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专题5 圆锥曲线中的定点问题
三、跟踪检测
1.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
【解析】（1）根据题意，由对称性得为等腰直角三角形，且，
因为的面积等于，所以，即，
因为椭圆的离心率等于，即，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）得，
设直线的方程为，，
因为点关于轴的对称点在直线上，
所以直线与直线的斜率互为相反数，即，
因为，所以，
整理得
又因为，所以，
由消去得
所以，即，
所以，
整理得
由于，故解方程得，
此时直线的方程为，过定点
所以直线恒过定点.
2．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
（1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
（2）若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
【解析】（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
因为P、Q在双曲线上，
所以－＝1，－＝1，
两式作差得－＝0，
即＝，
即＝，
即k1·k2＝；
（2）因为＝，
所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，
由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，
得t＝或a(舍)，
故直线l的方程为x＝；
②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入－＝1，
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－；
因为AP⊥AQ，
所以·＝0，
即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，
即＝0，
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，
所以k＝－或k＝－；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，此时经过A，舍去；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－ x＋m，
恒过定点(，0)，经检验满足题意；
综上①②，直线l过定点(，0)．
3．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证：为定值.
【解析】（1）当轴时，易得，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
代入抛物线C的方程，并整理得，
设，，由根与系数的关系得，.
所以，所以线段AB的中点N的坐标为，连接QM，若四边形AQBM为平行四边形，则N是QM的中点，
易知，因此，
设直线PQ的方程为，代入抛物线C的方程，整理得，
所以，
故，因此，
故可得，，
故点M的坐标为，
因此存在定点，使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点到直线的距离，
由，，可得，
因此，
同理可得，
所以，为定值.
4．双曲线C：（，）的一条渐近线l的倾斜角为，过左、右焦点，分别作l的垂线，两垂足间的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（1，0）且斜率不为0的直线与双曲线C交于M，N两点，记N关于x轴的对称点为Q，证明直线MQ过x轴上的定点．
【解析】（1）依题意，渐近线l为，即．
由，得．
∵，到渐近线l的距离均为，，
∴两垂足间的距离为，解得，则．
∴双曲线C的方程为．
（2）依题意，得直线的斜率存在且不为0．
设为且，代入双曲线C的方程中，消去y，整理得．
∵直线与双曲线C交于两点，
∴，解得且．
设，（），则，
，，则，
∴直线MQ的方程为，
令，则．
∴直线MQ过x轴上的定点(3,0)．
5．（2022届河南省焦作市高三上学期开学考试）在中，已知、，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设为曲线上一点，直线与交点的横坐标为，求证：直线过定点.
【解析】（1）设点的坐标为，
直线与的斜率分别为，，其中，
由已知得，化简得，由已知得，
故曲线的方程为.
（2）证明：设直线与交点为，则直线的方程为，
由得，
设，则，即，
，
同理，直线的方程为，与椭圆方程联立，
消去整理得，
设，则，即，.
当时，直线的斜率为，
此时直线的方程为，
化简得：，故直线过定点.
当时，可得，所以直线也过定点.
综上所述：直线过定点.
6．（2022届陕西省西安市高三上学期模拟）已知与圆相切的直线l，过抛物线的焦点F，且直线l的倾斜角为.
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线与抛物线E交于点A，B两点，且A，B关于直线对称，在上是否存在点N，使得以为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N的坐标；否则，请说明理由.
【解析】（1）抛物线焦点为，直线斜率，
所以直线方程为，
由圆与直线相切可得，，
由可解得，
所以抛物线方程为.
（2）设，
因为A，B关于直线对称，
所以设中点在上，且，
由相减可得，
，
所以，
又在上，
所以，
所以直线的方程为，
联立抛物线消元得，
，
,
若存在点N，
则,
即，
解得或，
即存在点或满足条件.
7．（2022届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）已知椭圆的右焦点为F，直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）若，且直线l的斜率为4，求直线(点为坐标原点)的斜率．
（2）若直线，的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点 若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，，依题意，M为线段的中点，
∵A，B在椭圆C上，故
两式相减可得，
则，
故，解得．
（2）假设定点存在，根据椭圆对称性，可知该直线所过定点在x轴上，设定点坐标为，
则直线l的方程为，
联立，消去y整理得，
则，．
设直线，的斜率分别为，，由题可知，
则
．
即，
∴，，
即直线l过定点．
8．过点的任一直线与抛物线交于两点，且．
（1）求的值．
（2）已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点．
【解析】（1）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，
整理可得
所以，，
所以，
所以，
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设，则抛物线在点处的切线方程为
从而同理，
因为，所以，即，
又，
从而直线的方程为：，
将带入化简得：，
所以，直线恒过定点．
9．（2022届上海市进才中学高三上学期12月联考）在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）己知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；
（3）设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
【解析】（1）不妨设点的坐标为，
由题意可知，，
化简可得，，
故曲线C的方程为.
（2）不妨设直线的方程：，，，
因为直线l不过点，易知，
由可得，，
由且可得，或，
由韦达定理可知，，，
因为，，，，
所以，
将，代入上式得，，
故的值为0.
（3）由椭圆方程可知，点坐标为，
因为以为直径的圆恰过Q点，所以，
结合椭圆特征可知，直线的斜率存在，
不妨设直线方程：，且，，，
由可得，，
由可得，，
由韦达定理可知，，，
因为，，，，
所以，
将，代入上式并化简可得，，
故直线方程：，
易知直线必过定点，
从而直线经过定点，定点坐标为.
10．在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
（1）证明：MN⊥x轴．
（2）直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，由，
所以切线MA的斜率为， 因此切线MA的方程为： ，
M为直线y＝x－2上一动点，设，
因此有，
同理可得：，因此是方程的两个根，
所以，
因为N为AB的中点，所以，因此MN⊥x轴；
（2）因为，
所以，
所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，
即y－2＝2t，
所以直线AB过定点
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专题5 圆锥曲线中的定点问题
一、考情分析
定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．
二、解题秘籍
(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略
1．处理定点问题的思路：
(1)确定题目中的核心变量（此处设为）
(2)利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到。常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2．处理定点问题两个基本策略：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【例1】（2022届北京大学附属中学高三12月月考）已知点，，曲线C上的动点M满足．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与曲线C相交于另一点N，当直线MN不垂直于x轴时，点M关于轴的对称点为P，证明：直线PN恒过一定点．
【分析】（1）由题意得出，根据椭圆的定义可知曲线C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程；
（2）设直线MN的方程为或，把直线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据点M的坐标写出点的坐标，从而求出直线PN的方程，证明直线PN与轴的交点为定点即可.
【解析】（1）因为，，
所以曲线C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以，，．
所以曲线C的方程为．
（2）解法一：因为直线MN不与x轴垂直，所以设直线MN的方程为
由，得，
因为点在曲线C内，所以恒成立，
设，，则，．
因为点P与点M关于x轴对称，所以．
所以直线PN的斜率，直线PN的方程是．
令，得．
所以此时直线PN过定点．
当直线MN与x轴重合时，直线PN为x轴，显然过点．
综上所述，直线MN恒过定点．
解法二：当MN不与x轴重合时，设直线MN的方程为，
由，得，
．
设，，设，．
因为点P与点M关于x轴对称，所以．
所以直线PN的斜率，直线PN的方程是
令，得
，
所以此时直线PN过定点．
当直线MN与x轴重合时，直线PN为x轴，显然过点．
综上所述，直线MN恒过定点．
【例2】椭圆C的焦点为，，且点在椭圆上．过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【分析】（1）计算，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程得到根与系数的关系，通过特殊直线得到定点为，再计算斜率相等得到证明.
【解析】（1）设椭圆C的标准方程为，
由已知得.
所以，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得.
设，，，则，
特殊地，当的坐标为时，，所以，，，
即，所以点B关于轴的对称点为，则直线的方程为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
如果存在定点Q满足条件，则为两直线交点，
，，
又因为
所以，即三点共线，故直线恒过定点，定点坐标为．
(二) 直线过定点问题
1.直线过定点问题的解题模型
2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点。
【例3】（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.
（1）求抛物线方程和N点坐标；
（2）求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.
【分析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，，其焦点为
则，∴
所以抛物线的方程为.
，所以，所以.
因为，所以，所以.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），
联立方程得
设两个交点，（，）.
所以
所以，
即
整理得，此时恒成立，
此时直线l的方程为，可化为，
从而直线过定点.
(三) 圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为
【例4】（2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）已知椭圆的右焦点为，与轴不重合的直线过焦点，与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，，的延长线分别交直线于，两点，证明：以为直径的圆过定点.
【分析】(1)根据给定条件结合椭圆通径的意义及计算即可得解.
(2)设出直线方程，再与椭圆C的方程联立，用点A，B的纵坐标表示出点M，N的纵坐标，然后证明.
【解析】（1）椭圆的右焦点，则半焦距，
当轴时，弦AB为椭圆的通径，即，则有，即，
而，于是得，又，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）依题意，直线不垂直于y轴，且过焦点，设的方程为，，，
由得，，，
因点，则直线的方程为，令，得，
同理可得，于是有，
则
，
因此，，即在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆过定点.
(四) 与定点问题有关的基本结论
1.若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
2. 若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
3.设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点。
4.设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点；
5.过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
6.过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
7.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点；
8. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点。
【例5】（2022届海南华侨中学高三上学期月考）已知椭圆的左 右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.
【分析】（1）根据题意列方程组求得，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，分直线斜率存在与不存在两种情况证明.
当直线的斜率存在时，设：，联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得，由求得，代入直线方程可证得直线过定点，再考虑直线的斜率不存在时情况，易证得结果.
【解析】（1）由题意可得，解得
所以椭圆的方程为.
（2）设.
①当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得.
由，得.
所以．
所以，
即，所以，即，
所以，所以，所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，，则，所以，则直线也过定点.
综合①②，可得直线过定点.
【例6】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线的焦点为，点 在上，且．
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
【分析】(1)利用抛物线定义求出，进而求出p值即可得解.
(2)设出直线的方程，再联立直线l与抛物线C的方程，借助韦达定理探求出m与n的关系，再根据求解.
【解析】（1）抛物线的准线：，于是得，解得，
而点在上，即，解得，又，则，
所以的坐标为，的方程为.
（2）设，直线的方程为，
由消去x并整理得：，则，，，
因此，，
化简得，即，代入方程得，即，则直线过定点，
所以直线过定点.
三、跟踪检测
1.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
2．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
（1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
（2）若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
3．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证：为定值.
4．双曲线C：（，）的一条渐近线l的倾斜角为，过左、右焦点，分别作l的垂线，两垂足间的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（1，0）且斜率不为0的直线与双曲线C交于M，N两点，记N关于x轴的对称点为Q，证明直线MQ过x轴上的定点．
5．（2022届河南省焦作市高三上学期开学考试）在中，已知、，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设为曲线上一点，直线与交点的横坐标为，求证：直线过定点.
6．（2022届陕西省西安市高三上学期模拟）已知与圆相切的直线l，过抛物线的焦点F，且直线l的倾斜角为.
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线与抛物线E交于点A，B两点，且A，B关于直线对称，在上是否存在点N，使得以为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N的坐标；否则，请说明理由.
7．（2022届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）已知椭圆的右焦点为F，直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）若，且直线l的斜率为4，求直线(点为坐标原点)的斜率．
（2）若直线，的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点 若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
8．过点的任一直线与抛物线交于两点，且．
（1）求的值．
（2）已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点．
9．（2022届上海市进才中学高三上学期12月联考）在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）己知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；
（3）设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
10．在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
（1）证明：MN⊥x轴．
（2）直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由
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