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专题8 圆锥曲线与向量的交汇
三、跟踪检测
1．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍,设点的轨迹为曲线,直线与交于、两点,点是线段的中点,、是上关于原点对称的两点,且.
（1）求曲线的方程；
（2）当时,求直线的方程；
（3）当四边形的面积时,求的值.
【解析】（1）由题意可得,化简可得,
因此,曲线的方程为.
（2）设点、,联立,可得,
,
由韦达定理可得,,
则,,
所以点的坐标为,
因为,可得点,
将点的坐标代入曲线的方程得,解得,
因此,直线的方程为.
（3）由（2）可得,则点,
则点,
因为点在曲线上,则,可得,因为,则,
点到直线的距离为,
点到直线的距离为,
,
所以,,
因为,解得.
2．已知椭圆C：的左顶点为A,左右焦点分别为F1、F2．上顶点为B；O为坐标原点.
（1）若,求椭圆C的离心率；
（2）设P为椭圆C上的一点,且PF1//AB,,若点P的纵坐标为2,求椭圆C的方程．
【解析】（1）由可得,
所以,
即,
所以.
（2）设,
则由可得,①,
又可得②,
由①②可得,,
又,解得,,
所求椭圆方程为.
3．(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆的焦点恰为椭圆长轴的端点,且的短轴长为2
（1）求椭圆的方程．
（2）若直线与直线平行,且与交于,两点,,求的最小值．
【解析】（1）由椭圆,可得其长轴的端点分别为,
根据题意,可得,解得,
故的方程为．
（2）设直线的方程为,
联立方程组,整理得,
设,,则,,
且,解得且
所以
因为,其中且,
所以当时,取得最小值,且最小值为,
故的最小值为．
4．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线与椭圆：相交于,两点,与轴交于点,若存在使得,求的取值范围.
【解析】（1）设,则,
所以可得动点P的轨迹C的方程为.
（2）设又,由得
,
联立可得
,
即,且,
又,则,
,
代入得,
,解得.
的取值范围是
5．已知椭圆C：的离心率为,且是C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点作直线l交椭圆C于A,B两点,在x轴上是否存在点M,使为定值？若存在,求出点M的坐标及该定值；若不存在,试说明理由．
【解析】（1）由题意知,∴椭圆C的方程为．
（2）设直线AB的方程为,,,
,即,
所以
假设存在这样的符合题意,则,
,要使其为定值,则,解得．
∴存在符合题意,该定值为．
6．（2022届四川省成都市高三上学期期中）已知椭圆的左顶点为,右焦点为,过点作斜率为的直线与相交于,,且以为直径的圆过点,其中为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若,过点作与直线平行的直线,与椭圆相交于,两点.
①求的值；
②点满足,直线与椭圆的另一个交点为,求的值.
【解析】（1）依题意,如图,,,,,,则,
而点B在椭圆上,于是得：,整理得,即,,
所以椭圆的离心率.
（2）①由(1)及得,,椭圆的方程为,而直线与直线平行,
则直线的方程为,,,由消去x得：,显然
于是得,,
所以.
②因,由①得,设,,
则,,,
,即,解得,
而,,都在椭圆上,即,,,,
整理得：,
由①可知,则有,解得,
所以的值是.
7．（2022届广东省江门市高三上学期10月月考）设分别是平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量,若向量,,且,其中.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线与轨迹交于,两点,设,是否存在直线,使得四边形是矩形？若存在,求出直线的方程；若不存在,试说明理由.
【解析】（1）由题意得,,
,,
设,,则动点M满足,
由椭圆的定义可知动点M的轨迹是以,为焦点的椭圆,
设椭圆的方程为,则,,
,
故轨迹的方程为
（2）存在满足条件的直线.设直线的方程为,
由方程组,消去,整理得：
则恒成立,即直线与椭圆恒有两个不同的交点,
设交点为,,则①,②
由得,即,∴四边形OAPB为平行四边形
若存在直线使四边形OAPB为矩形,则,
即③
将① ②代入③式得：,解得,
所以直线的方程为,此时四边形OAPB为矩形.
8．已知点在抛物线上,过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B,且直线PA交轴于M,直线PB交轴于N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设O为原点,,求证：为定值.
【解析】（1）因点在抛物线上,则,解得,
所以抛物线C的方程为.
（2）令直线的斜率为k,则直线方程为：,
由消去y并整理得：,
因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B,则,解得且,
又直线PA,PB与轴相交,而点(1,-2)在抛物线C上,则直线不能过点(1,-2),
否则PA或PB之一平行于y轴,矛盾,因此,
综上得：,且,
所以直线的斜率的取值范围.
（3）设点,,,而,则,同理,
设,由(2)知,
直线方程：,即,则,
令,得,同理,
于是得
,
所以为定值2.
9．（2022届上海市格致中学高三上学期期中）椭圆：的焦点,是等轴双曲线：的顶点,若椭圆与双曲线的一个交点是P,的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点,设直线、的斜率分别为,,求证,的乘积为定值；
（3）过点任作一动直线l交椭圆与A,B两点,记,若在直线AB上取一点R,使得,试判断当直线l运动是,点R是否在某一定直线上运动？若是,求出该直线的方程；若不是,请说明理由.
【解析】（1）有由题可知：,由的周长为
所以,即
所以
所以椭圆的方程为
（2）设,由
所以
所以,又,则
所以
（3）依题可知：直线的斜率存在,设方程为,
所以
所以
由,设
由
所以
所以
10．椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左 右焦点分别为,,从发出的一条不与x轴重合的光线,在椭圆上依次经M,N两点反射后,又回到点,这个过程中光线所经过的总路程为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线,且满足,若,求实数m的取值范围.
【解析】（1）由椭圆的光学性质知过椭圆左焦点,由椭圆定义知,即,
所以,所以椭圆方程为；
（2）由已知,设,
则直线方程为,联立方程组可得,
则,,
因为,所以,所以,
则,消去可得,
,,即,解得,
.
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专题8 圆锥曲线与向量的交汇
一、考情分析
平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平移向量作为工具处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.
二、解题秘籍
(一) 圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略
1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为；
2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥.
3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②=(+).
4.在四边形ABCD中,若 =0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若 = ,则ACBD.
5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.
【例1】（2021届安徽省合肥市高三检测）已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2,且经过点；过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l,满足,若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．
【分析】（1）设椭圆C的方程为,根据椭圆C的长半轴长为2,且经过点,可得,即可得到答案；
（2）由题意得直线l的斜率必存在,设直线l的方程为：,利用韦达定理,代入向量等式可得,求出的值,即可得到答案；
【解析】（1）（1）∵中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2,且经过点,
∴设椭圆C的方程为,
由题意得,解得,
∴椭圆C的方程为．
（2）∵过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,
∴若存在直线l满足题意,则直线l的斜率必存在,
设直线l的方程为：,
由,
得,
∵直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B,
设A、B两点的坐标分别为,
∴,
整理,得,解得,
又,
∵,即,
∴,
∴,
∴,
解得,∵,∴,
∴存在直线l满足条件,其方程为．
(二) 把向量共线转化为点共线或点在直线上
此类问题通常是把转化为点共线,或点C在直线AB上.
【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆的左 右顶点分別为,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,t）（t≠0）,且满足.
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：M,F,N三点共线.
【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及离心率求椭圆参数,写出椭圆方程即可.
（2）设,由题设易知共线,共线,利用向量共线的坐标表示有,再由M,N在椭圆上可得,最后由,结合分析法证明结论.
【解析】（1）椭圆C的右焦点为,且离心率为,
∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的方程为.
（2）由（1）知,的坐标分别为,设,
∴,,,,
∵,,
∴三点共线,三点共线,即,整理得,两边平方得,①又M,N在椭圆上,则,代入①并化简得,
又,,
∴要证M,F,N三点共线,只需证,即,只需证,整理得,
∴M,F,N三点共线.
(三) 利用向量共线求双变量的关系式
此类问题一般是给出形如的条件,确定关于的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量.
【例3】已知椭圆C：＋＝1经过点(0,),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M,且＝λ,＝μ,当直线l的倾斜角变化时,探求λ＋μ的值是否为定值？若是,求出λ＋μ的值；否则,请说明理由.
【分析】（1）由椭圆所过的点及离心率求椭圆参数,进而写出椭圆方程即可.
（2）由题设,可设直线l为y＝k(x－1) 、A(x1,y1)、B(x2,y2),联立椭圆方程并应用韦达定理求x1＋x2,x1x2,由向量数乘的坐标表示可得λ、μ关于x1、x2的表达式,进而判断λ＋μ是否为定值.
【解析】（1）依题意得：b＝,e＝＝,a2＝b2＋c2,
∴a＝2,c＝1,
∴椭圆C的方程为＋＝1；
（2）直线l与y轴相交于M,故斜率存在,又F (1,0),
设直线l方程为y＝k(x－1),则M(0,－k),
设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0,
∴x1＋x2＝,x1x2＝,又＝λ,
∴(x1,y1＋k)＝λ(1－x1,－y1),
∴λ＝,同理μ＝,
∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.
∴当直线l的倾斜角变化时,λ＋μ的值为定值－.
(四) 利用向量加法的几何意义构造平行四边形
若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.
【例4】（2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考）已知点是已知椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,当时,面积达到最大,且最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的取值范围.
【分析】（1）根据题意,点在短轴端点时,△PF1F2的面积最大,且为正三角形,进而得到的关系,解得答案即可；
（2）根据判断出四边形是平行四边形,进而设出直线方程并代入椭圆方程化简,然后结合根与系数的关系求出面积的表达式,最后解出面积的范围.
【解析】（1）由题可知,当点在短轴端点时,△PF1F2的面积最大,且为正三角形,
,又,由,解得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）设,则由,
可得,即,
,
又因为,所以四边形是平行四边形,
设平面四边形的面积为S,
则.
设,则,
所以
因为,而对勾函数在上单调递增,所以,
所以.
所以四边形面积的取值范围为.
(五) 把向量的数量积转化为代数式
若圆锥曲线问题有用向量数量级给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.
【例5】已知椭圆的左 右焦点分别为,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点.
（1）若,求的值；
（2）若点在第一象限,满足,求的值；
（3）在平面内是否存在定点,使得是一个确定的常数？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.
【分析】（1）求得椭圆的焦点坐标为,结合,列出方程,即可求解；
（2）设,由,得到即,联立方程组求得,求得直线的方程,即可求解；
（3）当直线的斜率存在时时,设的方程,联立方程组求得,
利用,列出方程组,求得的值,得到定点满足条件为定值,当斜率不存在时,直线的方程为,验证得到为定值.
【解析】（1）由椭圆的方程,可得,则,
即焦点坐标为,
因为,若,则,即,
解得,即,所以的值为.
（2）设,因为,
由（1）可得,所以,即,
又由,所以,解得,
所以直线的方程为,令,可得,即,
所以的值为.
（3）当直线的斜率存在时时,设直线的方程,
设,
联立方程组,整理得,
可得,
所以
,
则恒成立,
则,解得,
此时,即存在定点满足条件,
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
可得,
设要使得是一个常数,
即,
显然,也使得成立,
综上所述：存在定点满足条件.
(六) 把垂直问题转化为向量的数量积为零
求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.
【例6】已知椭圆的右焦点为,椭圆上的点到的距离的最大值和最小值分别为和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若圆的切线与椭圆交于,两点,是否存在正数,使得？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到从而求得,,进而求得；（2）先讨论直线斜率不存在的时候,可得到此时的,当直线斜率存在的时候,设出直线方程,将直线和椭圆联立,等价于,代入韦达定理可得到,根据点到直线的距离公式可得到结果.
【解析】（1）由题意可得,,解得,,
则,
所以椭圆方程为；
（2）假设存在正数,使得,即使得,当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,
可得,,因为,
则有,解得,
又直线为圆的切线,所以；
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,,,
联立,可得,
则,
所以,
且,
所以,
因为,
则,
所以,
整理可得,
则,
所以,
因为直线为圆的切线,
故原点到的距离为,
所以存在正数,使得．
三、跟踪检测
1．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍,设点的轨迹为曲线,直线与交于、两点,点是线段的中点,、是上关于原点对称的两点,且.
（1）求曲线的方程；
（2）当时,求直线的方程；
（3）当四边形的面积时,求的值.
2．已知椭圆C：的左顶点为A,左右焦点分别为F1、F2．上顶点为B；O为坐标原点.
（1）若,求椭圆C的离心率；
（2）设P为椭圆C上的一点,且PF1//AB,,若点P的纵坐标为2,求椭圆C的方程．
3．(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆的焦点恰为椭圆长轴的端点,且的短轴长为2
（1）求椭圆的方程．
（2）若直线与直线平行,且与交于,两点,,求的最小值．
4．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线与椭圆：相交于,两点,与轴交于点,若存在使得,求的取值范围.
5．已知椭圆C：的离心率为,且是C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点作直线l交椭圆C于A,B两点,在x轴上是否存在点M,使为定值？若存在,求出点M的坐标及该定值；若不存在,试说明理由．
6．（2022届四川省成都市高三上学期期中）已知椭圆的左顶点为,右焦点为,过点作斜率为的直线与相交于,,且以为直径的圆过点,其中为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若,过点作与直线平行的直线,与椭圆相交于,两点.
①求的值；
②点满足,直线与椭圆的另一个交点为,求的值.
7．（2022届广东省江门市高三上学期10月月考）设分别是平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量,若向量,,且,其中.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线与轨迹交于,两点,设,是否存在直线,使得四边形是矩形？若存在,求出直线的方程；若不存在,试说明理由.
8．已知点在抛物线上,过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B,且直线PA交轴于M,直线PB交轴于N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设O为原点,,求证：为定值.
9．（2022届上海市格致中学高三上学期期中）椭圆：的焦点,是等轴双曲线：的顶点,若椭圆与双曲线的一个交点是P,的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点,设直线、的斜率分别为,,求证,的乘积为定值；
（3）过点任作一动直线l交椭圆与A,B两点,记,若在直线AB上取一点R,使得,试判断当直线l运动是,点R是否在某一定直线上运动？若是,求出该直线的方程；若不是,请说明理由.
10．椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左 右焦点分别为,,从发出的一条不与x轴重合的光线,在椭圆上依次经M,N两点反射后,又回到点,这个过程中光线所经过的总路程为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线,且满足,若,求实数m的取值范围
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