β+γ
B. α+β-γ
C. β+γ-α
D. α-β+γ
B
4. 如图KH7-5-12，下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B+∠D；③∠B+∠ACB＜180°；④∠HEC＞∠B. 其中正确的是___________（填序号）.
②③④
5. 如图KH7-5-13，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于___________.
230°
6. 将一副直角三角板如图KH7-5-14所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为___________.
75°
B组
7. 如图KH7-5-15，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，求∠1-∠2的度数.
由折叠的性质，得∠D=∠C=40°.
根据外角性质，得∠1=∠3+∠C，
∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°.
则∠1-∠2=80°.
8. 如图KH7-5-16，E为BA延长线上一点，F为CA延长线上一点，AD平分∠EAC.
（1）图中△ABC的外角有哪几个？
（2）若∠B=∠C，求证：AD∥BC.
（1）解：△ABC的外角有∠FAB，∠EAC.
（2）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD= ∠EAC.
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠B+∠C.
∴∠EAC=2∠B.
∴∠EAD=∠B.
∴AD∥BC.
9. 如图KH7-5-17，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A.
（1）如果∠A=35°，∠B=30°，那么∠BEC=___________（填度数）；
（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进
行多次探究，得出∠A，∠B，∠BEC三
个角之间存在固定的数量关系，请你
用一个等式表示出这个关系，并进行
证明.
100°
解：（2）关系式为∠BEC=2∠A+∠B.
证明：∵AC平分∠DCE，
∴∠ACD=∠ACE.
∵∠BEC=∠A+∠ACE=∠A+∠ACD，
∠ACD=∠A+∠B，
∴∠BEC=∠A+∠A+∠B=2∠A+∠B.
C组
10. 如图KH7-5-18，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A＝70°，求∠D的度数；
（2）若∠A＝α，求∠E的度数；
（3）连接AD，若∠ACB＝β，则
∠ADB＝___________．
β
解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG＝ ∠ACG，∠DBC＝ ∠ABC.
∵∠ACG＝∠A+∠ABC，
∴2∠DCG＝∠ACG＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠DBC.
∵∠DCG＝∠D+∠DBC，
∴2∠DCG＝2∠D+2∠DBC.
∴∠A+2∠DBC＝2∠D+2∠DBC.
∴∠D＝ ∠A＝35°.
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠CBE＝ ∠CBF.
∴∠DBC+∠CBE＝ （∠ABC+∠CBF）＝90°.
∴∠DBE＝90°.
∵∠D＝ ∠A，∠A＝α，∴∠D＝ α.
∵∠DBE＝90°，∴∠E＝90°- α.
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第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理(一)
A组
1. 如图KH7-5-1，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
C
2.如图KH7-5-2，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=25°，∠COD=80°，则∠C的度数是（ ）
A. 65°
B. 75°
C. 85°
D. 105°
B
3. 如果三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 不能确定
A
4. 如图KH7-5-3，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（ ）
A. 80°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
C
5. 如图KH7-5-4，在△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿EF折叠，使点B落在AC边上的点D处，若∠ADE=2∠DFC，∠DFC=20°，则∠C=___________.
55°
B组
6. 如图KH7-5-5，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P.求证：EP⊥FP.
证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵EP，FP分别是∠BEF，∠EFD的平分线，
∴∠PEF= ∠BEF，∠EFP= ∠EFD.
∴∠PEF+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°.
∴∠P=180°-（∠PEF+∠EFP）=180°-90°=90°.
∴EP⊥FP.
7. 如图KH7-5-6，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB交AB于点E，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数.
解：∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB=40°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=60°.
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=20°.
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°.
∴∠CDF=180°-∠CFD-∠ECD=70°.
8. 如图KH7-5-7，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=70°，求∠DAE，∠BOA的度数.
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.
∵∠C=70°，AD是高，
∴∠CAD=180°-90°-70°=20°.
∵∠BAC=60°，AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC=∠BAE=30°.
∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=30°-20°=10°.
∵∠BAC=60°,∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°.
∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABO=25°.
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-30°-25°=125°.
故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125°.
C组
9. 如图KH7-5-8，∠B=30°，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∠C=10°.
(1)如图KH7-5-8①，求∠E的度数;
(2)如图KH7-5-8②，求∠E的度数.
解：(1)∵AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，
∴可以设∠EDC=∠EDB=x，
∠EAC=∠EAB=y.
由题意，得
解得∠E= (∠B-∠C)=10°.
x=∠C+y+∠E，
x+∠E=y+∠B.
(2)∵AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，
∴可以设∠EDC=∠EDB=x，
∠EAC=∠EAB=y.
由题意，得
解得∠E= (∠B+∠C)=20°.
x+∠C=y+∠E，
∠C+2x=2y+∠B.
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第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
A组
1.仅通过观察你能肯定的是（ ）
A.图形中线段是否相等
B.图形中线段是否平行
C.图形中线段是否相交
D.图形中线段是否垂直
C
2. 1，2，…，30中至少取出n个不同的数，才能保证其中有一个为5的倍数,则n的值为( )
A. 5 B. 24
C. 25 D. 26
C
3. 以下是甲、乙两人得到 的推理过程：（甲）因为 =3， =2，所以 ＞3+2=5. 又 =5，所以 （乙）作一个直角三角形，两直角边长分别为 利用勾股定理得斜边长为 所以 对于两个人的推理，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都正确 B. 两人都错误
C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确
A
4. 如图KH7-1-1,将一张等边三角形纸片沿中位线(两条边中点的连线)剪成 4 个小三角形,称为第一次操作;然后,将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形,共得到 7 个小三角形,称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形,共得到 10 个小三角形,称为
第三次操作;….根据以上操作,若要得到
100 个小三角形,则需要操作的次数是
( )
A. 25 B. 33 C. 34 D. 50
B
5. 小明同学每天早上6：00钟开始起床，起床穿衣的时间需要5分钟，起床穿衣后他立即用煤气灶煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条和佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟. 若小明要将面条煮好，最少需要__________分钟.
12
B组
6. 如图KH7-1-2，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，从下列给出的三种答案中选择适当的字母编号填空：
A. 互为补角
B. 互为余角
C. 既不互余也不互补
(1)∠1与∠2的关系是___________；
(2)∠3与∠4的关系是___________；
(3)∠3与∠2的关系是___________；
(4)∠2与∠4的关系是___________.
B
A
B
C
7. 当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数. 上述说法正确吗 说明理由.
解：上述说法正确. 理由如下.
因为(n+1)2-(n-1)2
=(n2+2n+1)-(n2-2n+1)
=4n，
n为正整数，故4n能被4整除.
所以(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数.
8. 在学习中，小明发现：①32-12=9-1=8=1×8；②52-12=25-1=24=3×8；③112-12=121-1=120=15×8；④172-12=289-1=288=36×8，….于是小明猜想：当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数，你认为小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
解：小明的猜想正确.理由如下.
因为n为奇数.所以可设n=2k+1（k为自然数），
所以n2-1=（2k+1）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=4k（k+1）.
因为k为自然数，所以k，k+1是相邻的自然数.
所以k，k+1中必有一个是偶数，一个是奇数.
所以k（k+1）必定是2的倍数.
所以4k（k+1）必定是8的倍数.
故当n为任意正奇数时，n2-1 的值一定是8的倍数.
C组
9. 设a，b，c，d都是正数，且S＝
那么S的值在两个连续的自然数之间吗？请简要说明理由.
解：S的值在两个连续的自然数之间.理由如下.
因为a，b，c，d都为正数,
所以S＝
所以1＜S＜2，即S的值在两个连续的自然数之间.
谢 谢
