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电磁感应中的能量问题
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知识讲解
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考点一 电磁感应中的动力学问题分析
1． 安培力的大小
由感应电动势E＝Blv，感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝.
2． 安培力的方向判断
3． 导体两种状态及处理方法
(1)导体的平衡态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件(合外力等于零)列式分析．
(2)导体的非平衡态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
规律总结
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是 “先电后力”，即：先做“源”的分析
——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；
再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便求解安培力；然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；最后进行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型．
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随堂练习
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例1如图1所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光
滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直
于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和Rx分别
表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．
图1
(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导
体棒的速率v.
改变Rx，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.
【例2】如图2所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为2∶1.用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后
( )
A．金属棒ab、cd都做匀速运动
B．金属棒ab上的电流方向是由b向a
C．金属棒cd所受安培力的大小等于2F/3
D．两金属棒间距离保持不变
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知识讲解
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考点二 电磁感应中的能量问题分析
1． 过程分析
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．安培力做功的过程，或通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．
2． 求解思路
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则：①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能．
电磁感应中能量转化问题的分析技巧
1． 电磁感应过程往往涉及多种能量的转化
(1)如图4中金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，
一部分用来克服安培力做功，转化为感应电流的电能，最终
在R上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能．
(2)若导轨足够长，棒最终达到稳定状态做匀速运动，之后重
力势能的减小则完全用来克服安培力做功，转化为感应电流
的电能． 图4
2． 安培力做功和电能变化的特定对应关系
(1)“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(2)安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．
3． 解决此类问题的步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(包括右手定则)确定感应电动势的大小和
方向．
(2)画出等效电路图，写出回路中电阻消耗的电功率的表达式．
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程，联立求解．
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随堂练习
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例3】 如图3所示，倾角为θ＝30°、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L1＝0.4 m，B1＝5 T的匀强磁场垂直导轨平面向上．一质量m＝1.6 kg的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，其电阻r＝1 Ω.金属导轨上端连接右侧电路，R1＝1 Ω，R2＝1.5 Ω.R2两端通过细导线连接质量M＝0.6 kg的正方形金属框cdef，正方形边长L2＝0.2 m，每条边电阻r0为1 Ω，金属框处在一方向垂直纸面向里、B2＝3 T的匀强磁场中．现将金属棒由静止释放，不计其他电阻及滑轮摩擦，g取10 m/s2.
(1)若将电键S断开，求棒下滑过程中的最大速度．
(2)若电键S闭合，每根细导线能承受的最大拉力为3.6 N，求细导线刚好被拉断时棒的速度．
(3)若电键S闭合后，从棒释放到细导线被拉断的过程中，棒上产生的电热为2 J，求此过程中棒下滑的高度(结果保留一位有效数字)．
例4 如图5所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用．金属棒沿导轨匀速下滑,则它在下滑高度h的过程中，以下说法正确的是 ( )
A．作用在金属棒上各力的合力做功为零
B．重力做的功等于系统产生的电能
C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
D．金属棒克服恒力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热
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知识
讲解
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应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨＋杆”模型问题
1． 模型概述
“导轨＋杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“导轨＋杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，情景复杂，形式多变．
2． 常见模型
类型 “电—动—电”型 “动—电—动”型
示意图
已知量 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计
过程分析 S闭合，棒ab受安培力F＝，此时加速度a＝，棒ab速度v↑→感应电动势E′＝BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速运动 棒ab释放后下滑，此时加速度a＝gsin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动
能 量 转 化 通过安培力做功，把电能转化为动能 克服安培力做功，把重力势能转化为内能
运动 形式 变加速运动 变加速运动
最终 状态 匀速运动，vm＝ 匀速运动 vm＝
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随堂练习
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例5 如图7甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静
止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t
的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
甲 乙
图7
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
【例6 】如图8所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g.下列选项正确的是 ( )
A．P＝2mgvsin θ
B．P＝3mgvsin θ
C．当导体棒速度达到时加速度大小为sin θ
D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
【例7 】某兴趣小组设计了一种发电装置，如图9所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为π，磁场均沿半径方向．匝数为N的矩形线圈abcd的边长ab＝cd＝l、bc＝ad＝2l.线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc边和ad边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r，外接电阻为R.求：
图9
(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；
(2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F；
(3)外接电阻上电流的有效值I.
【例8】 如图10，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的 两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好.现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则 ( )
A．金属棒ab最终可能匀速下滑
B．金属棒ab一直加速下滑
C．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势
D．带电微粒不可能先向N板运动后向M板运动
【例9】 如图11所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a、b质量均为m＝0.1 kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0.5 T．已知从t＝0时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝0.75＋0.2t (N)．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
图11
(1)通过计算判断杆a的运动情况；
(2)从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；
(3)若t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为13.2 J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？
【例10 】如图1(a)所示为磁悬浮列车模型，质量M＝1 kg的绝缘板底座静止在动摩擦因数μ1＝0.1的粗糙水平地面上．位于磁场中的正方形金属框ABCD为动力源，其质量m＝1 kg，边长为1 m，电阻为 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.4.OO ′为AD、BC的中线．在金属框内有可随金属框同步移动的磁场，OO′CD区域内磁场如图(b)所示，CD恰在磁场边缘以外；OO′BA区域内磁场如图(c)所示，AB恰在磁场边缘以内(g＝10 m/s2)．若绝缘板足够长且认为绝缘板与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则金属框从静止释放后 ( )
图1
A．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为3 m/s2
B．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为7 m/s2
C．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板仍静止
D．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板的加速度为2 m/s2
【例11】如图2所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：
(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？
(2)棒ab受到的力F多大？
(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？
【例12】 如图3所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为 F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求：
(1)导轨对杆ab的阻力大小Ff.
(2)杆ab中通过的电流及其方向．
(3)导轨左端所接电阻的阻值R.
【例13】 如图4所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L，导轨间接有一定值电阻R，质量为m，电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中 ( )
A．导体棒的最大速度为
B．通过电阻R的电荷量为
C．导体棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D．重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量
【例14】如图5所示，电阻可忽略的光滑平行金属导轨长s＝1.15 m，两导轨
间距L＝0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R＝1.5 Ω的电阻，磁感应强度
B＝0.8 T的匀强磁场垂直轨道平面向上．阻值r＝0.5 Ω、质量m＝0.2 kg的金属棒与轨
道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的
焦耳热Qr＝0.1 J．(取g＝10 m/s2)求：
图5
(1)金属棒在此过程中克服安培力做的功W安；
(2)金属棒下滑速度v＝2 m/s时的加速度a；
(3)为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理，WG－W安＝mv，….由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答．
【例15】 如图6所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方
向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，
磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，
质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电
阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右
做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．
图6
(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；
(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化
的图象；
(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.
(
课后作业
)
竖直平面内有一形状为抛物线的光滑曲面轨道，如图所示，抛物线方程是y＝x2，轨道下半部分处在一个水平向外的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线(图中虚线所示)，一个小金属环从抛物线上y＝b(b>a)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是（ ）
A．mgb B.mv2
C．mg(b－a) D．mg(b－a)＋mv2
如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料，不同粗细的导线绕制（Ⅰ为细导线）．两线圈在距磁场上界面高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为、，在磁场中运动时产生的热量分别为、．不计空气阻力，则（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，空间存在一有边界的条形匀强磁场区域，磁场方向与竖直平面（纸面）垂直，磁场边界的间距为L。一个质量为m、边长也为L的正方形导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直，且线框上、下边始终与磁场的边界平行。t＝0时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合（图中位置I），导线框的速度为v0。经历一段时间后，当导线框的下边恰好与磁场的上边界重合时（图中位置II），导线框的速度刚好为零。此后，导线框下落，经过一段时间回到初始位置I。则（ ）
(
II
I
B
L
v
0
L
) A．上升过程中，导线框的加速度逐渐增大
B．下降过程中，导线框的加速度逐渐增大
C．上升过程中合力做的功与下降过程中的相等
D．上升过程中克服安培力做的功比下降过程中的多
质量为m边长为L的正方形线圈，线圈ab边距离磁场边界为s，线圈从静止开始在水平恒力F的作用下，穿过如图所示的有界匀强磁场，磁场宽度为d(dA．线圈进入磁场和离开磁场的过程通过线圈的电荷量不相等
B．穿越磁场的过程中线圈的最小速度为
C．穿越磁场的过程中线圈的最大速度为
D．穿越磁场的过程中线圈消耗的电能为F(d＋L)
如图，光滑斜面的倾角为，斜面上放置一矩形导体线框，边的边长为，边的边长为，线框的质量为，电阻为，线框通过细棉线绕过光滑的滑轮与重物相连，重物质量为，斜面上线（平行底边）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的边始终平行底边，则下列说法正确的是（ ）
(
B
) A．线框进入磁场前运动的加速度为
B．线框进入磁场时匀速运动的速度为
C．线框做匀速运动的总时间为
D．该匀速运动过程产生的焦耳热为
如图所示，水平面内两根光滑的平行金属导轨，左端与电阻R相连接，匀强磁场B竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直于导轨并与导轨接触良好。若对金属棒施加一个水平向右的外力F，使金属棒从a位置由静止开始向右做匀加速运动并依次通过位置b和c。若导轨与金属棒的电阻不计，a到b与b到c的距离相等，则下列关于金属棒在运动过程中的说法正确的是（ ）
(
R
F
a
b
c
B
)
A．金属棒通过b、c两位置时，电阻R的电功率之比为1:2
B．金属棒通过b、c两位置时，外力F的大小之比为1:
C．在从a到b与从b到c的两个过程中，电阻R上产生的热量之比为1:1
D．在从a到b与从b到c的两个过程中，通过金属棒的横截面的电量之比为1:2
如图所示的电路中，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，电阻可略去不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用，金属棒沿导轨匀速下滑，则它在下滑h高度的过程中，以下说 法正确的是（ ）
A．作用在金属棒上各力的合力做功为零
B．重力做功将机械能转化为电能
C．重力与恒力F做功的代数和等于电阻R上产生的焦耳热
D．金属棒克服安培力做功等于重力与恒力F做的总功与电阻R上产生的焦耳热之和
如图所示，一质量为m的金属杆ab，以一定的初速度v0从一光滑平行金属轨道的底端向上滑行，轨道平面与水平面成θ角，两导轨上端用一电阻相连，磁场方向垂直轨道平面向上，轨道与金属杆ab的电阻不计并接触良好。金属杆向上滑行到某一高度h后又返回到底端，在此过程中（ ）
A．整个过程中合外力的冲量大小为2mv0
B．下滑过程中合外力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．下滑过程中电阻R上产生的焦耳热小于
D．整个过程中重力的冲量大小为零
如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与两相同的固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒ab，质量为m，导体棒的电阻R =2R1 ，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，固定电阻R1消耗的热功率为P, 此时 （ ）
A．整个装置因摩擦而产生的热功率为μmgcosθ v
B．整个装置消耗的机械功率为 μmgcosθ v
C．导体棒受到的安培力的大小为
D．导体棒受到的安培力的大小为
位于竖直平面内的矩形平面导线框abdc，ab长L1＝1.0 m，bd长L2＝0.5 m，线框的质量m＝0.2 kg，电阻R＝2 Ω.其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP′和QQ′均与ab平行．两边界间距离为H，H>L2，磁场的磁感应强度B＝1.0 T，方向与线框平面垂直。如图27所示，令线框的dc边从离磁场区域上边界PP′的距离为h＝0.7 m处自由下落．已知线框的dc边进入磁场以后，ab边到达边界PP′之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值．问从线框开始下落，到dc边刚刚到达磁场区域下边界QQ′的过程中，磁场作用于线框的安培力所做的总功为多少？（g取10 m/s2）
如图一所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为m，电阻为R。在金属线框的下方有一匀强磁场区域， MN和M ′N ′是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的bc边平行，磁场方向与线框平面垂直。现金属线框由距MN的某一高度从静止开始下落，图二是金属线框由开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的速度－时间图象，图像中坐标轴上所标出的字母均为已知量。求：
（1）金属框的边长；
（2）磁场的磁感应强度；
（3）金属线框在整个下落过程中所产生的热量。
如图所示，在高度差为h的平行虚线区域内有磁感应强度为B，方向水平向里的匀强磁场.正方形线框abcd的质量为m，边长为L(L>h)，电阻为R，线框平面与竖直平面平行，静止于位置“Ⅰ”时，cd边与磁场下边缘有一段距离H.现用一竖直向上的恒力F提线框，线框由位置“Ⅰ”无初速度向上运动，穿过磁场区域最后到达位置“Ⅱ”(ab边恰好出磁场)，线框平面在运动中保持在竖直平面内，且ab边保持水平.当cd边刚进入磁场时，线框恰好开始匀速运动.空气阻力不计，g＝10 m/s2.求：
（1）线框进入磁场前距磁场下边界的距离H；
（2）线框由位置“Ⅰ”到位置“Ⅱ”的过程中，恒力F做的功为多少？线框产生的热量为多少？
B如图甲所示，一边长L=2.5m、质量m=0.5kg的正方形金属线框，放在光滑绝缘的水平面上，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B=0.8T的匀强磁场中，它的一边与磁场的边界MN重合。在水平力F作用下由静止开始向左运动，经过5s线框被拉出磁场。测得金属线框中的电流随时间变化的图像如乙图所示，在金属线框被拉出的过程中。
（1）求通过线框导线截面的电量及线框的电阻；
（2）写出水平力F随时间变化的表达式；
（3）已知在这5s内力F做功1.92J，那么在此过程中，线框产生的焦耳热是多少？
如图所示，水平放置的平行金属轨道，宽为，轨道间接有的电阻，金属棒横搭在轨道上，图中除外，其他电阻不计，已知棒的质量，与轨道间的动摩擦因数为，垂直于轨道的匀强磁场．若突然获得了的初速度而向右运动，最终停于图中虚线位置．此过程历时（取）求：
该过程中通过的电荷量为多少？
上产生的电热为多少？
如图甲所示，空间存在，方向竖直向下的匀强磁场，是相互平行的粗糙的长直导轨，处于同一水平面内，其间距，是连在导轨一端的电阻，，是垂直跨接在导轨上质量的导体棒，它与导轨间的动摩擦因数．从时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个牵引力，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中导体棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是导体棒的速度—时间图象（其中是直线，是曲线，是曲线的渐近线），小型电动机在末达到额定功率，此后功率保持不变．除以外，其余部分的电阻均不计，取．求：
（1）导体棒在内的加速度大小；
（2）电动机的额定功率；
（3）若已知内电阻上产生的热量为，则此过程中牵引力做的功．
如图所示，MN、PQ是相互交叉成60°角的光滑金属导轨，O是它们的交点且接触良好．两导轨处在同一水平面内，并置于有理想边界的匀强磁场中(图中经过O点的虚线即为磁场的左边界)．导体棒ab与导轨始终保持良好接触，并在弹簧S的作用下沿导轨以速度v0向左匀速运动．已知在导体棒运动的过程中，弹簧始终处于弹性限度内．磁感应强度的大小为B，方向如图所示．当导体棒运动到O点时，弹簧恰好处于原长，导轨和导体棒单位长度的电阻均为r，导体棒ab的质量为m.求：
（1）导体棒ab第一次经过O点前，通过它的电流大小；
（2）弹簧的劲度系数k；
（3）从导体棒第一次经过O点开始直到它静止的过程中，导体棒ab中产生的热量．
如图所示，间距为L、电阻为零的U形金属竖直轨道，固定放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．竖直轨道上部套有一金属条bc，bc的电阻为R，质量为2m，可以在轨道上无摩擦滑动，开始时被卡环卡在竖直轨道上处于静止状态．在bc的正上方高H处，自由落下一质量为m的绝缘物体，物体落到金属条上之前的瞬问，卡环立即释放，两者一起继续下落．设金属条与导轨的摩擦和接触电阻均忽略不计，竖直轨道足够长．求：
（1）金属条开始下落时的加速度；
（2）金属条在加速过程中，速度达到时，bc对物体m的支持力；
（3）金属条下落h时，恰好开始做匀速运动，求在这一过程中感应电流产生的热量．
电磁流量计如图所示,用非磁性材料做成的圆管道,外加一匀强磁场.当管道中导电液体流过此区域时,测出管壁上一直径两端a、b两点间的电动势为E,就可知道管中液体的流量Q,即单位时间内流过管道横截面的液体体积(m3／s).已知管道直径为D,磁场的磁感应强度为B,试推导Q的表达式。
\
单位时间内流过管道横截面的液体体积叫做液体的体积流量（以下简称流量）. 有一种利用电磁原理测量非磁性导电液体（如自来水、啤酒等）流量的装置，称为电磁流量计. 它主要由将流量转换为电压信号的传感器和显示仪表两部分组成.
传感器的结构如图所示，圆筒形测量管内壁绝缘，其上装有一对电极和,间的距离等于测
量管内径，测量管的轴线与的连线方向以及通电线圈产生的磁场方向三者相互垂直. 当导
电液体流过测量管时，在电极间出现感应电动势，并通过与电极连接的仪表显示出液体流
量. 设磁场均匀恒定，磁感应强度为.
（1）已知. 设液体在测量管内各处流速相同，试求的大小（取）；
（2）一新建供水站安装了电磁流量计，在向外供水时流量本应显示为正值，但实际显示却为负值. 经检查，原因是误将测量管接反了，即液体由测量管出水口流入，从入水口流出. 因水已加压充满管道，不便再将测量管拆下重装，请你提出使显示仪表的流量指示变为正值的简便方法；
（3）显示仪表相当于传感器的负载电阻，其阻值记为. 间导电液体的电阻随液体电阻率的变化而变化，从而会影响显示仪表的示数. 试以、、为参量，给出电极间输出电压的表达式，并说明怎样可以降低液体电阻率变化对显示仪表示数的影响.
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电磁感应中的能量问题
)
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知识讲解
)
考点一 电磁感应中的动力学问题分析
1． 安培力的大小
由感应电动势E＝Blv，感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝.
2． 安培力的方向判断
3． 导体两种状态及处理方法
(1)导体的平衡态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件(合外力等于零)列式分析．
(2)导体的非平衡态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
规律总结
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是 “先电后力”，即：先做“源”的分析
——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；
再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便求解安培力；然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；最后进行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型．
(
随堂练习
)
例1 如图1所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光
滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直
于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和Rx分别
表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．
图1
(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导
体棒的速率v.
(2)改变Rx，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.
解析 (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示．
导体棒所受安培力F安＝BIl ①
导体棒匀速下滑，所以F安＝Mgsin θ ②
联立①②式，解得I＝ ③
导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Blv ④
由闭合电路欧姆定律得I＝，且Rx＝R，所以I＝ ⑤
联立③④⑤式，解得v＝
(2)由题意知，其等效电路图如图所示．
由图知，平行金属板两板间的电压等于Rx两端的电压．
设两金属板间的电压为U，因为导体棒匀速下滑时的电流仍
为I，所以由欧姆定律知
U＝IRx ⑥
要使带电的微粒匀速通过，则mg＝q ⑦
联立③⑥⑦式，解得Rx＝.
答案 (1) (2)
【例2】如图2所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀
强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路
且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为2∶1.用一
沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后
( ) 图2
A．金属棒ab、cd都做匀速运动
B．金属棒ab上的电流方向是由b向a
C．金属棒cd所受安培力的大小等于2F/3
D．两金属棒间距离保持不变
答案 BC
解析 对两金属棒ab、cd进行受力分析和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab速度小于金属棒cd速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab上的电流方向是由b到a，A、D错误，B正确；以两金属棒整体为研究对象有：F＝3ma，隔离金属棒cd分析：F－F安＝ma，可求得金属棒cd所受安培力的大小F安＝F，C正确；因此答案选B、C.
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知识讲解
)
考点二 电磁感应中的能量问题分析
1． 过程分析
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．安培力做功的过程，或通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．
2． 求解思路
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则：①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能．
电磁感应中能量转化问题的分析技巧
1． 电磁感应过程往往涉及多种能量的转化
(1)如图4中金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，
一部分用来克服安培力做功，转化为感应电流的电能，最终
在R上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能．
(2)若导轨足够长，棒最终达到稳定状态做匀速运动，之后重
力势能的减小则完全用来克服安培力做功，转化为感应电流
的电能． 图4
2． 安培力做功和电能变化的特定对应关系
(1)“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(2)安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．
3． 解决此类问题的步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(包括右手定则)确定感应电动势的大小和
方向．
(2)画出等效电路图，写出回路中电阻消耗的电功率的表达式．
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程，联立求解．
(
随堂练习
)
例3】 如图3所示，倾角为θ＝30°、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L1＝0.4 m，B1＝5 T的匀强磁场垂直导轨平面向上．一质量m＝1.6 kg的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，其电阻r＝1 Ω.金属导轨上端连接右侧电路，R1＝1 Ω，R2＝1.5 Ω.R2两端通过细导线连接质量M＝0.6 kg的正方形金属框cdef，正方形边长L2＝0.2 m，每条边电阻r0为1 Ω，金属框处在一方向垂直纸面向里、B2＝3 T的匀强磁场中．现将金属棒由静止释放，不计其他电阻及滑轮摩擦，g取10 m/s2.
(1)若将电键S断开，求棒下滑过程中的最大速度．
(2)若电键S闭合，每根细导线能承受的最大拉力为3.6 N，求细导线刚好被拉断时棒的速度．
(3)若电键S闭合后，从棒释放到细导线被拉断的过程中，棒上产生的电热为2 J，求此过程中棒下滑的高度(结果保留一位有效数字)．
图3
解析 (1)棒下滑过程中，沿导轨的合力为0时，速度最大，mgsin θ－F安＝0
F安＝B1IL1
I＝
E＝B1L1vmax
代入数据解得：
vmax＝7 m/s
(2)闭合S后，设细导线刚断开时，通过金属框ef边电流为I′，则通过cd边的电流
为3I′
则：2FT－Mg－B2I′L2－3B2I′L2＝0
解得I′＝0.5 A
通过R2的电流
I2＝
I2＝1 A
电路总电流I1＝I2＋4I′＝3 A
金属框接入电路总电阻R框＝ Ω
R2与R框并联电阻为R′，
R′＝＝ Ω
设此时棒的速度为v1，
则有I1＝
解得v1＝3.75 m/s
(3)当棒下滑高度为h时，棒上产生的热量为Qab，R1上产生的热量为Q1，R2与R框上产生的总热量为Q′，根据能量转化与守恒定律有
mgh＝mv＋Qab＋Q1＋Q′
Qab＝2 J
Q1＝Qab＝2 J
Q′＝＝1 J
解得h≈1 m
答案 (1)7 m/s (2)3.75 m/s (3)1 m
例4 如图5所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ
的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向
上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜
面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用．金属棒沿导轨匀速下滑， 图5
则它在下滑高度h的过程中，以下说法正确的是 ( )
A．作用在金属棒上各力的合力做功为零
B．重力做的功等于系统产生的电能
C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
D．金属棒克服恒力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热
答案 AC
解析 根据动能定理，合力做的功等于动能的增量，故A对；重力做的功等于重力势能的减少，重力做的功等于克服F所做的功与产生的电能之和，而克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，所以B、D错，C对．
(
知识
讲解
)
应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨＋杆”模型问题
1． 模型概述
“导轨＋杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“导轨＋杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，情景复杂，形式多变．
2． 常见模型
类型 “电—动—电”型 “动—电—动”型
示意图
已知量 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计
过程分析 S闭合，棒ab受安培力F＝，此时加速度a＝，棒ab速度v↑→感应电动势E′＝BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速运动 棒ab释放后下滑，此时加速度a＝gsin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动
能 量 转 化 通过安培力做功，把电能转化为动能 克服安培力做功，把重力势能转化为内能
运动 形式 变加速运动 变加速运动
最终 状态 匀速运动，vm＝ 匀速运动 vm＝
(
随堂练习
)
例5 如图7甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静
止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t
的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
甲 乙
图7
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
答案 (1)0.1 T (2)0.67 C (3)0.26 J
解析 (1)金属棒在AB段匀速运动，由题中图象乙得：
v＝＝7 m/s
I＝，mg＝BIL
解得B＝0.1 T
(2)q＝Δt
＝
ΔΦ＝B
解得：q＝0.67 C
(3)Q＝mgx－mv2
解得Q＝0.455 J
从而QR＝Q＝0.26 J
【例6 】如图8所示，相距为L的两条足够长的光滑
平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强
磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由
静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加
一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒
最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好， 图8
不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g.下列选项正确的是 ( )
A．P＝2mgvsin θ
B．P＝3mgvsin θ
C．当导体棒速度达到时加速度大小为sin θ
D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
答案 AC
解析 根据I＝＝，导体棒由静止释放，速度达到v时，回路中的电流为I，则根据
共点力的平衡条件，有mgsin θ＝BIL.对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，使其以2v
的速度匀速运动时，则回路中的电流为2I，则根据平衡条件，有F＋mgsin θ＝B·2IL，所
以拉力F＝mgsin θ，拉力的功率P＝F×2v＝2mgvsin θ，故选项A正确，选项B错误；
当导体棒的速度达到时，回路中的电流为，根据牛顿第二定律，得mgsin θ－B L＝ma，解得a＝sin θ，选项C正确；当导体棒以2v的速度匀速运动时，根据能量守恒定律知，重力和拉力所做的功之和等于R上产生的焦耳热，故选项D错误．
【例7 】某兴趣小组设计了一种发电装置，如图9所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为π，磁场均沿半径方向．匝数为N的矩形线圈abcd的边长ab＝cd＝l、bc＝ad＝2l.线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc边和ad边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r，外接电阻为R.求：
图9
(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；
(2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F；
(3)外接电阻上电流的有效值I.
答案 (1)2NBl2ω (2) (3)
解析 (1)bc、ad边的运动速度v＝ω
感应电动势Em＝4NBlv
解得Em＝2NBl2ω
(2)电流Im＝
安培力F＝2NBIml
解得F＝
(3)一个周期内，通电时间t＝T
R上消耗的电能W＝IRt且W＝I2RT
解得I＝.
【例8】 如图10，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则 ( )
A．金属棒ab最终可能匀速下滑
B．金属棒ab一直加速下滑
C．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势
D．带电微粒不可能先向N板运动后向M板运动
答案 BC
解析 金属棒沿光滑导轨加速下滑，棒中有感应电动势而对金属板M、N充电，充电电
流通过金属棒时金属棒受安培力作用，只有金属棒速度增大时才有充电电流，因此总有
mgsin θ－BIL>0，金属棒将一直加速下滑，A错，B对；由右手定则可知，金属棒a端(即
M板)电势高，C对；若微粒带负电，则电场力向上，与重力反向，开始时电场力为0，
微粒向下加速，当电场力增大到大于重力时，微粒的加速度向上，可能向N板减速运动
到零后再向M板运动，D错．
【例9】 如图11所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a、b质量均为m＝0.1 kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0.5 T．已知从t＝0时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝0.75＋0.2t (N)．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
图11
(1)通过计算判断杆a的运动情况；
(2)从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；
(3)若t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为13.2 J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？
答案 (1)以4 m/s2的加速度做匀加速运动
(2)0.2 C (3)6 J
解析 (1)因为杆b静止，所以有
F2－B2IL＝mgtan 37°
而F2＝0.75＋0.2t(N)
解得I＝0.4t (A)
整个电路中的电动势由杆a运动产生，故
E＝I(Ra＋Rb)
E＝B1Lv
解得v＝4t
所以，杆a做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动．
(2)杆a在1 s内运动的距离d＝at2＝2 m
q＝Δt
＝
E＝＝
q＝＝＝0.2 C
即1 s内通过杆b的电荷量为0.2 C
(3)设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得
W1－Q＝mv
v1＝at＝8 m/s
解得Q＝10 J
从而Qb＝Q＝6 J
【例10 】如图1(a)所示为磁悬浮列车模型，质量M＝1 kg的绝缘板底座静止在动摩擦因数μ1＝0.1的粗糙水平地面上．位于磁场中的正方形金属框ABCD为动力源，其质量m＝1 kg，边长为1 m，电阻为 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.4.OO ′为AD、BC的中线．在金属框内有可随金属框同步移动的磁场，OO′CD区域内磁场如图(b)所示，CD恰在磁场边缘以外；OO′BA区域内磁场如图(c)所示，AB恰在磁场边缘以内(g＝10 m/s2)．若绝缘板足够长且认为绝缘板与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则金属框从静止释放后 ( )
图1
A．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为3 m/s2
B．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为7 m/s2
C．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板仍静止
D．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板的加速度为2 m/s2
答案 AD
解析 若金属框固定在绝缘板上，由题意得E＝·SABCD＝1××1×1 V＝0.5 V，I＝＝8 A，FAB＝B2IL＝8 N，取绝缘板和金属框整体进行受力分析，由牛顿第二定律：FAB－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a，解得a＝3 m/s2，A对，B错；若金属框不固定，对金属框进行受力分析，假设其相对绝缘板滑动，Ff1＝μ2mg＝0.4×1×10 N＝4 N【例11】如图2所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：
(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？
(2)棒ab受到的力F多大？
(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？
答案 (1)1 A 方向由d至c (2)0.2 N (3)0.4 J
解析 (1)棒cd受到的安培力
Fcd＝IlB
棒cd在共点力作用下受力平衡，则
Fcd＝mgsin 30°
代入数据解得
I＝1 A
根据楞次定律可知，棒cd中的电流方向由d至c
(2)棒ab与棒cd受到的安培力大小相等
Fab＝Fcd
对棒ab，由受力平衡知
F＝mgsin 30°＋IlB
代入数据解得
F＝0.2 N
(3)设在时间t内棒cd产生Q＝0.1 J的热量，由焦耳定律知
Q＝I2Rt
设棒ab匀速运动的速度大小为v，其产生的感应电动势
E＝Blv
由闭合电路欧姆定律知
I＝
由运动学公式知在时间t内，棒ab沿导轨的位移
s＝vt
力F做的功
W＝Fs
综合上述各式，代入数据解得
W＝0.4 J
【例12】 如图3所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为 F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求：
(1)导轨对杆ab的阻力大小Ff.
(2)杆ab中通过的电流及其方向．
(3)导轨左端所接电阻的阻值R.
答案 (1)F－ (2)，方向由a流向b (3)－r
解析 (1)杆ab进入磁场前做匀加速运动，有
F－Ff＝ma
v2＝2ad
解得导轨对杆的阻力Ff＝F－
(2)杆ab进入磁场后做匀速运动，有
F＝Ff＋F安
杆ab所受的安培力F安＝IBl
解得杆ab中通过的电流I＝
由右手定则判断杆中的电流方向自a流向b
(3)杆运动过程中产生的感应电动势E＝Blv
杆中的感应电流I＝
解得导轨左端所接电阻阻值R＝－r
【例13】 如图4所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L，导轨间接有一定值电阻R，质量为m，电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中 ( )
A．导体棒的最大速度为
B．通过电阻R的电荷量为
C．导体棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D．重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量
答案 BD
解析 金属棒由静止释放后，当a＝0时，速度最大，即mg－BL＝0，解得vm＝
，A项错误．此过程通过R的电荷量q＝Δt＝·Δt＝，B项正确．导体棒克服安培力做的功等于整个电路产生的热量，C项错误．由动能定理知对导体棒有ΔEk＝W重＋W安，D项正确．
【例14】如图5所示，电阻可忽略的光滑平行金属导轨长s＝1.15 m，两导轨
间距L＝0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R＝1.5 Ω的电阻，磁感应强度
B＝0.8 T的匀强磁场垂直轨道平面向上．阻值r＝0.5 Ω、质量m＝0.2 kg的金属棒与轨
道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的
焦耳热Qr＝0.1 J．(取g＝10 m/s2)求：
图5
(1)金属棒在此过程中克服安培力做的功W安；
(2)金属棒下滑速度v＝2 m/s时的加速度a；
(3)为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理，WG－W安＝mv，….由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答．
答案 (1)0.4 J (2)3.2 m/s2 (3)见解析
解析 (1)下滑过程中安培力做的功即为电阻上产生的焦耳热，由于R＝3r，因此
QR＝3Qr＝0.3 J
所以W安＝Q＝QR＋Qr＝0.4 J
(2)金属棒下滑时受重力和安培力
F安＝BIL＝v
由牛顿第二定律得mgsin 30°－v＝ma
所以a＝gsin 30°－v
＝[10×－] m/s2＝3.2 m/s2
(3)此解法正确．
金属棒下滑时受重力和安培力作用，其运动满足
mgsin 30°－v＝ma
上式表明，加速度随速度增大而减小，棒做加速度减小的加速运动．无论最终是否达到
匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大．由动能定理可以得到棒的最大速度，因此
上述解法正确．
mgssin 30°－Q＝mv
所以vm＝
＝ m/s≈2.74 m/s.
【例15】 如图6所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方
向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，
磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，
质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电
阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右
做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．
图6
(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；
(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化
的图象；
(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.
答案 (1) (2) (3)见解析图
(4)或0
解析 (1)棒产生的感应电动势E＝BLv0
通过棒的感应电流I＝
电阻R产生的焦耳热Q＝()2R·＝
(2)拉力对棒ab所做的功W＝··n＝
(3)I－t图象如图所示
(4)若n为奇数，通过电阻R的净电荷量q＝＝
若n为偶数，通过电阻R的净电荷量q＝＝0
注：(2)问中功W也可用功的定义式求解；(4)问中的电荷量也可用(3)问中的图象面积
求出．
(
课后作业
)
竖直平面内有一形状为抛物线的光滑曲面轨道，如图所示，抛物线方程是y＝x2，轨道下半部分处在一个水平向外的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线(图中虚线所示)，一个小金属环从抛物线上y＝b(b>a)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是（ ）
A．mgb B.mv2
C．mg(b－a) D．mg(b－a)＋mv2
【解析】小金属环进入或离开磁场时，磁通量会发生变化，并产生 感应电流，产生焦耳热；当小金属环全部进入磁场后，不产生感应电流，小金属环最终在磁场中做往复运动，由能量守恒可得产生的焦耳热等于减少的机械能，即Q＝mv2＋mgb－mga＝mg(b－a)＋mv2.
【答案】D
如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料，不同粗细的导线绕制（Ⅰ为细导线）．两线圈在距磁场上界面高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为、，在磁场中运动时产生的热量分别为、．不计空气阻力，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
如图所示，空间存在一有边界的条形匀强磁场区域，磁场方向与竖直平面（纸面）垂直，磁场边界的间距为L。一个质量为m、边长也为L的正方形导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直，且线框上、下边始终与磁场的边界平行。t＝0时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合（图中位置I），导线框的速度为v0。经历一段时间后，当导线框的下边恰好与磁场的上边界重合时（图中位置II），导线框的速度刚好为零。此后，导线框下落，经过一段时间回到初始位置I。则（ ）
A．上升过程中，导线框的加速度逐渐增大
(
II
I
B
L
v
0
L
) B．下降过程中，导线框的加速度逐渐增大
C．上升过程中合力做的功与下降过程中的相等
D．上升过程中克服安培力做的功比下降过程中的多
【答案】D
质量为m边长为L的正方形线圈，线圈ab边距离磁场边界为s，线圈从静止开始在水平恒力F的作用下，穿过如图所示的有界匀强磁场，磁场宽度为d(dA．线圈进入磁场和离开磁场的过程通过线圈的电荷量不相等
B．穿越磁场的过程中线圈的最小速度为
C．穿越磁场的过程中线圈的最大速度为
D．穿越磁场的过程中线圈消耗的电能为F(d＋L)
【解析】根据q＝，可知线圈进入磁场和离开磁场的过程中通过线圈的电荷量相等.
线圈ab边到达磁场边界前做匀加速直线运动，加速度a＝，达到磁场边界时有v2＝2s，ab边刚进入磁场的速度与ab边刚离开磁场时的速度相等，根据动能定理，有Fd－W安＝0，得线圈进入磁场时做功为W安＝Fd且可知线圈的速度是先增大后减小，当线圈全部进入磁场中后速度又增大.所以，当线圈刚全部进入磁场中时速度达到最小值，根据动能定理有FL－W安＝mv2－mv
解得vx＝
当a＝0时，线圈速度最大，有F＝F安＝
即vm＝
由于ab边刚进入磁场的速度与ab边刚离开磁场时的速度相等，那么线圈进入磁场和离开磁场时安培力做功相等，即消耗的电能也相等，故穿越磁场的过程中线圈中消耗的电能为E电＝2W安＝2Fd.故正确选项为B、C.
【答案】BC
如图，光滑斜面的倾角为，斜面上放置一矩形导体线框，边的边长为，边的边长为，线框的质量为，电阻为，线框通过细棉线绕过光滑的滑轮与重物相连，重物质量为，斜面上线（平行底边）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的边始终平行底边，则下列说法正确的是（ ）
(
B
) A．线框进入磁场前运动的加速度为
B．线框进入磁场时匀速运动的速度为
C．线框做匀速运动的总时间为
D．该匀速运动过程产生的焦耳热为
【答案】D
如图所示，水平面内两根光滑的平行金属导轨，左端与电阻R相连接，匀强磁场B竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直于导轨并与导轨接触良好。若对金属棒施加一个水平向右的外力F，使金属棒从a位置由静止开始向右做匀加速运动并依次通过位置b和c。若导轨与金属棒的电阻不计，a到b与b到c的距离相等，则下列关于金属棒在运动过程中的说法正确的是（ ）
(
R
F
a
b
c
B
)
A．金属棒通过b、c两位置时，电阻R的电功率之比为1:2
B．金属棒通过b、c两位置时，外力F的大小之比为1:
C．在从a到b与从b到c的两个过程中，电阻R上产生的热量之比为1:1
D．在从a到b与从b到c的两个过程中，通过金属棒的横截面的电量之比为1:2
【答案】A
如图所示的电路中，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，电阻可略去不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用，金属棒沿导轨匀速下滑，则它在下滑h高度的过程中，以下说 法正确的是（ ）
A．作用在金属棒上各力的合力做功为零
B．重力做功将机械能转化为电能
C．重力与恒力F做功的代数和等于电阻R上产生的焦耳热
D．金属棒克服安培力做功等于重力与恒力F做的总功与电阻R上产生的焦耳热之和
【解析】由于金属棒匀速下滑，故作用在棒上的各个力的合力做功为零，故A对；克服安培力做功将机械能转化为电能，故B错误；列出动能定理方程WG－WF－W安＝0，变形可得WG－WF＝W安，可知C正确，D错误．
【答案】AC
如图所示，一质量为m的金属杆ab，以一定的初速度v0从一光滑平行金属轨道的底端向上滑行，轨道平面与水平面成θ角，两导轨上端用一电阻相连，磁场方向垂直轨道平面向上，轨道与金属杆ab的电阻不计并接触良好。金属杆向上滑行到某一高度h后又返回到底端，在此过程中（ ）
A．整个过程中合外力的冲量大小为2mv0
B．下滑过程中合外力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．下滑过程中电阻R上产生的焦耳热小于
D．整个过程中重力的冲量大小为零
【答案】C
如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与两相同的固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒ab，质量为m，导体棒的电阻R =2R1 ，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，固定电阻R1消耗的热功率为P, 此时 （ ）
A．整个装置因摩擦而产生的热功率为μmgcosθ v
B．整个装置消耗的机械功率为 μmgcosθ v
C．导体棒受到的安培力的大小为
D．导体棒受到的安培力的大小为
【答案】AD
位于竖直平面内的矩形平面导线框abdc，ab长L1＝1.0 m，bd长L2＝0.5 m，线框的质量m＝0.2 kg，电阻R＝2 Ω.其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP′和QQ′均与ab平行．两边界间距离为H，H>L2，磁场的磁感应强度B＝1.0 T，方向与线框平面垂直。如图27所示，令线框的dc边从离磁场区域上边界PP′的距离为h＝0.7 m处自由下落．已知线框的dc边进入磁场以后，ab边到达边界PP′之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值．问从线框开始下落，到dc边刚刚到达磁场区域下边界QQ′的过程中，磁场作用于线框的安培力所做的总功为多少？（g取10 m/s2）
【详解】本题中重力势能转化为电能和动能，而安培力做的总功使重力势能一部分转化为电能，电能的多少等于安培力做的功．
依题意，线框的ab边到达磁场边界PP′之前的某一时刻线框的速度达到这一阶段速度最大值，以v0表示这一最大速度，则有：E＝BL1v0
线框中电流 I＝＝
作用于线框上的安培力 F＝BL1I＝
速度达到最大值条件是 F＝mg
所以v0＝＝4 m/s.
dc边继续向下运动过程中，直至线框的ab边达到磁场的上边界PP′，线框保持速度v0不变，故从线框自由下落至ab边进入磁场过程中，由动能定理得：mg(h＋L2)＋W安＝mv
W安＝mv－mg(h＋L2)＝－0.8 J
ab边进入磁场后，直到dc边到达磁场区下边界QQ′过程中，作用于整个线框的安培力为零，安培力做功也为零，线框只在重力作用下做加速运动，故线框从开始下落到dc边刚到达磁场区域下边界QQ′过程中，安培力做的总功即为线框自由下落至ab边进入磁场过程中安培力所做的功
W安＝－0.8 J，负号表示安培力做负功．
【答案】－0.8 J
如图一所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为m，电阻为R。在金属线框的下方有一匀强磁场区域， MN和M ′N ′是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的bc边平行，磁场方向与线框平面垂直。现金属线框由距MN的某一高度从静止开始下落，图二是金属线框由开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的速度－时间图象，图像中坐标轴上所标出的字母均为已知量。求：
（1）金属框的边长；
（2）磁场的磁感应强度；
（3）金属线框在整个下落过程中所产生的热量。
【解析】（1）边长：
（2）由，得：
（3），
得：
【答案】（1）；（2）；（3）
如图所示，在高度差为h的平行虚线区域内有磁感应强度为B，方向水平向里的匀强磁场.正方形线框abcd的质量为m，边长为L(L>h)，电阻为R，线框平面与竖直平面平行，静止于位置“Ⅰ”时，cd边与磁场下边缘有一段距离H.现用一竖直向上的恒力F提线框，线框由位置“Ⅰ”无初速度向上运动，穿过磁场区域最后到达位置“Ⅱ”(ab边恰好出磁场)，线框平面在运动中保持在竖直平面内，且ab边保持水平.当cd边刚进入磁场时，线框恰好开始匀速运动.空气阻力不计，g＝10 m/s2.求：
（1）线框进入磁场前距磁场下边界的距离H；
（2）线框由位置“Ⅰ”到位置“Ⅱ”的过程中，恒力F做的功为多少？线框产生的热量为多少？
【解析】(1)线框进入磁场做匀速运动，设速度为v1，有：E＝BLv1，I＝，F安＝BIL
根据线框在磁场中的受力，有F＝mg＋F安
在恒力作用下，线框从位置“Ⅰ”由静止开始向上做匀加速直线运动.有F－mg＝ma，且H＝
由以上各式解得：
（2）线框由位置“Ⅰ”到位置“Ⅱ”的过程中，恒力F做的功为：
只有线框在穿越磁场的过程中才会产生热量，因此从cd边进入磁场到ab边离开磁场的过程中有F(L＋h)＝mg(L＋h)＋Q，所以：
【答案】（1）；（2）；
B如图甲所示，一边长L=2.5m、质量m=0.5kg的正方形金属线框，放在光滑绝缘的水平面上，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B=0.8T的匀强磁场中，它的一边与磁场的边界MN重合。在水平力F作用下由静止开始向左运动，经过5s线框被拉出磁场。测得金属线框中的电流随时间变化的图像如乙图所示，在金属线框被拉出的过程中。
（1）求通过线框导线截面的电量及线框的电阻；
（2）写出水平力F随时间变化的表达式；
（3）已知在这5s内力F做功1.92J，那么在此过程中，线框产生的焦耳热是多少？
【解析】（1） ，＝＝
得R = 4Ω
（2）由电流图像可知，感应电流随时间变化的规律：I＝0.1t
由感应电流，可得金属框的速度随时间也是线性变化的，
线框做匀加速直线运动，加速度a = 0.2m/s2 （1分）
线框在外力F和安培力FA作用下做匀加速直线运动，（1分）
得力F＝（0.2 t＋0.1）N （2分）
（3）t＝5s时，线框从磁场中拉出时的速度v5 = at =1m/s （2分）
线框中产生的焦耳热J (2分)
【答案】（1）；（2）；（3）1.67J
如图所示，水平放置的平行金属轨道，宽为，轨道间接有的电阻，金属棒横搭在轨道上，图中除外，其他电阻不计，已知棒的质量，与轨道间的动摩擦因数为，垂直于轨道的匀强磁场．若突然获得了的初速度而向右运动，最终停于图中虚线位置．此过程历时（取）求：
（1）该过程中通过的电荷量为多少？
（2）上产生的电热为多少？
【解析】（1）由动量定理知：
联立解得：
（2）
联立解得：
由能量守恒知：
因为
所以．
【答案】（1） （2）
如图甲所示，空间存在，方向竖直向下的匀强磁场，是相互平行的粗糙的长直导轨，处于同一水平面内，其间距，是连在导轨一端的电阻，，是垂直跨接在导轨上质量的导体棒，它与导轨间的动摩擦因数．从时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个牵引力，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中导体棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是导体棒的速度—时间图象（其中是直线，是曲线，是曲线的渐近线），小型电动机在末达到额定功率，此后功率保持不变．除以外，其余部分的电阻均不计，取．求：
（1）导体棒在内的加速度大小；
（2）电动机的额定功率；
（3）若已知内电阻上产生的热量为，则此过程中牵引力做的功．
【解析】（1）由图中可得：末的速度为
导体棒在内的加速度大小为
（2）当导体棒达到收尾速度后，有
棒受力平衡，有
此时
代入后得
故
（3）在内是变力，据动能定理
又
设内金属棒移动的距离为，则：
联立解得
【答案】（1）（2）（3）
如图所示，MN、PQ是相互交叉成60°角的光滑金属导轨，O是它们的交点且接触良好．两导轨处在同一水平面内，并置于有理想边界的匀强磁场中(图中经过O点的虚线即为磁场的左边界)．导体棒ab与导轨始终保持良好接触，并在弹簧S的作用下沿导轨以速度v0向左匀速运动．已知在导体棒运动的过程中，弹簧始终处于弹性限度内．磁感应强度的大小为B，方向如图所示．当导体棒运动到O点时，弹簧恰好处于原长，导轨和导体棒单位长度的电阻均为r，导体棒ab的质量为m.求：
（1）导体棒ab第一次经过O点前，通过它的电流大小；
（2）弹簧的劲度系数k；
（3）从导体棒第一次经过O点开始直到它静止的过程中，导体棒ab中产生的热量．
【解析】(1)设棒ab在导轨之间的长度为l，由欧姆定律得I＝＝.
(2)设O点到棒ab距离为x，则棒ab的有效长度l′＝2xtan30°＝x，因为棒ab做匀速运动，所以kx＝BIl′，所以k＝＝＝.
(3)导体棒最终只能静止于O点，故其动能全部转化为焦耳热，即Q＝mv，则Qab＝＝
【答案】（1） ；（2） ；（3）
如图所示，间距为L、电阻为零的U形金属竖直轨道，固定放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．竖直轨道上部套有一金属条bc，bc的电阻为R，质量为2m，可以在轨道上无摩擦滑动，开始时被卡环卡在竖直轨道上处于静止状态．在bc的正上方高H处，自由落下一质量为m的绝缘物体，物体落到金属条上之前的瞬问，卡环立即释放，两者一起继续下落．设金属条与导轨的摩擦和接触电阻均忽略不计，竖直轨道足够长．求：
（1）金属条开始下落时的加速度；
（2）金属条在加速过程中，速度达到时，bc对物体m的支持力；
（3）金属条下落h时，恰好开始做匀速运动，求在这一过程中感应电流产生的热量．
【解析】（1）物块m自由下落与金属条碰撞的速度为，设物体m落到金属条2m上，金属条立即与物体有相同的速度v开始下落，由m和2m组成的系统相碰过程动量守恒，，则．
金属条以速度v向下滑动，切割磁感线，产生感应电动势，在闭合电路中有感应电流
，则金属条所受安培力为
对于金属条和物体组成的整体，由牛顿第二定律可得，
则金属条开始运动时的加速度为
（2）当金属条和物体的速度达到时，加速度设为，同理可得，．
对物体m来说，它受重力mg和支持力N，则有
，所以
（3）金属条和物体一起下滑过程中受安培力和重力，随速度变化，安培力也变化，做变加速度
运动，最终所受重力和安培力相等，加速度也为零，物体将以速度做匀速运动，则有：，所以金属条的最终速度为．
下落h的过程中，设安培力做功为，由动能定理，，所以感应电流产生的热量．
【答案】（1）（2）（3）
电磁流量计如图所示,用非磁性材料做成的圆管道,外加一匀强磁场.当管道中导电液体流过此区域时,测出管壁上一直径两端a、b两点间的电动势为E,就可知道管中液体的流量Q,即单位时间内流过管道横截面的液体体积(m3／s).已知管道直径为D,磁场的磁感应强度为B,试推导Q的表达式。
【答案】
单位时间内流过管道横截面的液体体积叫做液体的体积流量（以下简称流量）. 有一种利用电磁原理测量非磁性导电液体（如自来水、啤酒等）流量的装置，称为电磁流量计. 它主要由将流量转换为电压信号的传感器和显示仪表两部分组成.
传感器的结构如图所示，圆筒形测量管内壁绝缘，其上装有一对电极和,间的距离等于测
量管内径，测量管的轴线与的连线方向以及通电线圈产生的磁场方向三者相互垂直. 当导
电液体流过测量管时，在电极间出现感应电动势，并通过与电极连接的仪表显示出液体流
量. 设磁场均匀恒定，磁感应强度为.
（1）已知. 设液体在测量管内各处流速相同，试求的大小（取）；
（2）一新建供水站安装了电磁流量计，在向外供水时流量本应显示为正值，但实际显示却为负值. 经检查，原因是误将测量管接反了，即液体由测量管出水口流入，从入水口流出. 因水已加压充满管道，不便再将测量管拆下重装，请你提出使显示仪表的流量指示变为正值的简便方法；
（3）显示仪表相当于传感器的负载电阻，其阻值记为. 间导电液体的电阻随液体电阻率的变化而变化，从而会影响显示仪表的示数. 试以、、为参量，给出电极间输出电压的表达式，并说明怎样可以降低液体电阻率变化对显示仪表示数的影响.
【解析】（1）导电液体通过测量管时，相当于导线做切割磁感线运动. 在电极间切割磁感线的液柱长度为，设液体的流速为，则产生的感应电动势为①
由流量的定义有，有②
①、②式联立解得
代入数据得
（2）能使仪表显示的流量变为正值的方法简便、合理即可. 如：
改变通电线圈中电流的方向，使磁场反向；或将传感器输出端对调接入显示仪表.
（3）传感器和显示仪表构成闭合电路，由闭合电路欧姆定律：
③
输入显示仪表的是间的电压，流量示数和一一对应. 与液体电阻率无关，而随电阻率的变化而变化，由③式可看出，变化相应地也随之变化. 在实际流量不变的情况下，仪表显示的流量示数会随间的电压的变化而变化. 增大，使，则，这样就可以降低液体电阻率变化对显示仪表测量示数的影响.
【答案】（1）（2）能使仪表显示的流量变为正值的方法简便、合理即可. 如：改变通电线圈中电流的方向，使磁场反向；或将传感器输出端对调接入显示仪表. （3）如解析
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