人教版八年级上册数学 11.2.1 三角形的内角 拔高练习（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学 11.2.1 三角形的内角 拔高练习（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 221.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-16 20:22:50 | ||
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文档简介
《 三角形的内角》拔高练习
一、选择题。
1．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（ ）
A．85° B．95° C．100° D．110°
3．如图在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝32°，则∠CFE的度数为（ ）
A．68° B．58° C．52° D．48°
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题。
6．已知：△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝ ．
7．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°，则∠BEC＝ 度．
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是 ．
9．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ ．
10．如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是 °．
三、解答题。
11．我们定义：
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”
概念理解：
如图1，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．
应用拓展：
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．
12．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝ ．（直接写出结论即可）
13．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2＝39°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
14．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，试求∠EAD+∠ACD的度数．
15．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝70°，分别求：
（1）∠BAC的度数；
（2）∠AED的度数；
（3）∠EAD的度数．
《 三角形的内角》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】求出∠ABC+∠ACB的度数即可解决问题．
【解答】解：∵∠BDC＝110°，
∴∠DBC+∠DCB＝70°，
∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°，
∴∠A＝180°﹣140°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（ ）
A．85° B．95° C．100° D．110°
【分析】设∠A＝x°．构建方程求出x，再利用三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x°．
由题意：180﹣x﹣x＝10，
解得x＝85°，
∴∠A＝85°，
∴∠B+∠C＝180°﹣85°＝95°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3．如图在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝32°，则∠CFE的度数为（ ）
A．68° B．58° C．52° D．48°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BDF＝∠A+∠ACD，再根据三角形的内角和定理求出∠BFD，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，
∴∠BDF＝∠A+∠ACD＝70°+20°＝90°，
在△BDF中，∠BFD＝180°﹣∠BDF﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣32°＝58°，
∴∠CFE＝∠BFD＝58°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可．
【解答】解：观察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，
选项A中的三角形无法判定三角形的类型，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE即可．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题。
6．已知：△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝ 120° ．
【分析】依据∠A+∠B＝180°﹣∠C，∠A+∠B＝∠C，即可得到180°﹣∠C＝∠C，进而得出∠C的度数．
【解答】解：∵∠A+∠B＝180°﹣∠C，∠A+∠B＝∠C，
∴180°﹣∠C＝∠C，
解得∠C＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．
7．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°，则∠BEC＝ 122 度．
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求得．
【解答】解：∵在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°．
∴∠EBC+∠ECB＝＝58°，
∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°；
故答案为：122．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，熟记三角形的内角和是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是 100° ．
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵EC⊥AC．∠E＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵∠B＝60°，
∴∠ADC＝40°+60°＝100°，
故答案为：100°．
【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形内角和、三角形的外角性质和角平分线的定义解答．
9．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ 35° ．
【分析】根据折叠的性质得到∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED＝140°，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝140°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
10．如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是 40 °．
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数，再根据折叠的性质，即可得到∠BAE＝∠B＝25°，∠CAG＝∠C＝45°，进而得出∠EAG的度数．
【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣25°﹣45°＝110°，
由折叠可得，∠BAE＝∠B＝25°，∠CAG＝∠C＝45°，
∴∠EAG＝110°﹣（25°+45°）＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．
三、解答题。
11．我们定义：
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”
概念理解：
如图1，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 30° ，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．
应用拓展：
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；
（2）根据“和谐三角形”的概念证明即可；
应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∵∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“和谐三角形”，
故答案为：30；是；
（2）证明：∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，
∵∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∵∠AOB＝60°＝3×20°＝3∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
应用拓展：
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
12．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝ β﹣α ．（直接写出结论即可）
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠D＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝25°，于是得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠CAD＝90°﹣80°＝10°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝25°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝35°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∵∠ACB＝β，
∴∠ACD＝180°﹣β，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝β﹣90°，
∵∠B＝α，
∴∠BAD＝90°﹣α，
∴∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝90°﹣（α+β）+β﹣90°＝β﹣α．
故答案为：β﹣α．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2＝39°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠DAC的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝39°，
∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝78°，
∴△ACD中，∠DAC＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣2×78°＝24°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，试求∠EAD+∠ACD的度数．
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
15．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝70°，分别求：
（1）∠BAC的度数；
（2）∠AED的度数；
（3）∠EAD的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠BAC＝40°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据垂直的定义得到∠ADE＝90°，根据三角形的内角和即可得到结论．．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
（2）∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠AED＝∠BAE+∠B＝40°+30°＝70°；
（3）∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝∠ADE﹣AED＝90°﹣70°＝20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
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一、选择题。
1．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（ ）
A．85° B．95° C．100° D．110°
3．如图在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝32°，则∠CFE的度数为（ ）
A．68° B．58° C．52° D．48°
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题。
6．已知：△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝ ．
7．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°，则∠BEC＝ 度．
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是 ．
9．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ ．
10．如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是 °．
三、解答题。
11．我们定义：
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”
概念理解：
如图1，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．
应用拓展：
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．
12．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝ ．（直接写出结论即可）
13．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2＝39°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
14．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，试求∠EAD+∠ACD的度数．
15．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝70°，分别求：
（1）∠BAC的度数；
（2）∠AED的度数；
（3）∠EAD的度数．
《 三角形的内角》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】求出∠ABC+∠ACB的度数即可解决问题．
【解答】解：∵∠BDC＝110°，
∴∠DBC+∠DCB＝70°，
∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°，
∴∠A＝180°﹣140°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（ ）
A．85° B．95° C．100° D．110°
【分析】设∠A＝x°．构建方程求出x，再利用三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x°．
由题意：180﹣x﹣x＝10，
解得x＝85°，
∴∠A＝85°，
∴∠B+∠C＝180°﹣85°＝95°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3．如图在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝32°，则∠CFE的度数为（ ）
A．68° B．58° C．52° D．48°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BDF＝∠A+∠ACD，再根据三角形的内角和定理求出∠BFD，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，
∴∠BDF＝∠A+∠ACD＝70°+20°＝90°，
在△BDF中，∠BFD＝180°﹣∠BDF﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣32°＝58°，
∴∠CFE＝∠BFD＝58°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可．
【解答】解：观察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，
选项A中的三角形无法判定三角形的类型，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE即可．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题。
6．已知：△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝ 120° ．
【分析】依据∠A+∠B＝180°﹣∠C，∠A+∠B＝∠C，即可得到180°﹣∠C＝∠C，进而得出∠C的度数．
【解答】解：∵∠A+∠B＝180°﹣∠C，∠A+∠B＝∠C，
∴180°﹣∠C＝∠C，
解得∠C＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．
7．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°，则∠BEC＝ 122 度．
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求得．
【解答】解：∵在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°．
∴∠EBC+∠ECB＝＝58°，
∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°；
故答案为：122．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，熟记三角形的内角和是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是 100° ．
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵EC⊥AC．∠E＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵∠B＝60°，
∴∠ADC＝40°+60°＝100°，
故答案为：100°．
【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形内角和、三角形的外角性质和角平分线的定义解答．
9．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ 35° ．
【分析】根据折叠的性质得到∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED＝140°，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝140°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
10．如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是 40 °．
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数，再根据折叠的性质，即可得到∠BAE＝∠B＝25°，∠CAG＝∠C＝45°，进而得出∠EAG的度数．
【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣25°﹣45°＝110°，
由折叠可得，∠BAE＝∠B＝25°，∠CAG＝∠C＝45°，
∴∠EAG＝110°﹣（25°+45°）＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．
三、解答题。
11．我们定义：
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”
概念理解：
如图1，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 30° ，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．
应用拓展：
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；
（2）根据“和谐三角形”的概念证明即可；
应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∵∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“和谐三角形”，
故答案为：30；是；
（2）证明：∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，
∵∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∵∠AOB＝60°＝3×20°＝3∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
应用拓展：
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
12．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝ β﹣α ．（直接写出结论即可）
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠D＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝25°，于是得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠CAD＝90°﹣80°＝10°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝25°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝35°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∵∠ACB＝β，
∴∠ACD＝180°﹣β，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝β﹣90°，
∵∠B＝α，
∴∠BAD＝90°﹣α，
∴∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝90°﹣（α+β）+β﹣90°＝β﹣α．
故答案为：β﹣α．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2＝39°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠DAC的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝39°，
∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝78°，
∴△ACD中，∠DAC＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣2×78°＝24°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，试求∠EAD+∠ACD的度数．
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
15．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝70°，分别求：
（1）∠BAC的度数；
（2）∠AED的度数；
（3）∠EAD的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠BAC＝40°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据垂直的定义得到∠ADE＝90°，根据三角形的内角和即可得到结论．．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
（2）∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠AED＝∠BAE+∠B＝40°+30°＝70°；
（3）∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝∠ADE﹣AED＝90°﹣70°＝20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
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