人教版八年级上册数学 11.2.1 三角形的内角 拓展练习（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学 11.2.1 三角形的内角 拓展练习（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 336.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-16 20:20:50 | ||
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文档简介
《三角形的内角》拓展练习
一、选择题。
1．已知△ABC，
（1）如图1，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，则∠A1＝∠A；
（2）如图2，若F点是∠ABC和∠DCE的角平分线的交点，则∠F＝（∠A+∠D）﹣90°；
（3）如图3，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，则∠Q﹣∠A1＝90°．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上三种都可能
3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（ ）
A．165° B．135° C．105° D．75°
4．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．282° B．180° C．360° D．258°
5．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50° 和 50° B．40° 和 40° C．35° 和 35° D．60° 和20°
二、填空题。
6．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝ °．
7．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝ ．（用α，β表示）
8．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝ ，△ABC为等腰三角形．
9．如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根据以上阅读理解，你能猜想∠BO2018C＝ ．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为 ．
三、解答题。
11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．
（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝ 度；
（2）若图1中的∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝ ；（用含x、y的代数式表示）
（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
12．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB＝ 度；
（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．
13．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝42°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A＝42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．
15．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
《三角形的内角》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．已知△ABC，
（1）如图1，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，则∠A1＝∠A；
（2）如图2，若F点是∠ABC和∠DCE的角平分线的交点，则∠F＝（∠A+∠D）﹣90°；
（3）如图3，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，则∠Q﹣∠A1＝90°．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，然后整理即可得到∠A1＝∠A；
（2）①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC＝∠FCE，然后整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理表示出∠ACE+∠AEC，再根据角平分线的定义表示出∠QCE+∠QEC，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1，
∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，
∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC，
∴∠A1＝∠A；
（2）由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，
∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，
∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°，
（3）∵EQ、CQ分别为∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC＝∠AEC，∠QCE＝∠ACE，
又∵∠AEC+∠ACE＝∠BAC，
∴∠Q＝180°﹣（∠QEC+∠QCE）＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），
＝180°﹣∠BAC，
由（1）可知∠BAC＝2∠A1，
∴∠Q＝180°﹣∠A1，
∴∠Q+∠A1＝180°．
故（1）（2）正确；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
2．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上三种都可能
【分析】根据三角形内角和定理以及三角形的分类可知．
【解答】解：∵∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A＝90°+∠B，
∴∠A大于90°．
根据三角形性质可知大于90°的角为钝角，
∴此三角形为钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（ ）
A．165° B．135° C．105° D．75°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．
【解答】解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，
∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．282° B．180° C．360° D．258°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，根据邻补角的概念计算即可．
【解答】解：∵∠C＝78°，
∴∠3+∠4＝180°﹣78°＝102°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝258°，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
5．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50° 和 50° B．40° 和 40° C．35° 和 35° D．60° 和20°
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个底角都是（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角不可能是底角．
二、填空题。
6．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝ 35 °．
【分析】依据90°﹣∠B＝∠BAD，90°﹣∠FCB＝∠BAD，可得∠FCB＝∠B，进而判定EF∥AB，即可得到∠ECG＝∠BGC＝70°，再根据∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG，即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD，
又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD，
∴∠FCB＝∠B，
∴EF∥AB，
∴∠ECG＝∠BGC＝70°，
∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，
∴∠BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCG，
∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG＝×70°＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
7．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝ （α+β） ．（用α，β表示）
【分析】连接BC，根据角平分线的性质得到∠3＝ABP，∠4＝ACP，根据三角形的内角和得到∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，求出∠3+∠4＝（β﹣α），根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，
∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，
∴∠3+∠4＝（β﹣α），
∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），
即：∠BQC＝（α+β）．
故答案为：（α+β）．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．
8．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝ 72°，36°，108° ，△ABC为等腰三角形．
【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题
【解答】解：①当AB＝AC时，
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠B＝72°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝36°，
∴∠C＝108°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝36°，
综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，
故答案为：72°，36°，108°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．
9．如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根据以上阅读理解，你能猜想∠BO2018C＝ +∠A ．
【分析】根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和n等分线间的关系，从而写出结论．
【解答】解：如图3，根据题中所给的信息，总结可得：
∠BO1C＝×180°+∠A，
∠BOn﹣1C＝×180°+∠A．
∴当n﹣1＝2018时，n＝2019，即∠BO2018C＝+∠A．
故答案为：+∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，综合运用了三角形的内角和定理和n等分角的概念，注意由特殊到一般的总结．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为 70° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出x+y＝145，在△FDC中，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠DCE＝∠DEC，∠DFG＝∠DGF，
∴设∠DCE＝∠DEC＝x°，∠DFG＝∠DGF＝y°，
则∠FEG＝∠DEC＝x°，
∵在△GFE中，∠EFG＝35°，
∴∠FEG+∠DGF＝x°+y°＝180°﹣35°＝145°，
即x+y＝145，
在△FDC中，∠CDF＝180°﹣∠DCE﹣∠DFC＝180°﹣x°﹣（y°﹣35°）
＝215°﹣（x°+y°）
＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，能求出x+y＝145是解此题的关键．
三、解答题。
11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．
（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝ 20 度；
（2）若图1中的∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝ y﹣x ；（用含x、y的代数式表示）
（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
（2）由（1）类推得出答案即可；
（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
故答案为：20；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠BCA），
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝（∠BCA﹣∠B）＝y﹣x．
故答案为：y﹣x；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝x，∠ACB＝y，
∴∠BAC＝180°﹣x﹣y，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣x﹣y，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°﹣x﹣y，
∴∠BCF＝y+90°﹣x﹣y＝90°﹣x+y，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+x﹣y，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝y﹣x．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质以及垂直的意义等知识，结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
12．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB＝ 90 度；
（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．
【分析】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，然后把∠D＝90°代入计算即可；
（2）在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．
【解答】解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
而∠D＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°；
故答案为90；
（2）在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，
而∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，
∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．
又∵MN∥DE，
∴∠ABD＝∠BAN．
而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出∠ABD+∠BAC＝70°．
13．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．
【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠BAC＝60°，AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．
故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝42°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A＝42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．
【分析】（1）先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，求出∠1+∠2的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，然后用∠A表示出∠1+∠2，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝42°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝138°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝＝69°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣69°＝111°；
（2）∠BOC＝90°+∠A，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180＝90．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
15．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 50 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
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一、选择题。
1．已知△ABC，
（1）如图1，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，则∠A1＝∠A；
（2）如图2，若F点是∠ABC和∠DCE的角平分线的交点，则∠F＝（∠A+∠D）﹣90°；
（3）如图3，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，则∠Q﹣∠A1＝90°．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上三种都可能
3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（ ）
A．165° B．135° C．105° D．75°
4．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．282° B．180° C．360° D．258°
5．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50° 和 50° B．40° 和 40° C．35° 和 35° D．60° 和20°
二、填空题。
6．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝ °．
7．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝ ．（用α，β表示）
8．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝ ，△ABC为等腰三角形．
9．如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根据以上阅读理解，你能猜想∠BO2018C＝ ．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为 ．
三、解答题。
11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．
（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝ 度；
（2）若图1中的∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝ ；（用含x、y的代数式表示）
（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
12．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB＝ 度；
（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．
13．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝42°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A＝42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．
15．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
《三角形的内角》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．已知△ABC，
（1）如图1，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，则∠A1＝∠A；
（2）如图2，若F点是∠ABC和∠DCE的角平分线的交点，则∠F＝（∠A+∠D）﹣90°；
（3）如图3，若A1点是∠ABC和∠ACD的角平分线的交点，E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，则∠Q﹣∠A1＝90°．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，然后整理即可得到∠A1＝∠A；
（2）①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC＝∠FCE，然后整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理表示出∠ACE+∠AEC，再根据角平分线的定义表示出∠QCE+∠QEC，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1，
∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，
∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC，
∴∠A1＝∠A；
（2）由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，
∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，
∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°，
（3）∵EQ、CQ分别为∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC＝∠AEC，∠QCE＝∠ACE，
又∵∠AEC+∠ACE＝∠BAC，
∴∠Q＝180°﹣（∠QEC+∠QCE）＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），
＝180°﹣∠BAC，
由（1）可知∠BAC＝2∠A1，
∴∠Q＝180°﹣∠A1，
∴∠Q+∠A1＝180°．
故（1）（2）正确；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
2．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．以上三种都可能
【分析】根据三角形内角和定理以及三角形的分类可知．
【解答】解：∵∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A＝90°+∠B，
∴∠A大于90°．
根据三角形性质可知大于90°的角为钝角，
∴此三角形为钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（ ）
A．165° B．135° C．105° D．75°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．
【解答】解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，
∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．282° B．180° C．360° D．258°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，根据邻补角的概念计算即可．
【解答】解：∵∠C＝78°，
∴∠3+∠4＝180°﹣78°＝102°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝258°，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
5．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50° 和 50° B．40° 和 40° C．35° 和 35° D．60° 和20°
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个底角都是（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角不可能是底角．
二、填空题。
6．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝ 35 °．
【分析】依据90°﹣∠B＝∠BAD，90°﹣∠FCB＝∠BAD，可得∠FCB＝∠B，进而判定EF∥AB，即可得到∠ECG＝∠BGC＝70°，再根据∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG，即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD，
又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD，
∴∠FCB＝∠B，
∴EF∥AB，
∴∠ECG＝∠BGC＝70°，
∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，
∴∠BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCG，
∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG＝×70°＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
7．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝ （α+β） ．（用α，β表示）
【分析】连接BC，根据角平分线的性质得到∠3＝ABP，∠4＝ACP，根据三角形的内角和得到∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，求出∠3+∠4＝（β﹣α），根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，
∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，
∴∠3+∠4＝（β﹣α），
∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），
即：∠BQC＝（α+β）．
故答案为：（α+β）．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．
8．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝ 72°，36°，108° ，△ABC为等腰三角形．
【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题
【解答】解：①当AB＝AC时，
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠B＝72°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝36°，
∴∠C＝108°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝36°，
综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，
故答案为：72°，36°，108°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．
9．如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根据以上阅读理解，你能猜想∠BO2018C＝ +∠A ．
【分析】根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和n等分线间的关系，从而写出结论．
【解答】解：如图3，根据题中所给的信息，总结可得：
∠BO1C＝×180°+∠A，
∠BOn﹣1C＝×180°+∠A．
∴当n﹣1＝2018时，n＝2019，即∠BO2018C＝+∠A．
故答案为：+∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，综合运用了三角形的内角和定理和n等分角的概念，注意由特殊到一般的总结．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为 70° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出x+y＝145，在△FDC中，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠DCE＝∠DEC，∠DFG＝∠DGF，
∴设∠DCE＝∠DEC＝x°，∠DFG＝∠DGF＝y°，
则∠FEG＝∠DEC＝x°，
∵在△GFE中，∠EFG＝35°，
∴∠FEG+∠DGF＝x°+y°＝180°﹣35°＝145°，
即x+y＝145，
在△FDC中，∠CDF＝180°﹣∠DCE﹣∠DFC＝180°﹣x°﹣（y°﹣35°）
＝215°﹣（x°+y°）
＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，能求出x+y＝145是解此题的关键．
三、解答题。
11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．
（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝ 20 度；
（2）若图1中的∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝ y﹣x ；（用含x、y的代数式表示）
（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
（2）由（1）类推得出答案即可；
（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
故答案为：20；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠BCA），
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝（∠BCA﹣∠B）＝y﹣x．
故答案为：y﹣x；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝x，∠ACB＝y，
∴∠BAC＝180°﹣x﹣y，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣x﹣y，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°﹣x﹣y，
∴∠BCF＝y+90°﹣x﹣y＝90°﹣x+y，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+x﹣y，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝y﹣x．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质以及垂直的意义等知识，结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
12．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB＝ 90 度；
（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．
【分析】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，然后把∠D＝90°代入计算即可；
（2）在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．
【解答】解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
而∠D＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°；
故答案为90；
（2）在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，
而∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，
∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．
又∵MN∥DE，
∴∠ABD＝∠BAN．
而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出∠ABD+∠BAC＝70°．
13．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．
【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠BAC＝60°，AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．
故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝42°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A＝42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．
【分析】（1）先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，求出∠1+∠2的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，然后用∠A表示出∠1+∠2，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝42°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝138°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝＝69°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣69°＝111°；
（2）∠BOC＝90°+∠A，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180＝90．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
15．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 50 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
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