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专题9 抛物线中的切线问题
一、考情分析
对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题
求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解.
【例1】（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到,距离之和为,抛物线E：的焦点是点.
（1）求曲线C和抛物线E的方程；
（2）点是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求的面积的取值范围．
【分析】(1)根据给定条件求出椭圆C的长短半轴长即可直接写出其方程,再写出抛物线E的方程.
(2)设出过点Q的抛物线E的切线方程,再与抛物线方程联立,借助判别式为0求出两条切
线斜率的关系、二切点坐标,再用点Q的坐标表示出的面积即可计算作答.
【解析】（1）依题意,曲线C是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,则短半轴长有,
曲线C的方程为：,即,在中,,即,
所以曲线C的方程为：,抛物线E的方程为：.
（2）显然,过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：,
由消去x并整理得：,
依题意,,设二切线斜率为,则,,
设斜率为的切线所对切点,斜率为的切线所对切点,
因此,,,于是得,,,
直线MN上任意点,,由得：
,化简整理得：,
则直线MN的方程为：,点Q到直线MN的距离,
,
则的面积,
而点在曲线C上,即,,
在上单调递减,当时,,当时,,
于是有,则,有
所以的面积的取值范围是.
(二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题
求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线点处的切线斜率为,切线方程为.
【例2】设抛物线：,其焦点为 ,准线为,点为上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,且,.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点为外的一点且点不在坐标轴上,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,过点作轴的垂线,垂足为,连接 ,,证明：直线与直线关于轴对称.
【分析】（1）由抛物线的定义可得,为等边三角形,结合条件可求出,设直线交轴于点,则在中,可求出,即得出抛物线方程；（2）要证明直线与直线关于轴对称,只需证明两条直线的斜率之和为0即可,通过导数的几何意义,可求出直线与直线的方程,进而可求出直线的方程,和抛物线方程联立方程,结合根与系数的关系可得点的横坐标的关系,进而得出直线与直线斜率的表达式,即可算出这两条直线的斜率之和为0,即可得证.
【解析】（1）,为等边三角形,,
又,
设直线交轴于点,则在中,,的方程为
（2）设点,,,又的方程为可化为,
所以过点且与相切的直线的斜率为,过点且与相切的直线的斜率为,所以直线的方程为,直线的方程为.
又直线与均过点,,,
又,,,,
所以直线的方程为,
联立方程和得方程组
消去得,
,,,
,
又,
则直线的斜率；直线的斜率,,
,
,
所以直线与直线关于轴对称.
(三) 抛物线中与切线有关的性质
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,
则(1)切线交点在准线上
(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴
(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直
(4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直
(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
反之：
(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦
(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．
【例3】已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线与抛物线C相交于A,B两点,在A,B处分别作C的切线,交点为P.
（i）证明：；
（ii）若直线FP交C于M,N两点(M在线段FP上),求四边形面积的最小值.
【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点到其准线的距离为,解得,即可得出答案．
（2）（ⅰ）设,,,,,,直线方程为,联立抛物线的方程,得关于的一元二次方程,结合韦达定理可得,,利用导数的几何意义可得切线的斜率,写出切线的方程,同理可得,抛物线在点处的切线方程,联立上述两切线方程,解得,,计算,即可得出答案．
（ⅱ）由抛物线的定义可得,,再结合基本不等式得最小值．
【解析】（1）抛物线C的焦点为,准线方程为,
所以焦点F到其准线的距离为,
因为,解得.
所以抛物线C的方程为.
（2）（i）证明：由题意,直线AB的斜率一定存在,设其方程为,
代入抛物线方程,整理得.
设,,,
则,.
函数的导数为,故抛物线在点A处的切线方程为,化简得,
同理,抛物线在点B处的切线方程为,
联立上述两切线方程,解得,,
因为,,
所以,
所以.
（ii）显然,由（i）知,
所以,
因为,所以直线MN的斜率为,
将替换上式中的k,可得,
所以,
因为,当且仅当,即时,取等号.
所以,所以,当时,四边形AMBN面积的最小值为8.
【例4】已知直线过原点,且与圆交于,两点,,圆与直线相切,与直线垂直,记圆心的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过直线上任一点作的两条切线,切点分别为,,证明：
①直线过定点；
②．
【分析】（1）设,根据圆的性质分析得到,将其转化为关于的方程并化简,即可求得的方程；（2）①设出点的坐标,然后可求出切线的方程,由此可得直线的方程并分析所过的定点；②联立直线与曲线的方程,通过韦达定理计算出的值等于即可证明.
【解析】（1）如图,设,
因为圆与直线相切,所以圆Ａ的半径为．
由圆的性质可得,即,化简得．
因为与不重合,所以,
所以的方程为．
（2）证明：①由题意可知,与不重合．
如图,设,,则,
因为,所以切线的斜率为,
故,整理得．
设,同理可得．
所以直线的方程为,
所以直线过定点．
②因为直线的方程为,
由消去得,
所以,．
又
,
所以．
三、跟踪检测
1．已知椭圆方程为,若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求该抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,分别在点,处作抛物线的切线,两条切线交于点,则的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在,请说明理由.
2．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：直线轴；
（3）以线段为直径作圆,交直线于,求 的取值范围．
3．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．
（1）求实数的值；
（2）若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线、,且、的交点为Q,、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．
4．过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A,线段OA的中点为M,又点,．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：
①,②；③的面积为．
（1）______,求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
5．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点的动圆始终与直线：相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）动点在直线上,过点作曲线的两条切线分别交轴于B,D两点,当的面积是时,求点坐标.
6．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点在圆上,,是的两条切线.,是切点,求面积的最大值.
7．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线：的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点点之间,连接,过点作直线的平行线,证明是抛物线的切线.
8．已知抛物线,其焦点为F,抛物线上有相异两点,．
（1）若轴,且经过点A的抛物线的切线经过点,求抛物线方程；
（2）若,且,线段AB的中垂线交x轴于点C,求面积的最大值．
9．（2021届福建省厦门高三模拟）设抛物线：（）的焦点为,点（）在抛物线上,且满足．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于,两点,分别以,为切点的抛物线的两条切线交于点,求三角形周长的最小值．
10．（2021届广东省汕头市高三三模）已知圆与定直线,且动圆与圆外切并与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点是直线上一个动点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为、.
①求证：直线过定点；
②求证：
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专题9 抛物线中的切线问题
三、跟踪检测
1．已知椭圆方程为,若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求该抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,分别在点,处作抛物线的切线,两条切线交于点,则的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由椭圆,知,,所以,
所以椭圆的焦点坐标为或,
又因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,
所以抛物线的焦点是,可得,则.
于是抛物线的方程为.
（2）由（1）知,,设,,
易知直线的斜率存在,则设直线的方程为,
由 消去并整理,得,
且,,,
由可得,所以,
所以直线的斜率,
则直线的方程为,即,
同理得直线的方程为,
设点,联立直线与的方程 ,
得 即,,
点到直线的距离,
所以的面积
所以当时,,
故面积的最小值为,此时直线的方程为.
2．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：直线轴；
（3）以线段为直径作圆,交直线于,求 的取值范围．
【解析】（1）设抛物线的方程为,
由题意可得,所以,所以抛物线方程.
（2）由（1）,因为,设,
直线的方程为,直线的方程为,
联立上述两直线方程,得点坐标,
又因为点为线段的中点,所以点坐标,
因为,所以直线轴：
（3）因为点,所以,则,圆心,
直线的斜率为,直线方程为,
,得,,,
圆心到直线的距离为,半径,
,令,
在时单调递减,．
3．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．
（1）求实数的值；
（2）若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线、,且、的交点为Q,、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．
【解析】（1）因为点到其焦点F的距离为2,由抛物线的定义知
解得
（2）由上问可知,抛物线方程E：
设,,（,）,
设l：,联立,得,
判别式,故R
,
设：
联立方程组,消x得,
所以
所以
则：,即,令,得,
同理：,,
联立,得交点Q的横坐标为,
∴
∴面积的取值范围是．
4．过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A,线段OA的中点为M,又点,．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：
①,②；③的面积为．
（1）______,求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0,设其方程为,
由得或即,
所以线段OA的中点．
因为,所以直线PM的斜率存在,．
所以,解得,
所以直线OA的方程为,．
若选①,不妨令,
由,得,解得（舍去）,
所以抛物线C的方程为．
若选②,因为,,
所以点P到直线OA的距离为,即,
解得（舍去）,所以抛物线C的方程为．
若选③,不妨令,
因为,
点P到直线OA的距离,
所以,解得（舍去）,
所以抛物线C的方程为．
（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．
设,切线BQ的方程为,
由得,（*）
所以,解得,
所以方程（*）的根为,
代入得,所以切点,
于是,则,
所以直线l的方程为,即,
所以当b变化时,直线l恒过定点．
5．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点的动圆始终与直线：相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）动点在直线上,过点作曲线的两条切线分别交轴于B,D两点,当的面积是时,求点坐标.
【解析】（1）设动圆圆心坐标为,
因为过定点的动圆始终与直线：相切,
可得,化简得,
即动圆圆心的轨迹方程：.
（2）设动点,根据题意过点A作曲线C的切线斜率存在,
设为,所以切线方程为,
联立方程组,整理得,且,
因为有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为,,
所以,,
切线交轴于点,
切线交轴于点,
所以,
即,解得,
所以点坐标为或.
6．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点在圆上,,是的两条切线.,是切点,求面积的最大值.
【解析】（1）抛物线的焦点为,,
所以,与圆上点的距离的最小值为,解得；
所以抛物线的方程为.
（2）抛物线的方程为,即,对该函数求导得,
设点,,,
直线的方程为,即,即,
同理可知,直线的方程为,
由于点为这两条直线的公共点,则,
所以,点、的坐标满足方程,
所以,直线的方程为,
联立,可得,
由韦达定理可得,,
所以
点到直线的距离为,
所以,,
,
由已知可得,所以,当时,的面积取最大值.
7．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线：的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点点之间,连接,过点作直线的平行线,证明是抛物线的切线.
【解析】（1）解：设过点的直线方程为,,
联立,得,
则,
所以,
,
因为,
所以,
化简得,所以,
当过点的直线斜率不存在时,则,
故,
又因为,
则,所以,
综上所述,,
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限,
则,
设直线PQ的方程为,,
联立,消元整理得,
则,即故,即,
当时,,则,
又因,且点介于点点之间,则为的中点,
所以,
则直线的斜率为,
因为直线平行直线,
所以直线的斜率为,
故直线的方程为,即,
联立,消元整理得,
,
所以直线l与抛物线只有一个交点,
有直线l斜率不为0,
所以是抛物线的切线.
8．已知抛物线,其焦点为F,抛物线上有相异两点,．
（1）若轴,且经过点A的抛物线的切线经过点,求抛物线方程；
（2）若,且,线段AB的中垂线交x轴于点C,求面积的最大值．
【解析】（1）抛物线,焦点坐标为,因为,所以,所以,又,所以,所以过A点的切线的斜率,所以切线方程为,令得,所以,所以
（2）若,则抛物线为,焦点为,准线方程为,因为,所以,所以,设直线的方程为,联立得,
所以,,
所以,即,
所以,解得,
当时,直线方程为,则,,所以的中垂线恰为轴,则,所以,
当,且时,
又的中点坐标为,所以的中垂线的方程为,令得,所以,所以到的距离,又,
所以
令,则,,因为,所以当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,所以
所以
所以
9．（2021届福建省厦门高三模拟）设抛物线：（）的焦点为,点（）在抛物线上,且满足．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于,两点,分别以,为切点的抛物线的两条切线交于点,求三角形周长的最小值．
【解析】（1）由抛物线定义,得,得,
∴抛物线的标准方程为；
（2）设,,直线的方程为,
∴联立,消掉,得,,
∴,,
设,处的切线斜率分别为,,则,,
∴在点的切线方程为,即①,
同理,在的切线方程为②,
由①②得：,代入①或②中可得：,
∴,即在定直线上,
设点关于直线的对称点为,则,由（1）知,
∵,即三点共线时等号成立,
∴三角形周长最小值为．
10．（2021届广东省汕头市高三三模）已知圆与定直线,且动圆与圆外切并与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点是直线上一个动点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为、.
①求证：直线过定点；
②求证：.
【解析】（1）依题意知：到的距离等于到直线的距离,
动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,
设抛物线方程为,则,则,即抛物线的方程为,
故：动圆圆心的轨迹的方程为：；
（2）①由得：,,
设、,,其中,
则切线的方程为,即,
同理,切线的方程为,
由,解得,,即,
、,
直线的方程为,化简得,
即,
故直线过定点；
②由①知：直线的斜率为,
（i）当直线的斜率不存在时,直线的方程为,,；
（ii）当直线的斜率存在时,、,
直线的斜率,,
,.
综上所述：得证
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