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专题2 线段的垂直平分线的性质
单元复习课
一、线段的垂直平分线的性质
1. 如图D13-2-1，在△ABE中，∠E=25°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 50°
D. 55°
C
2. 如图D13-2-2，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且点M，N分别在PA，PC的垂直平分线上．若∠ABC=98°，则∠APC的度数为( )
A． 134°
B． 135°
C． 137°
D． 139°
D
3. 如图D13-2-3，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为__________°.
35
4. 如图D13-2-4，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，求∠EAF的度数.
解：在△ABC中，∠BAC＝80°，
∴∠B＋∠C＝100°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝EA.
∴∠B＝∠BAE.
同理可得∠CAF＝∠C.
∴∠EAF＝∠BAE＋∠CAF－∠BAC＝∠B＋∠C－∠BAC＝20°.
二、线段的垂直平分线的判定
5. 如图D13-2-5，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔. 按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）
A. A处
B. B处
C. C处
D. D处
C
6. 如图D13-2-6，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋ AD，则点D在线段__________的垂直平分线上.
AC
7. 如图D13-2-7，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置.
解：连接AC，BC，分别作其垂直平分线，交点P即为学校的位置(图略).
8. 如图D13-2-8，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F. 求证：线段BF垂直平分线段AD.
证明：∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC，∴∠AMB=90°.
∴∠ABC+∠BAM=90°.∴∠C=∠BAM.
∵AD平分∠MAC，∴∠MAD=∠CAD.
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠BAD=∠ADB.
∴AB=BD.
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF=FD，即线段BF垂直平分线段AD.
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第十三章 轴 对 称
第22课时 等边三角形(一)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解等边三角形的概念.
2. 掌握等边三角形的性质定理和判定定理及其运用.
(1)等边三角形的定义:三条边都__________的三角形是等边三角形；
(2)等边三角形的性质:①等边三角形的三个内角都__________,并且每一个角都等于60°;②等边三角形是轴对称图形;③等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有所有等腰三角形的性质.
知识重点
知识点一 等边三角形的定义及性质
相等
相等
1. 如图13-22-1，在等边三角形ABC中，AB=6，AD平分∠BAC，则CD=__________，∠BAD=__________，∠BDA=__________.
对点范例
3
30°
90°
(1)定义法:三条边都__________的三角形是等边三角形;
(2)三个角都__________的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是__________的等腰三角形是等边三角形.
知识重点
知识点二 等边三角形的判定
相等
相等
60°
2. 下列三角形：①三个角都等于60°；②有一个外角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的为( )
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ①②③④
对点范例
C
典例精析
【例1】如图13-22-2，△ABC是等边三角形，
AD为中线，AD=AE，点E在AC上.求∠EDC的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=30°.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= =75°.
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
思路点拨：根据等边三角形及等腰三角形的性质来解题.
举一反三
1. 如图13-22-3，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，CE=CD.求证：DB=DE.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∴∠DBC=30°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED.
∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°.
∴∠DBC=∠DEC.∴DB=DE.
【例2】如图13-22-4，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°. 求证：△ABC是等边三角形.
典例精析
证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
∴∠B=∠C.∴AB=AC.
∵∠BDE=30°，DE⊥AB，
∴∠B=60°. ∴△ABC是等边三角形.
思路点拨：利用等边三角形的判定定理——有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来解题.
2. 如图13-22-5，在三角形ABC中，DE是AC边的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=30°.求证：△ABD是等边三角形.
举一反三
证明：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠C=30°.
∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°.
∵∠B=60°，
∴∠BAD=∠B=∠ADB=60°.
∴△ABD是等边三角形.
【例3】如图13-22-6，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）试判断△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC=10，求△ODE的周长.
典例精析
解：（1）△ODE是等边三角形.理由如下.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°.
∴∠ODE=∠OED=∠DOE=60°.
∴△ODE为等边三角形.
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO=∠DBO,∠ABO=∠DOB.∴∠DBO=∠DOB.
∴BD=OD.同理可证CE=OE.
∴△ODE的周长=OD+OE+DE=BC=10.
思路点拨：灵活运用等边三角形的判定和性质来解题.
3. 如图13-22-7，点P，M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，NM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N.
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB=12 cm，AP=8 cm，求CM的长.
举一反三
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵MP⊥AB，NM⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°.
∴∠PMB=∠MNC=∠NPA.
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP.
∴△PMN是等边三角形.
（2）解：根据题意易得△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN.
∴CM=BC-BM=AB-AP=4（cm）.
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专题4 等边三角形的性质与判定、
含30°角的直角三角形的性质
单元复习课
一、等边三角形的性质
1. 如图D13-4-1，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，则BD与AE的关系是( )
A. BD＝AE
B. BD⊥AE
C. BD＞AE
D. BD＜AE
A
2. 如图D13-4-2，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=50°，则∠ABE等于（ ）
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
C
3. 如图D13-4-3，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.
（1）若BQ=2，求PE的长；
（2）连接PF，EF，试判断△EFP
的形状，并说明理由.
解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP=∠PBC=30°.
∵PE⊥AB于点E，
∴∠BEP=90°.
∴PE= BP.
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP=2BQ=2×2=4.
∴PE= ×4=2.
（2）△EFP是直角三角形. 理由如下.
如答图D13-4-1，连接PF，EF.
∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，∠ABP=∠CBD=30°.
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=90°.
∴∠BPE=60°.
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB=FP.
∴∠FBQ=∠FPQ=30°.
∴∠EPF=∠EPB+∠BPF=90°.
∴△EFP是直角三角形.
二、等边三角形的判定
4. 下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A. ∠A=∠B=∠C
B. AB=AC，∠B=60°
C. ∠A=60°，∠B=60°
D. AB=AC，且∠B=∠C
D
5. 如图D13-4-4，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
D
6. 如图D13-4-5，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 不等边三角形
D. 不能确定形状
B
7. 如图D13-4-6，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足.求证：△DEF是等边三角形.
证明：∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°. ∴∠BDE=∠CDF=60°.
∴∠EDF=60°.
∵D是BC的中点，∴BD=CD.
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（ASA）.
∴DE=DF.∴△DEF是等边三角形.
三、含30°角的直角三角形的性质
8. 某市在旧城改造中，计划在一块如图D13-4-7所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A. 300a元
B. 150a元
C. 450a元
D. 225a元
B
9. 如图D13-4-8所示是屋顶的“人”字形钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10 m，AD为中柱(即底边
的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＋DF＝__________m.
5
10. 如图D13-4-9，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=__________.
2
11. 如图D13-4-10，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，2 h后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
解：如答图D13-4-2,过点P作PC⊥AB，垂足为点C.
∵∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，
∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°.
∴PB＝AB.
由题意知AB＝15×2＝30(海里). ∴PB＝30(海里).
∵在Rt△PBC中，∠PBC＝30°，
∴PC＝ PB＝15(海里).
∵PC<18海里,
∴轮船继续向前航行有触礁的危险.
四、等边三角形的性质与判定综合
12. 如图D13-4-11，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD.
（1）当点E为AB的中点时，如图D13-4-11①，求证：EC=ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图D13-4-11②，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）
小题的条件下，
EC与ED还相等吗？请说明理由.
（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵点E为AB的中点，AE=BD，
∴AE=EB=BD.
∴∠ECB= ∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB= ∠ABC=30°.
∴∠EDB=∠ECB.
∴EC=ED.
（2）证明：如答图D13-4-3，过点E作EF∥DC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°.
∴△AEF为等边三角形.
（3）解：EC=ED.
理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°.
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC.
∵DB=AE，∴DB=EF.
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC（SAS）.
∴ED=EC.
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第十三章 轴 对 称
第24课时 课题学习 最短路径问题
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最短路径问题.
2. 能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
（1）两点之间线段最短：在连接两点的所有线中，_____________；
（2）垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线中，_______________.
知识重点
知识点一 与最短路径有关的概念
线段最短
垂线段最短
1. 如图13-24-1，从点P向直线l所画的4条线段中，线段__________最短，理由是_______________________________
_____________________________________________________.
对点范例
PB
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
已知直线l上一动点和直线l外两定点：
(1)当两定点在l的异侧时，_______________取得最短路径;
(2)当两定点在l的同侧时，作其中一定点__________________________________________________取得最短路径.
知识重点
知识点二 利用轴对称解决最短路径问题
连接两定点
关于l的对称点，然后连接对称点与另一定点
2. 直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图
中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
对点范例
D
典例精析
【例1】如图13-24-2，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小，并简要说明理由. （保留作图痕迹）
解：如答图13-24-1，点P即为所求.
理由：两点之间，线段最短.
思路点拨：两点在某一直线的异侧时，两点之间的连线即为最短路径.
举一反三
1. 如图13-24-3，高速公路l的两侧有M，N两城镇，要在高速公路上建一个出口P，使M，N两城镇到P的距离之和最短. 请找出P的位置.
解：如答图13-24-3，点P即为所求.
【例2】如图13-24-4，一个牧童在小河的南边A处牧马，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮水，然后回家所走的总路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
典例精析
解:作出点A关于河的对称点A′，连接A′B，交河岸于点D，则点D就是马饮水的位置（图略）.
思路点拨：两点在某一直线的同侧时，作其中一点的对称点来确定最短路径.
2. 如图13-24-5，公路AB同侧有两个村庄M，N，为方便两村居民的生活，现要在公路旁建一个车站P，同时修通到两村的公路，问车站应建在何处费用最省？（只需画出示意图，不需要说明理由）
举一反三
解：如答图13-24-4，①作点M关于直线AB的对称点M′；
②连接M′N交AB于点P，则点P即为所求.
【例3】如图13-24-6，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河上架设一小桥DC，请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距离最小（假定两河岸m，n是平行的，且桥要与河垂直），要求简单写出作图过程.
典例精析
解:①如答图13-24-2，过点A作AA1垂直于河岸，且使AA1等于河宽；
②连接BA1与河岸的一边交于点C；
③过点C作河岸的垂线交另一条河岸于点D，则DC为所建的桥的位置.
思路点拨：先通过平移，再根据两点之间，线段最短来解答.
3． 如图13-24-7，要在一条河上架一座桥MN（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得E,F两地的路程最短的是( )
A. EM与河岸垂直 B. EM∥FN
C. E,M,F共线 D. FN与河岸垂直
举一反三
B
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第十三章 轴 对 称
第16课时 轴 对 称
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 在生活实例中认识轴对称图形.
2. 了解轴对称图形及两个图形成轴对称的意义，会识别轴对称图形和轴对称.
3. 了解轴对称图形及两个图形成轴对称的性质.
如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线______________能够互相重合,这个图形就叫做______________图形,这条直线就是它的一条__________.
知识重点
知识点一 轴对称图形的概念
两旁的部分
轴对称
对称轴
1. 下列几何图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形
B. 圆
C. 等腰三角形
D. 等边三角形
对点范例
A
把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与________________重合,那么就说这两个图形关于这条直线成__________,这条直线叫做__________,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
知识重点
知识点二 轴对称的概念
另一个图形
轴对称
对称轴
2. 如图13-16-1，△ABC沿着MN折叠后，与
△A′B′C′完全重合，则
（1）△ABC与△A′B′C′关于直线________
对称；
（2）直线MN是__________；
（3）点A的对称点是点__________，
点B的对称点是点__________.
对点范例
MN
对称轴
A′
B′
(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的________________；
(2)轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的_______________.
知识重点
知识点三 轴对称及轴对称图形的性质
垂直平分线
垂直平分线
3. 如图13-16-2，点A在直线l上，
△ABC与△AB′C′关于直线l对称，
连接BB′分别交AC，AC′于点D,D′，
连接CC′，下列结论不一定正确的
是( )
A. ∠BAC=∠B′AC′ B. CC′∥BB′
C. AD=DD′ D. BD=B′D′
对点范例
C
典例精析
【例1】如图13-16-3所示图形，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
思路点拨：正确掌握轴对称图形的定义是解题关键.
C
举一反三
1. 下列图案中，不是轴对称图形的是( )
B
【例2】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是
( )
思路点拨：根据轴对称的概念来解决.
典例精析
C
2. 对折一张矩形的纸，用笔尖在上面扎出大写字母“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
举一反三
C
【例3】如图13-16-4，若△ABC与
△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交
MN于点O，则下列说法不一定正确的
是（ ）
A. AC=A′C′ B. BO=B′O
C. AA′⊥MN D. AB=B′C′
思路点拨：根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法即可得解.
典例精析
D
3． 如图13-16-5，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C＝∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，其中错误的有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
举一反三
A
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第十三章 轴 对 称
第19课时 画轴对称图形（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 认识平面直角坐标系中图形轴对称变换后的点的坐标变化的特点.
2. 能够在平面直角坐标系中，先确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形.
3. 能够用轴对称进行简单的图案设计.
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为__________，即横坐标相同,纵坐标互为相反数；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为__________，即横坐标互为相反数,纵坐标相同.
知识重点
知识点一 关于坐标轴对称的点的坐标规律
(x,-y)
(-x,y)
1. 填表.
对点范例
已知点 （2，5） （2，-5） （-2，-5）
关于x轴 对称的点 ____________ ____________
____________
关于y轴 对称的点 ____________ ____________
____________
（2，-5）
（2，5）
（-2，5）
（-2，5）
（-2，-5）
（2，-5）
①找：找出已知图形中的一些__________；
②计算：计算特殊点的___________________；
③描点：根据对称点的坐标描点；
④连接：按顺序依次连接所描格点即可.
知识重点
知识点二 在平面直角坐标系中作轴对称图形
特殊点
对称点的坐标
2. 如图13-19-1，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（0，-2），（2，-4），（4，-1），分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2，完成下列作图步骤：
对点范例
对点范例
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），所以△ABC关于x轴对称的点分别为A1__________，B1__________，C1__________；
（2）依次连接A1B1，B1C1，A1C1即可得到与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（图略）；
（0，2）
（2，4）
（4，1）
对点范例
（3）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），所以△ABC关于y轴对称的点分别为A2__________，B2__________，C2__________；
（4）依次连接A2B2，B2C2，A2C2即可得到与△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2（图略）.
（0，-2）
（-2，-4）
（-4，-1）
典例精析
【例1】已知点P（-3，2）.
（1）点P关于x轴对称的点的坐标是__________;
（2）点P关于y轴对称的点的坐标是__________.
思路点拨：根据点关于坐标轴对称的点的坐标规律解题.
（-3，-2）
（3，2）
举一反三
1. 在平面直角坐标系中，点P（3，-3）关于y轴对称的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
【例2】已知点A（2a-b，5+a），B（2b-1，-a+b）.
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2 021的值.
典例精析
解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴
（2）∵点A，B关于y轴对称，
∴
解得
∴（4a+b）2 021=［4×（-1）+3］2 021=-1.
思路点拨：熟记关于x，y轴对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）；点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）.
2. 已知P（a+1，b-2），Q（4，3）两点.
（1）若P，Q两点关于x轴对称，求a+b的值;
（2）若点P到y轴的距离是3，且PQ∥x轴，求点P的坐标.
举一反三
解：（1）∵P，Q两点关于x轴对称，
∴a+1=4，b-2=-3.
∴a=3，b=-1. ∴a+b=3-1=2.
（2）∵点P到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为3或-3.
又∵PQ∥x轴，∴点P的纵坐标为3.
∴P（3，3）或（-3，3）.
【例3】在如图13-19-2所示的平面直角坐标系中，解答下列问题：
（1）A，B两点的坐标分别
为__________，__________；
典例精析
（2，0）
（-1，-4）
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△AB1C1；
（3）B1，C1两点的坐标分别
为__________，__________.
（-1，4）
（3，3）
解：（2）如答图13-19-1，△AB1C1即为所作.
思路点拨：在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称图形，关键是先确定所给特殊点的对称点的坐标，并标出对称点，然后连线即可.
3. 如图13-19-3，在平面直角
坐标系中，已知△ABC的三个顶
点的坐标分别为A（1，0），
B（2，-3），C（4，-2）.
（1）在下图中作出△ABC关于
x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平
移4个单位后得到△A2B2C2，
请直接写出C2的坐标：__________.
举一反三
解：（1）图略
（0，2）
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第十三章 轴 对 称
第20课时 等腰三角形(一)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 掌握等腰三角形的性质定理及其运用.
有两边__________的三角形叫做等腰三角形,相等的两条边叫做__________,另一条边叫做__________,两腰的夹角叫做__________,底边与腰的夹角叫做__________.
知识重点
知识点一 等腰三角形的有关概念
相等
腰
底边
顶角
底角
1. 至少有两边相等的三角形是( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 锐角三角形
对点范例
B
（1）等腰三角形的两个底角__________(简写成“等边对等角”);
（2）等腰三角形的_____________、底边上的中线、_____________相互重合(简写成“三线合一”)；
（3）等腰三角形是__________图形.
知识重点
知识点二 等腰三角形的性质
相等
顶角平分线
底边上的高
轴对称
2. 下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等；
②等腰三角形的两底角相等；
③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；
④等腰三角形两底角的平分线相等.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
对点范例
D
典例精析
【例1】已知一等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形顶角的度数为_______________.
思路点拨：等腰三角形的两个底角相等，题目中未说明所给角是顶角还是底角，所以要注意分类讨论.
40°或70°
举一反三
1. 若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为__________.
15
【例2】如图13-20-1，在△ABC中，∠A=45°，
∠B=60°，点D在边AB上，且BD=BC，连接CD，
则∠ACD的大小为（ ）
A. 30° B. 25°
C. 15° D. 10°
思路点拨：掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形等边对等角的性质是解题关键.
典例精析
C
2. 如图13-20-2，AB=AC，CD=CE，过点C的直线FG与DE平行，若∠A=38°，则∠1为（ ）
A. 42°
B. 54.5°
C. 58°
D. 62.5°
举一反三
B
【例3】如图13-20-3，已知AB=AC，AD是
△ABC的中线，∠B=30°，那么∠CAD=
__________.
思路点拨：利用等腰三角形的性质——“三线合一”来解题.
典例精析
60°
3. 如图13-20-4，已知△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，如果△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，那么AD的长是__________.
举一反三
4
【例4】如图13-20-5，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE垂直平分AB交AC于点D，垂足为点E. 求证：AD=BC.
典例精析
证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD. ∴∠A=∠ABD=36°.
∴∠CDB=∠A+∠ABD=72°. ∴∠CDB=∠C.
∴BD=BC.∴AD=BC.
思路点拨：利用三角形的内角和定理以及等腰三角形等边对等角的性质来解题.
4. 如图13-20-6，在△ABC中，AB=BC=AD，BD=CD，求∠ABC的度数.
举一反三
解：∵BD=CD，∴∠CBD=∠C.
设∠CBD=∠C=x°.
∵AB=BC=AD，
∴∠ABD=∠ADB=∠C+∠CBD=2x°，∠A=∠C=x°.
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3x°.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴5x=180. 解得x=36.
∴∠ABC=3x°=108°.
【例5】如图13-20-7，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC的中线，过点D作DE⊥AC于点E. 若∠BAC=72°,求∠ADE的度数.
典例精析
解：∵AB=AC，AD是边BC的中线，
∴∠CAD= ∠BAC.
∵∠BAC=72°，∴∠CAD=36°.
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°.
∴∠ADE=90°-36°=54°.
思路点拨：利用等腰三角形的性质——“三线合一”来解题.
5. 如图13-20-8，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，DE⊥AB.
（1）求证：∠BAC=2∠EDB；
举一反三
（1）证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
∴∠B+∠BAD=90°.
∵DE⊥AB，∴∠B+∠EDB=90°.
∴∠EDB=∠BAD= ∠BAC.
∴∠BAC=2∠EDB.
（2）若AC=6，DE=2，求△ABC的面积.
（2）解：∵AB=AC=6，DE=2，
∴S△ABD=6×2× =6.
∵D为BC边的中点，
∴S△ADC=S△ADB=6.
∴S△ABC=12.
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第十三章 轴 对 称
第23课时 等边三角形(二)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质.
2. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质的应用.
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的__________.
知识重点
知识点 含30°角的直角三角形的性质
一半
如图13-23-1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.若AB=6，则BC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
对点范例
B
典例精析
【例1】如图13-23-2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2，求线段AD的长.
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，AB=2BC.
∵CD是高，∴∠CDB=90°.
∴∠DCB=90°-∠B=30°.
∵BD=2，∴BC=2BD=4.
∴AB=8.∴AD=AB-BD=8-2=6.
思路点拨：根据含30°角的直角三角形的性质来解题.
举一反三
1. 如图13-23-3，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E. 求：
（1）∠BCD的度数；
（2）若DE=3，求AB的长.
解：（1）∵DE是AC边上的垂直平分线，
∴CD=AD，DE⊥AC.
∴∠DCA=∠A=30°.
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=90°-30°=60°.
（2）∵∠B=90-∠A=60°，
∴∠BCD=∠B=∠BDC=60°.
∴BD=CD=BC.
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC= AB.
∴BD=BC=AD= AB.
∵DE=3，DE⊥AC，∠A=30°，
∴AD=2DE=6.
∴AB=2AD=12.
【例2】如图13-23-4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E. 求证：BE= CE.
典例精析
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
又∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB.
∴∠EAB=∠B=30°.
∴∠CAE=120°-30°=90°.
∵在Rt△AEC中，∠C=30°，
∴AE= CE.∴BE= CE.
思路点拨：灵活运用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半及其他相关知识点来证明.
2. 如图13-23-5，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB=90°. 求证：AE=CD.
举一反三
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=AC.
∵BD⊥AC，∴CD=AD= AC= AB.
∵AE∥BC，∴∠BAE=∠ABC=60°.
∵∠AEB=90°，∴∠ABE=30°.
∴AE= AB. ∴AE=CD.
【例3】如图13-23-6，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里到达B处，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时小岛P到AB的距离为多少海里？
典例精析
解：如答图13-23-1，作PC⊥AB于点C.
∵∠PAB=90°-75°=15°，∠PBC=90°-60°=30°，
又∵∠PBC=∠PAB+∠APB，
∴∠PAB=∠APB.
∴PB=AB=7（海里）.
在Rt△PBC中，
PC= PB= ×7=3.5（海里）.
答：此时小岛P到AB的距离为3.5海里.
思路点拨：根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半来解题.
3. 如图13-23-7所示是某种帐篷支架屋顶的侧面，它是底角为30°的等腰三角形，已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE=1 m，求AB的长.
举一反三
解：∵DE⊥AB,BD⊥AC，∠A=30°，
∴∠ADE=90°-30°=60°.
∴∠BDE=90°-60°=30°.
∴BE= BD.
∵BE=1 m，∴BD=2 m.
∵∠ADB=90°，∠A=30°，
∴BD= AB.
∴AB=2BD=2×2=4(m).
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第十三章 轴 对 称
第21课时 等腰三角形(二)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握等腰三角形的判定定理.
2. 能够利用等腰三角形的性质与判定证明线段或角的相等关系.
(1)有两条边相等的三角形是______________;
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也__________(简写成“等角对等边”),即这个三角形为等腰三角形.
知识重点
知识点 等腰三角形的判定
等腰三角形
相等
下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. a=3，b=3，c=4
B. a∶b∶c=4∶5∶6
C. ∠B=50°，∠C=80°
D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
对点范例
B
典例精析
【例1】如图13-21-1，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
思路点拨：根据等角对等边来证明.
举一反三
1. 已知如图13-21-2，在△ABC中，AC=BC=AD，∠CDE=∠B，
求证：△CDE是等腰三角形.
证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC=180°，∠BCD+∠B+∠BDC=180°，∠CDE=∠B，
∴∠ADE=∠BCD.
∵AC=BC，∴∠A=∠B.
在△ADE和△BCD中，
∴△ADE≌△BCD（ASA）.
∴DE=CD.
∴△CDE是等腰三角形.
【例2】如图13-21-3，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB=AC；
②△ABC中，∠B=56°，∠BAC=68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC.
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共
有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
思路点拨：灵活运用等腰三角形的判定定理结合其他知识要点进行推理是解题关键.
典例精析
D
2. 如图13-21-4所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，若P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
举一反三
D
【例3】如图13-21-5，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN过点O交AB于点M，交AC于点N，且MN∥BC，BM=6，CN=7. 求MN的长.
典例精析
解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO.
∵MN∥BC，∴∠CBO=∠BOM.
∴∠ABO=∠BOM.∴BM=OM.
同理可得CN=ON.
∴MN=OM+ON=BM+CN=6+7=13.
思路点拨：根据平行线的性质及等角对等边来解题.
3. 如图13-21-6，在△ABC中，AB=AC，点D是BC
边上的中点，G是AC边上一点，过点G作EF⊥BC，
交BC于点E，交BA的延长线于点F. 求证：
（1）AD∥EF；
（2）△AFG是等腰三角形.
举一反三
证明：（1）∵AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形底边BC的中线.
∴AD⊥BC.
∵EF⊥BC，∴AD∥EF.
（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵EF⊥BC，
∴∠B+∠F=∠C+∠EGC.
∴∠F=∠EGC.
∵∠EGC=∠AGF，∴∠AGF=∠F.
∴AG=AF.
∴△AFG是等腰三角形.
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专题1 轴对称的性质、轴对称的点的坐标变化
单元复习课
一、轴对称的性质
1. （2020贺州）下列图案不是轴对称图形的是（ ）
C
2. 如图D13-1-1，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法不正确的是（ ）
A. ∠DAO=∠CBO
B. 直线l垂直平分AB，CD
C. AD=BC
D. AD=OD，BC=OC
D
3. 如图D13-1-2，直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点A，则∠1的度数为（ ）
A. 36°
B. 70°
C. 72°
D. 不确定
C
4. 如图D13-1-3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为点D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为__________.
10°
5. 如图D13-1-4，Rt△ABC关于直线MN的对称点分别为A′，B′，C′，其中∠A=90°，AC=8 cm，A′C=12 cm．
（1）求△A′B′C′的周长；
（2）求△A′CC′的面积．
解：（1）由题意，得
AB=A′B′，BC=B′C′.
∴△A′B′C′的周长为A′C′+B′C′+A′B′=A′C+AC=12+8=20（cm）.
（2）△A′CC′的面积为
A′C×A′C′= ×12×8=48（cm2）．
二、轴对称的点的坐标变化
6. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图D13-1-5，若△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （-3，2）
B. （3，2）
C. （-3，-2）
D. （3，-2）
B
7. 设P(2m－3，3－m)关于y轴的对称点在第二象限，试确定整数m的值.
解：∵P(2m－3，3－m)关于y轴的对称点为P′(3－2m，3－m)，
由题意，得3－2m<0，3－m>0，m为整数，
∴m=2.
8. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图D13-1-6.
（1）直接写出点A的坐标；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并直接写出点B′，C′的坐标；
（3）求出△ABC的面积.
解：（1）A（-2，3）.
（2）作图略，B′（-3，-2），
C′（-1，-1）.
（3）S△ABC=2×2- ×2×1- ×1×1-
×2×1=4-1- -1= .
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第十三章 轴 对 称
第17课时 线段的垂直平分线的性质
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 探索线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质和判定.
2. 能用尺规准确地作出线段的垂直平分线.
线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离__________.
知识重点
知识点一 线段的垂直平分线的性质
相等
1. 点P是△ABC的边AB的垂直平分线上的点，则一定有( )
A. PA=PB
B. PA=PC
C. PB=PC
D. 点P到∠ACB的两边的距离相等
对点范例
A
与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的_________________.
知识重点
知识点二 线段的垂直平分线的判定
垂直平分线上
2. 如图13-17-1，以点C为圆心，以大于点C到AB距离为半径作弧交AB于点D，E，再以D，E为圆心，以大于 DE为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则( )
A. CF平分∠ACB
B. CF⊥AB
C. CF平分AB
D. CF垂直平分AB
对点范例
B
典例精析
【例1】如图13-17-2，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，点D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
思路点拨：利用线段的垂直平分线的性质得出线段AE=BE，即可得解.
B
举一反三
1. 如图13-17-3，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD.若∠A=50°，则∠BDC的大小为( )
A. 90°
B. 100°
C. 120°
D. 130°
B
【例2】如图13-17-4，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DE=DF.求证：AD垂直平分EF.
典例精析
证明：在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE=AF.
又∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF.
思路点拨：根据线段的垂直平分线的判定来解答.
2. 如图13-17-5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E.求证：BE垂直平分CD.
举一反三
证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ACB=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）.
∴ED=EC.
又∵BD=BC，
∴BE垂直平分CD.
【例3】如图13-17-6，已知锐角三角形ABC，请用尺规作图法，作BC的垂直平分线DE，垂足为点E，交AB于点D. （不要求写作法，保留作图痕迹）
典例精析
解：如答图13-17-1，DE即为所求.
思路点拨：利用基本作图作BC的垂直平分线得到DE.
3. 如图13-17-7，直线m表示一条公路，A，B表示两所大学. 要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P.
举一反三
解：如答图13-17-2，点P是线段AB的垂直平分线与直线m的交点.
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第十三章 轴 对 称
第18课时 画轴对称图形（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换.
2. 能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形.
成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作是___________________________________得到的. 经过轴对称变换后的图形和原图形的__________、__________完全相同，连接任意一对对应点的线段都被对称轴______________.
知识重点
知识点一 作轴对称图形
由另一个图形经过轴对称变换
大小
形状
垂直平分
如图13-18-1，已知直线AB和△DEF，
作△DEF关于直线AB的对称图形，
将下列作图步骤补充完整：
对点范例
（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点_____________;
（2）分别延长DM，EP，FN至点____________，使_________=
__________，__________=__________，__________=
__________；
（3）顺次连接__________，__________，__________，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHL.
对点范例
M，P，N
G，H，L
MG
DM
PH
EP
NL
FN
GH
HL
GL
典例精析
【例1】如图13-18-2，
已知△ABC和直线MN.
请作△A1B1C1，使
△A1B1C1和△ABC关于
直线MN对称.(不要求
写作法，只保留作图
痕迹)
解：如答图13-18-1, △A1B1C1即为所求.
思路点拨：根据轴对称的概念找特殊点的对称点.
举一反三
1. 画出如图13-18-3中△ABC关于直线MN对称的三角形.
解：如答图13-18-4，△A′B′C′即为所求.
解：补全图形如答图13-18-2.
【例2】补全如图13-18-4所示的图形，使其为关于直线MN对称的图形.
典例精析
思路点拨：利用轴对称变换作图，熟练掌握对称点的作法，找出对应点的位置是解题的关键.
2. 如图13-18-5，请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整，使得它们关于直线l对称. （保留作图痕迹）
举一反三
解：补全图形如答图13-18-5.
【例3】如图13-18-6，请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（点A1，B1，C1分别为点A，B，C的对应点）.
典例精析
解：如答图13-18-3，△A1B1C1即
为所作.
思路点拨：在网格中画一个图形的轴对称图形，先确定图中所给特殊点的对称点的位置，然后连线即可.
3. 如图13-18-7,在10×10的正方形网格中有一个四边形和两个三角形(所有顶点都在方格的格点上).
(1)请你画出以上三个图形关于直线MN对称的图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数.
举一反三
解：（1）如答图13-18-6.
（2）整个图形共有4条对称轴.
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单元复习课
本章知识梳理
目录
01
课标要求
02
知识导航
1. 通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
2. 能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形.
3. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
4. 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
课 标 要 求
5. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等，底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形. 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.
6. 探索并掌握直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
轴对称 轴对称的有关概念线段的
垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线.
性质：1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
2. 与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
画轴对称图形 成轴对称的两个图形的特点：新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
关于x轴对称的两个点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数;
关于y轴对称的两个点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数
等腰三角形 普通等腰三角形
概念：有两边相等的三角形是等腰三角形.
性质：等边对等角，三线合一.
判定：1. 根据定义判定；2. 根据性质(等边对等角)判定
等边三角形的性质：三边相等，三个内角都等于60°.
判定：1. (定义)三边都相等；2. 三个角都相等；3. 有一个角是60°的等腰三角形
含30°角的直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半
最短路径问题 两点在直线的异侧：两点连线与直线的交点.
两点在直线的同侧：一点与另一点关于直线的对称点的连线与直线的交点.
造桥选址：垂直河岸方向平移，使其他线段共线
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专题3 等腰三角形的性质与判定
单元复习课
一、等腰三角形的性质
1. 若等腰三角形中的一个外角等于130°，则它的顶角的度数是( )
A. 50°
B. 80°
C. 65°
D. 50°或80°
D
2. 下列四个说法：①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25. 其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
A
3. 如图D13-3-1，以△ABC的顶点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD. 若∠B=50°，∠C=
35°，则∠DAC的度数是( )
A. 15°
B. 30°
C. 50°
D. 65°
B
4. 如图D13-3-2，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝__________.
5 cm
5. 如图D13-3-3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F. 求证：AE=FE.
（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°.
∵∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD.
∴∠BAD=∠F.∴AE=FE.
二、等腰三角形的判定
6. 如图D13-3-4，点P是射线ON上一动点，∠AON=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（ ）
A. 120°
B. 75°
C. 60°
D. 30°
C
7. 如图D13-3-5，在△ABC中，AB=AC＞BC，BE=BC，∠ABE=∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（ ）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
B
8. 在△ABC中，∠A=40°，当∠C=_____________________时，△ABC为等腰三角形.
40°或70°或100°
9. 如图D13-3-6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E.
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形.
（1）解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C= ×（180°-∠BAC）=72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC= ∠ABC=36°.
∴∠ADB=∠C+∠DBC=72°+36°=108°.
（2）证明：∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C=72°.
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠ADE=∠CDB=180°-72°-36°=72°.
∴∠EAD=∠ADE. ∴AE=DE.
∴△ADE是等腰三角形.
三、等腰三角形的性质与判定综合
10. 如图D13-3-7，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H.
（1）求证：△APF是等腰三角形；
（2）猜想AB与PC的大小有什么关
系，并证明你的猜想.
（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FAD=∠PFA，∠CAD=∠P.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∴∠PFA=∠P.∴AF=AP.
∴△APF是等腰三角形.
（2）解：AB=PC.证明如下.
∵CH∥AB，∴∠HCB=∠B，∠H=∠BAD.
∵EF∥AD，∴∠BAD=∠BFE.
∴∠H=∠BFE.
在△BEF和△CDH中，
∴△BEF≌△CDH（AAS）.∴BF=CH.
又∵∠H=∠BAD=∠HAC,
∴AC=CH.∴AC=BF.
∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，
∴AB=PC.
11. 如图D13-3-8，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF. 求证：
（1）FE⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形.
证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°.
∴∠BAD=∠ABD.
∴AD=BD.
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB.
（2）∵FE⊥AB，AE=BE，
∴FE垂直平分AB. ∴AF=BF.
∴∠BAF=∠ABF.
∵∠BAD=∠ABD，
∴∠FAD=∠FBD=36°.
∵∠ACB=72°，
∴∠AFC=∠ACB-∠FAC=36°.
∴∠CAF=∠AFC=36°.
∴AC=CF，即△ACF为等腰三角形.
谢 谢
