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第十三章 轴 对 称
第16课时 轴 对 称
【A组】
1. 下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是( )
C
2. 小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是( )
D
3. 如图KH13-16-1，l是四边形 ABCD 的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：①AB∥CD；②AB=BC;③AB⊥BC；④AO=OC.其中正确的结
论有（ ）
A. 1个
B. 2 个
C. 3个
D. 4个
C
4. 如图KH13-16-2，△ABC中，点D在BC上，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，∠EAF的度数为( )
A. 126°
B. 128°
C. 130°
D. 132°
D
5. 如图KH13-16-3，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠BCD的度数是__________.
130°
【B组】
6. 如图KH13-16-4，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
解：图①③④⑥ ⑧⑩是轴对称图形，图②⑤⑦⑨成轴对称．
7. 如图KH13-16-5是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成的图形为轴对称图形.
略.
【C组】
8. 如图KH13-16-6，图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图KH13-16-6①成为轴对称图形，使得图KH13-16-6②成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于KH13-16-6③的图形，使得图KH13-16-6③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形.
解：如答图KH13-16-1.
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第十三章 轴 对 称
第22课时 等边三角形（一）
【A组】
1. 如图KH13-22-1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=10，BD=6，则△ADE的周长为( )
A. 4
B. 30
C. 18
D. 12
D
2. 如图KH13-22-2，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=50°，则∠ABE等于( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
C
3. 如图KH13-22-3，AE∥BD，△ABC为等边三角形，若∠CBD=15°，则∠EAC的度数是( )
A. 60°
B. 45°
C. 55°
D. 75°
B
4. 如图KH13-22-4，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( )
A. 25°
B. 60°
C. 85°
D. 95°
D
【B组】
5. 如图KH13-22-5，△ABC是等边三角形，点D在CB的延长线上，且BD=BE，则∠BED=__________.
30°
6. 如图KH13-22-6，△AOB是等边三角形，且OA=OC，∠CAB=20°，则∠ABC的大小是__________.
130°
7. 如图KH13-22-7，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD.求证：△ADE为等边三角形.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC.∴∠ACD=120°.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=60°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.
∴∠BAC=∠DAE.
∵∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°.
∴△ADE为等边三角形.
【C组】
8. 如图KH13-22-8，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形. BE交AC于点F，AD交CE于点H. 求证：
（1）△BCE≌△ACD；
（2）FH∥BD.
证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°.
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）.
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，则∠CBF=∠CAH.
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠ECD=60°=∠BCF.
在△BCF和△ACH中，
∵
∴△BCF≌△ACH（ASA）.∴CF=CH.
又∵∠FCH=60°，∴△CHF为等边三角形.
∴∠FHC=∠HCD=60°.∴FH∥BD.
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第十三章 轴 对 称
第20课时 等腰三角形（一）
【A组】
1. △ABC中，AB=AC，顶角是120°，则一个底角等于
( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
A
2. 等腰三角形ABC的底边BC=8，且|AC-BC|=4，则腰AC的长为( )
A. 4或12
B. 12
C. 4
D. 8或12
B
3. 如图KH13-20-1，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠BAC=40°，则∠CHD的度数是（ ）
A. 25°
B. 35°
C. 45°
D. 55°
D
4. 如图KH13-20-2，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=36°，则∠BAC的度数为__________.
36°
【B组】
5. 如图KH13-20-3，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG=CD，F是GD上一点，且DF=DE. 若∠A=100°，则∠E的大小为__________.
10°
6. 如图KH13-20-4，在△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点. 若∠B=35°，求∠CAE的度数.
解：∵BD=AD，∠B=35°，
∴∠B=∠BAD=35°.
∴∠ADC=2∠B=70°.
∵AD=AC，点E是CD的中点，
∴AE⊥CD，∠C=∠ADC=70°.
∴∠AEC=90°.
∴∠CAE=90°-70°=20°.
【C组】
7. 如图KH13-20-5，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC．
（1）如图KH13-20-5①，若AD=AE，求证：BD=CE;
（2）如图KH13-20-5②,若BD=CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC．
证明:（1）如答图KH13-20-1，过点A作AF⊥BC于点F.
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF(HL).
∴BF=CF.
∴AF为BC的垂直平分线.
∵AD=AE，∴DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF.∴BD=CE.
（2）∵BD=CE，F为DE的中点，
∴BD+DF=CE+EF. ∴BF=CF.
∵AB=AC，∴AF⊥BC．
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第十三章 轴 对 称
第23课时 等边三角形（二）
【A组】
1. 如图KH13-23-1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为( )
A. 1.5
B. 2
C. 3
D. 4
B
2. 如图KH13-23-2，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D.若CE=8，则ED的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
C
3. 如图KH13-23-3，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若BD=2，则DF等于( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
B
4. 如图KH13-23-4，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA.若PC＝10，则PD等于( )
A. 10
B. 20
C. 5
D. 2.5
C
【B组】
5. 如图KH13-23-5，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距( )
A. 30海里
B. 40海里
C. 50海里
D. 60海里
B
6. 如图KH13-23-6，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=
120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为__________.
4
7. 如图KH13-23-7，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
求证：AE=2CE.
证明：如答图KH13-23-1，连接BE.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∴∠ABE=∠A=30°.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
在Rt△ABC中，BE=2CE，
∴AE=2CE.
【C组】
8. 如图KH13-23-8，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，CD的垂直平分线MF交AC于点F，交BC于点M，MF的长为2.
（1）△ADF是等边三角形吗？为什么？
（2）求AB的边长.
解：（1）△ADF是等边三角形.
理由：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，
∴∠C=30°,AD平分∠BAC.
∴∠DAC= ∠BAC=60°.
∵MF是CD的垂直平分线，∴DF=CF.
∵∠C=30°，∴∠FDC=∠C=30°.
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°.
∴∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°.
∴△ADF是等边三角形.
（2）∵MF是CD的垂直平分线，∴∠FMC=90°.
∵∠C=30°，MF=2，∴FC=2MF=4.
∵DF=FC，∴DF=4.
∵△ADF是等边三角形，
∴AF=DF=4. ∴AC=AF+CF=4+4=8.
∵AB=AC，∴AB=8.
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第十三章 轴 对 称
第21课时 等腰三角形（二）
【A组】
1. 三角形三个内角的比是∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶2，则△ABC是( )
A. 等腰三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形
D. 不能确定
A
2. 如图KH13-21-1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E.若DE=6，CE=5，则AC的长为（ ）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
A
3. 如图KH13-21-2，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°,则从海岛B到灯塔C的距离为( )
A. 45海里
B. 30海里
C. 20海里
D. 15海里
B
4. 如图KH13-21-3，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB=∠ABD，AC=24，△BCD的周长为34，则BD的长为
( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
C
【B组】
5. 如图KH13-21-4，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E. 求证：△ACE是等腰三角形.
证明：∵AB=AC，
AD是BC边上的高，
∴AD平分∠BAC.
∴∠BAE=∠CAE.
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAE.
∴∠E=∠CAE.
∴CE=CA.
∴△ACE是等腰三角形.
6. 如图KH13-21-5，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：
（1）FE⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形.
证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=72°.
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=36°.
∴∠BAD=∠ABD.∴AD=BD.
∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB.
（2）∵FE⊥AB，AE=BE，∴FE垂直平分AB.
∴AF=BF.∴∠BAF=∠ABF.
又∵∠BAD=∠ABD，∴∠FAD=∠FBD=36°.
∵∠ACB=72°，∴∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°.
∴∠CAF=∠AFC=36°.∴AC=FC.
∴△ACF为等腰三角形.
【C组】
7. 如图KH13-21-6，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）探索∠A与∠DEF的关系，并说明理由.
（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
在△DBE和△ECF中，
∴△DBE≌△ECF（SAS）.∴DE=EF.
∴△DEF是等腰三角形.
（2）解：∠DEF=90°- ∠A.理由如下.
∵△DBE≌△ECF，∴∠1=∠3，∠2=∠4.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= （180°-∠A）=180°-（∠1+∠2）=180°-（∠2+∠3）.
∵∠DEF=180°-（∠2+∠3），
∴∠DEF= （180°-∠A）=90°- ∠A.
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第十三章 轴 对 称
第24课时 课题学习 最短路径问题
【A组】
1． 有一条以互相平行的直线a，b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹来看，正确的是( )
D
2. 点A,B均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图KH13-24-1，若点P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，则点P的坐标是( )
A. （1，0）
B. （2，0）
C. （3，0）
D. （4，0）
C
3. 如图KH13-24-2，已知∠BAC=65°，点D为∠BAC内部一点，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，设点E，F分别为AB，AC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠EDF的度数为__________.
50°
【B组】
4. 如图KH13-24-3，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置.
解：如答图KH13-24-1，作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交于l1，l2于点C，D，则AC-CD-DB就是他走的最短路线.
5. 如图KH13-24-4，在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B点.你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马）
证明:如答图KH13-24-2，作点A关于草地所在直线的对称点E,作点B关于小河所在直线的对称点F,连接EF,交河流所在直线于点D,交草地所在直线于点C,连接AC,CD,DB,根据轴对称性质,AC+CD+DB的最小值即为EF的长.
则路线AC－CD－DB即是最短的路线.
6. 如图KH13-24-5，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，P是AB边上的一点，请在高AD上找一点E，使得△PEB的周长最短．
解：如答图KH13-24-3,点E即为所求．
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第十三章 轴 对 称
第17课时 线段的垂直平分线的性质
【A组】
1. 如图KH13-17-1，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，点D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD=( )
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10°
B
2. 如图KH13-17-2，点D，E分别在△ABC的边AC，BC上，且DE垂直平分AC.若△ABE的周长为13，AD=5，则△ABC的周长是( )
A. 18
B. 23
C. 21
D. 26
B
3. 如图KH13-17-3，在△ABC中，∠ABC=50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N. 若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
A. 95°
B. 100°
C. 105°
D. 115°
D
【B组】
4. 如图KH13-17-4，电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等. 请在图中作出发射塔P的位置. （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如答图KH13-17-1，点P,P′即为所求.
5. 如图KH13-17-5，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD=20°，∠ACB的补角是110°. 求证：BE=AC.
证明：连接AE，如答图KH13-17-2.
∵∠ACB的外角是110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°.
∵∠DAC=20°，∴∠DAC+∠ACD=90°.
∴AD⊥EC.
∵DE=DC，∴AD垂直平分EC.
∴AE=AC.
∵EF垂直平分AB，
∴EA=EB. ∴BE=AC.
【C组】
6. 如图KH13-17-6，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6，△OBC的周长为16．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长.
解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB.
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC.
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6.
（2）如答图KH13-17-3，连接AO.
∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB.
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA=OC.
∵OB+OC+BC=16，BC=6，
∴OA=OB=OC=5.
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第十三章 轴 对 称
第18课时 画轴对称图形（一）
【A组】
1. 下列说法错误的是( )
A. 成轴对称的两个图形一定在对称轴的同侧
B. 轴对称图形的对应边相等，对应角相等
C. 等腰三角形是轴对称图形
D. 成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分
A
2. 作已知点关于某直线的对称点的第一步是( )
A. 过已知点作一条直线与已知直线相交
B. 过已知点作一条直线与已知直线垂直
C. 过已知点作一条直线与已知直线平行
D. 不确定
B
3. 在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是( )
A. 等腰三角形
B. 菱形
C. 等腰梯形
D. 正六边形
A
4. 如图KH13-18-1，△ABC至少经过__________次轴对称变换后得到△DEF.
2
【B组】
5. 如图KH13-18-2，现要利用尺规作
图作△ABC关于BC的轴对称图形△A′BC.
若AB=5 cm，AC=6 cm，BC=7 cm，分别
以点B，C为圆心，依次以__________cm，
__________cm为半径画弧，使得两弧相
交于点A′，再连接A′C，A′B，即可
得到△A′BC.
5
6
6. 如图KH13-18-3，分别画出△ABC关于直线MN对称的图形．
解：如答图KH13-18-1.
【C组】
7. 如图KH13-18-4，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
解：（1）如答图KH13-18-2，△AB′C′即为所作.
（2）五边形ACBB′C′的周长为________________；
（3）五边形ACBB′C′的面积为__________.
10
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第十三章 轴 对 称
第19课时 画轴对称图形（二）
【A组】
1. 点（4，3）与点（4，-3）的关系是( )
A. 关于原点对称
B. 关于x轴对称
C. 关于y轴对称
D. 不能构成对称关系
B
2. 如图KH13-19-1，x轴是△AOB的对称
轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标
为（1，2），则点C的坐标为( )
A. （-1，-2）
B. （1，-2）
C. （-1，2）
D. （-2，-1）
A
3. 如图KH13-19-2，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（-1，4）.
将△ABC沿y轴翻折到第一象限，
则点C的对应点C′的坐标是
( )
A. （1，-3）
B. （-3，-1）
C. （3，1）
D. （3，-1）
C
4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，-8），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点A″，得到点A″的坐标为_______________.
（-3，8）
5. 如图KH13-19-3，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A2的坐标是__________.
（2，-3）
【B组】
6. 如图KH13-19-4，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2 020次变换后所得A点的坐标是_____________.
（a，b）
7. 如图KH13-19-5，在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0）且平行于y轴，如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-3，0），B（-1，0），C（-1，3），△ABC关于直线l的对称图形是△A1B1C1.
（1）画出△A1B1C1；
（2）直接写出A1，B1，C1的坐标；
（3）求出四边形ACC1A1的面积.
解：（1）如答图KH13-19-1，△A1B1C1即为所求.
（2）A1（7，0），B1（5，0），C1（5，3）.
（3）四边形ACC1A1的面积为(10+6)×3÷2=24.
【C组】
8. 如图KH13-19-6，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）.
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，△ABC的面积是__________；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为___________；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.
4
（-4，3）
解：（1）如答图KH13-19-2，△ABC即为所求.
（3）设点P的坐标为（n,0）.
则|n-2|× ×1=4.
∴n=10或n=-6.
∴P(10,0)或P（-6,0）.
谢 谢
