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电磁感应中的力学问题
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知识讲解
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知识点1
电磁感应中的动力学问题的分析
电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析，分析方法是：
导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，直至达到稳定状态．
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随堂练习
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如图，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d水平．在竖直面内有一矩形金属线圈，线圈上下边的距离很短，下边水平．线圈从水平面a开始下落．已知磁场上下边界之间的距离大于水平面a、b之间的距离．若线圈下边刚通过水平面b、c（位于磁场中）和d时，线圈所受到的磁场力的大小分别为、和，则（）
A．>> B．<<
C．>> D．<<
【答案】D
如图甲所示，MN左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场。现将一边长为l、质量为m、电阻为R的正方形金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场垂直，且bc边与磁场边界MN重合。当t=0时，对线框施加一水平拉力F，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当t=t0时，线框的ad边与磁场边界MN重合。图乙为拉力F随时间变化的图线。由以上条件可知，磁场的磁感应强度B的大小为（）
(
M
N
a
d
b
c
0
F
t
F
0
3
F
0
t
0
甲
乙
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
B
F
×
×
×
×
×
×
×
×
)
A． B． C． D．
【答案】B
如图所示金属框架竖直放置，框架宽，电阻．质量、电阻不计的金属棒水平地跟框架接触，并从静止开始向下运动，不计金属棒与框架间的摩擦，匀强磁场的磁感应强度，方向垂直框架所在的竖直平面向外．
（1）说明金属棒从静止开始下滑过程中的运动情况．
（2）求金属棒向下运动速度时，回路中感应电流的大小和方向，金属棒所受安培力的大小和方向．
（3）什么情况下，金属棒的速度达到最大值 最大速度是多少 （取）
【解析】（1）金属棒开始运动时，初速度为零，棒上无感应电流，不受安培力，只受重力作用，加速度为重力加速度．随着棒速度的增加，感应电流也随之增大，所受安培力也随之增大，且方向竖直向上，这时棒所受合力逐渐减小，棒做加速度逐渐减小的变加速直线运动．当时，棒的加速度为零，有最大速度，并以此速度向下做匀速运动．故棒的运动情况为：静止变加速直线运动匀速运动．
（2）当时，回路中感应电流，方向从．
导体棒所受安培力，方向竖直向上．
（3）当棒所受安培力与重力平衡时有最大速度
由，式中：，得：，
【答案】（1）静止变加速直线运动匀速运动；（2）；（3）
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知识讲解
)
知识点2
2．分析动力学问题的步骤
(1)用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．
(2)应用闭合电路欧姆定律求出电路中感应电流的大小．
(3)分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定．
(4)列出动力学方程或平衡方程求解．
常见力学模型的对比图解：
一根导体棒在轨道上滑动
类型 “电—动—电”模型 “动—电—动”模型
示意图 棒长为，质量，电阻；导轨光滑，电阻不计 棒长，质量，电阻；导轨光滑，电阻不计
分析 闭合，棒受安培力，此时，棒速度感应电动势电流安培力加速度，当安培力时，，最大 棒释放后下滑，此时，棒 速度感应电动势 电流安培力加速度，当安培力时，，最大
运动形式 变加速运动 变加速运动
最终状态 匀速运动 匀速运动
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随堂练习
)
如图所示，竖直放置的足够长的光滑平行金属导轨，间距为l＝0.50m，导轨上端接有电阻R＝0.80Ω，导轨电阻忽略不计。空间有一水平方向的有上边界的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.40T，方向垂直于金属导轨平面向外。质量为m=0.02kg、电阻r＝0.20Ω的金属杆MN，从静止开始沿着金属导轨下滑，下落一定高度后以v=2.5m/s的速度进入匀强磁场中，在磁场下落过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好。已知重力加速度为g=10m/s2，不计空气阻力，求在磁场中，
（1）金属杆刚进入磁场区域时加速度；
（2）若金属杆在磁场区域又下落h开始以v0匀速运动，求v0大小。
(
R
N
M
)
【答案】（1）a=5m/s2向下；（2）v0=5m/s
A如图所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导轨ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当ab导体自由下落0.4 s时，突然接通电键S，试说出S接通后，ab导体的运动情况.（g取10 m/s2）
【解析】闭合S之前导体自由下落的末速度为v0＝gt＝4 m/s.S闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流.ab立即受到一个竖直向上的安培力.
F安＝BILab＝＝0.016 N＞mg＝0.002 N
此刻导体棒所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为
a＝＝－g
所以，ab做竖直向下的加速度逐渐减小的变减速运动.当速度减小至F安＝mg时，ab做竖直向下的匀速运动.
【答案】见解析
如图所示，MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度的匀强磁场垂直．质量、电阻的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有阻值均为的电阻和．重力加速度取，且导轨足够长，若使金属杆ab从静止开始下滑，求：
（1）杆下滑的最大速率；
（2）稳定后整个电路耗电的总功率P；
（3）杆下滑速度稳定之后电阻两端的电压U．
【解析】（1）
（2）由能量转化和守恒定律有：
（3）
两端的电压
【答案】（1）（2）（3）
(
知识讲解
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知识点3
两根导体棒在导轨上滑动
初速不为零，不受其他水平外力作用
光滑平行轨道 光滑不等距轨道
示意图 质量，电阻，长度 质量，电阻，长度
规律
分析 杆做变减速运动，杆做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为零，以相等的速度匀速运动 稳定时，两杆的加速度为零，两杆的速 度之比为
(
随堂练习
)
均匀导线制成的单匝正方形闭合线框，每边长为，总电阻为，总质量为．将其置于磁感强度为的水平匀强磁场上方处，如图所示．线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且边始终与水平的磁场边界平行．当边刚进入磁场时，
（1）求线框中产生的感应电动势大小；
（2）求两点间的电势差大小；
（3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度所应满足的条件．
【解析】（1）边刚进入磁场时，线框速度
线框中产生的感应电动势
（2）此时线框中电流
两点间的电势差
（3）安培力
根据牛顿第二定律
由解得下落高度满足
【答案】（1）（2）（3）
如图所示，相距为d的两水平虚线p1、p2表示方向垂直纸面向里的匀强磁场的上下边界，磁场的磁感应强度为B。正方形线框abcd的边长为L(L(
a
b
c
d
L
p
1
p
2
B
h
d
)
A．线框克服安培力所做的功为mgd
B．线框克服安培力所做的功为mgL
C．线框的最小速度为
D．线框的最小速度为
【答案】
如图所示，有两根和水平方向成角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为．一根质量为的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度，则（ ）
A．如果增大，将变大 B．如果变大，将变大
C．如果变大，将变大 D．如果变小，将变大
【解析】金属杆下滑，切割磁感线产生感应电流受到磁场力，如图所示．金属杆加速下滑，随着速度增大，增大，加速度越来越小．最终以匀速运动，由平衡条件，，得可判断出BC正确．
【答案】BC
【例10】如图所示，MN、PQ为平行光滑导轨与地面成30°角固定，并处于与导轨所在平面垂直向上、足够宽的匀强磁场中，导轨间距恒定，N、Q间接一定值电阻R.现有一金属杆ab沿导轨匀速下滑，并与导轨接触良好，若其它电阻忽略不计，则（ ）
A．闭合电路不产生感应电流
B．金属杆ab产生的感应电动势保持不变
C．金属杆ab受到的安培力方向沿导轨向下
D．金属杆ab受到的安培力方向沿导轨向上
【答案】BD
【例11】 如图1所示，光滑平行金属导轨MN、PQ所在平面与水平面成角，M、P两端接有阻值为R的定值电阻。阻值为r的金属棒ab垂直导轨放置，其它部分电阻不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上。从t=0时刻开始棒受到一个平行于导轨向上的外力F，由静止开始沿导轨向上运动，运动中棒始终与导轨垂直，且接触良好，通过R的感应电流随时间t变化的图象如图2所示。下面分别给出了穿过回路口abPM的磁通量、磁通量的变化率、棒两端的电势差和通过棒的电荷量q随时间变化的图象，其中正确的是（）
【答案】B
【例12】如右图所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻R.一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求：
（1）导轨对杆ab的阻力大小Ff；
（2）杆ab中通过的电流及其方向；
（3）导轨左端所接电阻R的阻值．
【解析】（1）杆进入磁场前做匀加速运动，有：F－Ff＝ma；v2＝2ad
解得导轨对杆的阻力：Ff＝F－
（2）杆进入磁场后做匀速运动，有：F＝Ff＋FA
杆ab所受的安培力：FA＝IBl
解得杆ab中通过的电流：I＝；方向自a流向b.
（3）杆ab产生的感应电动势：E＝Blv
杆中的感应电流：I＝
解得导轨左端所接电阻阻值：R＝2－r.
【答案】 （1）F－； （2） ，方向 a→b ；（3）2－r
【例13】 如图甲所示，在水平面上固定有长为L=2m、宽为d=1m的金属“U”型轨导，在“U”型导轨右侧l=0.5m范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。在t=0时刻，质量为m=0.1kg的导体棒以v0=1m/s的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.1，导轨与导体棒单位长度的电阻均为，不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响（取）。
（1）通过计算分析4s内导体棒的运动情况；
（2）计算4s内回路中电流的大小，并判断电流方向；
（3）计算4s内回路产生的焦耳热。
【解析】（1）导体棒先在无磁场区域做匀减速运动，有：
；；
代入数据解得：，，导体棒没有进入磁场区域。
导体棒在末已经停止运动，以后一直保持静止，离左端位置仍为
（2）前磁通量不变，回路电动势和电流分别为，
后回路产生的电动势为
回路的总长度为，因此回路的总电阻为
电流为
根据楞次定律，在回路中的电流方向是顺时针方向
（3）前电流为零，后有恒定电流，焦耳热为
【答案】（1）导体棒在前做匀减速运动，在后以后一直保持静止。
（2），电流方向是顺时针方向。
（3）
【例14】如图所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒ab垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一个水平向右的力F拉棒ab，使它由静止开始运动，棒ab离开磁场前已做匀速直线运动，棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，F随ab与初始位置的距离x变化的情况如图，F0已知。求：
（1）棒ab离开磁场右边界时的速度
（2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能
（3）d0满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动
(
R
M
N
P
Q
a
b
c
d
e
f
d
0
d
B
F
O
x
F
O
x
F
0
2
F
0
d
0
d
0
+
d
)
【解析】（1）设离开右边界时棒ab速度为，则有：
；；对棒有：；
解得：
（2）在ab棒运动的整个过程中，根据动能定理：
由功能关系：
解得：
（3）设棒刚进入磁场时的速度为，则有：，
当，即时，进入磁场后一直匀速运动
【答案】见解
【例15】电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L=0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热。（取）求：
（1）金属棒在此过程中克服安培力的功；
（2）金属棒下滑速度时的加速度．
（3）为求金属棒下滑的最大速度，有同学解答如下：由动能定理，……。由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。
【解析】（1）下滑过程中安培力的功即为在电阻上产生的焦耳热，由于，因此：
∴
（2）金属棒下滑时受重力和安培力：
由牛顿第二定律（3分）
∴
（3）此解法正确。
金属棒下滑时舞重力和安培力作用，其运动满足：
上式表明，加速度随速度增加而减小，棒作加速度减小的加速运动。无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大。由动能定理可以得到棒的末速度，因此上述解法正确。
∴
【答案】见解析
【例16】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为的匀强磁场方向竖直向下．同种合金做的导体棒、横截面积之比为，长度和导轨的宽均为，的质量为，电阻为，开始时、都垂直于导轨静止，不计摩擦．给一个向右的瞬时冲量，在以后的运动中，的最大速度、最大加速度、产生的电热各是多少？
【解析】给冲量后，获得速度向右运动，回路中产生感应电流，受安培力作用而加速，受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动．所以开始时的加速度最大，最终的速度最大．全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能．
由于、横截面积之比为，所以电阻之比为，根据，所以上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的．
的初速度为，因此：，，，
解得．
最后的共同速度为，系统动能损失为，其中上产生电热．
【答案】，，
【例17】如图所示，通有稳恒电流的螺线管竖直放置，铜环R沿螺线管的轴线加速下落，在下落过程中，环面始终保持水平．铜环先后经过轴线上1、2、3位置时的加速度分别为、、．位置2处于螺线管的中心，位置1、3与位置2等距离．则（）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【例18】一个闭合回路由两部分组成，如图所示，右侧是电阻为r的圆形导线；置于竖直方向均匀变化的磁场B1中，左侧是光滑的倾角为θ的平行导轨，宽度为d，其电阻不计．磁感应强度为B2的匀强磁场垂直导轨平面向上，且只分布在左侧，一个质量为m、电阻为R的导体棒此时恰好能静止在导轨上，下述判断不正确的有（）
A．圆形线圈中的磁场，可以方向向上均匀增强，也可以方向向下均匀减弱
B．导体棒a、b受到的安培力大小为mgsinθ
C．回路中的感应电流为
D．圆形导线中的电热功率为
【答案】D
【例19】边长为的正方形金属导线框，在如图所示的初始位置由静止开始下落，通过一匀强磁场区域，磁场方向是水平的．且垂直于线框平面，磁场区域的宽度等于，上下边界如图中水平虚线所示，．从线框开始下落到完全穿过磁场区域的整个过程中（）
A．线框中总是有感应电流存在
B．线框受到的磁场力的合力的方向有时向上，有时向下
C．线框运动的方向始终是向下的
D．线框速度的大小不一定总是在增加
【解析】线框在入、出磁场时，重力与磁场力方向相反，线框的运动性质要依两力的大小而定，但线框全部进入磁场后，由于线框中磁通量不变化，尽管仍有感应电动势，但无感应电流，线框仅在重力作用下运动．
【答案】C、D
【例20】如图两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路其余电阻不计，有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设这两导体棒均可以沿导轨无摩擦的滑动，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两棒在运动中始终不接触，求
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
【解析】（1）当两棒共速时，系统不再生热，此过程中动量守恒：
，得：；
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，，，
此时，，
则：，
【答案】（1）；（2）
【例21】如图所示，宽度为L=0.20 m的足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，导轨的一端连接阻值为R=0.9Ω的电阻.在cd右侧空间存在垂直桌面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.50 T.一根质量为m=10 g，电阻r=0.1Ω的导体棒ab垂直放在导轨上并与导轨接触良好.现用一平行于导轨的轻质细线将导体棒ab与一钩码相连，将钩码从图示位置由静止释放.当导体棒ab到达cd时，钩码距地面的高度为h=0.3 m.已知导体棒ab进入磁场时恰做v=10 m／s的匀速直线运动，导轨电阻可忽略不计，取g=10 m/s2.求：
（1）导体棒ab在磁场中匀速运动时，闭合回路中产生的感应电流的大小.
（2）挂在细线上的钩码的质量.
（3）求导体棒ab在磁场中运动的整个过程中电阻R上产生的热量.
【解析】（1）感应电动势为E=BLv=1.0 V ，
感应电流：；
（2）导体棒匀速运动，安培力与拉力平衡，则有：BIL=Mg
所以：；
（3）导体棒移动0.3 m所用的时间为：
根据焦耳定律：Q1=I2(R+r)t=0.03 J
根据能量守恒：
电阻R上产生的热量
【答案】（1）1A；（2）0.01 kg；（3）0.477 J
【例22】如图所示，光滑平行的水平金属导轨、相距，在点和点间接一个阻值为的电阻，在两导轨间矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为的匀强磁场，磁感强度为．一质量为，电阻为的导体棒，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距．现用一大小为、水平向右的恒力拉棒，使它由静止开始运动，棒在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）．求：
（1）棒在离开磁场右边界时的速度；
（2）棒通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能；
（3）试分析讨论棒在磁场中可能的运动情况．
【解析】（1）棒离开磁场右边界前做匀速运动，速度为，则有：，
对棒，解得：
（2）由能量守恒可得：
解得：
（3）设棒刚进入磁场时速度为，由：，可得
棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：
①若（或），则棒做匀速直线运动；
②若（或），则棒先加速后匀速运动；
③若（或），则棒先减速后匀速运动．
(
课后作业
)
1．如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框动abcd．ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场．线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1：第二次bc边平行MN进入磁场．线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则
A:Q1>Q2 q1=q2
B: Q1>Q2 q1>q2
C:Q1=Q2 q1=q2
D: Q1=Q2 q1>q2
答案：A
2.如图所示,匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd,线圈平面与磁场垂直. 已知线圈的匝数N =100,边长ab =1. 0 m、bc =0. 5 m,电阻r =2 Ω. 磁感应强度B 在0 ~1 s 内从零均匀变化到0. 2 T. 在1 ~5 s 内从0. 2 T 均匀变化到-0. 2 T,取垂直纸面向里为磁场的正方向.
求(1:)0. 5 s 时线圈内感应电动势的大小 E 和感应电流的方向；
（2)在1~5 s 内通过线圈的电荷量q；
（3）0~5 s内线圈产生的焦耳热Q.
答案：
3.如图19（a）所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径为r的金属圆盘绕过圆心O的轴转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接，电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件。流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图19（b）所示，其中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点。ω>0代表圆盘逆时针转动。已知：R=3.0Ω，B=1.0T，r=0.2m。忽略圆盘、电流表和导线的电阻
根据图19（b）写出ab、bc段对应I与ω的关系式
求出图19（b）中b、c两点对应的P两端的电压Ub、Uc
答案：（1）ab段：;bc段：
（2）
4.如图，两根相距l＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω的电阻相连。导轨x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T。一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求：
(1)回路中的电流；
(2)金属棒在x＝2m处的速度；
(3)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小；
(4)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。
33答案．（1）电路中电阻消耗的功率不变，即回路中的电流不变
（2）
电流不变，即回路的感应电动势不变，即
（3）安培力
安培力做功=
（4）由动能定理
安培力的功率与回路的电功率相等，即：
时间
外力的平均功率
5.如图，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、Ac和MN其中ab、ac在a点接触，构成“v”字型导轨。空间存在垂直于纸面的均匀碰场。用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时．运动中MN始终与bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触。下列关于回路中电流i与时间t的关系图线．可能正确的是
答案：A
解析：用力使MN向右匀速运动，在磁场中切割磁感线产生感应电动势。设∠bac=θ，根据法拉第电磁感应律有， 。设金属棒单位长度电阻为R，根据闭合电路欧姆定律有，所以A选项正确。
6.如图．两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为c。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B．方向垂直于导轨平面。在导轨上放置质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求(1)电容器极扳上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系：(2)金属转的速度大小随时间变化的关系。
解析：（1）设金属棒下滑的速度大小为v,则感应电动势为E=BL v ①
平行板电容器两极板之间的电势差为U=E ②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有 ③
联立①②③式得 Q=CBLv ④
(2)解法一：动力学观点
设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为fi=BLi ⑤
设在时间间隔（t,t+△t）内流经金属棒的电荷量为△Q，按定义有 ⑥
△Q也是平行板电容器在时间间隔（t,t+△t）内增加的电荷量。由④式得△Q=CBL△v ⑦式中，△v为金属棒的速度变化量。按定义有 ⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2=μN ⑨ 式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N=mgcosθ ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a,根据牛顿第二定律有
mgsinθ- f1- f2=ma ⑾
联立⑤至⑾式得 ⑿
由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。t时刻金属棒的速度大小为
⒀
解法二：动量观点
设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t。通过金属棒的电流为i， i=
由动量定理，有mgsinθt- μmgcosθt-=m,其中=BLQ=CB2L2v,解得
教师版 6 / 18中小学教育资源及组卷应用平台
(
电磁感应中的力学问题
)
(
知识讲解
)
知识点1
电磁感应中的动力学问题的分析
电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析，分析方法是：
导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，直至达到稳定状态．
(
随堂练习
)
如图，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d水平．在竖直面内有一矩形金属线圈，线圈上下边的距离很短，下边水平．线圈从水平面a开始下落．已知磁场上下边界之间的距离大于水平面a、b之间的距离．若线圈下边刚通过水平面b、c（位于磁场中）和d时，线圈所受到的磁场力的大小分别为、和，则（）
A．>> B．<<
C．>> D．<<
如图甲所示，MN左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场。现将一边长为l、质量为m、电阻为R的正方形金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场垂直，且bc边与磁场边界MN重合。当t=0时，对线框施加一水平拉力F，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当t=t0时，线框的ad边与磁场边界MN重合。图乙为拉力F随时间变化的图线。由以上条件可知，磁场的磁感应强度B的大小为（）
(
M
N
a
d
b
c
0
F
t
F
0
3
F
0
t
0
甲
乙
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
B
F
×
×
×
×
×
×
×
×
)
A． B． C． D．
如图所示金属框架竖直放置，框架宽，电阻．质量、电阻不计的金属棒水平地跟框架接触，并从静止开始向下运动，不计金属棒与框架间的摩擦，匀强磁场的磁感应强度，方向垂直框架所在的竖直平面向外．
（1）说明金属棒从静止开始下滑过程中的运动情况．
（2）求金属棒向下运动速度时，回路中感应电流的大小和方向，金属棒所受安培力的大小和方向．
（3）什么情况下，金属棒的速度达到最大值 最大速度是多少 （取）
(
知识讲解
)
知识点2
2．分析动力学问题的步骤
(1)用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．
(2)应用闭合电路欧姆定律求出电路中感应电流的大小．
(3)分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定．
(4)列出动力学方程或平衡方程求解．
常见力学模型的对比图解：
一根导体棒在轨道上滑动
类型 “电—动—电”模型 “动—电—动”模型
示意图 棒长为，质量，电阻；导轨光滑，电阻不计 棒长，质量，电阻；导轨光滑，电阻不计
分析 闭合，棒受安培力，此时，棒速度感应电动势电流安培力加速度，当安培力时，，最大 棒释放后下滑，此时，棒 速度感应电动势 电流安培力加速度，当安培力时，，最大
运动形式 变加速运动 变加速运动
最终状态 匀速运动 匀速运动
(
随堂练习
)
如图所示，竖直放置的足够长的光滑平行金属导轨，间距为l＝0.50m，导轨上端接有电阻R＝0.80Ω，导轨电阻忽略不计。空间有一水平方向的有上边界的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.40T，方向垂直于金属导轨平面向外。质量为m=0.02kg、电阻r＝0.20Ω的金属杆MN，从静止开始沿着金属导轨下滑，下落一定高度后以v=2.5m/s的速度进入匀强磁场中，在磁场下落过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好。已知重力加速度为g=10m/s2，不计空气阻力，求在磁场中，
（1）金属杆刚进入磁场区域时加速度；
（2）若金属杆在磁场区域又下落h开始以v0匀速运动，求v0大小。
(
R
N
M
)
A如图所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导轨ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当ab导体自由下落0.4 s时，突然接通电键S，试说出S接通后，ab导体的运动情况.（g取10 m/s2）
如图所示，MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度的匀强磁场垂直．质量、电阻的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有阻值均为的电阻和．重力加速度取，且导轨足够长，若使金属杆ab从静止开始下滑，求：
（1）杆下滑的最大速率；
（2）稳定后整个电路耗电的总功率P；
（3）杆下滑速度稳定之后电阻两端的电压U．
(
知识讲解
)
知识点3
两根导体棒在导轨上滑动
初速不为零，不受其他水平外力作用
光滑平行轨道 光滑不等距轨道
示意图 质量，电阻，长度 质量，电阻，长度
规律
分析 杆做变减速运动，杆做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为零，以相等的速度匀速运动 稳定时，两杆的加速度为零，两杆的速 度之比为
(
随堂练习
)
均匀导线制成的单匝正方形闭合线框，每边长为，总电阻为，总质量为．将其置于磁感强度为的水平匀强磁场上方处，如图所示．线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且边始终与水平的磁场边界平行．当边刚进入磁场时，
（1）求线框中产生的感应电动势大小；
（2）求两点间的电势差大小；
（3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度所应满足的条件．
如图所示，相距为d的两水平虚线p1、p2表示方向垂直纸面向里的匀强磁场的上下边界，磁场的磁感应强度为B。正方形线框abcd的边长为L(L(
a
b
c
d
L
p
1
p
2
B
h
d
)
A．线框克服安培力所做的功为mgd
B．线框克服安培力所做的功为mgL
C．线框的最小速度为
D．线框的最小速度为
如图所示，有两根和水平方向成角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为．一根质量为的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度，则（ ）
A．如果增大，将变大 B．如果变大，将变大
C．如果变大，将变大 D．如果变小，将变大
【例10】如图所示，MN、PQ为平行光滑导轨与地面成30°角固定，并处于与导轨所在平面垂直向上、足够宽的匀强磁场中，导轨间距恒定，N、Q间接一定值电阻R.现有一金属杆ab沿导轨匀速下滑，并与导轨接触良好，若其它电阻忽略不计，则（ ）
A．闭合电路不产生感应电流
B．金属杆ab产生的感应电动势保持不变
C．金属杆ab受到的安培力方向沿导轨向下
D．金属杆ab受到的安培力方向沿导轨向上
【例11】 如图1所示，光滑平行金属导轨MN、PQ所在平面与水平面成角，M、P两端接有阻值为R的定值电阻。阻值为r的金属棒ab垂直导轨放置，其它部分电阻不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上。从t=0时刻开始棒受到一个平行于导轨向上的外力F，由静止开始沿导轨向上运动，运动中棒始终与导轨垂直，且接触良好，通过R的感应电流随时间t变化的图象如图2所示。下面分别给出了穿过回路口abPM的磁通量、磁通量的变化率、棒两端的电势差和通过棒的电荷量q随时间变化的图象，其中正确的是（）
【例12】如右图所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻R.一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求：
（1）导轨对杆ab的阻力大小Ff；
（2）杆ab中通过的电流及其方向；
（3）导轨左端所接电阻R的阻值．
【例13】 如图甲所示，在水平面上固定有长为L=2m、宽为d=1m的金属“U”型轨导，在“U”型导轨右侧l=0.5m范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。在t=0时刻，质量为m=0.1kg的导体棒以v0=1m/s的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.1，导轨与导体棒单位长度的电阻均为，不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响（取）。
（1）通过计算分析4s内导体棒的运动情况；
（2）计算4s内回路中电流的大小，并判断电流方向；
（3）计算4s内回路产生的焦耳热。
【例14】如图所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒ab垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一个水平向右的力F拉棒ab，使它由静止开始运动，棒ab离开磁场前已做匀速直线运动，棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，F随ab与初始位置的距离x变化的情况如图，F0已知。求：
（1）棒ab离开磁场右边界时的速度
（2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能
（3）d0满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动
(
R
M
N
P
Q
a
b
c
d
e
f
d
0
d
B
F
O
x
F
O
x
F
0
2
F
0
d
0
d
0
+
d
)
【例15】电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L=0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热。（取）求：
（1）金属棒在此过程中克服安培力的功；
（2）金属棒下滑速度时的加速度．
（3）为求金属棒下滑的最大速度，有同学解答如下：由动能定理，……。由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。
【例16】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为的匀强磁场方向竖直向下．同种合金做的导体棒、横截面积之比为，长度和导轨的宽均为，的质量为，电阻为，开始时、都垂直于导轨静止，不计摩擦．给一个向右的瞬时冲量，在以后的运动中，的最大速度、最大加速度、产生的电热各是多少？
【例17】如图所示，通有稳恒电流的螺线管竖直放置，铜环R沿螺线管的轴线加速下落，在下落过程中，环面始终保持水平．铜环先后经过轴线上1、2、3位置时的加速度分别为、、．位置2处于螺线管的中心，位置1、3与位置2等距离．则（）
A． B．
C． D．
【例18】一个闭合回路由两部分组成，如图所示，右侧是电阻为r的圆形导线；置于竖直方向均匀变化的磁场B1中，左侧是光滑的倾角为θ的平行导轨，宽度为d，其电阻不计．磁感应强度为B2的匀强磁场垂直导轨平面向上，且只分布在左侧，一个质量为m、电阻为R的导体棒此时恰好能静止在导轨上，下述判断不正确的有（）
A．圆形线圈中的磁场，可以方向向上均匀增强，也可以方向向下均匀减弱
B．导体棒a、b受到的安培力大小为mgsinθ
C．回路中的感应电流为
D．圆形导线中的电热功率为
【例19】边长为的正方形金属导线框，在如图所示的初始位置由静止开始下落，通过一匀强磁场区域，磁场方向是水平的．且垂直于线框平面，磁场区域的宽度等于，上下边界如图中水平虚线所示，．从线框开始下落到完全穿过磁场区域的整个过程中（）
A．线框中总是有感应电流存在
B．线框受到的磁场力的合力的方向有时向上，有时向下
C．线框运动的方向始终是向下的
D．线框速度的大小不一定总是在增加
【例20】如图两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路其余电阻不计，有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设这两导体棒均可以沿导轨无摩擦的滑动，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两棒在运动中始终不接触，求
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
【例21】如图所示，宽度为L=0.20 m的足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，导轨的一端连接阻值为R=0.9Ω的电阻.在cd右侧空间存在垂直桌面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.50 T.一根质量为m=10 g，电阻r=0.1Ω的导体棒ab垂直放在导轨上并与导轨接触良好.现用一平行于导轨的轻质细线将导体棒ab与一钩码相连，将钩码从图示位置由静止释放.当导体棒ab到达cd时，钩码距地面的高度为h=0.3 m.已知导体棒ab进入磁场时恰做v=10 m／s的匀速直线运动，导轨电阻可忽略不计，取g=10 m/s2.求：
（1）导体棒ab在磁场中匀速运动时，闭合回路中产生的感应电流的大小.
（2）挂在细线上的钩码的质量.
（3）求导体棒ab在磁场中运动的整个过程中电阻R上产生的热量.
【例22】如图所示，光滑平行的水平金属导轨、相距，在点和点间接一个阻值为的电阻，在两导轨间矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为的匀强磁场，磁感强度为．一质量为，电阻为的导体棒，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距．现用一大小为、水平向右的恒力拉棒，使它由静止开始运动，棒在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）．求：
（1）棒在离开磁场右边界时的速度；
（2）棒通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能；
（3）试分析讨论棒在磁场中可能的运动情况．
(
课后作业
)
1．如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框动abcd．ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场．线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1：第二次bc边平行MN进入磁场．线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则
A:Q1>Q2 q1=q2
B: Q1>Q2 q1>q2
C:Q1=Q2 q1=q2
D: Q1=Q2 q1>q2
2.如图所示,匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd,线圈平面与磁场垂直. 已知线圈的匝数N =100,边长ab =1. 0 m、bc =0. 5 m,电阻r =2 Ω. 磁感应强度B 在0 ~1 s 内从零均匀变化到0. 2 T. 在1 ~5 s 内从0. 2 T 均匀变化到-0. 2 T,取垂直纸面向里为磁场的正方向.
求(1:)0. 5 s 时线圈内感应电动势的大小 E 和感应电流的方向；
（2)在1~5 s 内通过线圈的电荷量q；
（3）0~5 s内线圈产生的焦耳热Q.
3.如图19（a）所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径为r的金属圆盘绕过圆心O的轴转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接，电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件。流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图19（b）所示，其中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点。ω>0代表圆盘逆时针转动。已知：R=3.0Ω，B=1.0T，r=0.2m。忽略圆盘、电流表和导线的电阻
根据图19（b）写出ab、bc段对应I与ω的关系式
求出图19（b）中b、c两点对应的P两端的电压Ub、Uc
4.如图，两根相距l＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω的电阻相连。导轨x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T。一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求：
(1)回路中的电流；
(2)金属棒在x＝2m处的速度；
(3)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小；
(4)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。
5.如图，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、Ac和MN其中ab、ac在a点接触，构成“v”字型导轨。空间存在垂直于纸面的均匀碰场。用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时．运动中MN始终与bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触。下列关于回路中电流i与时间t的关系图线．可能正确的是（ ）
6.如图．两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为c。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B．方向垂直于导轨平面。在导轨上放置质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求(1)电容器极扳上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系：(2)金属转的速度大小随时间变化的关系。
学生版 11 / 15
