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专题4 圆锥曲线中的斜率问题
三、跟踪检测
1．已知抛物线的焦点为,且点与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求的方程；
（2）设点,,过点且斜率存在的两条直线分别交曲线于,两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和．
【解析】（1）由题意可知,,,
,
,,
抛物线的方程为．
（2）由题意可知,直线和直线的斜率存在且不为0,分别设为,,
则直线的方程为,直线的方程为,
联立方程,消去得：,
由题意知恒成立,
设,,,,
则,,
,
同理可得,
由得,,
,．
2．（2022届四川省成都市高三第一次诊断）已知抛物线C：,过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P,Q两点.
（1）设点B在x轴上,分别记直线PB,QB的斜率为.若,求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M,N两点,求的值.
【解析】（1）由题意,直线的方程为,其中.
设,
联立,消去得.
.
,,即.
,即.
,,∴点的坐标为.
（2）由题意,直线的方程为,其中,为倾斜角,
则,
设.
联立,消去得.
.
.
3．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆,圆,点,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段的垂直平分线为l．已知E的离心率为,点关于直线l的对称点都在圆C上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线与的斜率之和为？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．
【解析】（1）由已知,,则
设点关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段的中点,则C为线段的中点,从而线段为圆C的一条直径,所以,即,即．
于是,所以椭圆E的方程是．
（2）因为原点O为线段的中点,圆心C为线段的中点,直线l为线段的垂直平分线,
所以点O与C也关于直线l对称,
因为点,则线段的中点为,直线的斜率为2,又直线l为线段的垂直平分线,
所以直线l的方程为,即．
将代入,得,即．
设点,则．
所以
．
由已知,,则,得．
所以,即,即．
因为直线l与椭圆E相交,则,解得,即．
因为,所以不存在实数m,使直线与的斜率之和为．
4．（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）已知,为椭圆的两个焦点,,为椭圆短轴的两个端点.
（1）若,是椭圆上一点,,求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率为,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,.若,,的中点为,求的面积.
【解析】（1）由题意知,设,因为,所以,,
,,又,,化简得,所以椭圆的标准方程为.
（2）因为椭圆的离心率为,可得,所以可设椭圆的方程为.①
设直线的方程为,代入①得.设,,则,.由,得,
解得,从而,于是.
由,得,解得,,故.
5．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系中,已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆过点、,过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若,求点P的坐标；
（3）设直线AP、BQ的斜率分别为、,是否存在常数,使得 若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆过点、,则有,解得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）设,.由（1）知,.
因为,则有,
即,
所以解得
即.
分别将、两点的坐标代入得
解得（舍）或
所以所求点的坐标为.
（3）设存在常数,使得.由题意可设直线的方程为,点,,则.
又因为,即,即,
所以
即（*）
又由得,,
且,.代入（*）得
即,
所以存在常数,使得.
6．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线的虚轴长为4,直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为,直线NB斜率为,求证：为定值．
【解析】（1）虚轴长为4,,即,
直线为双曲线的一条渐近线,
,,
故双曲线的标准方程为．
（2）由题意知,,,
由题可知,直线l斜率不能为零,故可设直线的方程为,
设,,,
联立,得,
,,
,
直线的斜率,直线的斜率,
,为定值．
7．（重庆市三峡名校联盟高三上学期联考）如图,椭圆：的焦距为,抛物线：与轴的交于点,过坐标原点的直线与相交于点,,直线,分别与相交于点,.
（1）证明： 的斜率之积为定值.
（2）记 的面积分别为 ,求的最小值,并求取最小值时直线的方程.
【解析】（1）证明：椭圆的焦距为,则,,
故的方程为,的方程为,.
设直线的方程为,,
由
则,
故,即
即
故 的斜率之积为定值.
（2）解：设直线的方程为：,直线的方程为：,且.
由,解得或,故,.
由,解得或,故,.
由（1）可知,,故
由,解得或,故,
.
由,解得或,故,
.
由（1）可知,,
故
,当且仅当,即时,等号成立.
故的最小值为.
此时,故直线的方程为或.
8．（2022届河北省邯郸市高三上学期期末）在平面直角坐标系中,已知点,,点M满足．记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l不经过点且与曲线C相交于A,B两点．若直线l过定点,证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值.
【解析】（1）由椭圆定义可知,点M的轨迹为椭圆,设椭圆方程为,
根据题意得,,,,
所以曲线C的方程为；
（2）设直线PA与直线PB的斜率分别为,,,,
当直线l斜率不存在时,,代入椭圆方程中,化简可得,
不妨令,,则；
当直线l斜率存在时,设直线l方程为,将直线l的方程代入椭圆方程中,
化简得,
由得,
解得或,由直线l不经过点可知,
∴,,
∴
；
综上,直线PA与直线PB的斜率之和为定值．
9．已知椭圆过点,,分别为椭圆的左、右焦点且.
（1）求的值及椭圆的方程；
（2）设直线平行于为原点),且与椭圆交于两点A、.
(i)当面积最大时,求的方程；
(ii)当A、两点位于直线的两侧时,求证：直线是的平分线.
【解析】（1）设,,则,,
∵,解得,
由在椭圆上,可得,又,解得,,
则椭圆的方程为；
（2）(ⅰ)解：由于,设直线的方程为,,,,,
由可得,
则△,解得,
,,
则,
又点到的距离,
∴,
当且仅当,即时,等号成立.
∴直线的方程为；
(ii)证明：要证直线为是的平分线,转化为证明,
因此结论成立.
10．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）已知抛物线的顶点为原点,焦点F在x轴的正半轴,F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点,.直线l与抛物线交于异于N的两点A,B,且.
（1）求抛物线方程和N点坐标；
（2）求证：直线AB过定点,并求该定点坐标.
【解析】（1）设抛物线的标准方程为,,其焦点为
则,
∴
所以抛物线的方程为.
,所以,所以.
因为,所以,所以.
（2）由题意知,直线的斜率不为0,设直线的方程为（）,
联立方程得
设两个交点,（,）.
所以
所以,
即
整理得,此时恒成立,
此时直线l的方程为,可化为,
从而直线过定点
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专题4 圆锥曲线中的斜率问题
一、考情分析
斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.
二、解题秘籍
(一) 利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点共线,通常是利用.
【例1】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左 右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线.
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上,求m的值；
（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线与直线相交于点M,求证：A,D,M三点共线.
【分析】(1)设点A关于直线对称的点为,根据题意可得的中点在直线上且,列出方程组,解方程组即可；
(2)对直线斜率是否存在分类讨论,当直线CD斜率k不存在时,求出点A、M、C、D坐标,
利用可证得A、D、M三点共线；当直线CD斜率存在时,设直线
：,,与椭圆方程联立方程组,消y得到关于x的一元二次方程,将表示为含有k的算式,得出即可.
【解析】（1）由题意知,
直线的斜率存在,且斜率为,
设点A关于直线对称的点为,则,
所以线段的中点在直线上,又,,
有,解得或,
所以；
（2）已知,
当直线的斜率不存在时,：x=1,此时,
有,所以直线,当时,,所以,
所以,所以,
即A、D、M三点共线；
当直线的斜率存在时,设直线：,
则,得,
,
设,则,
直线BC的方程为,令,得,
所以直线AD、AM的斜率分别为,
,
上式的分子
,
所以,即A、D、M三点共线.
综上,A、D、M三点共线.
(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点,
2. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
3. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
4.若点P在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明.
【例2】（2022届海南高三上学期月考）已知椭圆的左 右焦点分别为,点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线交椭圆于两点,设两直线的斜率分别为,且,求证：直线过定点.
【分析】（1）根据题意列方程组求得,即可得到椭圆的标准方程；
（2）设,分直线斜率存在与不存在两种情况证明.
当直线的斜率存在时,设：,联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得,由求得,代入直线方程可证得直线过定点,再考虑直线的斜率不存在时情况,易证得结果.
【解析】（1）由题意可得,解得
所以椭圆的方程为.
（2）设.
①当直线斜率存在时,设直线方程为,
联立得.
由,得.
所以．
所以,
即,所以,即,
所以,所以,所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时,,则,所以,则直线也过定点.
综合①②,可得直线过定点.
【例3】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线的焦点为,其中为的准线上一点,是坐标原点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过的动直线与交于两点,问：在轴上是否存在定点,使得轴平分若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】（1）抛物线的焦点为,设,,可得,再由求解,则抛物线的方程可求；
（2）假设在轴上存在定点,,使得轴平分,设动直线的方程为,联立直线方程与抛物线方程,利用根与系数的关系及斜率公式求得求得,把根与系数的关系代入,即可求得值得结论．
【解析】（1）抛物线的焦点为
设,则
因为,
所以,得.
所以抛物线的方程为;
（2）假设在轴上存在定点,使得轴平分.
设动直线的方程为,点,
联立,可得
恒成立,
设直线的斜率分别为,则
由定点,使得轴平分,则,
所以.把根与系数的关系代入可得,
得.
故存在满足题意.
综上所述,在轴上存在定点,使得轴平分.
(三) 根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.
【例4】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点和右焦点分别为、和,直线与椭圆交于不同的两点、,记直线、,的斜率分别为、、.
（1）求证：为定值；
（2）若,求的周长.
【分析】（1）设点,可得出,利用斜率公式可计算得出为定值；
（2）分析可得,设点、,将直线的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,利用斜率公式、韦达定理结合可求得,可得知直线过椭圆的右焦点,进而可求得的周长.
【解析】（1）证明：设,易知、,其中,则,
为定值.
（2）解：,即,
设、,而,
联立,
则,
且,,
.
所以,
,
,,
所以,,,
故直线恒过椭圆的左焦点,所以,的周长为.
【例5】（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为,椭圆上的一点满足轴,且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为椭圆的左顶点,若点为椭圆上异于点的动点,设直线的斜率分别为,且,过原点作直线的垂线,垂足为点,问：是否存在定点,使得线段的长为定值？若存在,求出定点的坐标及线段的长；若不存在,请说明理由．
【分析】（1）由,得到,再由离心率为,得到,结合,求得的值,即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为,联立方程组,得到,结合,列出方程得到,求得,得出直线的方程,再结合,得到点在以为直径的圆上,即可求解.
【解析】（1）由椭圆上的一点满足轴,且,可得,即,
又由椭圆的离心率为,可得,即,
因为,联立方程组,可得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆,可得,
设直线的方程为,则,
联立方程组,整理得,
则,
由,可得,
即,
可得,
整理得,所以,所以或（舍去）,
所以直线的方程为,即,
当时,,可得直线过定点,
因为,所以点在以为直径的圆上,
所以当点为线段的中点时,线段的长为定值,此时线段的长为,点.
(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.
2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
【例6】（2022届山东省学情高三上学期12月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为,.过与轴垂直的直线与椭圆交于点,点在轴上方,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于,两点,是否存在一定点使得为定值,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【分析】（1）根据条件结合椭圆定义求出,再由关系求出,即可求解；
（2）分直线斜率存在与不存在讨论,斜率存在时,设直线方程,联立椭圆,可得根与系数的关系,计算并化简可得结论,斜率不存在时验证即可.
【解析】（1）由己知得,所以,
所以,
所以椭圆C的方程为.
（2）如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在 x轴上,
设其坐标为(,0),
因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为,
,
则,将代入得：
,
所以,
又
由得：
则
当时,,
当直线斜率不存在时,存在一定点使得为定值0.
综上:存在定点使得为定值0.
【例7】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点,若线段的中点在抛物线上,求直线的斜率的取值范围.
【分析】（1）依题意,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标,将点Q坐标代入抛物线方程得到,将此式代入得到,解不等式即可.
【解析】（1）
易知点是抛物线的焦点,,
依题意,
所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,
设该椭圆的方程为,
则,
,
故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在,
设直线1：,
由得：,
,
即①又,
故,将,代,
得：,
将②代入①,得：,
即,
即,即,
且,
即的取值范围为或.
三、跟踪检测
1．已知抛物线的焦点为,且点与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求的方程；
（2）设点,,过点且斜率存在的两条直线分别交曲线于,两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和．
2．（2022届四川省成都市高三第一次诊断）已知抛物线C：,过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P,Q两点.
（1）设点B在x轴上,分别记直线PB,QB的斜率为.若,求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M,N两点,求的值.
3．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆,圆,点,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段的垂直平分线为l．已知E的离心率为,点关于直线l的对称点都在圆C上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线与的斜率之和为？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．
4．（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）已知,为椭圆的两个焦点,,为椭圆短轴的两个端点.
（1）若,是椭圆上一点,,求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率为,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,.若,,的中点为,求的面积.
5．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系中,已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆过点、,过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若,求点P的坐标；
（3）设直线AP、BQ的斜率分别为、,是否存在常数,使得 若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由.
6．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线的虚轴长为4,直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为,直线NB斜率为,求证：为定值．
7．（重庆市三峡名校联盟高三上学期联考）如图,椭圆：的焦距为,抛物线：与轴的交于点,过坐标原点的直线与相交于点,,直线,分别与相交于点,.
（1）证明： 的斜率之积为定值.
（2）记 的面积分别为 ,求的最小值,并求取最小值时直线的方程.
8．（2022届河北省邯郸市高三上学期期末）在平面直角坐标系中,已知点,,点M满足．记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l不经过点且与曲线C相交于A,B两点．若直线l过定点,证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值.
9．已知椭圆过点,,分别为椭圆的左、右焦点且.
（1）求的值及椭圆的方程；
（2）设直线平行于为原点),且与椭圆交于两点A、.
(i)当面积最大时,求的方程；
(ii)当A、两点位于直线的两侧时,求证：直线是的平分线.
10．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）已知抛物线的顶点为原点,焦点F在x轴的正半轴,F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点,.直线l与抛物线交于异于N的两点A,B,且.
（1）求抛物线方程和N点坐标；
（2）求证：直线AB过定点,并求该定点坐标
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