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专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程
一、考情分析
求圆锥曲线的方程与轨迹方程,一般出现在解答题第（1）问,考查频率非常高,求圆锥曲线的方程一般用待定系数法,比较容易,求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.
二、解题秘籍
(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程
1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．思路：直接解不等式,确定函数单调区间
求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
3. 如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示－＝λ(λ≠0)．
4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
【例1】已知椭圆,,分别为椭圆的右顶点、上顶点,为椭圆的右焦点,椭圆的离心率为,的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于,两点,若,求实数的取值范围．
【分析】（1）根据椭圆离心率、三角形的面积整理出关于的方程,联立解方程组求得,即可确定椭圆的标准方程.
（2）根据直线的斜率是否为进行分类讨论,结合根与系数关系以及列方程,求得关于的不等式,由此求得的取值范围.
【解析】（1）由题意得,则,．的面积为,则．
将,代入上式,得,则,,故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知,当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,,,
将代入椭圆方程得,化简得,
则,所以①,②．
由得,即,
则．
得,所以,
即,易知,
故,易知恒成立,由,得,
解得．
当直线的斜率等于0时,
,或,,则或．
综上,实数的取值范围为．
【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于的等式.
【例2】（2022届广西玉林市高三上学期质量监测）已知双曲线（a,b>0）的渐近线方程为,左焦点为F（-2,0）.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点Q（2,0）作直线l与双曲线C右支交于A,B两点,若,求直线l的方程.
【分析】（1）根据渐近线的概念以及双曲线的性质列出关于的方程组解出即可；
（2）设直线l的方程为以及点A,B的坐标,由题意易知,结合韦达定理即可解出,进而得结果.
【解析】（1）∵双曲线（a,b>0）的渐近线方程为,左焦点为F（-2,0）.
∴,解得c=2,a=,b=1.∴双曲线的标准方程为：.
（2）设直线l的方程为,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
∵,∴①,··
联立直线与双曲线方程,化简整理,可得,
由韦达定理,可得②,③,
由①②③得,此时检验得,
∴直线l方程为.
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.
【例3】（2022届广东省深圳市高三上学期月考）已知抛物线的焦点为,其中为的准线上一点,是坐标原点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过的动直线与交于两点,问：在轴上是否存在定点,使得轴平分若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】（1）抛物线的焦点为,设,,可得,再由求解,则抛物线的方程可求；
（2）假设在轴上存在定点,,使得轴平分,设动直线的方程为,联立直线方程与抛物线方程,利用根与系数的关系及斜率公式求得求得,把根与系数的关系代入,即可求得值得结论．
【解析】（1）抛物线的焦点为,设,则
因为,所以,得.所以抛物线的方程为;
（2）假设在轴上存在定点,使得轴平分.
设动直线的方程为,点,
联立,可得
恒成立,
设直线的斜率分别为,则
由定点,使得轴平分,则,
所以.把根与系数的关系代入可得,
得.
故存在满足题意.
综上所述,在轴上存在定点,使得轴平分.
【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p的等式.
(二)直接法求曲线轨迹方程
1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．
2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x,y的取值范围．
【例4】设动点在直线和上的射影分别为点和,已知,其中为坐标原点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过直线上的一点作轨迹的两条切线和(,为切点),求证：直线经过定点.
【分析】（1）利用直接法求轨迹方程,设,把坐标化,即可得到动点的轨迹的方程；
（2）利用导数的几何意义,求得切线斜率,设,可得切线、的方程,联立可得切点的坐标为,又点在直线上,代入可得,再代入到直线的方程即可得解.
【解析】（1）设,则,
所以,
由条件可得,
整理可得点的轨方程为；
（2）由（1）知,,求导可得,
设,
则切线的方程为,
即①,
同理可得切线的方程为②,
联立①②,解得点的坐标为,
因为点在直线上,
所以,即,
又直线的斜率,
所以直线的方程为：,
即,又,
代入可得,
所以直线过定点.
【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨迹方程.
(三)定义法求曲线轨迹方程
1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程．
2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．
3. 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：
(1)若a>c,则集合P为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P为线段；
(3)若a4. 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在．
5. 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
【例5】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点,若线段的中点在抛物线上,求直线的斜率的取值范围.
【分析】（1）依题意,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标,将点Q坐标代入抛物线方程得到,将此式代入得到,解不等式即可.
【解析】（1）
易知点是抛物线的焦点,,
依题意,
所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,
设该椭圆的方程为,
则,
,
故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在,
设直线1：,
由得：,
,
即①又,
故,将,代,
得,
将②代入①,得：,
即,
即,即,
且,
即的取值范围为或.
【点评】利用椭圆定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之和为定值.
【例6】（2022届广东省六校高三上学期联考）在平面直角坐标系中,已知圆：,,动圆经过点且与圆相外切,记动圆的圆点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）试问,在轴上是否存在点,使得过点的动直线交于,两点时,恒有？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】（1）根据点与圆和圆与圆的位置关系得到,再利用双曲线的定义求解；
（2）假设存在满足条件的点,设点的坐标为,直线的方程为,与双曲线方程联立,根据,由,结合韦达定理求解.
【解析】（1）设动圆的半径长为,则,,
.因此,圆心的轨迹为以、为焦点,实轴长为的双曲线的右支,
设的方程为（）,
则根据双曲线定义,,
,
因此的方程为（）.
（说明：没写的范围扣1分）
（2）不存在满足条件的点,理由如下：
假设存在满足条件的点,设点的坐标为,直线的斜率为,
则直线的方程为,
由消去并整理,得,
设、,则,,（*）
由,得,即,
将,代入上式并化简,
得.
将（*）式代入上式,有,
解得.
而当直线交于,两点时,必须有且.
当时,,,
由无解,
则当时,不符合条件.
因此,不存在满足条件的点.
【点评】一定要注意：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F1,F2的距离的差的等于常数(差的绝对值小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线双曲线的一支．
【例7】已知一定点,及一定直线l：,以动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设P在直线l上,直线PA,PB分别与曲线C相切于A,B,N为线段AB的中点．求证：,且直线AB恒过定点．
【分析】（1）根据题意可得到动圆圆心到定点F（0,1）与定直线y=-1的距离相等,故可得动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F（0,1）为焦点,y=-1为准线,进而得到方程；（2）依题意可设,可求得,切线,代入点可得到方程,进而得到,根据直角三角形的性质得到,由得到：,同理可得到,进而得到直线AB方程为：,可得到定点.
【解析】（1）动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切,
动圆圆心到定点F（0,1）与定直线y=-1的距离相等,
∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F（0,1）为焦点,y=-1为准线,
,∴动圆圆心轨迹方程为x2=4y．
（2）依题意可设,
又
故切线的斜率为,
故切线
同理可得到切线
又,∴且,
故方程有两根 ∴,
又为线段的中点,
又由得到：即
同理可得到,
故直线AB方程为：,故直线过定点.
【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.
(四)相关点法求曲线轨迹方程
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【例8】如图,P是圆x2＋y2＝4上的动点,点P在x轴上的射影是点D,点M满足＝.
(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
【分析】(1) 设M(x,y),,由＝知,得,代入x2＋y2＝4,即得动点M的轨迹C的方程；设E(x,y),l：y＝k(x－3),代入＋y2＝1,得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0,(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),由＝＋＝(x1＋x2,y1＋y2)
＝,得消去k得x2＋4y2－6x＝0,由(*)中Δ>0,得k2<,0古顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.
【解析】(1)设M(x,y),则D(x,0),,
由＝知,得
∵点P在圆x2＋y2＝4上,∴x2＋4y2＝4,
故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1,且轨迹C为椭圆．
(2)设E(x,y),由题意知l的斜率存在,
设l：y＝k(x－3),代入＋y2＝1,
得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0,(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,
∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)
＝k(x1＋x2)－6k
＝－6k＝.
∵四边形OAEB为平行四边形,
∴＝＋＝(x1＋x2,y1＋y2)
＝,
又＝(x,y),∴
消去k,得x2＋4y2－6x＝0,
由(*)中Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0,
得k2<,∴0∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.
【点评】本题第(1)问是通过相关点法求轨迹方程,第(2)问是通过参数法求轨迹方程.
(五)交轨法求曲线轨迹方程
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.
【例9】（2022届重庆市第八中学高三上学期月考）已知抛物线,过点的直线交抛物线于两点,以为切点分别作抛物线的两条切线交于点.
（1）若线段的中点的纵坐标为,求直线的方程；
（2）求动点的轨迹.
【分析】（1）联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k即可；
（2）写出圆的切线方程,根据P是交点可得是方程的两根,由（1）中代入化简即可求出.
【解析】（1）依题意有：直线的斜率必存在,故可设直线的方程为
由可得：.
设,则有
于是：,解得,
故直线的方程为
（2）设,对于抛物线,
于是：点处切线方程为,
点在该切线上,故,即.
同理：点坐标也满足
于是：是方程的两根,
所以
又由（1）可知：,
于是,消k得,于是的轨迹方程为,点的轨迹是一条直线.
【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法
三、跟踪检测
1.如图所示,抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
（1）求p的值；
（2）求动点M的轨迹方程．
2．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系中,点是以原点为圆心,半径为的圆上的一个动点.以原点为圆心,半径为的圆与线段交于点,作轴于点,作于点.
（1）令,若,,,求点的坐标；
（2）若点的轨迹为曲线,求曲线的方程；
（3）设（2）中的曲线与轴的正半轴交于点,与轴的正负半轴分别交于点,,若点 分别满足,,证明直线和的交点在曲线上.
3．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C：的左焦点为,离心率为,过点且垂直于轴的直线交于两点,
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点且与椭圆相交于,两点,求面积最大值及此时直线的斜率.
4．（2022届海南省海口市高三上学期考试）已知双曲线的虚轴长为4,直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为,直线NB斜率为,求证：为定值．
5．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：为定值.
6．（2022届四川省成都市高三上学期期中）己知抛物线：的焦点为,为上的动点,为在动直线上的投影．当为等边三角形时,其面积为．
（1）求的方程；
（2）设为原点,过点的直线与相切,且与椭圆交于,两点,直线与线段交于点．试问：是否存在,使得和△的面积相等恒成立？若存在,求的值；若不存在,请说明理由．
7．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线与椭圆：相交于,两点,与轴交于点,若存在使得,求的取值范围.
8．（2022届云南省师范大学附属中学高三月考）在平面直角坐标系中,已知直线,点,动点到点的距离是它到直线的距离的倍,记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率大于的直线交于两点,点,连接、交直线于、两点,证明：点在以为直径的圆上．
9．（2022届新疆克拉玛依市高三第模拟）已知圆：,点,P是圆C上任意一点,线段AP的垂直平分线交CP于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点作直线MN交点Q的轨迹于M N两点,设线段MN的中点为H,判断线段与的大小,并证明你的结论.
10．（2022届广西高三上学期开学联考）设双曲线其右焦点为F,过F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点,
（1）若直线与轴不垂直,求直线的斜率的取值范围；
（2）求中点的轨迹坐标方程．
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专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程
三、跟踪检测
1.如图所示,抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
（1）求p的值；
（2）求动点M的轨迹方程．
【解析】（1）由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2＝2px,解得p＝1.
（2）由（1）知抛物线E：y2＝2x,
设C,D,y1≠0,y2≠0.切线l1的斜率为k,则切线l1：y－y1＝k,
代入y2＝2x,得ky2－2y＋2y1－＝0,
由Δ＝0,解得k＝,∴l1的方程为y＝x＋,
同理l2的方程为y＝x＋.
联立解得
易知CD的方程为x0x＋y0y＝8,
其中x0,y0满足＝8,x0∈[2,2 ],
由得x0y2＋2y0y－16＝0,
则代入
可得M(x,y)满足可得
代入＝8,并化简,得－y2＝1.
考虑到x0∈[2,2],知x∈[－4,－2],
∴动点M的轨迹方程为－y2＝1,x∈[－4,－2]．
2．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系中,点是以原点为圆心,半径为的圆上的一个动点.以原点为圆心,半径为的圆与线段交于点,作轴于点,作于点.
（1）令,若,,,求点的坐标；
（2）若点的轨迹为曲线,求曲线的方程；
（3）设（2）中的曲线与轴的正半轴交于点,与轴的正负半轴分别交于点,,若点 分别满足,,证明直线和的交点在曲线上.
【解析】（1）设,则由题知,因此；
（2）设及,则由题知,则点Q的轨迹C为椭圆,方程为：；
（3）设,由知,,,,,
,即,
,即,
联列上述直线方程,解得
,因此交点K在椭圆C上.
3．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C：的左焦点为,离心率为,过点且垂直于轴的直线交于两点,
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点且与椭圆相交于,两点,求面积最大值及此时直线的斜率.
【解析】（1）由题知：,
所以椭圆.
（2）设直线的方程为,设 ,
与椭圆方程联立得,消去得.
则,所以.
由根与系数的关系知,,
所以.①
令,则①式可化为.
当且仅当,即时,等号成立.
此时,所以直线的斜率为.
4．（2022届海南省海口市高三上学期考试）已知双曲线的虚轴长为4,直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为,直线NB斜率为,求证：为定值．
【解析】（1）虚轴长为4,,即,
直线为双曲线的一条渐近线,
,,
故双曲线的标准方程为．
（2）由题意知,,,
由题可知,直线l斜率不能为零,故可设直线的方程为,
设,,,
联立,得,
,,
,
直线的斜率,直线的斜率,
,为定值．
5．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：为定值.
【解析】（1）当轴时,易得,
所以,解得,
所以抛物线C的方程为；
（2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,
代入抛物线C的方程,并整理得,
设,,由根与系数的关系得,.
所以,所以线段AB的中点N的坐标为,连接QM,若四边形AQBM为平行四边形,则N是QM的中点,
易知,因此,
设直线PQ的方程为,代入抛物线C的方程,整理得,
所以,
故,因此,
故可得,,
故点M的坐标为,
因此存在定点,使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点到直线的距离,
由,,可得,
因此,
同理可得,
所以,为定值.
6．（2022届四川省成都市高三上学期期中）己知抛物线：的焦点为,为上的动点,为在动直线上的投影．当为等边三角形时,其面积为．
（1）求的方程；
（2）设为原点,过点的直线与相切,且与椭圆交于,两点,直线与线段交于点．试问：是否存在,使得和△的面积相等恒成立？若存在,求的值；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）设,,
∵为等边三角形时,其面积为,
∴,解得,
∵Q为P在动直线上的投影,∴；
当为等边三角形时,,
由抛物线的定义知,,
∴,解得,
∴C的方程为；
（2）设,,,则,
∵,∴,
∴切线l：,即l：,
,
∴,
∴；
∵,∴,,
∵和△的面积相等,且A,M,B在同一条直线上,
则点M为AB的中点,
∴,即,则．
综上,存在t,使得和三角形△面积相等恒成立,．
7．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线与椭圆：相交于,两点,与轴交于点,若存在使得,求的取值范围.
【解析】（1）设,则,
所以可得动点P的轨迹C的方程为.
（2）设又,由得
,
联立可得
,
即,且,
又,则,
,
代入得,
,解得.
的取值范围是
8．（2022届云南省师范大学附属中学高三月考）在平面直角坐标系中,已知直线,点,动点到点的距离是它到直线的距离的倍,记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率大于的直线交于两点,点,连接、交直线于、两点,证明：点在以为直径的圆上．
【解析】（1）设,由题意得,化简得,
所以曲线的方程为．
（2）证明：设、、、,
设直线的方程为且,
联立得,
,
由韦达定理可得,,
因为点在直线上,则,即,可得,
同理可得,,,
所以,
,
故点在以为直径的圆上．
9．（2022届新疆克拉玛依市高三第模拟）已知圆：,点,P是圆C上任意一点,线段AP的垂直平分线交CP于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点作直线MN交点Q的轨迹于M N两点,设线段MN的中点为H,判断线段与的大小,并证明你的结论.
【解析】（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上,∴.
又,∴.
∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心,和为焦点,长轴长为4的椭圆.
可设方程为,则,
∴,
∴点Q的轨迹方程为.
（2）结论是：.
①当直线MN的斜率不存在时,,,此时；
②当直线MN的斜率k存在时,设：
代入到,化简得,
设,
则,,
此时,,
∴
.
∴,点A在以MN为直径的圆上或圆的内部,所以.
综上所述,.
10．（2022届广西高三上学期开学联考）设双曲线其右焦点为F,过F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点,
（1）若直线与轴不垂直,求直线的斜率的取值范围；
（2）求中点的轨迹坐标方程．
【解析】（1）由题知,设直线方程为,代入方程得
．
设,,
则,
,
所以
（2）设中点为﹐
若直线的斜率存在,
,,
消去得,,
此时,
所以中点的轨迹坐标方程为,
若直线的斜率不存在,则,,满足,
综上,中点的轨迹坐标方程为.
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