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专题3 圆锥曲线中的面积问题
三、跟踪检测
1．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图,已知抛物线：,,,过点垂直于轴的垂线与抛物线交于,,点,满足,.
（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线与此抛物线的公共点为,记与的面积分别为,,求的值.
【解析】（1）易知,设,由,可得,
故有,同理,
于是直线的方程是,
即①与抛物线方程联立,即
得到,
此方程有两个相等的根：代入①,得,
故直线与抛物线有且仅有一个公共点
（2）
设直线与轴交于,则,
于是
故有.
2．（2022届河南省名校联盟高三上学期12月考）已知椭圆的离心率为,,是C的左、右焦点,P是C上在第一象限内的一点,关于直线对称的点为M,关于直线对称的点为N．
（1）证明：；
（2）设A,B分别为C的右顶点和上顶点,直线与椭圆C相交于E,F两点,求四边形AEBF面积的取值范围．
【解析】（1）C的离心率为,即,解得．
由题意知,,
（2）直线AB,EF的方程分别为,,
设,,其中,
由得,,
所以点E,F到AB的距离分别为
又
所以四边形AEBF的面积为
当时,,则,所以,
即四边形AEBF面积的取值范围为
3．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C：的左焦点为,离心率为,过点且垂直于轴的直线交于两点,
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点且与椭圆相交于,两点,求面积最大值及此时直线的斜率.
【解析】（1）由题知：,
所以椭圆.
（2）设直线的方程为,设 ,
与椭圆方程联立得,消去得.
则,所以.
由根与系数的关系知,,
所以.①
令,则①式可化为.
当且仅当,即时,等号成立.
此时,所以直线的斜率为.
4．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：为定值.
【解析】（1）当轴时,易得,
所以,解得,
所以抛物线C的方程为；
（2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,
代入抛物线C的方程,并整理得,
设,,由根与系数的关系得,.
所以,所以线段AB的中点N的坐标为,连接QM,若四边形AQBM为平行四边形,则N是QM的中点,
易知,因此,
设直线PQ的方程为,代入抛物线C的方程,整理得,
所以,
故,因此,
故可得,,
故点M的坐标为,
因此存在定点,使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点到直线的距离,
由,,可得,
因此,
同理可得,
所以,为定值.
5．（2022届四川省成都市高三上学期期中）己知抛物线：的焦点为,为上的动点,为在动直线上的投影．当为等边三角形时,其面积为．
（1）求的方程；
（2）设为原点,过点的直线与相切,且与椭圆交于,两点,直线与线段交于点．试问：是否存在,使得和△的面积相等恒成立？若存在,求的值；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）设,,
∵为等边三角形时,其面积为,
∴,解得,
∵Q为P在动直线上的投影,∴；
当为等边三角形时,,
由抛物线的定义知,,
∴,解得,
∴C的方程为；
（2）设,,,则,
∵,∴,
∴切线l：,即l：,
,
∴,
∴；
∵,∴,,
∵和△的面积相等,且A,M,B在同一条直线上,
则点M为AB的中点,
∴,即,则．
综上,存在t,使得和三角形△面积相等恒成立,．
6．（2022届福建省厦门高三12月月考）椭圆的左右焦点分别为,,焦距为,为原点.椭圆上任意一点到,距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于 两点,求的面积.
【解析】（1）由题意可得,,∴,,,
所以椭圆的标准方程为.
（2）直线l的方程为,
代入椭圆方程得,设,,
则,,,
∴,
又∵点O到直线AB的距离,
∴,
即△OAB的面积为.
7．（2022届重庆市三峡名校联盟高三上学期联考）如图,椭圆：的焦距为,抛物线：与轴的交于点,过坐标原点的直线与相交于点,,直线,分别与相交于点,.
（1）证明： 的斜率之积为定值.
（2）记 的面积分别为 ,求的最小值,并求取最小值时直线的方程.
【解析】（1）证明：椭圆的焦距为,则,,
故的方程为,的方程为,.
设直线的方程为,,
由
则,
故,即
即
故 的斜率之积为定值.
（2）解：设直线的方程为：,直线的方程为：,且.
由,解得或,故,.
由,解得或,故,.
由（1）可知,,故
由,解得或,故,
.
由,解得或,故,
.
由（1）可知,,
故
,当且仅当,即时,等号成立.
故的最小值为.
此时,故直线的方程为或.
8．（2022届北京市第十三中学高三12月月考）已知椭圆的离心率为,其长轴的两个端点分别为,．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆上除A,B外的任意一点,直线AP交直线于点E,点O为坐标原点,过点O且与直线BE垂直的直线记为l,直线BP交y轴于点M,交直线l于点N,求与的面积之比．
【解析】（1）由题意,,又,,
则．
椭圆的方程为；
（2）设,,则．
直线的方程为,
取,可得点,
直线的斜率为,
直线的方程为,
又直线的方程为,
联立直线与的方程,消去得,
,①
,,
代入①解得点的横坐标,
．
故与的面积之比为．
9．（2022届浙江省杭州市高三上学期12月月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为2,点在抛物线上,过点的直线交抛物线于两点,线段的中点为,且满足
（1）若直线的斜率为1,求点的坐标；
（2）若,求四边形面积的最大值.
【解析】（1）由题知：,故则,
由直线的斜率为1,且过,可得,
联立,得,故,又,
∴,代入抛物线得,即.
（2）因为,易知：,则.
设,则由,
∴,结合,可得,
又在抛物线上,由得：,
∴,有,
,
令,则,
故在上单调递减,在上单调递增,又,
∴当时,,即四边形FBPA面积的最大值为
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专题3 圆锥曲线中的面积问题
一、考情分析
圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题,有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题,求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量,如动直线的斜率或截距表示面积,再利用函数或不等式知识求解.
二、解题秘籍
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
若动直线与圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,一般是先利用弦长公式求出,再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离,则.
【例1】（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆的四个顶点,得到的四边形的面积为,连接椭圆C的某两个顶点,可构成斜率为的直线.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点的直线l与椭圆C交于E,F两点,点B在线段上,若,求（O为坐标原点）面积的取值范围.
【分析】（1）根据题设构造关于a,b的方程组,利用待定系数法求解椭圆的方程；
（2）设出直线方程,联立直线l与椭圆C的方程,利用韦达定理得到的表达式,设,找出与的关系；再算出点O到直线l的距离,得到面积的表达式,利用根与系数的关系进行求解.
【解析】（1）依题意得 解得所以椭圆C的标准方程是.
（2）设直线l的方程为,代入椭圆C的方程得,由得.
设,
所以,,
设,则
.
原点O到直线l的距离,
故的面积.
因为,故,
故面积的取值范围为.
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值,可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,可先求出点A,B到直线PQ的距离之和d,则,特别的,若与y轴垂足,,利用这种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量.
【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4,且右顶点A到右焦点的距离为1.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆交于不同的两点,,记的面积为,当时求的值.
【分析】（1）根据题意得到,,再根据求解即可.
（2）首先设,,再根据求解即可.
【解析】（1）由题意,,
因为右顶点到右焦点的距离为,即,所以,
则,
所以椭圆的标准方程为.
（2）设,,且
根据椭圆的对称性得,
联立方程组,整理得,解得,
因为的面积为3,可得,解得.
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.
【例3】（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆的离心率为,且椭圆经过点,过右焦点作两条互相垂直的弦和．
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积取得最小值时,求弦所在直线的方程．
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组,求出这三个量的值,即可得出椭圆的标准方程；（2）分两种情况讨论：①当或中有一条直线垂直于轴时,求出四边形的面积；②当的斜率存在且不为时,设直线的方程为,将该直线方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出、,利用四边形的面积结合基本不等式可求得四边形面积的最小值,综合即可得解.
【解析】（1）已知可得,解得,所以椭圆的方程为．
（2）当或中有一条直线垂直于轴时,不妨设轴,
因为焦点的坐标为,所以直线的方程为,
将代入椭圆方程可得,则,,
四边形的面积；
当的斜率存在且不为时,设其斜率为,
由（1）知,所以直线的方程为,
与椭圆的方程联立并消去得．
设、,,
则,,
．
同理可得可得,
所以四边形面积
,
当且仅当时,即当时,等号成立,
因为,故当四边形的面积取得最小值时,直线的方程为或．
(四)利用函数性质求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示,此时可把面积看作关于该变量的函数,若函数的单调性容易确定,可利用函数单调性求面积最值或范围.
【例4】7．已知椭圆的右顶点为A,上 下顶点分别为B,D,直线AB的斜率为,坐标原点到直线AB的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线,且交椭圆C于M,N两点,当△DMN的面积最大时,求直线l的方程.
【分析】（1）由题设可得且直线为,再应用点线距离公式求参数,即可写出椭圆方程.
（2）设直线l为、、,并联立椭圆方程整理成含参数t的一元二次方程,由求的范围,由韦达定理可得、,结合点线距离公式、弦长公式及三角形面积公式可得,再利用导数求的最大值并确定对应值,即可得直线l的方程.
【解析】（1）由题意得：,,故直线为,即,
由,得,
∴直线AB为,则O到直线AB的距离,得,
∴,
故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线l为,则到直线l的距离.
将直线l的方程与椭圆方程联立,整理得,
∴,得且,
设,,则,,
∴,
综上,.
令,则,
易知：在上,单调递增；
在上,单调递减；
在上,,单调递增；
在上,,单调递减.
∴在或处取得最大值,
又,,
∴当时,取得最大值,且,
∴当时取得最大值,此时直线的方程为.
(五)利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式,若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子,可考虑利用均值不等式求最值或范围.
【例5】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线,点为其焦点,点、在抛物线上,且直线过点,.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点作互相垂直的两条直线,与抛物线分别相交于点、和、,点、分别为、的中点,求面积的最小值.
【分析】（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为、,分析出为的中点,连接,分析出在线段的垂直平分线上,可求得点的横坐标,利用抛物线的定义可求得的值,即可得出抛物线的标准方程；
（2）分析可知直线、的斜率均存在且不为,设直线的斜率为,联立直线的方程与抛物线的方程,求出点的坐标,同理可求得点的坐标,求出、,利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得结果.
【解析】（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为、,
易知,,
因为,则,则点为的中点,
连接,则为的中位线,所以,,则,
所以,点在线段的垂直平分线上,则点的横坐标为,
,解得,所以,抛物线的标准方程为.
（2）因为,若直线、分别与两坐标轴垂直,则直线、中有一条与抛物线只有一个交点,不合乎题意.
所以,直线、的斜率均存在且不为,
设直线的斜率为,则直线的方程为,
联立,得,则,
设、,则,
设,则,则,所以,
同理可得,
故,
,因为,
所以
,
当且仅当,即时等号成立,故面积的最小值为.
三、跟踪检测
1．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图,已知抛物线：,,,过点垂直于轴的垂线与抛物线交于,,点,满足,.
（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线与此抛物线的公共点为,记与的面积分别为,,求的值.
2．（2022届河南省名校联盟高三上学期12月考）已知椭圆的离心率为,,是C的左、右焦点,P是C上在第一象限内的一点,关于直线对称的点为M,关于直线对称的点为N．
（1）证明：；
（2）设A,B分别为C的右顶点和上顶点,直线与椭圆C相交于E,F两点,求四边形AEBF面积的取值范围．
3．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C：的左焦点为,离心率为,过点且垂直于轴的直线交于两点,
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点且与椭圆相交于,两点,求面积最大值及此时直线的斜率.
4．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：为定值.
5．（2022届四川省成都市高三上学期期中）己知抛物线：的焦点为,为上的动点,为在动直线上的投影．当为等边三角形时,其面积为．
（1）求的方程；
（2）设为原点,过点的直线与相切,且与椭圆交于,两点,直线与线段交于点．试问：是否存在,使得和△的面积相等恒成立？若存在,求的值；若不存在,请说明理由．
6．（2022届福建省厦门高三12月月考）椭圆的左右焦点分别为,,焦距为,为原点.椭圆上任意一点到,距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于 两点,求的面积.
7．（2022届重庆市三峡名校联盟高三上学期联考）如图,椭圆：的焦距为,抛物线：与轴的交于点,过坐标原点的直线与相交于点,,直线,分别与相交于点,.
（1）证明： 的斜率之积为定值.
（2）记 的面积分别为 ,求的最小值,并求取最小值时直线的方程.
8．（2022届北京市第十三中学高三12月月考）已知椭圆的离心率为,其长轴的两个端点分别为,．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆上除A,B外的任意一点,直线AP交直线于点E,点O为坐标原点,过点O且与直线BE垂直的直线记为l,直线BP交y轴于点M,交直线l于点N,求与的面积之比．
9．（2022届浙江省杭州市高三上学期12月月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为2,点在抛物线上,过点的直线交抛物线于两点,线段的中点为,且满足
（1）若直线的斜率为1,求点的坐标；
（2）若,求四边形面积的最大值
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