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第十二章 全等三角形
第12课时 三角形全等的判定(四)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 会运用“角角边（AAS）” 判定两个三角形全等及解决相关实际问题.
2. 能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并结合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题.
__________________________________的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“__________”）.
知识重点
知识点一 三角形全等的条件——AAS
两角和其中一个角的对边分别相等
AAS
1. 如图12-12-1，∠ABC=∠DCB，只需补充条件__________，就可以根据“AAS”得到△ABC≌△DCB.
对点范例
∠A=∠D
如图12-12-2，请用数学语言表述:
在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌_______________（__________）.
知识重点
知识点二 运用“AAS”证明三角形全等
∠B′
B′C′
△A′B′C′
AAS
2. 完成下面的推理过程.
如图12-12-3，∠E=∠F，∠1=∠2. 求证：△ABE≌△ABF.
证明：∵∠1+∠ABF=180°，∠2+∠ABE=180°,∠1=∠2,
∴________________.
在△ABE与△ABF中,
∴△ABE≌△ABF__________.
对点范例
∠ABF=∠ABE
∠E＝∠F
∠ABE＝∠ABF
AB＝AB
（AAS）
典例精析
【例1】如图12-12-4，∠B=∠C，∠1=∠2，直接
判定△ABD≌△ACD的理由是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
思路点拨：根据已知条件和图中条件，可知判定三角形全等的依据是“AAS”.
D
举一反三
1. 如图12-12-5，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. BE=CF
B. ∠BCA=∠F
C. ∠A=∠D
D. AC=DF
D
【例2】如图12-12-6，已知AC平分∠BAD，∠B=∠D. 求证：△ABC≌△ADC.
典例精析
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS）.
思路点拨：根据已知条件和图中条件，利用“AAS”即可证明三角形全等.
2. 如图12-12-7，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F. 求证：△ADE≌△CFE.
举一反三
证明：∵E是边AC的中点，
∴AE=CE.
又∵CF∥AB，
∴∠A=∠ACF，∠ADF=∠F.
在△ADE与△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS）.
【例3】如图12-12-8，小明用大小相同，高度为2 cm的10块小长方体垒了两堵与地面垂直的木墙AD，BE，当他将一个等腰直角三角板ABC垂直放入时，直角顶点C正好在水平线DE上，锐角顶点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离.
典例精析
解：由题意，得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°.
∴∠BCE=∠DAC.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）.
∴AD=CE=6 cm，DC=EB=14 cm.
∴DE=DC+CE=20（cm）.
∴两堵木墙之间的距离为20 cm.
思路点拨：根据三角形全等的判定（AAS）解题.
3. 如图12-12-9，树AB与树DC之间相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，且两条视线的夹角正好为90°，EA=ED. 已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，求小华行走到点E的时间.
举一反三
解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°.
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°.
∴∠A=∠DEC.
在△ABE和△ECD中,
∴△ABE≌△ECD（AAS）.
∴AB=EC=5 m.
∵BC=13 m，
∴BE=13-5=8(m).
∴小华行走到点E的时间是8÷1=8（s）.
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单元复习课
本章知识梳理
目录
01
课标要求
02
知识导航
1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2. 掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等、三边分别相等的两个三角形全等等基本事实，并能证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
3. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
4. 探索并证明角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；反之，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
课 标 要 求
全等形 能够完全重合的两个图形
全等三角形 概念：能够完全重合的两个三角形，表示符号为“≌”
性质：1. 对应边相等；2. 对应角相等
判定：1. 边边边（SSS）;2. 边角边（SAS）;3. 角边角（ASA）;4. 角角边（AAS）;5. HL（只适用于直角三角形）
角的平分线 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
尺规作图 1. 作一角等于已知角；2. 作角平分线
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专题1 全等三角形的性质和判定
单元复习课
一、全等三角形的性质
1. 如图D12-1-1，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
B
3. 已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（ ）
A.
B.
C.
D. 6
C
二、全等三角形的判定
4. 如图D12-1-3，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )
A. AB＝ED
B. AC＝EF
C. AC∥EF
D. BF＝DC
C
5. 根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D. ∠C＝90°，AB＝6
C
6. 如图D12-1-4,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
B
7. 如图D12-1-5，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中，能使△ABC≌△BAD的有__________. （填序号）
①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④∠DAC=∠CBD．
①②③
三、全等三角形的性质与判定综合
8. 如图D12-1-6，点C,F,E,B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论.
解：CD=AB，CD∥AB.
证明如下.
∵CE=BF，∴CE-EF=BF-EF. ∴CF=BE.
在△DFC和△AEB中，
∴△DFC≌△AEB(SAS).
∴CD=AB，∠C=∠B. ∴CD∥AB.
9. 如图D12-1-7，在△ABC中，AC=BC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E. 求证：△ADC≌△BEC.
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°.
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC（AAS）.
10. 如图D12-1-8，AB∥CD，AB=CD，AD，BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E，F. 求证：
（1）△ABO≌△DCO；
（2）BE=CF.
证明：（1）∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠ABO=∠DCO.
在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO（ASA）.
（2）∵△ABO≌△DCO，∴BO=CO.
∵BE∥CF，∴∠OBE=∠OCF，∠OEB=∠OFC.
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（AAS）. ∴BE=CF.
11. 如图D12-1-9，在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE.
（1）当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=25°，则∠DCE=__________;
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β.
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论.
25°
解：（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β.理由如下.
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD.
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠B=∠ACE.
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β.
②如答图D12-1-1,当点D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β.
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第十二章 全等三角形
第13课时 三角形全等的判定(五)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 会运用“斜边、直角边（HL）” 判定两个直角三角形全等及解决相关实际问题.
2. 能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并结合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题.
______________________________的两个直角三角形__________（可以简写成“________________”或“__________”）．
知识重点
知识点一 三角形全等的条件——HL
斜边和一条直角边分别相等
全等
斜边、直角边
HL
1. 如图12-13-1，已知AB⊥CD，垂足为点B，AB=DB，若直接运用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是
__________.
对点范例
AC=DE
如图12-13-2，用数学语言表述：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌_______________（__________）.
用上面的规律可以判断两个直角三角形__________.“HL”是证明直角三角形全等的一个依据.
知识重点
知识点二 运用“HL”证明三角形全等
A′C′
A′B′
Rt△A′B′C′
HL
全等
2. 如图12-13-3，点C,F在线段BE上，
∠ABC=∠DEF=90°，BC=EF，根据“HL”
添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF，
需添加的条件是__________,并加以证明.
对点范例
AC=DF
证明：∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC和△DEF是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
典例精析
【例1】如图12-13-4，AC=BC，AC⊥OA，BC⊥
OB，则Rt△AOC≌Rt△BOC的理由是( )
A. SSS
B. ASA
C. SAS
D. HL
思路点拨：根据已知条件和图中条件，可知判定三角形全等的依据是“HL”.
D
举一反三
1. 如图12-13-5，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
D
【例2】如图12-13-6，AC⊥BC于点C，AD⊥BD于点D，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F. 求证：△BCE≌△ADF.
典例精析
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=∠BDA=90°.
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.
又∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴CE=DF，∠BEC=∠AFD=90°.
在Rt△BCE与Rt△ADF中，
∴Rt△BCE≌Rt△ADF（HL）.
思路点拨：根据“HL”可证明三角形全等，同时注意利用“全等三角形对应边上的高相等”这一性质.
2． 如图12-13-7，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE.求证：BC=BE．
举一反三
证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴∠D=∠F=90°.
在Rt△ADC与Rt△AFE中，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）． ∴CD=EF．
在Rt△ABD与Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD=BF． ∴BD-CD=BF-EF，即BC=BE．
【例3】如图12-13-8，有两个长度相等的滑梯BC和EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，判断两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE之间的数量关系，并说明理由.
典例精析
解：由题意，得∠BAC=∠EDF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
∴∠ABC=∠DEF.
又∵∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
思路点拨：根据HL判定全等.
3. 如图12-13-9，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E两地到路段AB的距离相等吗？为什么？
举一反三
解：D，E两地到路段AB的距离相等，理由如下.
∵点C是路段AB的中点，∴AC=BC.
∵两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，
∴DC=EC.
∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ACD和Rt△BCE中,
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）.∴AD=BE.
∴D,E两地到路段AB的距离相等.
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专题3 全等三角形的应用
单元复习课
1. 有长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3 cm和4 cm的木条各一根，再取第三根木条时要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为( )
A. 一个人取长为6 cm的木条，一个人取长为8 cm的木条
B. 两人都取长为6 cm的木条
C. 两人都取长为8 cm的木条
D. B，C两种取法都可以
B
2. 如图D12-3-1，两棵大树间相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED. 已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，则此时小华行走的时间是( )
A. 13 s B. 8 s
C. 6 s D. 5 s
B
3. 如图D12-3-2，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是( )
A. BD>CD
B. BDC. BD＝CD
D. 不能确定
C
4. 如图D12-3-3,AB,CD两条公路相交于点O,小芳和小明的家分别在两条公路的M,N处,并且OM=ON,而学校P恰好在∠AOC的平分线上,学了角平分线的有关知识后,同学们对PM与PN的关系做出了如下判断,其中正确的是（ ）
A. 一定相等
B. 一定不相等
C. 条件不够,无法判断
D. 以上均不对
A
5. 如图D12-3-4，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从点B处出发，沿与AB成90°角方向，向前走50 m到点C处立一根标杆，然后继续朝前走50 m到点D处，在点D处右转90°，沿DE方向再走17 m，到达点E处，使点A，C，E在一条直线上，那么测得点A，B间的距离为__________m.
17
6. 如图D12-3-5，A，B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D
作DE∥AB，使点E，A，C在同一条
直线上，则DE的长就是A，B之间
的距离，请你说明道理.
解：∵DE∥AB，
∴∠A=∠E.
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（AAS）.
∴AB=DE，即DE的长就是A，B之间的距离.
7. 如图D12-3-6，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD，BC=AD，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，请你帮助他说明这个道理.
解：连接BD，如答图D12-3-1.
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SSS）.
∴∠A=∠C.
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第十二章 全等三角形
第10课时 三角形全等的判定(二)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 会运用“边角边（SAS）” 判定两个三角形全等及解决相关实际问题.
2. 能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并结合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形__________，简写成“__________”或“__________”.
知识重点
知识点一 三角形全等的条件——SAS
全等
边角边
SAS
1. 如图12-10-1，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需添加条件（ ）
A. ∠BAE=∠DAC
B. ∠B=∠D
C. ∠C=∠E
D. ∠1=∠2
对点范例
A
如图12-10-2，请用数学语言表述:
在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌______________（__________).
知识重点
知识点二 运用“SAS”证明三角形全等
∠B′
B′C′
△A′B′C′
SAS
2. 完成下面的证明过程.
如图12-10-3，已知AB∥DE，AB=DE，点D，C在AF上，且AD=CF. 求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AB∥DE，∴_______________.
∵AD=CF,∴AD+DC=CF+DC，即__________.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF__________.
对点范例
∠A=∠EDC
AC=DF
（SAS）
∠A=∠EDC
AC=DF
典例精析
【例1】如图12-10-4，AD，BC相交于点O，OA=OD，OB=OC. 下列结论正确的是( )
A. △AOB≌△DOC
B. △ABO≌△DOC
C. ∠A=∠C
D. ∠B=∠D
思路点拨：根据已知条件和图中条件，利用“SAS”即可判定三角形全等.
A
举一反三
1. 如图12-10-5，AB=CD，∠ABD=∠CDB，判定△ABD≌△CDB的依据是（ ）
A. SAS
B. ASA
C. SSS
D. AAS
A
【例2】如图12-10-6，A，F，C，D四点同在一条直线上，AF＝DC，AB∥DE，且AB＝DE. 求证：
(1)△ABC≌△DEF；(2)∠CBF＝∠FEC.
典例精析
证明：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.
∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋CF,即AC＝DF.
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.
又∵FC=CF,∴△FBC≌△CEF(SAS). ∴∠CBF＝∠FEC.
思路点拨：根据已知条件和图中条件，利用“SAS”即可证明三角形全等.
2. 如图12-10-7，已知BC＝DE，AC＝AE，∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△ADE.
举一反三
证明：∵∠1＝∠2，∠AOE＝∠DOC，
∴∠E＝∠C.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS).
【例3】如图12-10-8，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至点D，使CD=CA，连接BC并延长至点E，使CE=CB，连接ED. 若量出DE的长度为58 m，则A，B间的距离即可求出. 依据是( )
A. SAS
B. SSS
C. AAS
D. ASA
思路点拨：根据三角形全等的判定（SAS）解题.
典例精析
A
3. 如图12-10-9，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件. 若测得A′B′=4 cm，则内槽宽AB=__________cm.
举一反三
4
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第十二章 全等三角形
第11课时 三角形全等的判定(三)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 会运用“角边角（ASA）” 判定两个三角形全等及解决相关实际问题.
2. 能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并结合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题.
_________________________________的两个三角形__________（可以简写成“角边角”或“__________”）.
知识重点
知识点一 三角形全等的条件——ASA
两角和它们的夹边分别相等
全等
ASA
1. 如图12-11-1，已知AB=AD，∠1=∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是__________.
对点范例
∠B=∠D
如图12-11-2，请用数学语言表述:
在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌______________(__________).
知识重点
知识点二 运用“ASA”证明三角形全等
B′C′
∠C′
△A′B′C′
ASA
2. 如图12-11-3，点P在∠AOB的平分线上，若要利用“ASA”证明△AOP≌△BOP，则需添加的条件是____________，并证明.
对点范例
∠APO=∠BPO
证明：∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠BOP.
在△AOP和△BOP中，
∴△AOP≌△BOP（ASA）.
典例精析
【例1】如图12-11-4，AB＝AC，∠B＝∠C，BE，
CD相交于点O，则直接判定△ABE≌△ACD的依据
是( )
A. SAS
B. ASA
C. SSA
D. AAA
思路点拨：根据已知条件和图中条件，可知判定三角形全等的依据是“ASA”.
B
举一反三
1. 如图12-11-5，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A. BE=CE
B. ∠A=∠D
C. EC=CF
D. BE=CF
D
【例2】如图12-11-6，A，B，C，D四点
在同一直线上，且AF∥DE，BF∥CE，
AC=BD. 求证：△ABF≌△DCE.
典例精析
证明：∵AF∥DE，∴∠A=∠D.
∵BF∥CE，∴∠FBC=∠ECB.
∵∠ABF+∠FBC=180°，
∠DCE+∠ECB=180°，
∴∠ABF=∠DCE.
∵AC=BD，∴AC-BC=BD-BC，即AB=CD.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（ASA）.
思路点拨：根据已知条件和图中条件，利用“ASA”即可证明三角形全等.
2. 如图12-11-7，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD=AC.
举一反三
证明：∵∠3=∠4,
∴∠DBA=∠CBA.
在△ABD和△ABC中,
∴△ABD≌△ABC(ASA).
∴AD=AC.
【例3】如图12-11-8，要测量河两岸相对两点A，B间的距离，在河岸BM上截取BC=CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D.（DE≠CD）
（1）线段__________的长度就是A，
B两点间的距离；
（2）请说明（1）成立的理由.
典例精析
DE
解：（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD,
∴∠ABC=∠EDC=90°.
又∵∠ACB=∠ECD，BC=DC,
∴△ABC≌△EDC（ASA）.∴DE=AB.
思路点拨：根据ASA判定全等.
3. 如图12-11-9，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，AB∥DE，∠A=∠D，测得AB=DE.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE=10 m，BF=3 m，求FC的长度.
举一反三
（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF.
∴BF+FC=EC+FC.∴BF=EC.
∵BE=10 m，BF=3 m，∴FC=BE-BF-EC=10-3-3=4(m).
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第十二章 全等三角形
第9课时 三角形全等的判定(一)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解三角形的稳定性， 会运用“边边边（SSS）” 判定两个三角形全等及解决相关实际问题.
2. 能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并结合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题.
三边分别相等的两个三角形__________，简写成“__________”或“__________”.
知识重点
知识点一 三角形全等的条件——SSS
全等
边边边
SSS
1. 如图12-9-1，AB=AD，只要再添加一个条件:__________，
就可以通过“SSS”判定△ABC≌△ADC.
对点范例
BC=DC
如图12-9-2，用数学语言表述：
在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌______________(__________).
用上面的规律可以判断两个三角形__________. “SSS”是证明三角形全等的一个依据.
知识重点
知识点二 运用“SSS”证明三角形全等
△A′B′C′
SSS
全等
A′C′
B′C′
2. 如图12-9-3，已知AB=AC，AE=AD，点B，
D，E，C在同条直线上，要利用“SSS”推理
得出△ABE≌△ACD，还可以添加的条件是
__________，选择一种写出推理过程.
A. BD=DE B. BD=CE C. DE=EC D. BE=CD
对点范例
B或D
解：选BD=CE. 当BD=CE时，BE=CD.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SSS）.
典例精析
【例1】如图12-9-4，AB=CD，AD=CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. SAS
D. AAS
思路点拨：根据已知条件和图中条件，可知判定三角形全等的依据是“SSS”.
A
举一反三
1. 如图12-9-5，用尺规作∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
D
【例2】如图12-9-6，在△ABC中，AB＝AC，
点D是BC的中点.求证：△ABD≌△ACD.
典例精析
思路点拨：根据已知条件和图中条件，利用“SSS”即可证明三角形全等.
证明：∵点D是BC的中点，∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
2. 如图12-9-7，点A，F，E，D在同一条直线上，AB=DC，BE=CF，AF=DE. 求证：△ABE≌△DCF.
举一反三
证明：∵AF=DE，∴AF+EF=DE+EF，
即AE=DF.
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SSS）.
【例3】工人师傅常用角尺平分一个任意角，
做法如下：如图12-9-8，∠AOB是一个任意角，
在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角
尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺
顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明
理由.
典例精析
解：在△OMP和△ONP中，
∴△OMP≌△ONP（SSS）.∴∠MOP=∠NOP.∴OP平分∠AOB.
思路点拨：根据已知条件用三角形全等判定（SSS）解题.
3. 小明制作的风筝形状如图12-9-9，他根据DE=DF，
EH=FH，不用测量就知道∠E=∠F，请你运用所学知识
给予证明.
举一反三
解：连接DH，如答图12-9-1.
在△DEH和△DFH中，
∴△DEH≌△DFH（SSS）.
∴∠E=∠F.
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第十二章 全等三角形
第8课时 全等三角形
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解全等形的定义，会判断两个图形是不是全等形.
2. 理解全等三角形的概念，能够在全等三角形中找到对应元素（顶点、边、角）.
3. 掌握全等三角形的性质，能够利用全等三角形的性质进行相关的计算或证明.
能够完全__________的两个图形叫做全等形. 全等形的形状、大小都__________.
知识重点
知识点一 全等形的定义
重合
相同
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 面积相等的两个图形是全等形
B. 形状相等的两个图形是全等形
C. 周长相等的两个图形是全等形
D. 能够完全重合的两个图形是全等形
对点范例
D
能够完全重合的两个三角形叫做________________. 重合的顶点叫做______________，重合的边叫做__________，重合的角叫做__________.
知识重点
知识点二 全等三角形的有关概念
全等三角形
对应顶点
对应边
对应角
2. 如图12-8-1，△ABC与△DEF是全等三角形，AC与DF分别是两个三角形中的最长边，且C与F是对应顶点. 请你写出下面的对应边(角)：AB的对应边是__________，EF的对应边是__________；∠B的对应角是__________，∠F的对应角是__________．
对点范例
DE
BC
∠E
∠C
全等三角形的对应边相等、对应__________相等.全等三角形的周长相等,__________相等.
知识重点
知识点三 全等三角形的性质
角
面积
3. 如图12-8-2，△ABC≌△ADC，∠B=130°，∠BAC=35°，则∠ACD=__________.
对点范例
15°
典例精析
【例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是( )
思路点拨：利用全等形的概念来解题.全等形的形状、大小均相同，而对图形放置的方向则无要求.
A
举一反三
1. 下列图形与如图12-8-3所示图形是全等形的为（ ）
B
【例2】如图12-8-4，已知△ABC≌
△EBF，AB⊥CE，ED⊥AC.
（1）对应相等的边有__________，
__________， __________；
（2）对应相等的角有__________，
______________，_____________；
（3）若AB=5，BC=3，则AF=__________.
典例精析
BC=BF
AB=EB
AC=EF
∠A=∠E
∠C=∠BFE
∠FBE=∠CBA
2
思路点拨：根据全等三角形的定义和性质，即可快速找到相等的线段和相等的角.
2. 如图12-8-5，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△A′B′C′，则∠C′的对应角为__________，AC的对应边为__________.
举一反三
∠ACB
A′C′
【例3】如图12-8-6，△ABC≌△DEF，
下列结论正确的是（ ）
A. AB=DF B. BE=CF
C. ∠B=∠F D. ∠ACB=∠DEF
思路点拨：根据全等三角形的性质，找到对应的顶点，从而正确找出相等的线段和角.
典例精析
B
3. 如图12-8-7，△ABC≌△AED，点D在BC上，若∠EAB=42°，则∠DAC的度数是( )
A. 48°
B. 44°
C. 42°
D. 38°
举一反三
C
【例4】如图12-8-8，点B，E，C，F在
同一直线上，△ABC≌△DEF.
（1）求证：AB∥DE；
（2）若AC与DE相交于点O，AB=6，
OE=4，求OD的长.
典例精析
（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF. ∴AB∥DE.
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=6.
∵OE=4，∴OD=DE-OE=6-4=2.
思路点拨：根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得到结论.
4. 如图12-8-9，△ACF≌△DBE，其中点A,B,C,D在同一条直线上.
（1）若BE⊥AD，∠F=63°，求∠A的大小;
（2）若AD=11 cm，BC=5 cm，求AB的长.
举一反三
解：（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD=90°.
∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA=∠EBD=90°.
∴∠A=90°-∠F=27°.
（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA=BD.
∴CA-CB=BD-BC，即AB=CD.
∵AD=11 cm，BC=5 cm，
∴AB+CD=11-5=6（cm）. ∴AB=3 cm.
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第十二章 全等三角形
第14课时 角的平分线的性质(一)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 会作一个角的平分线.
2. 掌握角的平分线的性质，能够运用角的平分线的性质解决相关问题.
已知∠AOB，作射线OC，使得OC平分∠AOB.作图步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
②分别以D，E为圆心，_____________的长为半径在角的内部作弧，两弧交于点C；
③连接OC，射线OC即为__________的平分线.
知识重点
知识点一 角的平分线的作法
大于 DE
∠AOB
1. 如图12-14-1，已知∠AOB，作射线OC，使得OC平分∠AOB.
对点范例
解：如答图12-14-1，射线OC即为所作.
角的平分线上的点到角两边的距离__________.
知识重点
知识点二 角的平分线的性质
相等
2. 如图12-14-2，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=5，则DF的长度是( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
对点范例
B
典例精析
【例1】如图12-14-3，已知△ABC，作∠B的平分线BD，交AC于点D.
解：如答图12-14-2，BD即为所求.
思路点拨：根据角平分线的尺规作图来解决.
举一反三
1. 如图12-14-4，在△ABC中，∠C=90°. 用尺规作出∠BAC的平分线，并标出它与边BC的交点D. （保留作图痕迹，不写作法）
解：如答图12-14-3，射线AD即为所作.
【例2】如图12-14-5，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC=5 cm，则PD的长可以是（ ）
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
思路点拨：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知PD最短为5 cm.
典例精析
D
2. 如图12-14-6，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的的面积等于（ ）
A. 4
B. 5
C. 7
D. 10
举一反三
B
【例3】如图12-14-7，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC面积是27 cm2，AB=
10 cm，AC=8 cm.
（1）求证：AE=AF；（2）求DE的长.
典例精析
（1）证明：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BAD=∠CAD，DE=DF.
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS）. ∴AE=AF.
（2）解：由（1）知DE=DF.
∵△ABC的面积是27 cm2，AB=10 cm，AC=8 cm，
∴ ×10·DE+ ×8·DF=27.
解得DE=3 cm.
思路点拨：利用角平分线的性质和三角形的面积公式来解题.
3. 如图12-14-8，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
举一反三
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE.
在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB（SAS）.
∴BD=DF.
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第十二章 全等三角形
第15课时 角的平分线的性质(二)
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握角的平分线的判定，能够运用角的平分线的判定解决相关问题.
2. 通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点，这点到三角形三条边的距离相等这一事实.
角的内部到角的两边的距离相等的点在________________上.
知识重点
知识点一 角的平分线的判定
角的平分线
1. 如图12-15-1，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝__________时,点P在∠AOB的平分线上.
对点范例
3 cm
三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形________________相等.
知识重点
知识点二 三角形三条角平分线交于一点
三条边的距离
2. 到三角形的三边距离相等的点是（ ）
A. 三角形三条高的交点
B. 三角形三条角平分线的交点
C. 三角形三条中线的交点
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
对点范例
B
典例精析
【例1】如图12-15-2，BE=CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∴△BDE与△CDF是直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
思路点拨：根据HL证两直角三角形全等，再利用角的平分线的判定来解决.
举一反三
1. 如图12-15-3，△ABC两个外角的平分线BP，CP相交于点P. 求证：点P在∠A的平分线上.
证明：如答图12-15-2，
过点P作PF⊥AD，PG⊥BC，PH⊥AE，垂足分别为点F,G,H.
∵BP,CP分别是△ABC的外角平分线，
∴PF=PG，PG=PH.
∴PF=PH.
∴点P在∠A的平分线上.
【例2】如图12-15-4，已知点P到BE，BD，
AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B
的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在
∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，
∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，
正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
思路点拨：根据角的平分线的判定定理可得解.
典例精析
D
2. 如图12-15-5，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是40，60，80，其三条角平分线将△ABC分为3个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于_______________.
举一反三
2∶3∶4
【例3】如图12-15-6，某铁路MN与公路PQ相交于点O，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到点O的距离为2 cm. 在图中标出仓库G的位置.
典例精析
解：∵其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，
∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上，再用刻度尺量出OG=2 cm，如答图12-15-1.
思路点拨：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上.
3. 如图12-15-7，有三条公路两两相交于A，B，C处，现计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请你在图中确定加油站的位置O.
举一反三
解：如答图12-15-3.
①作出△ABC两内角的平分线，
其交点为O1；
②分别作出△ABC两外角平分线，
其交点分别为O2，O3，O4，
故满足条件的修建点有四处，
即O1，O2，O3，O4.
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专题2 角的平分线的性质
单元复习课
一、角的平分线的性质
1. 在△ABC中，∠C=90°，BC=16 cm，∠A的平分线AD交BC于点D，且CD∶DB=3∶5，则点D到AB的距离等于
（ ）
A. 6 cm B. 7 cm
C. 8 cm D. 9 cm
A
2. 如图D12-2-1，在∠AOB的两边截取AO＝
BO，OC＝OD，连接AD,BC交于点P，连接OP，
则下列结论正确的是( )
①△APC≌△BPD；②△ADO≌△BCO；
③△AOP≌△BOP；④△OCP≌△ODP.
A. ①②③④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①③④
A
3. 如图D12-2-2，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AD交AD的延长线于点N，且BM＝DN，则∠ADC与∠ABC的关系是( )
A. 相等
B. 互补
C. 和为150°
D. 和为165°
B
4. 如图D12-2-3，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=12，BC=18，CD=8，则四边形ABCD的面积是__________.
120
5. 如图D12-2-4，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=4. 若点Q是射线OB上一点，OQ=3，则△ODQ的面积是__________.
6
6. 如图D12-2-5，已知△ABC的周长是8，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是__________.
12
7. 如图D12-2-6，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE=DG，AG=16，AE=8，若S△ADG=64，则△DEF的面积为__________.
16
二、角的平分线的性质与判定综合
8. 如图D12-2-7，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB＝∠DFB＝90°，∠D＝28°，求∠GBF的度数.
解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∴∠A＝∠D，AB＝DB，BC＝BF.
∴AB-BF=DB-BC.∴AF＝DC.
在△AFG与△DCG中，
∴△AFG≌△DCG(AAS).
∴FG＝CG.
∵GF⊥FB，GC⊥CB，
∴BG平分∠ABD.
∵∠D＝28°，
∴∠FBC＝90°－∠D＝62°.
∴∠GBF＝12∠FBC＝31°.
9. 如图D12-2-8，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等. 求证：AD平分∠BAC.
证明：如答图D12-2-1，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴
∵CE=BF，∴DM=DN.
∴AD平分∠BAC.
10. 如图D12-2-9，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D,E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF. 求证：DF＝EF.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）.
∴OD=OE.
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF=∠EOF.
在△ODF和△OEF中，
∴△ODF≌△OEF（SAS）.
∴DF=EF.
11. 如图D12-2-10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.
（1）求∠EFD的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论.
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°,
∴∠BAC=30°.
∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,
∴∠FAC= ∠BAC=15°，∠FCA= ∠ACB=45°.
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°.
∴∠EFD=∠AFC=120°.
（2）FE=FD，证明如下.
如答图D12-2-2，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠FAG.
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS）.
∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°.
∴∠CFG=60°.
在△FDC和△FGC中，
∴△FDC≌△FGC（ASA）.∴FG=FD.∴FE=FD.
谢 谢
