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重力势能、高度差、质量
选水平地面为重力势能的零势面，重力势能均为的两个物体，一个物体的质量为，另一个物体的质量为，请问这两个物体距离地面的高度分别为多大？
选水平地面为重力势能的零势面，离地高度均为的两个物体，一个物体的重力势能为，另一个物体的重力势能为，请问这两个物体的质量分别为多大？
【思考】通过以上材料阅读，请说明重力势能、高度差、质量之间存在什么关系？
通过前面的学习我们知道电场力做功与电势能之间的关系：，同时我们也知道电势与电势能的关系：；通过对上述两式的分析，你能看出什么？
【答案】根据电势与电势能的关系可得：；
由此可得：；
则电场力做功与电势能的变化的关系为：
通过上述分析可见：电场力做功等于电荷量与初末位置的电势之差的乘积．
【笔记】电势差——描述电场的能的性质的物理量．
1、定义：电场中两点之间的电势之差，俗称“电压”，符号“”;
2、电势差与电势的关系：起始点和终止点的电势之差，如：；
3、电场力做功与电势差的关系：（比值定义法）
4、单位：伏特，符号“”；
根据电势差的公式可见，电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示的什么意义呢？电势差的大小与零电势点的选取有关吗？
【答案】因为两点之间的电势差是两点电势的差值，所以电势差的正负只表示哪点电势比较大，与方向无关，所以电势差是一个标量；同理可知，两点之间的电势差的大小只与两点的电势有关，与零电势点的选取无关．
【笔记】电势差的性质：电势差是标量，其正负只表示电势大小；同时电势差的大小与零电势点的选取无关．
根据电场力做功与电势差的关系思考：
（1）电势差由什么决定？跟、有关吗？
（2）电场力做功由什么决定？跟、有关吗？
【答案】（1）电势差由电场本身因素决定，与、有关；
（2）电场力做功与、都有关系．
【笔记】电势差与电势的区分：
1、相同点：电势差和电势都是描述电场的能的性质的物理量，它们的大小都与试探电荷无关；
2、不同点：电势的高低与参考点的选取有关，但电势差与参考点的选取无关．
下列说法中正确的是( )
A．沿电场线的方向电势逐渐降低
B．两点间的电势差与零电势的选取无关
C．电势差是一个标量，但有正值和负值之分
D．电场中某点的电势和放入的电荷的电性、电荷量无关
【答案】ABCD
关于电势差和电势、的理解，正确的是
A、表示点与点之间的电势差，即
B、和是不同的，它们有关系：
C、、都有正负，所以电势是矢量
D、零电势点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地和无穷远处为零电势点
【答案】BD
如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且相邻两等势线间的电势差相等．一正电荷在上时具有动能，它运动到等势线上时速度为0．令，则该电荷的电势能时，其动能大小为( ）
A． B． C． D．
【答案】C
在两个等量同种点电荷的连线上，有与连线中点等距的两点、，则（ ）
A．、两点的场强矢量相同
B．、两点的电势相同
C．、两点间与、两点间的电势之差相等
D．同一试探电荷放在、两点的电势能相等
【答案】BCD
如图所示，在正的点电荷的电场中有、两点，它们到点电荷的距离．若、两点间的电势差为，将二价负离子由点移到点是电场力对电荷做功还是电荷克服电场力做功？做功多少？
【答案】电场力做功为：
故是电荷克服电场力做了的功．
有一电场的等势面分布如图所示，一个质子进入电场向右运动，经过等势面时质子的动能为，那么它经过等势面时动能为 。
【答案】
带电量为的粒子先后经过电场中的、两点，克服电场力做功，已知点电势为，则
（l）、间两点间的电势差是多少？
（2）点的电势是多少？
（3）电势能变化了多少？
（4）把电量为的电荷放在点的电势能是多少？
【答案】（1）根据电场力做功与电势差的关系可得：；
（2）根据可得：；
（3）根据可得：电势能增加了；
（4）根据电势的定义式可得把电量为的电荷放在点的电势为：
如图所示是某电场中的一簇等势面，甲等势面的电势为，乙等势面的电势为，各相邻等势面间的电势差相等．
（l）将的电荷从点移到点，电场力做功 ；
（2）将的电荷从点移到点，电场力做功 ；
（3）在图中定性画出几条电场线．
【答案】（1）；（2）；（3）如右上图所示
如图，、两点间的电势差为，电荷量，由点移动到点，电场力做的功是 。
【答案】；
观察以下图片，思考电场强度大的地方电势是否一定高？电势高的地方，电场强度是否一定大呢？
【答案】根据真空中点电荷的电场强度公式可知：左图中有；右图中有；
根据电势沿电场线方向电势降低的性质可知：左图中有；右图中有；
由此可知，电场强度大的地方，电势不一定高；电势高处，电场强度不一定大．
观察以下图片，思考电场强度为零的点，电势一定为零吗？若规定无穷远处为零电势点，则电势为零的点，电场强度一定为零吗？
【答案】根据真空中点电荷的电场强度公式可知：左图中有；右图中有；
根据沿电场线方向电势降低的性质可知：左图中有；右图中有；
由此可知，电场强度为零的地方，电势不一定为零；电势为零的地方，电场强度不一定为零．
【笔记】电势差与电场强度无直接关系．
某正电荷从电场强度为的匀强电场中的点移动到点，试分析、两点之间的电势差与电场强度的关系．
【答案】根据电场力做功可知从点移动到点所做的功为：
根据电场力做功与电势差的关系可得：
联立可得：；．
【笔记】匀强电场中，电势差与电场强度的关系：；，式中的是沿场强方向的两点间的距离．
1、匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差；
2、电场强度的方向是电势降低最快的方向；
3、非匀强电场中，等差等势面之间的距离不相等，等差等势面密处场强大，疏处场强小；
4、计算电场强度的三个表达式比较：
物理意义 使用范围
电场强度的定义式 一切电场
真空中点电荷场强的决定式 在真空中，场源电荷为的点电荷
匀强电场中场强的决定式 匀强电场
关于匀强电场中的电势差与场强的关系，正确的说法是（ ）
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．电势降落的方向必定是场强方向
C．沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差必相等
D．不沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差不可能相等
【答案】BC
下列说法正确的是 （ ）
A．由公式得，在电场中两点间电势差等于场强与两点间距离的乘积
B．由公式得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积
D．公式只适用匀强电场
【答案】D
如图，、、是一条电场线上的三个点，电场线的方向由到,、间的距离等于、间的距离。用、、和、、分别表示、、三点的电势和场强。则正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
在电场强度为的匀强电场中，、两点相距，若、两点连线是沿着电场方向时，则、两点的电势差是______。若、两点连线与电场方向成时，则、两点的电势差是________；若、两点连线与电场方向垂直时，则、两点的电势差是______。
【答案】30；15；0
图中实线表示电场线，虚线表示等势面，过、两点的等势面的电势分别为、，那么连线的中点的电势值为 （ ）
A．等于 B．大于 C．小于 D．无法确定
【答案】C
如图所示，匀强电场场强，、两点相距，、连线与电场线夹角为，则为( )
A． B． C． D．
【答案】D
下列关于匀强电场的结论错误的是( )
A．公式也适用于匀强电场
B．根据可知，任意两点的电势差与这两点的距离成正比
C．匀强电场的场强值等于沿场强方向每单位长度上的电势差值
D．匀强电场的场强方向总是跟电荷所受电场力的方向一致
【答案】BD
一个带正电的质点，电荷量，在静电场中由点移到点，在这过程中，除电场力外，其他力做的功为，质点的动能增加了，则、两点间电势差为( )
A． B． C． D．
【答案】B
如图所示的电场，，，．将电荷量为的点电荷沿矩形移动一周．则电场力做的总功为 ；、两点间的电势差为 ；a、c两点的电势差为 ．
【答案】0；；
如果把带电荷量为的点电荷从无穷远移至电场中的点，需克服电场力做功，从点移动到点，电场力做功．求：
（1）在点的电势能和在点的电势(取无穷远处电势为零)．
（2）、间的电势差及点的电势各是多少．
（3）未移入电场前点的电势是多少．
【答案】（1）无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零．电荷从无穷远到点，由静电力做功和电势能变化的关系得，所以.
正电荷在电势高处具有的电势能大，即点的电势；
根据电势的定义：.
（2）由电势差与静电力做功的关系得：．
又，所以：.
(3)点的电势是由电场本身决定的，跟点是否有电荷存在无关，所以在未移入电场前，点电势仍为.
伏特
亚历山德罗·朱塞佩·安东尼奥·安纳塔西欧·伏特（Count Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta，1745～1827），意大利物理学家，因在1800年发明伏达电堆而著名．后来他受封为伯爵．
电学实验
伏特在青年时期就开始了电学实验，他读了他能够找到的许多书，对这工作深感兴趣．他的好友加托尼送给他一些仪器，并在家里让出了一间房子来支持他的研究．伏特十六岁时就开始与一些著名的电学家通信，其中有巴黎的诺莱和都灵的贝卡里亚．
贝卡里亚是一位很有成就的国际知名的电学家，他劝告伏特少提出理论，多做实验．但事实上，伏特年青时期的理论思想远不如他的实验重要．随着岁月的流逝，伏特对静电的了解至少可以和当时最好的电学家媲美．不久他就开始应用他的理论制造各种有独创性的仪器，用现代的话来讲，要点在于他对电量、电量或张力、电容以及关系式都有了明确的了解．1769年发表第一篇科学论文．
伏特制造的仪器的一个杰出例子是起电盘．一块导电板放在一个由摩擦起电的充电树脂“饼”上端，然后用一个绝缘柄与金属板接触，使它接地，再把它举起来，于是金属板就被充电到高电势，这个方法可以用来使莱顿瓶充电．这种操作可以不断地重复，这一发明是非常精巧的，以后发展成为一系列静电起电机．
伏特强烈地感到，他必须定量地测定电量，于是他设计了一种静电计，这就是各种绝对电计的鼻祖，它能够以可重复的方式测量电势差．他还为他的静电计建立了一种刻度，根据电盘的发明，根据他的描述，我们可以确定他的单位是今天的13350伏．由于起电盘的发明，1774年伏特担任了科莫皇家学校的物理教授，1779年任帕维亚大学物理学教授．他的名声开始扩展到意大利以外，苏黎世物理学会选举他为会员．
伏达电堆
伏特在四十五岁生日后不久，读到了伽伐尼1791年发现了“动物电”现象的文章，这促使他去作出了最大的发明和发现．他开始还有些犹豫，但不久他就开始了工作，用伏特的话说，他实验的内容“超出了当时已知的一切电学知识，因而它们看来是惊人的”．
起初他同意伽伐尼用蛙做莱顿瓶的观点，但几个月后，他开始怀疑蛙主要是一种探测器，而电源则在动物之外．他假定，两种不同的金属，例如铜和锌接触时会得到不同的电势，他测量了这种电势差，得到的结果与我们现在所知的接触电势差没有多大差别．伏特对这个问题进行了更深入的研究，1800年3月20日他宣布发明了伏达电堆，这是历史上的神奇发明之一．
伏特发现导电体可以分为两大类，第一类是金属，它们接触时会产生电势差；第二类是液体(在现代语言中称为电解质)，它们与浸在里面的金属之间没有很大的电差．而且第二类导体互相接触时也不会产生明显的电势差，第一类导体可依次排列起来，使其中第一种相对于后面的一种是正的，例如锌对铜是正的，在一个
金属链中，一种金属和最后一种金属之间的电势差是一样的，仿佛其中不存在任何中间接触，而第一种金属和最后一种金属直接接触似的．
伏特最后得到了一种思想，他把一些第一种导体和第二种导体连接得使每一个接触点上产生的电势差可以相加。他把这种装置称为“电堆“，因为它是由浸在酸溶液中的锌板、铜板和布片重复许多层而构成的．他在一封写给皇家学会会长班克斯的著名信件(用法文写的)中介绍了他的发明，用的标题是《论不同导电物质接触产生的电》．
电堆能产生连续的电流，它的强度的数量级比从静电起电机能得到的电流大，因此开始了一场真正的科学革命．阿拉果在1831年写的一篇文章中谈到了对它的一些赞美：“……这种由不同金属中间用一些液体隔开而构成的电堆，就它所产的奇异效果而言，乃是人类发明的的最神奇的仪器．”他描述了当时所知道的一切情况，我们必须记住，在1831年，电流还没有什么重要的实际应用．
伏特在完成了电堆工作后，实际上就从舞台上消失了，对他发现的利用完全落在其他人身上．他可能是年纪太大了，无法再与年青的新生力量竞争，也可能在心理上受到了他以前的巨大成就的阻碍，他没有脱离过学校，他的工作可能太个人化了，他的著作与教学中缺乏正规的数学，可能限制了他表达自己思想的能力．
伏特最后的八年是在他的坎纳戈别墅和科莫附近度过的，他完全过一种隐居的生活，1827年3月5日，伏特去世，终年八十二岁．为了纪念他，人们将电动势单位取名伏特．
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重力势能、高度差、质量
选水平地面为重力势能的零势面，重力势能均为的两个物体，一个物体的质量为，另一个物体的质量为，请问这两个物体距离地面的高度分别为多大？
选水平地面为重力势能的零势面，离地高度均为的两个物体，一个物体的重力势能为，另一个物体的重力势能为，请问这两个物体的质量分别为多大？
【思考】通过以上材料阅读，请说明重力势能、高度差、质量之间存在什么关系？
通过前面的学习我们知道电场力做功与电势能之间的关系：，同时我们也知道电势与电势能的关系：；通过对上述两式的分析，你能看出什么？
【笔记】
根据电势差的公式可见，电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示的什么意义呢？电势差的大小与零电势点的选取有关吗？
【笔记】
根据电场力做功与电势差的关系思考：
（1）电势差由什么决定？跟、有关吗？
（2）电场力做功由什么决定？跟、有关吗？
【笔记】
下列说法中正确的是( )
A．沿电场线的方向电势逐渐降低
B．两点间的电势差与零电势的选取无关
C．电势差是一个标量，但有正值和负值之分
D．电场中某点的电势和放入的电荷的电性、电荷量无关
关于电势差和电势、的理解，正确的是
A、表示点与点之间的电势差，即
B、和是不同的，它们有关系：
C、、都有正负，所以电势是矢量
D、零电势点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地和无穷远处为零电势点
如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且相邻两等势线间的电势差相等．一正电荷在上时具有动能，它运动到等势线上时速度为0．令，则该电荷的电势能时，其动能大小为( ）
A． B． C． D．
在两个等量同种点电荷的连线上，有与连线中点等距的两点、，则（ ）
A．、两点的场强矢量相同
B．、两点的电势相同
C．、两点间与、两点间的电势之差相等
D．同一试探电荷放在、两点的电势能相等
如图所示，在正的点电荷的电场中有、两点，它们到点电荷的距离．若、两点间的电势差为，将二价负离子由点移到点是电场力对电荷做功还是电荷克服电场力做功？做功多少？
有一电场的等势面分布如图所示，一个质子进入电场向右运动，经过等势面时质子的动能为，那么它经过等势面时动能为 。
带电量为的粒子先后经过电场中的、两点，克服电场力做功，已知点电势为，则
（l）、间两点间的电势差是多少？
（2）点的电势是多少？
（3）电势能变化了多少？
（4）把电量为的电荷放在点的电势能是多少？
如图所示是某电场中的一簇等势面，甲等势面的电势为，乙等势面的电势为，各相邻等势面间的电势差相等．
（l）将的电荷从点移到点，电场力做功 ；
（2）将的电荷从点移到点，电场力做功 ；
（3）在图中定性画出几条电场线．
如图，、两点间的电势差为，电荷量，由点移动到点，电场力做的功是 。
观察以下图片，思考电场强度大的地方电势是否一定高？电势高的地方，电场强度是否一定大呢？
观察以下图片，思考电场强度为零的点，电势一定为零吗？若规定无穷远处为零电势点，则电势为零的点，电场强度一定为零吗？
【笔记】
某正电荷从电场强度为的匀强电场中的点移动到点，试分析、两点之间的电势差与电场强度的关系．
【笔记】
关于匀强电场中的电势差与场强的关系，正确的说法是（ ）
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．电势降落的方向必定是场强方向
C．沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差必相等
D．不沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差不可能相等
下列说法正确的是 （ ）
A．由公式得，在电场中两点间电势差等于场强与两点间距离的乘积
B．由公式得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积
D．公式只适用匀强电场
如图，、、是一条电场线上的三个点，电场线的方向由到,、间的距离等于、间的距离。用、、和、、分别表示、、三点的电势和场强。则正确的是
A． B． C． D．
在电场强度为的匀强电场中，、两点相距，若、两点连线是沿着电场方向时，则、两点的电势差是______。若、两点连线与电场方向成时，则、两点的电势差是________；若、两点连线与电场方向垂直时，则、两点的电势差是______。
图中实线表示电场线，虚线表示等势面，过、两点的等势面的电势分别为、，那么连线的中点的电势值为 （ ）
A．等于 B．大于
C．小于 D．无法确定
如图所示，匀强电场场强，、两点相距，、连线与电场线夹角为，则为( )
A． B． C． D．
下列关于匀强电场的结论错误的是( )
A．公式也适用于匀强电场
B．根据可知，任意两点的电势差与这两点的距离成正比
C．匀强电场的场强值等于沿场强方向每单位长度上的电势差值
D．匀强电场的场强方向总是跟电荷所受电场力的方向一致
一个带正电的质点，电荷量，在静电场中由点移到点，在这过程中，除电场力外，其他力做的功为，质点的动能增加了，则、两点间电势差为( )
A． B． C． D．
如图所示的电场，，，．将电荷量为的点电荷沿矩形移动一周．则电场力做的总功为 ；、两点间的电势差为 ；a、c两点的电势差为 ．
如果把带电荷量为的点电荷从无穷远移至电场中的点，需克服电场力做功，从点移动到点，电场力做功．求：
（1）在点的电势能和在点的电势(取无穷远处电势为零)．
（2）、间的电势差及点的电势各是多少．
（3）未移入电场前点的电势是多少．
伏特
亚历山德罗·朱塞佩·安东尼奥·安纳塔西欧·伏特（Count Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta，1745～1827），意大利物理学家，因在1800年发明伏达电堆而著名．后来他受封为伯爵．
电学实验
伏特在青年时期就开始了电学实验，他读了他能够找到的许多书，对这工作深感兴趣．他的好友加托尼送给他一些仪器，并在家里让出了一间房子来支持他的研究．伏特十六岁时就开始与一些著名的电学家通信，其中有巴黎的诺莱和都灵的贝卡里亚．
贝卡里亚是一位很有成就的国际知名的电学家，他劝告伏特少提出理论，多做实验．但事实上，伏特年青时期的理论思想远不如他的实验重要．随着岁月的流逝，伏特对静电的了解至少可以和当时最好的电学家媲美．不久他就开始应用他的理论制造各种有独创性的仪器，用现代的话来讲，要点在于他对电量、电量或张力、电容以及关系式都有了明确的了解．1769年发表第一篇科学论文．
伏特制造的仪器的一个杰出例子是起电盘．一块导电板放在一个由摩擦起电的充电树脂“饼”上端，然后用一个绝缘柄与金属板接触，使它接地，再把它举起来，于是金属板就被充电到高电势，这个方法可以用来使莱顿瓶充电．这种操作可以不断地重复，这一发明是非常精巧的，以后发展成为一系列静电起电机．
伏特强烈地感到，他必须定量地测定电量，于是他设计了一种静电计，这就是各种绝对电计的鼻祖，它能够以可重复的方式测量电势差．他还为他的静电计建立了一种刻度，根据电盘的发明，根据他的描述，我们可以确定他的单位是今天的13350伏．由于起电盘的发明，1774年伏特担任了科莫皇家学校的物理教授，1779年任帕维亚大学物理学教授．他的名声开始扩展到意大利以外，苏黎世物理学会选举他为会员．
伏达电堆
伏特在四十五岁生日后不久，读到了伽伐尼1791年发现了“动物电”现象的文章，这促使他去作出了最大的发明和发现．他开始还有些犹豫，但不久他就开始了工作，用伏特的话说，他实验的内容“超出了当时已知的一切电学知识，因而它们看来是惊人的”．
起初他同意伽伐尼用蛙做莱顿瓶的观点，但几个月后，他开始怀疑蛙主要是一种探测器，而电源则在动物之外．他假定，两种不同的金属，例如铜和锌接触时会得到不同的电势，他测量了这种电势差，得到的结果与我们现在所知的接触电势差没有多大差别．伏特对这个问题进行了更深入的研究，1800年3月20日他宣布发明了伏达电堆，这是历史上的神奇发明之一．
伏特发现导电体可以分为两大类，第一类是金属，它们接触时会产生电势差；第二类是液体(在现代语言中称为电解质)，它们与浸在里面的金属之间没有很大的电差．而且第二类导体互相接触时也不会产生明显的电势差，第一类导体可依次排列起来，使其中第一种相对于后面的一种是正的，例如锌对铜是正的，在一个
金属链中，一种金属和最后一种金属之间的电势差是一样的，仿佛其中不存在任何中间接触，而第一种金属和最后一种金属直接接触似的．
伏特最后得到了一种思想，他把一些第一种导体和第二种导体连接得使每一个接触点上产生的电势差可以相加。他把这种装置称为“电堆“，因为它是由浸在酸溶液中的锌板、铜板和布片重复许多层而构成的．他在一封写给皇家学会会长班克斯的著名信件(用法文写的)中介绍了他的发明，用的标题是《论不同导电物质接触产生的电》．
电堆能产生连续的电流，它的强度的数量级比从静电起电机能得到的电流大，因此开始了一场真正的科学革命．阿拉果在1831年写的一篇文章中谈到了对它的一些赞美：“……这种由不同金属中间用一些液体隔开而构成的电堆，就它所产的奇异效果而言，乃是人类发明的的最神奇的仪器．”他描述了当时所知道的一切情况，我们必须记住，在1831年，电流还没有什么重要的实际应用．
伏特在完成了电堆工作后，实际上就从舞台上消失了，对他发现的利用完全落在其他人身上．他可能是年纪太大了，无法再与年青的新生力量竞争，也可能在心理上受到了他以前的巨大成就的阻碍，他没有脱离过学校，他的工作可能太个人化了，他的著作与教学中缺乏正规的数学，可能限制了他表达自己思想的能力．
伏特最后的八年是在他的坎纳戈别墅和科莫附近度过的，他完全过一种隐居的生活，1827年3月5日，伏特去世，终年八十二岁．为了纪念他，人们将电动势单位取名伏特．
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