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电磁感应中的能量和力学问题
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课堂探究
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电磁感应中的动力学问题分析
1． 安培力的大小
由感应电动势E＝Blv，感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝.
2． 安培力的方向判断
3． 导体两种状态及处理方法
(1)导体的平衡态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件(合外力等于零)列式分析．
(2)导体的非平衡态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
例1 (2012·广东理综·35)如图1所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光
滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直
于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和Rx分别
表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．
图1
(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导
体棒的速率v.
(2)改变Rx，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.
解析 (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示．
导体棒所受安培力F安＝BIl ①
导体棒匀速下滑，所以F安＝Mgsin θ ②
联立①②式，解得I＝ ③
导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Blv ④
由闭合电路欧姆定律得I＝，且Rx＝R，所以I＝ ⑤
联立③④⑤式，解得v＝
(2)由题意知，其等效电路图如图所示．
由图知，平行金属板两板间的电压等于Rx两端的电压．
设两金属板间的电压为U，因为导体棒匀速下滑时的电流仍
为I，所以由欧姆定律知
U＝IRx ⑥
要使带电的微粒匀速通过，则mg＝q ⑦
联立③⑥⑦式，解得Rx＝.
答案 (1) (2)
【规律总结】
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是 “先电后力”，即：先做“源”的分析
——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；
再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便求解安培力；然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；最后进行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型．
电磁感应中的能量问题分析
1． 过程分析
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．安培力做功的过程，或通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．
2． 求解思路
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则：①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能．
例2 如图3所示，倾角为θ＝30°、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L1＝0.4 m，B1＝5 T的匀强磁场垂直导轨平面向上．一质量m＝1.6 kg的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，其电阻r＝1 Ω.金属导轨上端连接右侧电路，R1＝1 Ω，R2＝1.5 Ω.R2两端通过细导线连接质量M＝0.6 kg的正方形金属框cdef，正方形边长L2＝0.2 m，每条边电阻r0为1 Ω，金属框处在一方向垂直纸面向里、B2＝3 T的匀强磁场中．现将金属棒由静止释放，不计其他电阻及滑轮摩擦，g取10 m/s2.
(1)若将电键S断开，求棒下滑过程中的最大速度．
(2)若电键S闭合，每根细导线能承受的最大拉力为3.6 N，求细导线刚好被拉断时棒的速度．
(3)若电键S闭合后，从棒释放到细导线被拉断的过程中，棒上产生的电热为2 J，求此过程中棒下滑的高度(结果保留一位有效数字)．
图3
解析 (1)棒下滑过程中，沿导轨的合力为0时，速度最大，mgsin θ－F安＝0
F安＝B1IL1
I＝
E＝B1L1vmax
代入数据解得：
vmax＝7 m/s
(2)闭合S后，设细导线刚断开时，通过金属框ef边电流为I′，则通过cd边的电流
为3I′
则：2FT－Mg－B2I′L2－3B2I′L2＝0
解得I′＝0.5 A
通过R2的电流
I2＝
I2＝1 A
电路总电流I1＝I2＋4I′＝3 A
金属框接入电路总电阻R框＝ Ω
R2与R框并联电阻为R′，
R′＝＝ Ω
设此时棒的速度为v1，
则有I1＝
解得v1＝3.75 m/s
(3)当棒下滑高度为h时，棒上产生的热量为Qab，R1上产生的热量为Q1，R2与R框上产生的总热量为Q′，根据能量转化与守恒定律有
mgh＝mv＋Qab＋Q1＋Q′
Qab＝2 J
Q1＝Qab＝2 J
Q′＝＝1 J
解得h≈1 m
答案 (1)7 m/s (2)3.75 m/s (3)1 m
【规律总结】
电磁感应中能量转化问题的分析技巧
1． 电磁感应过程往往涉及多种能量的转化
(1)如图4中金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，
一部分用来克服安培力做功，转化为感应电流的电能，最终
在R上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能．
(2)若导轨足够长，棒最终达到稳定状态做匀速运动，之后重
力势能的减小则完全用来克服安培力做功，转化为感应电流
的电能． 图4
2． 安培力做功和电能变化的特定对应关系
(1)“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(2)安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．
3． 解决此类问题的步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(包括右手定则)确定感应电动势的大小和
方向．
(2)画出等效电路图，写出回路中电阻消耗的电功率的表达式．
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程，联立求解．
【观察与思考】
常见模型
类型 “电—动—电”型 “动—电—动”型
示意图
已知量 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计
过程分析 S闭合，棒ab受安培力F＝，此时加速度a＝，棒ab速度v↑→感应电动势E′＝BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速运动 棒ab释放后下滑，此时加速度a＝gsin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动
能 量 转 化 通过安培力做功，把电能转化为动能 克服安培力做功，把重力势能转化为内能
运动 形式 变加速运动 变加速运动
最终 状态 匀速运动，vm＝ 匀速运动 vm＝
【讨论与交流】
解析 (1)设甲在磁场区域abcd内运动时间为t1，乙从开始运动到ab位置的时间为t2，
则由运动学公式得
L＝·2gsin θ·t，L＝gsin θ·t
解得t1＝ ，t2＝ (1分)
因为t1设乙进入磁场时的速度为v1，乙中产生的感应电动势为E1，回路中的电流为I1，则
mv＝mgLsin θ (1分)
E1＝Bdv1 (1分)
I1＝E1/2R (1分)
mgsin θ＝BI1d (1分)
解得R＝ (1分)
(2)从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中产生的感应电动势为E，
回路中的电流为I，外力为F，则
v＝at (1分)
E＝Bdv (1分)
I＝E/2R (1分)
F＋mgsin θ－BId＝ma (1分)
a＝2gsin θ
联立以上各式解得
F＝mgsin θ＋mgsin θ ·t(0≤t≤ ) (1分)
方向垂直于杆平行于导轨向下． (1分)
(3)甲在磁场运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v0，甲、乙产生的热
量相同，均设为Q1，则
v＝2aL (1分)
W＋mgLsin θ＝2Q1＋mv (2分)
解得W＝2Q1＋mgLsin θ
乙在磁场运动过程中，甲、乙产生相同的热量，均设为Q2，则2Q2＝mgLsin θ
(2分)
根据题意有Q＝Q1＋Q2 (1分)
解得W＝2Q (1分)
答案 (1)
(2)F＝mgsin θ＋mgsin θ ·t(0≤t≤ )，方向垂直于杆平行于导轨向下
(3)2Q
(
基础演练
)
1．如图所示，在一匀强磁场中有一“”形导体框bacd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可以在ab、cd上无摩擦地滑动，杆ef及线框中导体的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则( A )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将做往复运动
2.(2011·福建·17)如图所示，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中( B )
A．运动的平均速度大小为v
B．下滑的位移大小为
C．产生的焦耳热为qBLv
D．受到的最大安培力大小为sin θ
3．如图10所示，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长．空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则( )
A．如果B增大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大
3．BC [金属杆在下滑过程中先做加速度减小的加速运动，速度达到最大后做匀速运动，所以当F安＝mgsin α时速度最大，F安＝BIl＝，所以vm＝，分析各选项知B、C正确．]
4．两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图11所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则( )
A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B．金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
C．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝
D．电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
4．AC [释放瞬间，金属棒只受重力作用，所以其加速度等于重力加速度．金属棒向下切割磁感线，产生的电流由b→a流经R，当速度为v时，感应电流I＝，则安培力F＝BIL＝.从能量守恒方面看，重力势能的减少量等于弹性势能的增加量与电阻R上产生的总热量之和．]
5．如图所示，固定放置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．一质量为m(质量分布均匀)的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离l时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)．设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g.则此过程( )
A．杆的速度最大值为
B．流过电阻R的电量为
C．恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量
D．恒力F做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量
5．BD [当v最大时导体杆水平方向受力平衡，有F＝Ff＋F安，即F＝μmg＋，v＝，故A错；通过电阻R的电量q＝＝，故B对；由动能定理有WF＋Wf＋WF安＝ΔEk，因为Wf<0，故C错，D对．]
其中v为线圈刚进入磁场时的速度，可见加速度的大小与线框的粗细无关，两线圈运动规律完全相同，故两线圈到达地面的速度相等，线圈产生的热量为克服安培力做功的大小，两线圈做功位移相等，但FA＝，因两线圈电阻不同，线圈I电阻大，其安培力小，故其做功少，产生热量也少，故本题正确选项为D.]
6．如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料、不同粗细的导线绕制(Ⅰ为细导线)．两线圈在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为v1、v2，在磁场中运动时产生的热量分别为Q1、Q2.不计空气阻力，则( )
A．v1C．v1Q2 D．v1＝v2，Q16．D [设单匝闭合正方形线框边长为L，导线横截面积为S0，密度为ρ，电阻率为ρ′，则其刚进入磁场时的加速度
a＝＝g－＝g－
＝g－，
7．如图14所示是磁悬浮列车运行原理模型．两根平行直导轨间距为L，磁场磁感应强度B1＝B2，方向相反，并且以速度v同时沿直导轨向右匀速运动．导轨上金属框边长为L，电阻为R，运动时受到的阻力为Ff，则金属框运动的最大速度表达式为( )
图14
A．vm＝ B．vm＝
C．vm＝ D．vm＝
7．C [当金属棒受到的安培力和阻力平衡时速度最大，根据E＝BL(v－vm)，I＝，F安＝BIL,2F安＝Ff，解得vm＝， 故C正确．]
8.如图15所示，水平放置的平行轨道M、N间接一阻值为R＝0.128 Ω的电阻，轨道宽为L＝0.8 m．轨道上搭一金属棒ab，其质量m＝0.4 kg，ab与轨道间动摩擦因数为0.5，除R外其余电阻不计．垂直于轨道面的匀强磁场磁感应强度为B＝2 T，ab在一电动机牵引下由静止开始运动，经过2 s，ab运动了1.2 m并达到最大速度．此过程中电动机平均输出功率为8 W，最大输出功率为14.4 W．求该过程中电阻R上消耗的电能．(取g＝10 m/s2)
8．13.472 J
解析 当电动机提供的牵引力等于导体棒所受安培力与滑动摩擦力之和时，速度最大为vmax，由题知此时电动机输出功率最大．
故有F＝＝μmg＋
将已知数据代入得10v＋vmax－7.2＝0
解得vmax＝0.8 m/s(负值舍去)．全过程，由能的转化和守恒定律知t＝Q＋μmgx＋mv
代入已知数据得Q＝13.472 J.
9．光滑平行的金属导轨MN和PQ，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，其它电阻不计，质量m＝2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置，如图16甲所示．用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，由静止开始运动，v－t图象如图乙所示，g取10 m/s2，导轨足够长．求：
图16
(1)恒力F的大小；
(2)金属杆速度为2.0 m/s时的加速度大小；
(3)根据v－t图象估算在前0.8 s内电阻上产生的热量．
9．(1)18 N (2)2.0 m/s2 (3)4.12 J
解析 (1)对金属杆受力分析如右图所示．
由v—t图象可知导轨最后匀速运动且vmax＝4 m/s.
即F＝mgsin 30°＋F安①
F安＝BIL②
I＝③
由①②③解得：F＝＋mgsin 30°＝18 N.
(2)对金属杆由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－F安＝ma
a＝＝2.0 m/s2.
(3)由v—t图象知：0.8 s内位移即为0～0.8 s内图象所包围的小方格面积的和，小方格的个数为28个，故
x＝28×0.2×0.2＝1.12 m
设在前0.8 s内电阻上产生的热量为Q，则由功能关系得Fx＝Q＋mgxsin α＋mv2，由v—t图象知0.8 s时速度v＝2.2 m/s
解得：Q＝Fx－mgxsin α－mv2＝4.12 J.
10.如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
甲 乙
图7
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
答案 (1)0.1 T (2)0.67 C (3)0.26 J
解析 (1)金属棒在AB段匀速运动，由题中图象乙得：
v＝＝7 m/s
I＝，mg＝BIL
解得B＝0.1 T
(2)q＝Δt
＝
ΔΦ＝B
解得：q＝0.67 C
(3)Q＝mgx－mv2
解得Q＝0.455 J
从而QR＝Q＝0.26 J
11．如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒
最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g.下列选项正确的是 ( )
A．P＝2mgvsin θ
B．P＝3mgvsin θ
C．当导体棒速度达到时加速度大小为sin θ
D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
答案 AC
解析 根据I＝＝，导体棒由静止释放，速度达到v时，回路中的电流为I，则根据
共点力的平衡条件，有mgsin θ＝BIL.对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，使其以2v
的速度匀速运动时，则回路中的电流为2I，则根据平衡条件，有F＋mgsin θ＝B·2IL，所
以拉力F＝mgsin θ，拉力的功率P＝F×2v＝2mgvsin θ，故选项A正确，选项B错误；
当导体棒的速度达到时，回路中的电流为，根据牛顿第二定律，得mgsin θ－B L＝ma，解得a＝sin θ，选项C正确；当导体棒以2v的速度匀速运动时，根据能量守恒定律知，重力和拉力所做的功之和等于R上产生的焦耳热，故选项D错误．
12．某兴趣小组设计了一种发电装置，如图9所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为π，磁场均沿半径方向．匝数为N的矩形线圈abcd的边长ab＝cd＝l、bc＝ad＝2l.线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc边和ad边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r，外接电阻为R.求：
图9
(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；
(2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F；
(3)外接电阻上电流的有效值I.
答案 (1)2NBl2ω (2) (3)
解析 (1)bc、ad边的运动速度v＝ω
感应电动势Em＝4NBlv
解得Em＝2NBl2ω
(2)电流Im＝
安培力F＝2NBIml
解得F＝
(3)一个周期内，通电时间t＝T
R上消耗的电能W＝IRt且W＝I2RT
解得I＝.
13． 如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则 ( )
A．金属棒ab最终可能匀速下滑
B．金属棒ab一直加速下滑
C．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势
D．带电微粒不可能先向N板运动后向M板运动
答案 BC
解析 金属棒沿光滑导轨加速下滑，棒中有感应电动势而对金属板M、N充电，充电电
流通过金属棒时金属棒受安培力作用，只有金属棒速度增大时才有充电电流，因此总有
mgsin θ－BIL>0，金属棒将一直加速下滑，A错，B对；由右手定则可知，金属棒a端(即
M板)电势高，C对；若微粒带负电，则电场力向上，与重力反向，开始时电场力为0，
微粒向下加速，当电场力增大到大于重力时，微粒的加速度向上，可能向N板减速运动
到零后再向M板运动，D错．
14． 如图11所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a、b质量均为m＝0.1 kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0.5 T．已知从t＝0时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝0.75＋0.2t (N)．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
图11
(1)通过计算判断杆a的运动情况；
(2)从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；
(3)若t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为13.2 J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？
答案 (1)以4 m/s2的加速度做匀加速运动
(2)0.2 C (3)6 J
解析 (1)因为杆b静止，所以有
F2－B2IL＝mgtan 37°
而F2＝0.75＋0.2t(N)
解得I＝0.4t (A)
整个电路中的电动势由杆a运动产生，故
E＝I(Ra＋Rb)
E＝B1Lv
解得v＝4t
所以，杆a做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动．
(2)杆a在1 s内运动的距离d＝at2＝2 m
q＝Δt
＝
E＝＝
q＝＝＝0.2 C
即1 s内通过杆b的电荷量为0.2 C
(3)设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得
W1－Q＝mv
v1＝at＝8 m/s
解得Q＝10 J
从而Qb＝Q＝6 J
电磁感应中的动力学问题
15． 如图1(a)所示为磁悬浮列车模型，质量M＝1 kg的绝缘板底座静止在动摩擦因数μ1＝0.1的粗糙水平地面上．位于磁场中的正方形金属框ABCD为动力源，其质量m＝1 kg，边长为1 m，电阻为 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.4.OO ′为AD、BC的中线．在金属框内有可随金属框同步移动的磁场，OO′CD区域内磁场如图(b)所示，CD恰在磁场边缘以外；OO′BA区域内磁场如图(c)所示，AB恰在磁场边缘以内(g＝10 m/s2)．若绝缘板足够长且认为绝缘板与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则金属框从静止释放后 ( )
图1
A．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为3 m/s2
B．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为7 m/s2
C．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板仍静止
D．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板的加速度为2 m/s2
答案 AD
解析 若金属框固定在绝缘板上，由题意得E＝·SABCD＝1××1×1 V＝0.5 V，I＝＝8 A，FAB＝B2IL＝8 N，取绝缘板和金属框整体进行受力分析，由牛顿第二定律：FAB－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a，解得a＝3 m/s2，A对，B错；若金属框不固定，对金属框进行受力分析，假设其相对绝缘板滑动，Ff1＝μ2mg＝0.4×1×10 N＝4 N16．如图2所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：
(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？
(2)棒ab受到的力F多大？
(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？
答案 (1)1 A 方向由d至c (2)0.2 N (3)0.4 J
解析 (1)棒cd受到的安培力
Fcd＝IlB
棒cd在共点力作用下受力平衡，则
Fcd＝mgsin 30°
代入数据解得
I＝1 A
根据楞次定律可知，棒cd中的电流方向由d至c
(2)棒ab与棒cd受到的安培力大小相等
Fab＝Fcd
对棒ab，由受力平衡知
F＝mgsin 30°＋IlB
代入数据解得
F＝0.2 N
(3)设在时间t内棒cd产生Q＝0.1 J的热量，由焦耳定律知
Q＝I2Rt
设棒ab匀速运动的速度大小为v，其产生的感应电动势
E＝Blv
由闭合电路欧姆定律知
I＝
由运动学公式知在时间t内，棒ab沿导轨的位移
s＝vt
力F做的功
W＝Fs
综合上述各式，代入数据解得
W＝0.4 J
17． 如图3所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求：
(1)导轨对杆ab的阻力大小Ff.
(2)杆ab中通过的电流及其方向．
(3)导轨左端所接电阻的阻值R.
答案 (1)F－ (2)，方向由a流向b (3)－r
解析 (1)杆ab进入磁场前做匀加速运动，有
F－Ff＝ma
v2＝2ad
解得导轨对杆的阻力Ff＝F－
(2)杆ab进入磁场后做匀速运动，有
F＝Ff＋F安
杆ab所受的安培力F安＝IBl
解得杆ab中通过的电流I＝
由右手定则判断杆中的电流方向自a流向b
(3)杆运动过程中产生的感应电动势E＝Blv
杆中的感应电流I＝
解得导轨左端所接电阻阻值R＝－r
电磁感应中的能量问题
18． 如图4所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L，导轨间接有一
定值电阻R，质量为m，电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好
接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，
现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过
程中 ( ) 图4
A．导体棒的最大速度为
B．通过电阻R的电荷量为
C．导体棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D．重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量
答案 BD
解析 金属棒由静止释放后，当a＝0时，速度最大，即mg－BL＝0，解得vm＝
，A项错误．此过程通过R的电荷量q＝Δt＝·Δt＝，B项正确．导体棒克服安培力做的功等于整个电路产生的热量，C项错误．由动能定理知对导体棒有ΔEk＝W重＋W安，D项正确．
19．如图5所示，电阻可忽略的光滑平行金属导轨长s＝1.15 m，两导轨
间距L＝0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R＝1.5 Ω的电阻，磁感应强度
B＝0.8 T的匀强磁场垂直轨道平面向上．阻值r＝0.5 Ω、质量m＝0.2 kg的金属棒与轨
道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的
焦耳热Qr＝0.1 J．(取g＝10 m/s2)求：
图5
(1)金属棒在此过程中克服安培力做的功W安；
(2)金属棒下滑速度v＝2 m/s时的加速度a；
(3)为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理，WG－W安＝mv，….由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答．
答案 (1)0.4 J (2)3.2 m/s2 (3)见解析
解析 (1)下滑过程中安培力做的功即为电阻上产生的焦耳热，由于R＝3r，因此
QR＝3Qr＝0.3 J
所以W安＝Q＝QR＋Qr＝0.4 J
(2)金属棒下滑时受重力和安培力
F安＝BIL＝v
由牛顿第二定律得mgsin 30°－v＝ma
所以a＝gsin 30°－v
＝[10×－] m/s2＝3.2 m/s2
(3)此解法正确．
金属棒下滑时受重力和安培力作用，其运动满足
mgsin 30°－v＝ma
上式表明，加速度随速度增大而减小，棒做加速度减小的加速运动．无论最终是否达到
匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大．由动能定理可以得到棒的最大速度，因此
上述解法正确．
mgssin 30°－Q＝mv
所以vm＝
＝ m/s≈2.74 m/s.
20． 如图6所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方
向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，
磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，
质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电
阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右
做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．
图6
(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；
(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化
的图象；
(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.
答案 (1) (2) (3)见解析图
(4)或0
解析 (1)棒产生的感应电动势E＝BLv0
通过棒的感应电流I＝
电阻R产生的焦耳热Q＝()2R·＝
(2)拉力对棒ab所做的功W＝··n＝
(3)I－t图象如图所示
(4)若n为奇数，通过电阻R的净电荷量q＝＝
若n为偶数，通过电阻R的净电荷量q＝＝0
注：(2)问中功W也可用功的定义式求解；(4)问中的电荷量也可用(3)问中的图象面积
求出．
21．如图，一载流长直导线和一矩形导线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其长边与长直导线平行．已知在t＝0到t＝t1的时间间隔内，直导线中电流i发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿顺时针方向；线框受到的安培力的合力先水平向左、后水平向右．设电流i正方向与图中箭头所示方向相同，则i随时间t变化的图线可能是( )
解析： 因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左右两边的电流大小相等，方向相反，所以受到的安培力方向相反，导线框的左边受到的安培力大于导线框的右边受到的安培力，所以合力与左边导线框受力的方向相同．因为线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右，根据左手定则，导线框处的磁场方向先垂直纸面向里，后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正，后为负，所以选项A正确，选项B、D、D错误．
答案： A
22.如图所示，金属棒AB垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，棒与导轨接触良好，棒AB和导轨的电阻均忽略不计，导轨左端接有电阻R，垂直于导轨平面的匀强磁场向下穿过平面，现以水平向右的恒力F拉着棒AB向右移动，t秒末棒AB的速度为v，移动距离为x，且在t秒内速度大小一直在变化，则下列判断正确的是( )
A．t秒内AB棒所受安培力方向水平向左且逐渐增大
B．t秒内AB棒做加速度逐渐减小的加速运动
C．t秒内AB棒做匀加速直线运动
D．t秒末外力F做功的功率为
答案： AB
23.如图所示，在方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场区域中有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd，线框在水平拉力作用下以恒定的速度v沿垂直磁场方向向右运动，运动中线框dc边始终与磁场右边界平行，线框边长ad＝l，cd＝2l，线框导线的总电阻为R.则线框离开磁场的过程中( )
A．ab间的电压为
B．ad间的电压为
C．线框中的电流在ab边产生的热量为
D．线框中的电流在ad边产生的热量为
解析： 线框离开磁场的过程中，ab边切割磁感线产生感应电动势E＝2Blv，由闭合电路欧姆定律得，ab间的电压为Uab＝，ad间的电压为Uad＝，A正确，B错；根据焦耳定律可得，线框中的电流在ab边产生的热量为Qab＝，线框中的电流在ad边产生的热量为Qad＝，C错，D正确．
答案： AD
24.如图所示，在绝缘光滑水平面上，有一个边长为L的单匝正方形线框abcd，在外力的作用下以恒定的速率v向右运动进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域．线框进入磁场的过程中线框平面保持与磁场方向垂直，线框的ab边始终平行于磁场的边界，已知线框的四个边的电阻值相等，均为R.求：
(1)在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小．
(2)在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压．
(3)在线框进入磁场的整个过程中，线框中的电流产生的热量．
解析： (1)ab边切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv，
所以通过线框的电流为I＝.
(2)在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压为路端电压Uab＝E＝BLv.
(3)因线框是匀速进入的，所以线框中电流产生的热量
Q＝I2×4R×t＝.
答案： (1) (2)BLv
(3)
25．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
解析： (1)金属棒在AB段匀速运动，由题中图象得：
v＝＝7 m/s
I＝ mg＝BIL
解得B＝0.1 T.
(2)q＝Δt ＝
解得：q＝1 C.
(3)Q＝mgh－mv2
解得Q＝0.455 J QR＝Q＝0.26 J.
答案： (1)0.1 T (2)1 C (3)0.26 J
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(
电磁感应中的能量和力学问题
)
(
课堂探究
)
电磁感应中的动力学问题分析
1． 安培力的大小
由感应电动势E＝Blv，感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝.
2． 安培力的方向判断
3． 导体两种状态及处理方法
(1)导体的平衡态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件(合外力等于零)列式分析．
(2)导体的非平衡态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
例1 (2012·广东理综·35)如图1所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光
滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直
于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和Rx分别
表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．
图1
(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导
体棒的速率v.
(2)改变Rx，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.
【规律总结】
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是 “先电后力”，即：先做“源”的分析
——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；
再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便求解安培力；然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；最后进行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型．
电磁感应中的能量问题分析
1． 过程分析
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．安培力做功的过程，或通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．
2． 求解思路
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则：①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能．
例2 如图3所示，倾角为θ＝30°、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L1＝0.4 m，B1＝5 T的匀强磁场垂直导轨平面向上．一质量m＝1.6 kg的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，其电阻r＝1 Ω.金属导轨上端连接右侧电路，R1＝1 Ω，R2＝1.5 Ω.R2两端通过细导线连接质量M＝0.6 kg的正方形金属框cdef，正方形边长L2＝0.2 m，每条边电阻r0为1 Ω，金属框处在一方向垂直纸面向里、B2＝3 T的匀强磁场中．现将金属棒由静止释放，不计其他电阻及滑轮摩擦，g取10 m/s2.
(1)若将电键S断开，求棒下滑过程中的最大速度．
(2)若电键S闭合，每根细导线能承受的最大拉力为3.6 N，求细导线刚好被拉断时棒的速度．
(3)若电键S闭合后，从棒释放到细导线被拉断的过程中，棒上产生的电热为2 J，求此过程中棒下滑的高度(结果保留一位有效数字)．
图3
【规律总结】
电磁感应中能量转化问题的分析技巧
1． 电磁感应过程往往涉及多种能量的转化
(1)如图4中金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，
一部分用来克服安培力做功，转化为感应电流的电能，最终
在R上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能．
(2)若导轨足够长，棒最终达到稳定状态做匀速运动，之后重
力势能的减小则完全用来克服安培力做功，转化为感应电流
的电能． 图4
2． 安培力做功和电能变化的特定对应关系
(1)“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(2)安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．
3． 解决此类问题的步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(包括右手定则)确定感应电动势的大小和
方向．
(2)画出等效电路图，写出回路中电阻消耗的电功率的表达式．
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程，联立求解．
【观察与思考】
常见模型
类型 “电—动—电”型 “动—电—动”型
示意图
已知量 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计
过程分析 S闭合，棒ab受安培力F＝，此时加速度a＝，棒ab速度v↑→感应电动势E′＝BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速运动 棒ab释放后下滑，此时加速度a＝gsin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动
能 量 转 化 通过安培力做功，把电能转化为动能 克服安培力做功，把重力势能转化为内能
运动 形式 变加速运动 变加速运动
最终 状态 匀速运动，vm＝ 匀速运动 vm＝
【讨论与交流】
(
基础演练
)
1．如图所示，在一匀强磁场中有一“”形导体框bacd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可以在ab、cd上无摩擦地滑动，杆ef及线框中导体的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将做往复运动
2.如图所示，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中( )
A．运动的平均速度大小为v
B．下滑的位移大小为
C．产生的焦耳热为qBLv
D．受到的最大安培力大小为sin θ
3．如图10所示，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长．空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则( )
A．如果B增大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大
4．两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图11所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则( )
A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B．金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
C．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝
D．电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
5．如图所示，固定放置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．一质量为m(质量分布均匀)的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离l时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)．设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g.则此过程( )
A．杆的速度最大值为
B．流过电阻R的电量为
C．恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量
D．恒力F做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量
6．如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料、不同粗细的导线绕制(Ⅰ为细导线)．两线圈在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为v1、v2，在磁场中运动时产生的热量分别为Q1、Q2.不计空气阻力，则( )
A．v1C．v1Q2 D．v1＝v2，Q17．如图14所示是磁悬浮列车运行原理模型．两根平行直导轨间距为L，磁场磁感应强度B1＝B2，方向相反，并且以速度v同时沿直导轨向右匀速运动．导轨上金属框边长为L，电阻为R，运动时受到的阻力为Ff，则金属框运动的最大速度表达式为( )
图14
A．vm＝ B．vm＝
C．vm＝ D．vm＝
8.如图所示，水平放置的平行轨道M、N间接一阻值为R＝0.128 Ω的电阻，轨道宽为L＝0.8 m．轨道上搭一金属棒ab，其质量m＝0.4 kg，ab与轨道间动摩擦因数为0.5，除R外其余电阻不计．垂直于轨道面的匀强磁场磁感应强度为B＝2 T，ab在一电动机牵引下由静止开始运动，经过2 s，ab运动了1.2 m并达到最大速度．此过程中电动机平均输出功率为8 W，最大输出功率为14.4 W．求该过程中电阻R上消耗的电能．(取g＝10 m/s2)
9．光滑平行的金属导轨MN和PQ，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，其它电阻不计，质量m＝2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置，如图16甲所示．用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，由静止开始运动，v－t图象如图乙所示，g取10 m/s2，导轨足够长．求：
图16
(1)恒力F的大小；
(2)金属杆速度为2.0 m/s时的加速度大小；
(3)根据v－t图象估算在前0.8 s内电阻上产生的热量．
10.如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
甲 乙
图7
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
11．如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒
最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g.下列选项正确的是 ( )
A．P＝2mgvsin θ
B．P＝3mgvsin θ
C．当导体棒速度达到时加速度大小为sin θ
D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
12．某兴趣小组设计了一种发电装置，如图9所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为π，磁场均沿半径方向．匝数为N的矩形线圈abcd的边长ab＝cd＝l、bc＝ad＝2l.线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc边和ad边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r，外接电阻为R.求：
图9
(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；
(2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F；
(3)外接电阻上电流的有效值I.
13． 如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则 ( )
A．金属棒ab最终可能匀速下滑
B．金属棒ab一直加速下滑
C．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势
D．带电微粒不可能先向N板运动后向M板运动
答案 BC
14． 如图11所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a、b质量均为m＝0.1 kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0.5 T．已知从t＝0时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝0.75＋0.2t (N)．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
图11
(1)通过计算判断杆a的运动情况；
(2)从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；
(3)若t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为13.2 J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？
电磁感应中的动力学问题
15． 如图1(a)所示为磁悬浮列车模型，质量M＝1 kg的绝缘板底座静止在动摩擦因数μ1＝0.1的粗糙水平地面上．位于磁场中的正方形金属框ABCD为动力源，其质量m＝1 kg，边长为1 m，电阻为 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.4.OO ′为AD、BC的中线．在金属框内有可随金属框同步移动的磁场，OO′CD区域内磁场如图(b)所示，CD恰在磁场边缘以外；OO′BA区域内磁场如图(c)所示，AB恰在磁场边缘以内(g＝10 m/s2)．若绝缘板足够长且认为绝缘板与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则金属框从静止释放后 ( )
图1
A．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为3 m/s2
B．若金属框固定在绝缘板上，金属框的加速度为7 m/s2
C．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板仍静止
D．若金属框不固定，金属框的加速度为4 m/s2，绝缘板的加速度为2 m/s2
16． 如图2所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：
(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？
(2)棒ab受到的力F多大？
(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？
17． 如图3所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求：
(1)导轨对杆ab的阻力大小Ff.
(2)杆ab中通过的电流及其方向．
导轨左端所接电阻的阻值R.
电磁感应中的能量问题
18． 如图4所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L，导轨间接有一定值电阻R，质量为m，电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中 ( )
A．导体棒的最大速度为
B．通过电阻R的电荷量为
C．导体棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D．重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量
19． 如图5所示，电阻可忽略的光滑平行金属导轨长s＝1.15 m，两导轨
间距L＝0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R＝1.5 Ω的电阻，磁感应强度
B＝0.8 T的匀强磁场垂直轨道平面向上．阻值r＝0.5 Ω、质量m＝0.2 kg的金属棒与轨
道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的
焦耳热Qr＝0.1 J．(取g＝10 m/s2)求：
图5
(1)金属棒在此过程中克服安培力做的功W安；
(2)金属棒下滑速度v＝2 m/s时的加速度a；
(3)为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理，WG－W安＝mv，….由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答．
20． 如图6所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方
向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，
磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，
质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电
阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右
做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．
图6
(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；
(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化
的图象；
求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.
21．如图，一载流长直导线和一矩形导线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其长边与长直导线平行．已知在t＝0到t＝t1的时间间隔内，直导线中电流i发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿顺时针方向；线框受到的安培力的合力先水平向左、后水平向右．设电流i正方向与图中箭头所示方向相同，则i随时间t变化的图线可能是( )
22.如图所示，金属棒AB垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，棒与导轨接触良好，棒AB和导轨的电阻均忽略不计，导轨左端接有电阻R，垂直于导轨平面的匀强磁场向下穿过平面，现以水平向右的恒力F拉着棒AB向右移动，t秒末棒AB的速度为v，移动距离为x，且在t秒内速度大小一直在变化，则下列判断正确的是( )
A．t秒内AB棒所受安培力方向水平向左且逐渐增大
B．t秒内AB棒做加速度逐渐减小的加速运动
C．t秒内AB棒做匀加速直线运动
D．t秒末外力F做功的功率为
23.如图所示，在方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场区域中有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd，线框在水平拉力作用下以恒定的速度v沿垂直磁场方向向右运动，运动中线框dc边始终与磁场右边界平行，线框边长ad＝l，cd＝2l，线框导线的总电阻为R.则线框离开磁场的过程中( )
A．ab间的电压为
B．ad间的电压为
C．线框中的电流在ab边产生的热量为
D．线框中的电流在ad边产生的热量为
24.如图所示，在绝缘光滑水平面上，有一个边长为L的单匝正方形线框abcd，在外力的作用下以恒定的速率v向右运动进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域．线框进入磁场的过程中线框平面保持与磁场方向垂直，线框的ab边始终平行于磁场的边界，已知线框的四个边的电阻值相等，均为R.求：
(1)在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小．
(2)在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压．
(3)在线框进入磁场的整个过程中，线框中的电流产生的热量．
25．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
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