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三、跟踪检测
1．（2022届广东省潮州市高三上学期期末）已知椭圆的离心率为,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问：在x轴上是否存在定点E,使得为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）由离心率为,得,及,
又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为,
且与直线相切,
所以,
所以,,
所以椭圆C的标准方程为；
（2）假设存在,设,
联立,消整理得,
,
设,
则,
由,
则
,
要使上式为定值,即与无关,
则应,即,
此时为定值,
所以在x轴上存在定点,使得为定值.
2．在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为、,右焦点为,设过点的直线、与此椭圆分别交于点,、,,其中,,
（1）设动点满足,求点的轨迹方程；
（2）设,,求点的坐标；
（3）若点在点的轨迹上运动,问直线是否经过轴上的一定点,若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.
【解析】（1）由椭圆可得：,,.
,.
设,则.
满足,
,
,化简得,
故的轨迹方程为
（2）由及得,则点,
从而直线的方程为；
同理可以求得直线的方程为
联立两方程可解得
点的坐标为.
（3）假设直线过定点,由在点的轨迹上,
直线的方程为,直线的方程为
点,满足得,
又,解得,从而得.
同理：.
直线的方程：,
令,解得.
直线经过定点.
3．（2022届河北省深州市高三上学期期末）已知抛物线,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点．
（1）设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：；
（2）在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）证明：设,,,
故可设直线l的方程为,
由得,
则,,
由题意可知,,,
则,．
因为,
,
所以,故．
（2）假设存在点满足题意,设直线AT,BT的斜率分别为k1,k2．
,,
则
．
因为,且为常数,
所以,即,
故存在点满足题意．
4．（2022届广东省汕尾市高三上学期期末）已知点M为直线：x=-2上的动点,N（2,0）,过M作直线的垂线l,l交线段MN的垂直平分线于点P,记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设O是坐标原点,A,B是曲线C上的两个动点,且,试问直线AB是否过定点？若不过定点,请说明理由；若过定点,请求出定点坐标．
【解析】（1）由已知可得,,
即点P到定点N的距离等于它到直线的距离,
故点P的轨迹是以N为焦点,为准线的抛物线,
∴曲线C的方程为.
（2）设直线的方程为
联立,得
,
解得
所以直线过定点．
5．（2022届北京市东城区高三上学期期末）已知椭圆过点,其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一动点（不在轴上）,为中点,过原点作的平行线,与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值,求出该值；若不为定值,请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆过点,其右焦点为
所以,即,所以,
所以椭圆方程为
（2）设,则,
所以,所以过原点与的平行的线的方程为,
所以,
所以,,
所以,
因为,故,
所以,
所以直线与斜率的乘积是为定值.
6．抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l：x＝1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与l相切.
（1）求抛物线C,⊙M的方程；
（2）设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.
【解析】（1）由题意,直线x＝1与C交于P,Q两点,且OP⊥OQ,
设C的焦点为F,P在第一象限,则根据抛物线的对称性得：∠POF＝∠QOF＝45°,
∴P(1,1),Q(1,－1).
设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0),则1＝2p,得p＝,
∴抛物线C的方程为y2＝x.
由题意,圆心M(2,0)到l的距离即⊙M的半径,且距离为1,
∴⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
（2）直线A2A3与⊙M相切,理由如下：
设A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),
当A1,A2,A3中有一个为坐标原点,另外两个点的横坐标均为3时,A1A2,A1A3均与⊙M相切,此时直线A2A3与⊙M相切.
当x1≠x2≠x3时,直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0,则,即,
同理可得：,
∴y2,y3是 的两个根,则y2＋y3＝,y2y3＝.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0.
设M到直线A2A3的距离为d(d＞0),则d2＝＝＝1,从而d＝r＝1,
∴直线A2A3与⊙M相切.
综上,直线A2A3与⊙M相切.
7．（2022届河北省保定市高三上学期期末）已知椭圆经过四个点中的三个.
（1）求的方程.
（2）若为上不同的两点,为坐标原点,且与垂直,试问上是否存在点（异于点）,使得？若存在,求点的坐标；若不存在,说明理由.
【解析】（1）因为,两点的横坐标相同,所以可判断这两点不能同时在上.
假设不在上,则由椭圆的对称性可知,也不在上,这与经过,,,四个点中的三个点矛盾,
故假设不成立,从而在上,
因此过,,则,且,得,
故的方程为.
（2）设,.
因为与垂直,所以与关于直线对称,
于是有.
设直线的斜率为,则直线的斜率为,
则直线的方程为,直线的方程为,
联立,可得,
由韦达定理可得,即,
同理可得,
则,
因为,
所以当与重合,即的坐标为时,,
所以上存在定点满足题意,其中的坐标为.
8．（2022届北京市第五中学高三12月阶段考试）已知椭圆G：,与x轴不重合的直线l经过左焦点,且与椭圆G相交于A,B两点,弦AB的中点为M,直线OM与椭圆G相交于C,D两点．
（1）若直线l的斜率为1,求直线OM的斜率；
（2）是否存在直线l,使得成立？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）由题意可得,,由直线的斜率为1,
则直线的方程为,设,,,,
联立,得,
可得,,则,,
故直线的斜率为；
（2）假设存在直线,使得成立,由题意,直线不与轴重合,
设直线的方程为,
联立,得．
设,,,,
则,
可得．
．
则弦的中点的坐标为,
故的方程为．
联立,得,
由对称性,设,,,,则．
可得．
,且,
,
故,代入,,,
得,解得．
直线的方程为．
9．（2022届河南省高考联盟高三上学期12月教学检测）已知椭圆的焦距为4,其左 右顶点为,点为其上一动点,且的面积最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图,若为曲线上异于的两点,直线不过坐标原点,且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为,若直线与直线相交于点,是否存在直线与直线平行？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）依题意：,又,
解得,
椭圆的标准方程.
（2）设,直线的方程为,
与椭圆方程联立,得,
则,
由根与系数的关系得,,
由题知,,设,
由三点共线得,由三点共线得,
则
所以的斜率,则直线的方程为.
若,由则,
可得,则无解,
故直线不存在.
10．（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知为椭圆C：内一定点,Q为直线l：上一动点,直线PQ与椭圆C交于A B两点（点B位于P Q两点之间）,O为坐标原点.
（1）当直线PQ的倾斜角为时,求直线OQ的斜率；
（2）当AOB的面积为时,求点Q的横坐标；
（3）设,,试问是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】（1）因为直线PQ的倾斜角为,且,
所以直线PQ的方程为：,
由,得,
所以直线OQ的斜率是；
（2）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
所以,
解得,即,
所以直线PQ的方程为或,
由,得；
由,得；
（3）
易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
因为,,
所以,
所以,
.
11．（2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系中,动点,满足,记点的轨迹为．
（1）请说明是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点,,线段的中点为,直线与交于两点,,请判断与的关系,并证明你的结论．
【解析】（1）设,,则因为,满足,即动点表示以点,为左、右焦点,长轴长为4,焦距为的椭圆,其轨迹的方程为；
（2）可以判断出,
下面进行证明：
设直线的方程为,,,
由方程组,得①,
方程①的判别式为,由,即,解得且．
由①得,,
所以点坐标为,直线方程为,
由方程组,得,,
所以．
又
．
所以
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专题12 圆锥曲线中的探索性问题
一、考情分析
圆锥曲线中的探索性问题也是高考的热点,常见的题型是探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题.
二、解题秘籍
(一) 解决探索性问题的注意事项及方法
1.解决探索性问题的注意事项
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
2．存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
【例1】（2022届北京一六一中学高三12月测试）已知椭圆上一点与椭圆C的两个焦点构成的三角形周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作x轴的垂线,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线上）,点A关于的对称点为,直线与C交于另一点B．设O为原点,判断直线与直线的位置关系,并说明理由．
【分析】（1）由焦点三角形的周长为,及,联立方程组可得,,进而得椭圆方程；
（2）根据与关于对称,可知直线与斜率互为相反数；假设方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理得两根之积为,从而求得,同理可得,从而可求得,再利用直线方程求得；根据两点连线斜率公式得到,从而可得直线与直线平行.
【解析】（1）∵,∴,
又∵焦点三角形的周长为,
故,解得
故椭圆的方程为：.
（2）（1）由题意的：,解得,
椭圆的方程为
（2）直线与直线平行,证明如下：
由题意,直线的斜率存在且不为零
关于对称,则直线与斜率互为相反数
设直线,
设,
由,消去得
∴
∴
同理
,
又
故直线与直线平行
【例2】已知椭圆的离心率为,又点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作直线的垂线,垂足为,试探究：是否为定值,如果是,请求出该值；如果不是,请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组,解出这三个量的值,即可得出椭圆的标准方程；（2）对切线分三种情况讨论,设出直线的方程,根据直线与椭圆相切可得出参数所满足的等量关系式,求出点的坐标,计算出的值,即可得出结论.
【解析】（1）由已知可得,解得,因此,椭圆的方程为.
（2）①当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,
联立直线和椭圆的方程得,
消去并整理,得,
因为直线和椭圆有且仅有一个公共点,即方程有两个相等的根,
,化简并整理,得,
因为直线与垂直,所以直线的方程为,
联立,解得,即点.
,
所以,；
②当切线的斜率为时,直线,过点作直线的垂线为,
即此时或,；
③当切线的斜率不存在时,直线,过点作直线的垂线为,
即此时或,则.
综上所述,恒为定值．
(二)探索曲线上是否存在符合条件的点
求解此类问题一般是先假设存在符合条件的点,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.
【例3】（2022届天津市南开中学2高三上学期检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、,且也是抛物线：的焦点,为椭圆与抛物线在第一象限的交点,且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于,两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时,总有？说明理由．
【分析】（1）根据也是抛物线：的焦点,求得,设点,根据,求得点的坐标,代入椭圆方程,再根据三者的关系求出,即可得出答案；
（2）假设存在满足设,,联立,消,利用韦达定理求得,,由,故,分析计算即可得出答案.
【解析】（1）也是抛物线：的焦点,,
,且抛物线的准线方程为,
设点,
,,,
,,
,解得,,
椭圆方程为；
（2）假设存在满足设,,
联立,消整理得,
由韦达定理有,,其中恒成立,
由显然,的斜率存在,故,即,
由,两点在直线上,故,,
代入整理有,
将代入即有：,要使得与的取值无关,当且仅当““时成立,
综上所述存在,使得当变化时,总有．
(三) 探索直线是否过定点
求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程,然后根据已知条件确定的关系式,再判断直线是否过定点.
【例4】（2022届北京市房山区高三上学期期末）已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的上、下顶点,且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于（不与点重合）两点,若直线与直线的斜率之和为,判断直线是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.
【分析】（1）根据离心率和,求出,,从而求出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率存在时,设直线,(),联立后用韦达定理,利用题干条件列出方程,求出,从而求出直线过的定点,再考虑斜率不存在时是否满足,最终求出答案.
【解析】（1）由离心率为,可得
因为为椭圆的上、下顶点,且,所以 即 ,
又
解得：
所以椭圆的标准方程为
（2）直线经过定点,证明如下：
①当直线的斜率存在时,设,(),
由,得,
则 得：
设
则,,
则
所以,经检验,可满足,
所以直线的方程为,即
所以直线经过定点．
②当直线的斜率不存在时,设,,,
则
解得,此时直线也经过定点
综上直线经过定点．
(四) 探索是否存在符合条件的直线
求解此类问题一般是先设出直线方程（含有参数）,在根据已知条件整理出关于参数的方程或方程组,若方程或方程组有解,则符合条件的直线存在,若方程或方程组无解,则符合条件的直线不存在,
【例5】（2022届天津市耀华中学高三上学期月考）已知为坐标原点,双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形．
（1）求,的方程；
（2）是否存在直线,使得与交于,两点,与只有一个公共点,且？证明你的结论；
（3）椭圆的右顶点为,过椭圆右焦点的直线与交于、两点,关于轴的对称点为,直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．
【分析】（1）将点代入方程,结合正方形面积得到方程组,解得答案.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况,根据直线和椭圆的位置关系计算,再转化得到,根据韦达定理得到根与系数关系,代入计算得到答案.
（3）设直线方程为,联立方程根据韦达定理得到根与系数关系,计算直线方程,得到的横坐标为,根据,计算得到答案.
【解析】（1）根据题意：,,
以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形,边长为
故,,故,代入计算得到,,,
故,.
（2）假设存在直线方程满足条件,
当直线斜率不存在时,或,代入计算得到,验证不成立；
当直线斜率存在时,设直线方程为,则,
即,,
化简得到.
设,,,故,
故,,故,
即,即,
即,化简得到,
方程组无解,假设不成立.
故不存在直线满足条件.
（3）焦点坐标为,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为,
,,则,
,化简得到,,
直线方程为：,
取得到
,
,故是定值为.
(五) 探索结果是否为定值
此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.
【例6】（2022届云南省三校高三联考）在平面直角坐标系中,椭圆过点,．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点是单位圆上的任意一点,设,,是椭圆上异于顶点的三点且满足．探讨是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．
【分析】（1）把点的坐标代入椭圆方程,通过解方程组即可求出答案.
（2）分别设出两点的坐标,从而根据题意得出点的坐标,把点的坐标代入椭圆方程,同时结合点在椭圆上,点在单位圆上,可得出；然后即可求出, ,从而可求出为定值.
【解析】（1）因为点,在椭圆上,所以,解得,,
所以椭圆方程为．
（2）令,,则,
所以,
即．
又,,,所以,
即,
所以,
即,又,,所以,
所以,
故为定值．
(六) 探索是否存在最值
此类问题多为判断线段长度、三角形面积或与向量有关数量积是否存在最值,一般是把相关式子用参数表示,再用函数或不等式知识判断是否存在最值.
【例7】已知椭圆的离心率为,圆与椭圆相交于,两点.
（1）求的最小值；
（2）若,分别是椭圆的上、下焦点,经过点的直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,则与的面积之和是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在,请说明理由.
【分析】（1）根据离心率求出,则可得椭圆方程,设,利用向量的坐标运算表示出,配方可求其最小值；（2）设l：y＝kx＋,M(x1,y1),N(x2,y2),与椭圆方程联立,利用韦达定理表示出△OF2N与△OF2M的面积之和,然后利用基本不等式求其最值,根据等号的成立条件可得直线的方程
【解析】（1）由,得.
所以椭圆E的标准方程为,则圆心A的坐标为(0,2).
设,由对称性得,且,
则
由题意知－2所以当y0＝时,取得最小值,最小值为.
（2）由题意知F1(0,),F2(0,－),直线l的斜率一定存在.
设l：y＝kx＋,M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y并整理得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0,
Δ＝(2k)2＋4(4＋k2)＝16k2＋16>0,
则x1＋x2＝－,x1x2＝－.
所以△OF2N与△OF2M的面积之和
S＝×|x2－x1|＝×＝×
＝×＝2×.
令t＝1＋k2,则t≥1,
所以S＝2×＝2×≤2×＝2×＝1,
当且仅当t＝,即t＝3,k＝±时等号成立.
所以当k＝±时,△OF2N与△OF2M的面积之和取得最大值,且最大值为1,
此时直线l的方程为或.
(七) 探索直线与圆锥曲线的位置关系
探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.
【例8】已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点、,是坐标原点,则的充要条件是.
（1）试根据上述定理,写出直线与圆相交于,,坐标原点为,且的充要条件,并求的值；
（2）若椭圆与直线相交两点、,而且,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由.
【分析】（1）代入题干中已给定理的条件,解之即可；
（2）以圆心到直线距离与圆的半径的大小关系,来判断直线与圆的位置关系.
【解析】（1）由定理可知的充要条件为：,
即,.
（2）椭圆与直线相交两点、,
,即.
圆的半径为,
又圆心到直线的距离为,
,
直线与圆相切.
三、跟踪检测
1．（2022届广东省潮州市高三上学期期末）已知椭圆的离心率为,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问：在x轴上是否存在定点E,使得为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由．
2．在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为、,右焦点为,设过点的直线、与此椭圆分别交于点,、,,其中,,
（1）设动点满足,求点的轨迹方程；
（2）设,,求点的坐标；
（3）若点在点的轨迹上运动,问直线是否经过轴上的一定点,若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.
3．（2022届河北省深州市高三上学期期末）已知抛物线,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点．
（1）设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：；
（2）在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由．
4．（2022届广东省汕尾市高三上学期期末）已知点M为直线：x=-2上的动点,N（2,0）,过M作直线的垂线l,l交线段MN的垂直平分线于点P,记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设O是坐标原点,A,B是曲线C上的两个动点,且,试问直线AB是否过定点？若不过定点,请说明理由；若过定点,请求出定点坐标．
5．（2022届北京市东城区高三上学期期末）已知椭圆过点,其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一动点（不在轴上）,为中点,过原点作的平行线,与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值,求出该值；若不为定值,请说明理由.
6．抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l：x＝1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与l相切.
（1）求抛物线C,⊙M的方程；
（2）设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.
7．（2022届河北省保定市高三上学期期末）已知椭圆经过四个点中的三个.
（1）求的方程.
（2）若为上不同的两点,为坐标原点,且与垂直,试问上是否存在点（异于点）,使得？若存在,求点的坐标；若不存在,说明理由.
8．（2022届北京市第五中学高三12月阶段考试）已知椭圆G：,与x轴不重合的直线l经过左焦点,且与椭圆G相交于A,B两点,弦AB的中点为M,直线OM与椭圆G相交于C,D两点．
（1）若直线l的斜率为1,求直线OM的斜率；
（2）是否存在直线l,使得成立？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．
9．（2022届河南省高考联盟高三上学期12月教学检测）已知椭圆的焦距为4,其左 右顶点为,点为其上一动点,且的面积最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图,若为曲线上异于的两点,直线不过坐标原点,且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为,若直线与直线相交于点,是否存在直线与直线平行？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
10．（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知为椭圆C：内一定点,Q为直线l：上一动点,直线PQ与椭圆C交于A B两点（点B位于P Q两点之间）,O为坐标原点.
（1）当直线PQ的倾斜角为时,求直线OQ的斜率；
（2）当AOB的面积为时,求点Q的横坐标；
（3）设,,试问是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
11．（2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系中,动点,满足,记点的轨迹为．
（1）请说明是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点,,线段的中点为,直线与交于两点,,请判断与的关系,并证明你的结论．
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