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专题11 点差法在圆锥曲线中的应用
一、考情分析
圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.
二、解题秘籍
(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程
求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.
【例1】过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程.
【分析】设直线与椭圆的交点为、,代入椭圆方程相减得,用点斜式写出直线方程.
【解析】设直线与椭圆的交点为、
为的中点
又、两点在椭圆上,则,
两式相减得
于是
即,故所求直线的方程为,即.
【例2】已知双曲线,离心率,虚轴长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点能否作直线,使直线与双曲线交于两点,且点为弦的中点 若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由．
【分析】（1）根据离心率及虚轴长即可求解；（2）运用点差法求解,但是要注意检验.
【解析】(1),,,．
,．
．
∴双曲线的标准方程为．
(2)假设以定点为中点的弦存在,
设以定点为中点的弦的端点坐标为,,
可得,．
由,在双曲线上,可得：,
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：
,
则以定点为中点的弦所在的直线方程为．即为,
代入双曲线的方程可得,
由,
所以不存在这样的直线．
(二) 求弦中点轨迹方程
求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.
【例3】已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
【分析】设出弦端点坐标及的中点为,代入椭圆方程相减,利用可得轨迹方程,但要注意轨迹的纯粹性.
【解析】设弦的两个端点分别为,的中点为.
则,（1）,（2）
得：, .
又,.
弦中点轨迹在已知椭圆内,所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.
【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.
引理 ：设、是二次曲线上两点,是弦的中点,且弦的斜率存在,
则……（1）
……（2）
由（1）-（2）得
,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴直线的斜率.
二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．
请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题：
已知椭圆.
（1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程;
（2）过点引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.
【分析】（1）设、是椭圆上两点,是弦的中点,则,两式相减,再根据点为弦的中点求得直线AB的斜率即可.
（2）由题意知：割线的斜率存在,设、是椭圆上两点,是弦的中点,则,两式相减得：再根据点为弦的中点求得直线AB的斜率,再结合求解.
【解析】（1）设、是椭圆上两点,是弦的中点,
则,两式相减得：
,
∵,,
∴,
∴,
∴直线的斜率.
直线AB的方程为,即.
因为在椭圆内部,成立.
（2）由题意知：割线的斜率存在,设、是椭圆上两点,是弦的中点,
则,两式相减得：
,
∵,,
∴,
∴,
∴直线的斜率
又,
所以 ,
化简得：,
所以截得的弦的中点的轨迹方程为
(三) 求直线的斜率
一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率
【例5】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上.
(1)若线段MN的中点坐标为,求直线MN的斜率；
(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.
【分析】（1）可设,采用点差法并结合中点坐标公式可求；
（2）画出图形,可设直线NF1：x＝my－2,联立直线与椭圆方程得关于的韦达定理,由几何关系知,,由韦达定理求出,代换出,结合换元法和基本不等式可求△PMN面积的最大值.
【解析】(1)设,则,
两式相减,可得,
则,
解得,即直线MN的斜率为；
(2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1：,,
联立,消去x整理得,显然,
故,故△PMN的面积
,
令,则,当且仅当,即时等号成立,故△PMN面积的最大值为.
【例6】已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.
【分析】（1）略，（2）利用点差法求出，进一步求出,即可求出直线的斜率.
【解析】（1）证 略.
（2）解 ,设线段的中点为.
又在椭圆上,,（1）,（2）
得：,
.
直线的斜率,直线的方程为.
令,得,即,直线的斜率.
(四) 求参数范围
【例7】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称,求实数的取值范围.
【分析】当时满足题意.时,设抛两点分别为,且的中点为,利用点差法则,（1）,（2）,.根据中点在直线上,得 .根据中点在抛物线区域内,解得.
【解析】当时,显然满足.
当时,设抛物线上关于直线对称的两点分别为,且的中点为,则,（1）,（2）
得：,,
又,.
中点在直线上,,于是.
中点在抛物线区域内
,即,解得.
综上可知,所求实数的取值范围是.
(五) 利用点差法可推导的结论
在椭圆中,若直线l与该椭圆交于点,点为弦AB中点,O为坐标原点,则,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.
【证明】设且,
则,（1）,（2）
得：,
,.
又,,（定值）.
【例8】（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2,求k1·k2的值；
(2)若＝,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．
【分析】（1）设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),根据M为PQ的中点,利用点差法求解；
（2）根据＝,得到APQ是以A为直角顶点的直角三角形,则AP⊥AQ,然后直线l的斜率不存在,直线l的斜率存在时,将直线方程y＝kx＋m,与双曲线方程－＝1联立,由(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0结合韦达定理求解.
【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
因为P、Q在双曲线上,
所以－＝1,－＝1,
两式作差得－＝0,
即＝,
即＝,
即k1·k2＝；
(2)因为＝,
所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形,即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时,设l：x＝t,代入－＝1得,y＝±b,
由|t－a|＝b得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,
得t＝或a(舍),
故直线l的方程为x＝；
②当直线l的斜率存在时,设l：y＝kx＋m,代入－＝1,
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1＋x2＝,x1x2＝－；
因为AP⊥AQ,
所以·＝0,
即(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0,
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0,
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0,
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0,
即＝0,
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,
所以k＝－或k＝－；
当k＝－时,直线l的方程为y＝－x＋m,此时经过A,舍去；
当k＝－时,直线l的方程为y＝－ x＋m,
恒过定点(,0),经检验满足题意；
综上①②,直线l过定点(,0)．
三、跟踪检测
1．（2022届广东省清远市高三上学期期末）设抛物线的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若的中点到准线l的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以为直径的圆上．
2．（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点.当直线的斜率为1时,点是线段的中点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图,若过点的直线交椭圆于,两点,且,求四边形的面积的最大值.
3．如图,是过抛物线焦点F的弦,M是的中点,是抛物线的准线,为垂足,点N坐标为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积（O为坐标系原点）.
4．在平面直角坐标系中,设点,直线：,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、的中点分别为M、N.求直线过定点D的坐标.
5．中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上,、为该双曲线的焦点,当点的纵坐标为时,恰好.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点能否作直线,使与此双曲线相交于、两点,且是弦的中点？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由.
6．己知椭圆的焦距为,短轴长为2,直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为1,求弦的长；
(3)若过点的直线与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦的中点,求直线的方程．
7．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为,AB为椭圆的一条弦,直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M,与椭圆C交于P,Q两点,设直线AB的斜率为,点P的坐标为（1,）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：为定值.
8．已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦,使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点,证明：、、、四点共圆．
9．李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F1,F2处,|F1F2|＜8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C,当笔尖运动到点M处时,经测量此时∠F1MF2＝,且△F1MF2的面积为4．
（1）以F1,F2所在直线为x轴,以F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；
（2）若直线l与轨迹C交于A,B两点,且弦AB的中点为N（2,1）,求△OAB的面积
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专题11 点差法在圆锥曲线中的应用
三、跟踪检测
1．（2022届广东省清远市高三上学期期末）设抛物线的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若的中点到准线l的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以为直径的圆上．
【解析】 (1)设,则
所以,整理得,
所以．
因为直线的方程为,
所以．
因为的中点到准线l的距离为4,
所以,得,
故抛物线C的方程为．
(2)设,可知切线的斜率存在且不为0,
设切线的方程为,
联立方程组得,
由,得,即,
所以方程的根为,
所以,即．
因为,所以,
所以,即F在以为直径的圆上．
2．（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点.当直线的斜率为1时,点是线段的中点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图,若过点的直线交椭圆于,两点,且,求四边形的面积的最大值.
【解析】 (1)设,.
由题意可得
∴,即,
∴.
∵,∴,,
∴椭圆的标准方程为.
(2)根据对称性知,,
∴四边形是平行四边形,又,
∴问题可转化为求的最大值.
设直线的方程为,代入,得.
则,,
∴.
令,则,且,
∴.
记,易知在上单调递增.
∴.
∴.
∴四边形的面积的最大值是6.
3．如图,是过抛物线焦点F的弦,M是的中点,是抛物线的准线,为垂足,点N坐标为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积（O为坐标系原点）.
【解析】 (1)点在准线上,所以准线方程为：,
则,解得,所以抛物线的方程为：；
(2)设,由在抛物线上,
所以,则,
又,所以点M纵坐标为是的中点,所以,
所以,即,又知焦点F坐标为,则直线的方程为：,
联立抛物线的方程,得,解得或,所以,
所以.
4．在平面直角坐标系中,设点,直线：,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、的中点分别为M、N.求直线过定点D的坐标.
【解析】 (1)依题意,点在直线：上移动,令直线交x轴于点K,而点,又是线段与轴的交点,
当点P与点K不重合时,,而O为FK中点,则点是线段的中点,因,
则是线段的垂直平分线,,又于点P,即是点到直线的距离,
当点P与点K重合时,点R与点O重合,也满足上述结论,
于是有点Q到点F的距离等于点Q到直线l的距离,则动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为：,
所以动点的轨迹的方程为.
(2)显然直线与直线的斜率都存在,且不为0,设直线AB的方程为,,
令,,,
由两式相减得：,则,即,
代入方程,解得,即点M的坐标为,
而,直线方程为,同理可得：N的坐标为,
当,即时,直线：,
当且时,直线的斜率为,方程为,整理得,
因此,,直线：过点,
所以直线恒过定点.
5．中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上,、为该双曲线的焦点,当点的纵坐标为时,恰好.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点能否作直线,使与此双曲线相交于、两点,且是弦的中点？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由.
【解析】 (1)设双曲线的标准方程为.
选①：由题意可知,双曲线的两个焦点分别为、,
由双曲线的定义可得,则,故,
所以,双曲线的标准方程为.
选②：圆的标准方程为,圆心为,半径为,
双曲线的渐近线方程为,由题意可得,解得,
即,因为,则,,
因此,双曲线的标准方程为.
选③：由勾股定理可得,
所以,,则,则,故,
所以,双曲线的标准方程为.
(2)假设满足条件的直线存在,设点、,则,
由题意可得,两式作差得,
所以,直线的斜率为,所以,直线的方程为,即.
联立,整理可得,,
因此,直线不存在.
6．己知椭圆的焦距为,短轴长为2,直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为1,求弦的长；
(3)若过点的直线与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦的中点,求直线的方程．
【解析】 (1)依题意,椭圆C的半焦距,而,则,
所以椭圆C的方程为：.
(2)设,
依题意,直线l的方程为：,由消去y并整理得：,
解得,因此,,
所以弦的长是.
(3)显然,点在椭圆C内,设,因E、G在椭圆C上,
则,两式相减得：,
而Q是弦的中点,即且,则有,
于是得直线的斜率为,直线的方程：,即,
所以直线的方程是.
7．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为,AB为椭圆的一条弦,直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M,与椭圆C交于P,Q两点,设直线AB的斜率为,点P的坐标为（1,）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：为定值.
【解析】（1）由题意知解得
故椭圆的方程为.
（2）证明：设,,,由于A,B为椭圆C上的点,所以,,
两式相减得,
所以.
又,
故,为定值.
8．已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦,使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点,证明：、、、四点共圆．
【解析】（1）双曲线的标准方程为,,．
设存在过点的弦,使得的中点为,
设,,,
两式相减得,即得：,．
存在这样的弦．这时直线的方程为．
（2）设直线方程为,则点在直线上．
则,直线的方程为,
设,,的中点为,,
两式相减得,则,则
又因为在直线上有,解得,
,解得,,
,整理得,则
则
由距离公式得
所以、、、四点共圆．
9．李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F1,F2处,|F1F2|＜8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C,当笔尖运动到点M处时,经测量此时∠F1MF2＝,且△F1MF2的面积为4．
（1）以F1,F2所在直线为x轴,以F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；
（2）若直线l与轨迹C交于A,B两点,且弦AB的中点为N（2,1）,求△OAB的面积．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为,
由椭圆的定义知2a＝8,故a2＝16．
∵在Rt△F1MF2中,|F1F2|＝2c,假设|MF1|＝x,|MF2|＝y（x,y＞0）,
又∵△F1MF2的面积为4cm2,
,故4c2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝48,
∴c2＝12,b2＝a2﹣c2＝4,
∴椭圆的标准方程为．
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
∵弦AB的中点为N（2,1）,
∴x1+x2＝4,y1+y2＝2 且 x1≠x2．
又∵A,B均在椭圆上,
∴,得,
即.
.
∵x1≠x2,∴
故直线AB的方程为：x+2y﹣4＝0．
联立 ,整理得x2﹣4x＝0．
得 x1＝0,x2＝4,
∴A（0,2）,B（4,0）,
∴．
∴△OAB 的面积为4cm2
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